第4章點的運動和剛體基本運動習題解答080814

1、第四章 點的運動和剛體基本運動本章要點一、點的運動1 點運動位置的確定的三種方法 ）矢量法：；）直角坐標法：，；）弧坐標法（軌跡已知）：.2 點的速度與加速度的矢量表示 速度 ， 加速度 .3 點的速度與加速度的直角坐標表示速度在各坐標軸上的投影為 ， ， .速度的大小和方向余弦為 加速度在各坐標軸上的投影為 加速度的大小和方向余弦分別為4 點的速度與加速度的弧坐標表示點的速度 ，切向加速度 ；法向加速度 ，其中為切線單位矢量，指向弧坐標增加的方向；表示主法線正向的單位矢量，指向曲率中心（即指向曲線凹的一方）。 全加速度為 全加速度的大小和它與法線間夾角的正切分別為，解題要領(lǐng)：1 確定動點，根

2、據(jù)題意是選擇矢量法、直角坐標法還是弧坐標法，三種方法各有所長.2 從點的運動方程出發(fā)求點的速度和加速度是對時間的求導運算；反之，也可以從加速度出發(fā)求速度和運動方程，或從速度出發(fā)求運動方程，這是積分運算，但結(jié)果都不唯一 ，積分常數(shù)需要用初始條件來確定。3 從直角坐標形式的運動方程出發(fā)計算切向加速度、法向加速度、曲率半徑、弧坐標的過程點的速度：， 點的加速度： ，切向加速度： ， 法向加速度：，曲率半徑：， 弧坐標：.二、剛體的平移剛體在運動過程中，其上任意一條直線始終平行于它的初始位置，剛體的這種運動稱為平移。具有性質(zhì)：剛體平移時，其上各點的軌跡形狀相同，在同一瞬時，各點的速度和加速度也相同。剛

3、體的平移問題可以歸結(jié)為點的運動問題.三、剛體的定軸轉(zhuǎn)動1 剛體定軸轉(zhuǎn)動的整體描述轉(zhuǎn)動方程 ， 角速度 ，角加速度 .勻速轉(zhuǎn)動（為常量），則 ，勻變速轉(zhuǎn)動（為常量），則，.2 角速度和角加速度的矢量表示， ，其中為沿轉(zhuǎn)動軸方向的單位矢量。3 轉(zhuǎn)動剛體上各點的速度和加速度距轉(zhuǎn)軸距離為的點的速度為 ，切向加速度： ， 法向加速度： 全加速度的大?。?加速度的方向： .用矢積表示剛體上各點的速度和加速度點的速度 ，切向加速度， 法向加速度 .解題要領(lǐng)1 利用三角函數(shù)關(guān)系寫出轉(zhuǎn)動方程，對時間求導一次得到角速度，求導兩次得到角加速度方程，角速度或角加速度為正，表明其轉(zhuǎn)向是與角度增加的方向一致；角速度和角加

4、速度同號（異號）表明剛體作加（減）速轉(zhuǎn)動。2 定軸轉(zhuǎn)動剛體上點的切向和法向加速度的計算公式是點作曲線運動時的特例，不可混淆。第四章 點的運動和剛體基本運動 習題解答題 4-1圖4-1 圖示曲線規(guī)尺的桿長mm，mm。桿OA繞O軸轉(zhuǎn)動的規(guī)律為rad，并且當運動開始時，角，求尺上D點的運動方程和軌跡。解： 已知，故點D的運動方程為 消去時間t得到點D的軌跡方程為 （橢圓） 題4-2圖4-2 圖示AB桿長l，以的規(guī)律繞B點轉(zhuǎn)動，為常量。而與桿連接的滑塊B以的規(guī)律沿水平線作諧振動，、b為常量。求A點的軌跡。解： 采用直角坐標法，取圖示直角坐標系Oxy, 則A點位置坐標為 ，即 .消去時間t得A點軌跡方程

5、為：.（橢圓）題4-3圖4-3 套筒A由繞過定滑輪B的繩索牽引而沿導軌上升，滑輪中心到導軌的距離為l，如圖所示。設(shè)繩索以等速拉下，忽略滑輪尺寸。求套筒A的速度和加速度與距離x的關(guān)系式。解：設(shè)時，繩上C點位于B處，在瞬時t,到達圖示位置 則 常量，將上式求導，得到管套A的速度和加速度為 ， ，負號表示的實際方向與軸相反。題4-4圖4-4 如圖所示，半徑為R的圓形凸輪可繞O軸轉(zhuǎn)動，帶動頂桿BC作鉛垂直線運動。設(shè)凸輪圓心在A點，偏心距，其中為常量。試求頂桿上B點的運動方程、速度和加速度。解：以O(shè)點為原點建立坐標系，由余弦定理可得 其中OA=e ，AB=R ，設(shè)代入上式可以得到 ，解出 .題4-5圖4

