CEV模型下有交易成本的期權(quán)定價(jià)

1、CEV模型下有交易成本的期權(quán)定價(jià)CEV 模型下有交易成本的期權(quán)定價(jià) 秦洪元 鄭振龍 (廈門大學(xué)金 融系 廈門 361005 ) Option Pricing with Transaction Costs under CEV Model Hongyuan Qin Zhenlong Zheng (Department of Finance, Xiamen University, Xiamen, 361005) 作者簡(jiǎn)介 : 秦洪元：廈門大學(xué)金融系 廈門 361005電子信箱：hongyuanqinsohu4>>研究方向?yàn)榻鹑诠こ獭Ｍㄐ诺刂罚簭B門大學(xué) 1131 信箱，郵政編碼： 3610

2、05；： 0597><2<2576016，13159<270558； 電子信箱： hongyuanqinsohu>。鄭振龍：廈門大學(xué)金融系 廈門 361005 ；研究方向?yàn)橘Y產(chǎn)定價(jià)、金融工程和風(fēng)險(xiǎn)管理。聯(lián)系地址：廈門大學(xué)金融系，361005； 059<2- <2186633,電子信箱 。個(gè)人 主頁(yè)： /.基金項(xiàng)目：本文受教育部人文社科基地重大項(xiàng)目(05JJD7900<26 資助CEV模型下有交易成本的期權(quán)定價(jià)內(nèi)容摘要Black &amp; Scholes 和Me

3、rton 的兩篇開創(chuàng)性論文對(duì)完全市場(chǎng)下無(wú)摩擦的期權(quán)定價(jià)進(jìn)行了研究,而不完 全市場(chǎng)下的期權(quán)定價(jià)一直是學(xué)界和業(yè)界都很關(guān)注的問題。 假定股票價(jià)格遵循 CEV 過程,研究存在比例交易成本時(shí)歐式看漲期權(quán)的定價(jià),給出了在股價(jià)遵循CEV過程時(shí)有交易成本的期權(quán)價(jià)格的數(shù)值計(jì)算方法,并顯示了數(shù)值結(jié)果。 關(guān) 鍵 詞 CEV過程 交易成本 期權(quán) 效用無(wú)差異 中圖分類號(hào)：F830.91 Option Pricing with Transaction Costs under CEV Model Abstract:The optionpricing under complete market has been studie

4、d by two seminal papers ofBlack &amp; Scholes and Merton. The option pricing under incomplete market is always the focus of academic and practical fields. In this paper the pricing problem of European call is studied when there are proportionaltransaction costs. Suppose that stock price follows

5、constant elasticity of variance(CEV) process, we present the numerical computing approach of option pricing with proportional transaction costs. And the result is illustrated. Keywords: CEV Process; Transaction Costs; Option; Utility Indifference JEL classification: C61, G11, G13 一 引言 期權(quán)定價(jià)理 論的突破開始于

6、Black 和 Scholes(1973) 及 Merton(1973) 的兩篇開創(chuàng)性論文。 他 們應(yīng)用無(wú)套利原理給出了期權(quán)的定價(jià)公式。 然而在資本市場(chǎng)出現(xiàn)交易成本時(shí)因?yàn)?完美復(fù)制不再適用，因此無(wú)套利論證不再有效。由于幾何布朗運(yùn)動(dòng)的無(wú)限變化， 不論交易成本多么小， 連續(xù)復(fù)制策略在任何區(qū)間都將招致無(wú)限的交易成本。 因此 對(duì)于有交易成本的期權(quán)定價(jià)與保值問題， 許多學(xué)者建議了大量的方法， 其中的大 多數(shù)關(guān)注復(fù)制或超復(fù)制期權(quán)回報(bào)的“金融工程”問題 ( 如 Leland(1985) ， Merton(1990) ，Boyle 和 Vorst(199<2) ，Bensaid 等(199<2)

