陜西省西安市長安區(qū)高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 文含解析

1、20162017學(xué)年度第二學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題（文）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是滿足題目要求的.1. 已知全集u=r,則=a. x|xl b. x|1x2 c. x|0xl d. x| oxl【答案】b【解析】試題分析：，全集，故選b.考點(diǎn)：集合的基本運(yùn)算及性質(zhì).2. 復(fù)數(shù)，則a. 1 b. c. d. 【答案】a本題選擇a選項.3. 如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)，則輸入的實(shí)數(shù)x的取值范圍是a. b. c. d. 【答案】b【解析】由題意可得，該流程圖計算的函數(shù)為分段函數(shù)： ，據(jù)此可得指數(shù)不等式： ，求解不等式可得輸入的實(shí)數(shù) 的取值范

2、圍是.本題選擇b選項.點(diǎn)睛：在畫程序框圖時首先要進(jìn)行結(jié)構(gòu)的選擇若所要解決的問題不需要分情況討論，只用順序結(jié)構(gòu)就能解決；若所要解決的問題要分若干種情況討論時，就必須引入條件結(jié)構(gòu)；若所要解決的問題要進(jìn)行許多重復(fù)的步驟，且這些步驟之間又有相同的規(guī)律時，就必須引入變量，應(yīng)用循環(huán)結(jié)構(gòu)4. 若，是第三象限的角，則a. b. c. d. 【答案】b【解析】試題分析：由題意，因?yàn)槭堑谌笙薜慕牵?，因此考點(diǎn)：1誘導(dǎo)公式；2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系5. 某長方體的三視圖如右圖，長度為的體對角線在正視圖中的投影長度為,在側(cè)視圖中的投影長度為,則該長方體的全面積為a. b. c. 6 d. 10【答案】b【解析】試

3、題分析：由三視圖設(shè)長方體中同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長為、，則有，解方程組得到，所以該長方體的面積為，故選b.考點(diǎn)：1、空間幾何體的三視圖；2、空間幾何體的表面積.6. 已知對于正項數(shù)列滿足，若，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】正項數(shù)列an滿足am+n=aman(m,nn)，a2=9，a1=3，a1+n=a1an=3an，數(shù)列an是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，an=3n， 本題選擇c選項.7. 點(diǎn)p在邊長為1的正方形abcd內(nèi)部運(yùn)動，則點(diǎn)p到此正方形中心點(diǎn)的距離均不超過的概率為()a. b. c. d. 【答案】c【解析】由幾何概型計算公式可得：點(diǎn)p到此正方形中心點(diǎn)的距離均不超

4、過的概率為 .本題選擇c選項.點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的解法用圖解題的關(guān)鍵：用圖形準(zhǔn)確表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件a滿足的不等式，在圖形中畫出事件a發(fā)生的區(qū)域，通用公式：p(a)=.8. 已知，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為（ ）a. 1 b. 2 c. 3 d. 4【答案】d【解析】試題分析：函數(shù)的零點(diǎn)即方程的根，即的根，設(shè)，作出兩函數(shù)圖像，由圖像觀察可知有4個交點(diǎn)，即函數(shù)有4個零點(diǎn)考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)點(diǎn)評：本題中將函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程的根，進(jìn)而將方程分解為兩個函數(shù)圖像交點(diǎn)個數(shù)，函數(shù)題目中這種方程的根與函數(shù)零點(diǎn)，函數(shù)交點(diǎn)的互相轉(zhuǎn)化是常用的思路9.

5、 盛有水的圓柱形容器的內(nèi)壁底面半徑為5cm， 兩個直徑為5cm的玻璃小球都浸沒于水中，若取出這兩個小球，則水面將下降（ ）cm.a. b. c. 2 d. 3【答案】b【解析】設(shè)水位下降hcm，則 ，解得 .本題選擇b選項.10. 函數(shù)，的圖像可能是下列圖形中的a. b. c. d. 【答案】c【解析】由 可得函數(shù)為偶函數(shù)，排除a選項；且當(dāng) 時： ，函數(shù)單調(diào)遞增，排除d選項； ，排除b選項；本題選擇c選項.11. 定義在上的函數(shù)，是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有成立，則a. b. c. d. 【答案】a【解析】試題分析：，由得，令 ，則 ，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，則，即，即，故選d.考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)研究抽