6、-5 若將題4-4中的頂桿換成平底的物塊M，其余條件不變。試求物塊上B點的運動方程、速度和加速度。解：由右圖所示， .4-6 圖示、b、c三種機構(gòu)，已知機構(gòu)尺寸h和桿OA與鉛直線的夾角，其中為常量，分析并比較它們的運動：1）穿過小環(huán)M的桿OA繞O軸轉(zhuǎn)動，同時撥動小環(huán)沿水平導桿滑動，求小環(huán)的速度和加速度。2）繞O軸轉(zhuǎn)動的桿OA，推動物塊M沿水平面滑動，求物塊M上一點的速度和加速度。3）桿OA繞O軸轉(zhuǎn)動時，通過套在桿上的套筒M帶動桿MN沿水平軌道運動，求MN上一點的速度和加速度。a) b) c)題 4-6圖解：經(jīng)分析圖a)、b) 、c) 中M點速度和加速度相同。以O(shè)為原點，水平方向為x軸，豎直方向

7、為y軸。對圖在a)、 b) 、c) 中M點都有， ， .題4-7圖4-7 圖示滑道連桿機構(gòu)。已知m；m，滑道連桿BC繞軸B按的規(guī)律轉(zhuǎn)動（以rad計）。試求滑塊A的速度和加速度。解： 如右圖所示。以B為極點和BO為極軸建立極坐標系，則A點的運動方程為 ， .A點的速度為， . A點的加速度為， . .也可以用直角坐標法求解，并求出A點地切向和法向加速度。4-8 如圖所示，一直桿以繞其固定端O轉(zhuǎn)動，其中為常量。沿此桿有一滑塊以勻速滑動。設(shè)運動開始時，桿在水平位置，滑塊在O點，試求滑塊的軌跡（以極坐標表示）。題4-8圖解： 以O(shè)為極點，水平方向為極軸，點M的運動方程為， 消去時間t，得到滑塊以極坐標

8、表示的軌跡方程為 .4-9 點在平面上運動，其軌跡的參數(shù)方程為 ，設(shè)時，；坐標s的起點和時點的位置一致，s的正方向相當于x增大的方向。試求軌跡的直角坐標方程、點沿軌跡運動的方程、點的速度和切向加速度與時間的函數(shù)關(guān)系。解：由運動方程消去t，得軌跡方程：，（） 時，由 ，積分得點的運動方程 ； 點的速度和加速度在軌跡切線上的投影為： ， .4-10 點沿平面曲線軌跡向x、y增大的方向運動，其中x、y的單位皆為m，速度大小為常量。求動點經(jīng)過處時，其速度和加速度在坐標軸上的投影。解：點的切向加速度和法向加速度為 ， ；式中 ， ， 當時， ，有 ， ， 當時點的速度和加速度在坐標軸上的投影為： ，題4

9、-11圖4-11 如圖所示，曲柄CB以等角速度繞C軸轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)動方程為。通過滑塊B帶動搖桿OA轉(zhuǎn)動。設(shè)，。求搖桿轉(zhuǎn)動方程。解：由題圖所示： 由此解出桿的轉(zhuǎn)動方程為 4-12 已知圖示機構(gòu)的尺寸如下：；。如輪按（單位為rad）的規(guī)律轉(zhuǎn)動，求當s時，桿AB上的點M的速度和加速度。題4-12圖解： 點M與點A有相同的速度和加速度， 即 題4-13圖4-13 機構(gòu)如圖所示，假設(shè)AB桿以勻速u運動，開始時。試求當時，搖桿OC的角速度和角加速度。解： OC桿轉(zhuǎn)角滿足， 對時間t求導得， 將 代入得 題4-14圖， . 負號表示與方向相反。 4-14 紙盤由厚度為的紙條卷成，令紙盤的中心不動，而以等速v拉紙

10、條。求紙盤的角加速度（以半徑r的函數(shù)表示）。解： 設(shè)紙盤在t=0時刻的初始半徑為R，則在t時 刻紙盤減少的面積為 將以上兩式分別對時間求導，得 紙盤的角加速度 .題4-15圖4-15 圖示滾子傳送帶，已知滾子的直徑，轉(zhuǎn)速為。求鋼板在滾子上無滑動運動的速度和加速度，并求在滾子上與鋼板接觸點的加速度。解： 設(shè)鋼板上的點與滾子上的點接觸，鋼板平動速度鋼板加速度 滾子上點的加速度 ， 題4-16圖4-16 圖示機構(gòu)中，桿AC以勻速沿水平導槽向右運動，通過滑塊A使桿OB繞O軸轉(zhuǎn)動。已知O軸與導槽相距h。試求桿OB的角速度和角加速度。解： OA桿轉(zhuǎn)角滿足， 對時間t求導得，其中 ， ， . 題4-17圖4-17 小環(huán)A沿半徑為R的固定圓環(huán)以勻速運動，帶動穿過小環(huán)的擺桿OB繞O軸轉(zhuǎn)動。試求OB的角速度和角加速度。若，試求B點的速度和加速度。解： 設(shè)角ADC為，由題義知， 因D為圓心，有角AOC=ADC，設(shè)角AOC為，則OB桿的角速度為 角加速度求B點速度和加速度:以O(shè)為原點取直角坐標系，B坐標為B點的速度為B點的加速度為題4-18圖 4-18 長度為的細桿可繞O軸轉(zhuǎn)動，其端點A緊靠在物塊B的側(cè)面上。若B以勻速向右運動，試求桿OA的角速度和角加速度。解： 設(shè)初始位置OA桿為垂直位置，在t時刻OA桿與水平線夾角為，由圖示幾何關(guān)系有