7、，Edirisinghe 等 (1993) 等文獻(xiàn)) 。這些方法主要是無(wú)偏好模型，在這些模型里不論是否最優(yōu)，在 離散時(shí)間區(qū)間內(nèi)都發(fā)生重保值。然而，常識(shí)告訴我們“最優(yōu)”的保值策略應(yīng)該在 風(fēng)險(xiǎn)和復(fù)制成本之間達(dá)到最可能的權(quán)衡。 意識(shí)到不同投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好不同， 因 此在期權(quán)定價(jià)與保值里，考慮投資者對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度就顯得十分必要。 經(jīng)濟(jì)學(xué) 家使用確定性等價(jià)和等邊際效用原理已經(jīng)有很多年了。 最近，這些概念被應(yīng)用到 衍生證券定價(jià)領(lǐng)域。 現(xiàn)代金融通常利用一個(gè)效用函數(shù)來(lái)描述風(fēng)險(xiǎn)。 預(yù)期效用理論 聲稱個(gè)體好像最大化某個(gè)可能結(jié)果的某個(gè)效用函數(shù)的期望那樣行為。 Hodges 和 Neuberger(1989) 基于這

8、個(gè)理論開創(chuàng)了期權(quán)定價(jià)與保值方法。 Davis 等(1993) 對(duì) 一個(gè)僅有比例交易成本的市場(chǎng)詳細(xì)發(fā)展了 Hodges 和 Neuberger(1993) 模型。在 一個(gè)有比例交易成本的市場(chǎng)里，基于效用的期權(quán)定價(jià)方法的研究進(jìn)一步由Clewlow 和 Hodges(1997)、Damgaard(<2003 <2006)、Monoyios (<2004)等發(fā) 展。但在這些文獻(xiàn)里，他們都假設(shè)股票價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)。誠(chéng)如所知，對(duì)數(shù) 正態(tài)假定并沒有取得股票價(jià)格和股票指數(shù)的實(shí)證檢驗(yàn)， 因此，作為替代方法的隨機(jī)過程就受到了關(guān)注并廣泛地應(yīng)用到期權(quán)定價(jià)， 例如 Cox 和 Rubinstein

9、(1985) 就對(duì) CEV(CEV： Constant Elasticity of Variance ，常方差彈性)過程作了研究。近幾年來(lái)國(guó) 內(nèi)也有一些學(xué)者關(guān)注 CEV過程，肖建武等(<2004, <2005, <2006)為養(yǎng)老基金的 管理建立了 CEV模型，吳云和何建敏(<2003)利用二叉樹為股價(jià)服從CEV過程的 幾何亞式期權(quán)進(jìn)行了定價(jià)，杜雪樵和丁華 (<2006)用有限差分方法為股價(jià)服從 CEV的二值期權(quán)定價(jià)進(jìn)行了數(shù)值研究。但就作者所知，將交易成本引入到CEVS程的研究還十分鮮見，本文將比例交易成本引入到 CEV過程，詳細(xì)給出了在股價(jià) 遵循CEV過程時(shí)含有

10、交易成本的期權(quán)數(shù)值計(jì)算步驟和方法，并且給出了數(shù)值計(jì)算結(jié)果。本文結(jié)構(gòu)如下：第一節(jié)是引言；第二節(jié)介紹利用效用最大化的期權(quán)定價(jià)； 第三節(jié)引入交易成本； 第四節(jié)引入指數(shù)效用函數(shù)； 數(shù)值計(jì)算方法和數(shù)值結(jié)果在第 五節(jié)給出； 最后是結(jié)論。二 利用效用最大化的期權(quán)定價(jià) 在這一節(jié)， 首先介紹一下基于效用最大化的期權(quán)定價(jià)方法。在一個(gè)時(shí)間區(qū)間 0,T ，考慮一個(gè)股票 價(jià)格S(t)，假定它是給定概率空間(Q ,F,P)上的隨機(jī)過程。投資者也能以現(xiàn)金 形式保存他們的資金，也就是說一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，用B表示。在0時(shí)刻，我們希望對(duì)一個(gè)T時(shí)刻執(zhí)行的關(guān)于股票S(t)的歐式期權(quán)給出一個(gè)可行的價(jià)格。讓F(B) 表示一個(gè)在0時(shí)刻具有現(xiàn)