6、象函數(shù)的單調(diào)性；2、函數(shù)的求導(dǎo)法則.【方法點(diǎn)睛】本題主要考察抽象函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的求導(dǎo)法則，屬于難題.求解這類問題一定要耐心讀題、讀懂題，通過對問題的條件和結(jié)論進(jìn)行類比、聯(lián)想、抽象、概括，準(zhǔn)確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關(guān)鍵；本題通過觀察四個選項，聯(lián)想到函數(shù)，再結(jié)合條件判斷出其單調(diào)性，進(jìn)而得出正確結(jié)論.12. 已知條件條件且的一個充分不必要條件是，則的取值范圍是a. b. c. d. 【答案】a【解析】解 得3x<1，不等式x2+x<a2a變成：(x+a)(x+1a)<0；根據(jù)已知條件知，p是q的充分不必要條件，即若p，則q；該命題的逆否命題為：若q，則p；若a>a

7、1，則：不等式(x+a)(x+1a)<0的解是a1<x<a； ，解得：a1；若a<a1，則：不等式(x+a)(x+1a)<0的解是a<x<a1； ，解得：a2；a的取值范圍是1,2.本題選擇a選項.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請將答案填在答題卡對應(yīng)題號的位置上.13. 在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組 (為常數(shù))表示的平面區(qū)域的面積是9，那么實(shí)數(shù)的值為_.【答案】【解析】試題分析：根據(jù)題意，作出約束條件的可行域，如圖，三角形的面積為，則，到直線的距離為，或(舍) ，答案為.考點(diǎn)：1、二元一次不等式的幾何意義及可行域；2、三角形面積公式

8、.14. 在中，已知分別為，所對的邊，為的面積若向量滿足，則=_【答案】【解析】試題分析：因?yàn)?，根?jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算得：即，因?yàn)槭侨切蔚膬?nèi)角，所以=.考點(diǎn)：本小題主要考查共線向量的坐標(biāo)關(guān)系、正弦定理、余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，考查學(xué)生靈活運(yùn)用公式的能力和運(yùn)算求解能力.點(diǎn)評：向量共線和垂直的坐標(biāo)運(yùn)算經(jīng)?？疾?，要靈活運(yùn)用，求出三角函數(shù)值求角時要先交代清楚角的范圍.15. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為拋物線上一點(diǎn)，為垂足.若直線的斜率為，則 =_；【答案】【解析】f(2,0),準(zhǔn)線l:x=-2,直線af的方程為將代入得|pf|=|pa|=8.16. 已知數(shù)列的前項和構(gòu)成數(shù)列，若，則數(shù)列的通

9、項公式_.【答案】【解析】試題分析：當(dāng)時，當(dāng)時， ，綜上所述，故答案為.考點(diǎn)：數(shù)列通項與前項和之間的關(guān)系以及公式的應(yīng)用.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項與前項和之間的關(guān)系以及公式的應(yīng)用，屬于難題.已知求的一般步驟：（1）當(dāng)時，由求的值；（2）當(dāng)時，由，求得的表達(dá)式；（3）檢驗(yàn)的值是否滿足（2）中的表達(dá)式，若不滿足則分段表示；（4）寫出的完整表達(dá)式.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（注意：在試題卷上作答無效）17. 已知 的面積為，且滿足,設(shè)的夾角是，（）求的取值范圍；（）求函數(shù)的最小值.【答案】（）；（）.【解析】本試題主要是借助于向量的數(shù)量積公式

10、表示三角不等式，求解三角不等式的運(yùn)用，以及三角函數(shù)給定區(qū)間的最值問題。（1）根據(jù)已知的向量的數(shù)量積公式得到了關(guān)于角的三角不等式，結(jié)合圖像來求解不等式。（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，整體求解角的范圍，來得到最值的思想。解：（1）設(shè)abc角a、b、c的對邊分別是a、b、c由及得-5分（2）-8分 是增函數(shù)又-11分當(dāng)時，-12分18. 已知數(shù)列的前項和.（） 求數(shù)列的通項公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前項和【答案】（）；（）.【解析】略19. 如圖，設(shè)四棱錐的底面為菱形，且，,. （）求證：平面平面；（）設(shè)p為sd的中點(diǎn),求三棱錐的體積.【答案】（）證明見解析；（2）.【解析】試題分析：() 連接取的中點(diǎn)

11、，連接、，證明面，即可證明平面平面；() 利用轉(zhuǎn)換底面的方法和割補(bǔ)法，即可求出三棱錐的體積.試題解析： （）證明：連接，取的中點(diǎn)，連接、，又四棱錐的底面為菱形,且，是等邊三角形， ，又，面，因?yàn)槊?，所以?面.（）.考點(diǎn)：1、線面垂直、面面垂直的判定定理；2、等積變換求三棱錐體積 .20. 某高校在2011年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績，按成績分組：第1組75，80)，第2組80，85)，第3組 85，90)，第4組90，95)，第5組95，100得到的頻率分布直方圖如圖所示()分別求第3，4，5組的頻率；()若該校決定在筆試成績高的第3，4，5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生