11、金量B且不持有股票的投資者可行的交易策略集。指nn n定一個(gè)具有隨機(jī)過程(B(t),y(t),t 0,T的元素n F(B)，這里B(t)表示現(xiàn)金持有n量，y(t)表示股票持有量，交易可能產(chǎn)生交易成本。特別地，c(y,S) 是股票數(shù)量y的清算現(xiàn)金值，也就是說，當(dāng)多頭(y&gt;0 )清空，空頭(y&lt;0 ) 平掉時(shí)的剩余現(xiàn)金值，我們令 c(0,S)=0 。 一個(gè)關(guān)于股票 S(t) 的期權(quán)是在時(shí)刻 T 以執(zhí)行價(jià)格K買一份股票的權(quán)利，執(zhí)行價(jià)格K可能是常數(shù)(在簡(jiǎn)單的看漲期權(quán)情 形)，或更一般地，是一個(gè)F可測(cè)隨機(jī)變量(允許更奇異 T的情形，像回溯期權(quán))。假定期權(quán)賣家為了保值期權(quán)形成一

12、個(gè)組合，并且在時(shí)刻T清算這個(gè)組合 讓(B,y,S)相應(yīng)地表示在時(shí)刻T的現(xiàn)金，股票持有量和股票價(jià)格。如果 S(T) < K, 期權(quán)不被執(zhí)行， 組合的現(xiàn)金值是 B+c(y,S) ；如果 S(T)&gt;K ，那么買家支付賣家 現(xiàn)金K,賣家交割一份股票給買家。交易發(fā)生后賣家的組合值是 B+K+c(y?1,S)。 讓u:-是賣家的效用函數(shù)，該函數(shù)凹，并且單調(diào)上升。 u(x)對(duì)正和負(fù)的x都 有定義?，F(xiàn)在定義如下的值函數(shù)：n n V(B)=sup E u(B(T)+lc(y(T),S(T) w(S(T) < K) n F(B) n +lc(y(T)?1,S(T)+K)(1) (S(T)

13、&gt;K)這里 E 表示期望，I是事件A的示性函數(shù)。假定對(duì)所有的B , V(B)&lt; %,并且V(B)Aww是B的一個(gè)連續(xù)單調(diào)上升函數(shù)。注意V(B)是給定初始稟賦B,賣家通過清算他的 組合來(lái) w 償付他對(duì)買家的債務(wù)后，在時(shí)刻 T 可達(dá)到的最大效用?，F(xiàn)在定義 B=inf:V(B) >0(<2) wwn F(B)賣家因此在以下兩種情形下無(wú)差異：(a)什么都不作，(b)接受B，賣期權(quán)。讓w n n V(B)=sup E u(B(T)+c(y(T),S(T)(3) 1n F(B)定義初始稟賦 B 為：1B=inf:V(B)> 0(4)11n F(B)直觀上，？?

14、B可以認(rèn)為賣家準(zhǔn)備進(jìn)入市場(chǎng)的“入門費(fèi)”。期權(quán)賣價(jià)因此可 以由B與B的差1w1給出：p=B?B(5)ww1在這個(gè)價(jià)格，賣家進(jìn)入市場(chǎng)保值他的期權(quán)和進(jìn)入自己的帳戶在效用相等意義 下沒有差異。 三 有交易成本的市場(chǎng) 下面考慮由一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券和風(fēng)險(xiǎn)股票 組成的市場(chǎng)。 債券價(jià)格滿足如下的常微分方程：dB(t)=rB(t)dt 股票價(jià)格S(t)，這里假定它遵循CEV過程： 丫 dS(t)=卩S(t)dt+ (TS(t)dW(t),0&lt;丫三 1(7)這里W(t):0 < t < T是一個(gè)定義在完全概率空間(Q,F,P)上的一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，r,卩，c，丫分別表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利 率、股票增長(zhǎng)

15、率、常數(shù)和方差彈性系數(shù)。交易股票招致比例交易成本，也即在價(jià) 格S購(gòu)買v股股票減少債券持有財(cái)富(1+入)vS，這里入(0 w入&t;1)表示bbb和購(gòu)買股票相結(jié)合的比例交易費(fèi)用比率。類似地，在價(jià)格S賣v股股票增加債券持有財(cái)富(1?入)vS，這里入(0 w入&t;1)表示和賣股票相結(jié)合的比例交易費(fèi)用 比率。在其他所有的方 sss 面假定市場(chǎng)是“完美”的?？紤]兩個(gè)控制組合選擇的函數(shù)： L(t) 和 M(t) ，分別是在時(shí)刻 t 買或賣股票 的累計(jì)數(shù)量，可以寫作如下的形式：tL(t) = l(T )d T(8)/ 0tM(t)=m( t )d t(9)/ 0 這里 I和m有上界k (k

16、&It; %),在連續(xù)時(shí)間下控制債券、股票數(shù)量和股價(jià)的微分方程 是：dB(t)=rB(t)?(1+ 入)S(t)dL(t)+(1? 入)S(t)dM(t)(10)bsdy(t)=dL(t)?dM(t)(11)丫dS(t)=卩 S(t)dt+ (T S(t)dW(t)(1<2) (10)(1<2)是具有漂移項(xiàng)的隨機(jī)微分方程，現(xiàn)在可以得到對(duì)于值函數(shù) V和V的控制 方程，即 w1+k對(duì)于(t,B,y,S) 0,T x Rx Rx R的 Bellman 方程 V(j=1,w)是：j kkkk?V?V?2?V?V?2?jjjjmax?(1+ 入 )SI?(1?入)Sm?2?bs0wl

17、,mwkyByB?kkk<2k?V?V?V?V1jjjj<2<2 丫 +rB+ 卩 S+ c S=0 (13) <2?t?B?S<2?Skkkk?V?V?V?Vjjjj 令 f=?(1+ 入)S,f=?(1?入)S 1b<2syByB則最優(yōu)交易策略由如下的三種情形確定。(1) f >O,f&gt;O ，最大化通過l=k,m=0得到；1<2 (<2) f&lt;0,f w 0，最大化通過l=0,m=k得到； 1<2 (3) f w0,f > 0,最大化通過l=0,m=0得到。1<2因?yàn)橹岛瘮?shù)是B和y的上 升函

18、數(shù)，因此所有其他的組合都不可能成立。上面的結(jié)果表明優(yōu)化問題是一個(gè)定義在投資者四維狀態(tài)空間的自由邊界問題，最優(yōu)交易策略由上面的三組不等式給出， 狀態(tài)空間相應(yīng)地也被分成三個(gè)區(qū)域， 分別稱為買區(qū)域、 賣區(qū)域和不交 易區(qū)域，分別對(duì)應(yīng)以上三種情形。顯然，因?yàn)橥瑫r(shí)買賣不是最優(yōu)的，因此買區(qū)域 和賣區(qū)域不相交。不交易區(qū)域和買賣區(qū)域的邊界分別用？?B和?S表示。當(dāng)k-X時(shí)，可行的交易策略集便是對(duì)應(yīng)于方程(10) (1<2)中的某對(duì)右連續(xù)F可測(cè)上 升t n n過程(L(t),M(t) 的二維右連續(xù)可測(cè)過程(B(t),y(t) 的可行的交易策略 集。狀態(tài)空間仍被分成買區(qū)域、 賣區(qū)域和不交易區(qū)域， 如果狀態(tài)在買