12、進(jìn)入第二輪面試，求第3，4，5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試?()在()的前提下，學(xué)校決定在這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受甲考官的面試，求第4組至少有一名學(xué)生被甲考官面試的概率【答案】()；()人，人，人；().試題解析：()由題設(shè)可知，第組的頻率為，第組的頻率為，第組的頻率為()第組的人數(shù)為，第組的人數(shù)為，第組的人數(shù)為因?yàn)榈冢M共有名學(xué)生，所以利用分層抽樣在名學(xué)生中抽取名學(xué)生，每組抽取的人數(shù)分別為：第組：， 第組：，第組：所以第，組分別抽取人，人，人()設(shè)第組的位同學(xué)為，第組的位同學(xué)為，第組的位同學(xué)為則從六位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有： 共種可能其中第組的位同學(xué)為，至少有一位同學(xué)入選的有：共

13、種可能，所以第組至少有一名學(xué)生被甲考官面試的概率為考點(diǎn)：1、頻率分布直方圖及分層抽樣方法；2、古典概型概率公式.21. 已知橢圓c: 的離心率為，以橢圓的左頂點(diǎn)t為圓心作圓t:設(shè)圓t與橢圓c交于點(diǎn)m、n（如圖）.（）求橢圓c的方程；（）求的最小值，并求此時圓t的方程；（）設(shè)點(diǎn)p是橢圓c 上異于m,n的任意一點(diǎn)，且直線mp,np分別與軸交于點(diǎn)r，s，o為坐標(biāo)原點(diǎn).求證：為定值.【答案】（i）；（ii）；()見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率以及圓的方程，求出的值，進(jìn)而可得到橢圓的方程；（2）先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，并表示出，再根據(jù),在橢圓上，即可求出的最小值，進(jìn)而可求出此時圓的方程；（3）

14、先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫出直線的方程，進(jìn)而得到的表達(dá)式，再根據(jù)點(diǎn) 在橢圓上，即可證得為定值試題解析：（1）依題意，得，；故橢圓的方程為（2）方法一：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，設(shè)， 不妨設(shè)由于點(diǎn)在橢圓上，所以 （*）由已知，則，由于，故當(dāng)時，取得最小值為由（*）式，故，又點(diǎn)在圓上，代入圓的方程得到故圓的方程為：方法二：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，故設(shè)，不妨設(shè)，由已知，則故當(dāng)時，取得最小值為，此時，又點(diǎn)在圓上，代入圓的方程得到故圓的方程為：(3) 方法一：設(shè)，則直線的方程為：，令，得， 同理：，故（*）又點(diǎn)與點(diǎn)在橢圓上，故，代入（*）式，得：所以為定值方法二：設(shè)，不妨設(shè)，其中則直線的方程為：，令，得，同理：，故所以為定

15、值考點(diǎn)：1、圓錐曲線及其方程；2、平面向量的數(shù)量積；3、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.【思路點(diǎn)睛】本題是一個直線與圓錐曲線的位置關(guān)系以及平面向量的數(shù)量積方面的綜合性問題，屬于難題.解決本題的基本思路是，對于（1）根據(jù)橢圓的離心率以及圓的方程，求出的值，進(jìn)而可得到橢圓的方程；對于（2）先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，并表示出，再根據(jù),在橢圓上，即可求出的最小值，進(jìn)而可求出此時圓的方程；對于（3）先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫出直線的方程，進(jìn)而得到的表達(dá)式，再根據(jù)點(diǎn) 在橢圓上，即可證得為定值22. 已知函數(shù)。（）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù) 的值； （）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）證明：.【答案】（）；（）.【解析】試題分析：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在點(diǎn)處的切線方程，注意這個點(diǎn)的切點(diǎn).（2）對于恒成立的問題，常用到以下兩個結(jié)論：（1），（2）（3）證明不等式，注意應(yīng)用前幾問的結(jié)論.試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，所以又切線與直線垂直，從而，解得 ,（2）若，則則在上是增函數(shù)而不成立，故若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù),所以的最大值為要使恒成立，只需，解得（3）由（2）知，當(dāng)時，有在上恒成立，且在上是增函數(shù)，所以在上恒成立 .令，