19、區(qū)域或者賣區(qū)域， 最優(yōu) 交易策略立即交易到買區(qū)域或者賣區(qū)域的邊界？?B或？?S。因此，每個(gè)值函數(shù)滿足如下的方程集； (1) 在買區(qū)域，值函數(shù)沿著由最優(yōu)交易策略決定的狀態(tài)路徑 保持 不變， 因此 V(t,B,y,S)=V(t,B?(1+ 入)S l,y+ l,S) (14) jjb 讓厶I 0,則上式變?yōu)椋?V?Vjj?(1+入)S=0 byB(<2) 類似地，在賣 區(qū)域， 值函數(shù)沿著由最優(yōu)交易策略決定的狀態(tài)路徑保持不變， 因此 V(t,B,y,S)=V(t,B+(1? 入)S l,y? I,S)(15) jjs讓厶 I0,則上式變?yōu)椋?V?Vjj?(1?入)S=0 syB(3)在不交易區(qū)

20、域，值函數(shù)遵循從 絕對(duì)連續(xù)交易策略類得到的同樣的方程， 因此值函數(shù)由下式給出： v2?V?V?V?V1jjjj<2<2 丫 +rB+ 卩 S+ S=0(16)<2?t?B?S<2?S 注意：由于值函數(shù)的連續(xù)性， 如果在非交易區(qū)域它是已知 的，則相應(yīng)地，通過 (14)和(15)能夠決定在買區(qū)域和賣區(qū)域的值函數(shù)。 因此， 上 面 的 等 式 集 壓 縮 為 如 下 的 完 全 非 線 性 偏 微 分 方 程 ：？V?V?V?V?2?2?jjjjmax?(1+ 入)S,?(1?入)S ?2?b?s?yByB?<2VVVV?1?jjjj<2<2 丫 +rB+

21、卩 S+(T S=0(17) ?<2?t?B?S<2?S? 四 指數(shù)效用下的期權(quán)定價(jià)為了計(jì)算上面的偏微分方程，必須指定一個(gè)效用函數(shù)。遵循Hodges和 Neuberge(1989)和Davis等(1993)方法，設(shè)投資者的效用函數(shù)是具有固定風(fēng)險(xiǎn)厭 惡系數(shù) a 的指數(shù)形式：u(W)=1?exp(? a W)(18) 利用指數(shù)形式的效用函數(shù)，投資者的最優(yōu)交易策略獨(dú)立于他持有的無(wú)風(fēng)險(xiǎn) 財(cái)富。使用指數(shù)形式的效用函數(shù)，主要是為了簡(jiǎn)化優(yōu)化問題的維數(shù)。令Q(t,y,S)=1?V(t,0,y,S)，則Q(t,y,S)是y和S的凸的，單調(diào)非上升的連續(xù)jjj函 數(shù)， 因 此？B?2V(t,B,y,S)

22、=1?exp? a Q(t,y,S)(19) ?j S (T,t)?這里S (T,t)=exp(?r(T?t) 是貼現(xiàn)因子，變換后的偏微分方程 為 ：？Q?Q a + 入 S? a入S?2(1)(1)?jjbsmin+Q,?+Q ?2j?j?r(T?t)?r(T?t)yeye?<2Q ?1?陽(yáng)<2<2 丫 + 卩 s+ c S=0(<20) ?<2?t?S<2?S? 滿足邊 界 條 件 ：Q(t,y,S)=exp(?a c(y,S)(<21) 1Q(t,y,S)=exp(? a lc(y,S)+lc(y?1,S)+K)(<2<2) w(S&

23、lt;K)(S&gt;K) 期權(quán)賣價(jià)由如下 Q(t,0,S) 和 Q(t,0,S) 的顯式函數(shù)給出： 1w?2S (T,t)Q(t,0,S)wp=ln(<23) w?aQ(t,0,S)?1? 五 數(shù)值實(shí)施與計(jì)算結(jié)果 (一)數(shù)值計(jì)算方法 為了數(shù)值計(jì)算 期權(quán)價(jià)格，利用 Nelson & amp; Ramaswamy(1990)建議的二叉樹方法來(lái)逼近上面 介紹的連續(xù)時(shí)間市場(chǎng)模型。債券價(jià)格遵循如下的離散時(shí)間過程：B(t)+ S B(t)三B(t+ S t)=exp(r? S t)B(t)(<24)為了使股票價(jià)格能夠形成重組合簡(jiǎn)化二叉樹，為此引入如下的X變換：1? 丫 ss?

24、1? 丫 X(s)三c ZdZ=(<25)/ 0c (1? 丫)定義 x=X(s)，逆變換由下式 給出： 001(1? 丫 )? c (1? 丫)x,x&gt;0S(x)三(<26) ?20,x < 0?在 CEV過程里，由于允許異方差的存在，因此在波動(dòng)率非常 小而漂移率不是太小的情況下， 需要允許多步跳躍以匹配極限擴(kuò)散情形下的漂移 率。為此定義跳躍步數(shù)為：最小的，奇的，正整數(shù)j使得?+J(x,t)三(<27) ?2hr?hS(x+jh,t+h)?eS(x,t)> 0?最小的，奇的，正整數(shù) j 使得?J(x,t)三(<28) ?2hr?hS(x?jh

25、,t+h)?eS(x,t)< 0?+這里J(x,t)是上跳的最小數(shù)量使得上跳的概率p小于1;它是奇的使得跳躍在存在的樹節(jié) hh?點(diǎn)上移動(dòng)。 同樣地， J(x,t) 有類似的含義。h定義函數(shù)+S(x+Jh,t+h)= 3 S(x,t)(<29) hh?S=S(x?Jh,t+h)= 3 S(x,t)(30) hh與之相應(yīng)的概率為r?h?S(x,t)e?S(x,t)+hS&gt;0?h+?S(x,t)?S(x,t)p=(31) ?2hhh?+0,Sw 0?h 利用離散時(shí)間的動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，對(duì)偏微分方程(17)進(jìn)行如下的離散方案：p p ?( p )V?V=0(3<2)jj這里

26、？?( p )是一個(gè)算子，有下式給出：p p ?( p )V=maxV( I ,B?(1+入)S l,y+ l,S), jjb pV(i ,B+(1?入)S l,y? l,S), js pE V(+h,Bexp(r? t),y, co S)(33)j+?其中：h 是時(shí)間離散步長(zhǎng)， l表示每次交易可以改變的最少數(shù)量。3取值3和3,概率p分別是P和1?p。Davis等(1993)證明了當(dāng)h-0時(shí)，(33)的解V收斂于V。hhj利用指數(shù) 函數(shù) 減少 維 數(shù) ， (33) 所 表 示 的 離 散 動(dòng) 態(tài) 規(guī) 劃 問題 可以 簡(jiǎn)化 為： Q( i ,y,S)=minF( i , l,S) X Q( i

27、,y+ l,S), jbjF( i , l,S) X Q( i ,y? l,S), E Q( i +h,y? l, 3 S)(34) sjj 這里，F(xiàn)( i , l,S)=exp( a (1 +入) l? B ( i )，F(xiàn)( i , l,S)=exp(? a (1?入) l? B ( i )，bbss 其中 B (i )=exp(r?(T? i )。在i =T的邊界條件由前面的(<21)和(<2<2)給出。因?yàn)?在連續(xù)時(shí)間情形， 如果值函數(shù)在非交易區(qū)域是已知的， 那么在買區(qū)域和賣區(qū)域的 值能通過離散形式(14)*和(15)給出。假定y的最優(yōu)值是y,在這里買 I是最 優(yōu)的，而

28、在y=y+A l，不交易是最 bb優(yōu)的，那么 Q( i ,y,S)通過下式確定： j*Q( i ,y,S)=F( i ,y?y,S) X Q(i ,y,S),y&lt;(35)jbbjbb* 類似地，對(duì)于 y&gt;y 能得出一個(gè)類似的方程， 最后歐式期權(quán)的賣價(jià)由下 式給出： b?exp(r(T I )Q( i ,0,S?2?)wP( i ,S)=ln(36)w?a Q（,0,S）?1?這是（<23）式的離散時(shí)間形式。 （二）數(shù)值結(jié)果 對(duì)于如上 表述的數(shù)值方法，利用MATLAB編程進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算所用參數(shù)為：到期日取為T=4/1<2年，即4個(gè)月；股票初始價(jià)格取為 S=

29、4Q無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.05 ;為了便 于0比較，股票波動(dòng)率設(shè)為使得在當(dāng)前股票價(jià)格 S下的年標(biāo)準(zhǔn)化波動(dòng)率（T ?=0.3 , 也就是說當(dāng)股0丫票初始價(jià)格為S時(shí)，c ?S=Sc。表1對(duì)應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)a =0.1， 方差彈性系數(shù)丫 =0.87500時(shí)不同交易費(fèi)用比率下（假定買賣股票的交易比率相 同，即入=入分別取值為0、0.005、bs0.1和0.<2時(shí)）的歐式期權(quán)賣價(jià)；表<2 對(duì)應(yīng)交易費(fèi)用比率為入=入=0.005，方差彈性系數(shù)bs 丫 =0.875時(shí)不同風(fēng)險(xiǎn)厭惡系 數(shù)下（即a =0.1和a =0.<2）的歐式期權(quán)賣價(jià)；表3對(duì)應(yīng)交易費(fèi)用比率為入=入 =0.005，風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)a =

30、0.1時(shí)不同方差彈性下（即丫 =0.875和bSY =0.5 ）的歐式期權(quán)賣價(jià)。表1不同交易費(fèi)用比率下的期權(quán)賣價(jià)執(zhí)行價(jià)格3035404550 無(wú) 交 易 成 本10.59886.<28<203.067<21.<250<20.4183交易費(fèi)用比率為 0.00510.6858 6.4<25<2 3.<23851.390<2 0.4938交易費(fèi)用比率為10.7638 6.53103.34911.48<270.5509交易費(fèi)用比率為 0.0<210.919<20.6586 表<2執(zhí)行價(jià)格303540 45厭惡系數(shù)為 0.11

31、0.6858 6.4<25<20.016.7<2953.54141.6454不同風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)下的期權(quán)賣價(jià)50風(fēng)險(xiǎn)3.<23851.390<20.4938 風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)為 0.<21.48710.5<24<2 表 3期權(quán)賣價(jià)11.<2096 6.8386 3.4775不同方差彈性下的執(zhí)行價(jià)格30 35404550方差彈性為 0.87510.68586.4<25<23.<23851.390<20.4938 方 差 彈 性 為 0.510.7<237 6.4738 3.<2364 1.3341 0.4<2

32、61 六 結(jié)論本文在基于效用最大化的基礎(chǔ)上，將交易成本引入到CEV過程，詳細(xì)給出了 在此情況下的效用無(wú)差異賣價(jià)的定價(jià)方法， 并且給出了數(shù)值計(jì)算結(jié)果。 正如第一 節(jié)所介紹的， 雖然對(duì)于處理含有交易成本的期權(quán)定價(jià)問題， 很多學(xué)者建議了大量 的方法，但效用無(wú)差異定價(jià)也許是解決不完全市場(chǎng)下期權(quán)定價(jià)方法中可能最有希 望取得成功的方法。本文給出了在股票價(jià)格遵循CEV過程時(shí)期權(quán)賣價(jià)的定價(jià)方法，然而還有許多問題有待進(jìn)一步解決， 例如對(duì)于美式期權(quán)的定價(jià)， 在效用無(wú)差 異下的均衡價(jià)格，不同形式的效用函數(shù)等等。這些問題將是進(jìn)一步研究的方向。參考文獻(xiàn)：杜雪樵、丁華，<2006, CEV模型下兩值期權(quán)的數(shù)值解，南

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