教學(xué)內(nèi)直線與平面垂直的判定容

1、教學(xué)內(nèi)容：直線與平面垂直的判定和性質(zhì) 【基礎(chǔ)知識精講】1.直線與平面垂直的判定定義  直線a與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，叫做a垂直于，記為a.注意把直線和平面的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線和直線的關(guān)系.判定  如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面.m，n，MNA,lm,lnl如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這一個平面.ab，ab2.直線與平面垂直的性質(zhì)定理性質(zhì)  如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.a，bab.是證明線線平行的又一種方法.3.點、直線和平面的距

2、離點到平面的距離：從平面外一點引一個平面的垂線，這個點和垂足間的距離.直線和平面的距離：一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到平面的距離.注意：一條直線上有兩點到平面的距離相等時，這條直線可以和平面相交，利用直線和平面的距離可間接求兩異面直線間的距離.4.平面的垂線、斜線、射影自一點向平面引垂線，垂足叫做這點在這個平面上的射影，這個點與垂足間的線段叫做這點到這個平面的垂線段.一條直線和平面相交但不垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線與平面的交點叫做斜足，斜線上一點與斜足間的線段叫做這點到該平面的斜線段.過斜足以外的點引平面的垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影，垂足和斜足

3、間的線段叫做這點到平面的斜線段在這個平面上的射影.從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中：射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長；相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長；垂線段比任何一條斜線段都短.5.直線和平面所成的角平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角，若直線垂直于平面，則成直角，若直線在平面內(nèi)或平行于平面，我們規(guī)定為0°角，從而任意一條直線與平面成角的取值范圍為0°，90°特別指出的是：斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角.6.三垂線定理及逆定理三垂線定理在

4、平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直；三垂線定理的逆定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直.必須弄清定理中一面四線：基礎(chǔ)平面、平面的垂線、斜線及斜線在平面上的射影.它們有三種垂直關(guān)系：即垂線PA和平面的垂直關(guān)系；射影AB和直線a的垂直關(guān)系；斜線PB和直線a的垂直關(guān)系.a在平面內(nèi)，但定理與a在的位置無關(guān)，因此要掌握a在的不同位置的情況.熟練掌握三垂線定理及其逆定理，善于在各種空間復(fù)雜的圖形中找出符合三垂線定理的面以及該面的垂線，從而應(yīng)用于證明線線垂直，計算點線距離、線面交角以及二面角的平面角等，并理解cos的由來

5、也能酌情加以應(yīng)用. 【重點難點解析】本課的重點是：線面垂直定義，判定定理及性質(zhì)定理，應(yīng)牢固掌握并熟練應(yīng)用：直線與平面所成角及線面間距離，射影定理，三垂線定理及逆定理應(yīng)能應(yīng)用與掌握.線面垂直的定義及判定定理和性質(zhì)定理的證明是本課的難點.學(xué)習(xí)本節(jié)注意體會反證法的證明思路.例1  已知矩形ABCD，過A作SA平面AC，再過A作AESB交SB于E，過E作EFSC交SC于F(1)求證：AFSC(2)若平面AEF交SD于G，求證：AGSD分析  如圖，欲證AFSC，只需證SC垂直于AF所在平面，即SC平面AEF，由已知，欲證SC平面AEF，只需證AE垂直于

6、SC所在平面，即AE平面ABC，再由已知只需證AEBC，而要證AEBC，只需證BC平面SAB，而這可由已知得證證明  (1)SA平面AC，BC平面AC，SABC矩形ABCD，ABBCBC平面SABBCAE又SBAE  AE平面SBCSC平面AEFAFSC(2)SA平面AC  SADC，又ADDCDC平面SAD  DCAG又由(1)有SC平面AEF，AG平面AEFSCAG  AG平面SDC  AGSD 例2  已知四面體ABCD，AO1平面BCD，

7、且O1為BCD的垂心.BO2平面ACD，求證：O2是ACD的垂心.證明  如圖所示，連結(jié)BO1，AO2，AO1平面BCD，O1為BCD的垂心，BO1CD，由三垂線定理得ABCD.又BO2平面ACD，由三垂線逆定理得AO2CD.同理連結(jié)DO1，CO2可證BCAD，即CO2AD.O2是ACD垂心. 例3  正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面三條對角線AB1、BC1、CA1中，AB1BC1.求證：AB1CA1.證  方法1  如圖，延長B1C1到D，使C1DB1C1.連CD、A1D.因AB1BC1，故AB1CD；

8、又B1C1A1C1C1D，故B1A1D90°，于是DA1平面AA1B1B.故AB1平面A1CD，因此AB1A1C.方法2  如圖，取A1B1、AB的中點D1、P.連CP、C1D1、A1P、D1B，易證C1D1平面AA1B1B.由三垂線定理可得AB1BD1，從而AB1A1D.再由三垂線定理的逆定理即得AB1A1C.說明  證明本題的關(guān)鍵是作輔助面和輔助線，證明線面垂直常采用下列方法：(1)利用線面垂直的定義；(2)證明直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線；(3)證明直線平行于平面的垂線；(4)證明直線垂直于與這平面平行的另一平面.例4 

9、60;已知：正三棱柱ABCABC中，ABBC，BC2，求：線段AB在側(cè)面上的射影長.解  如圖，取BC的中點D.ADBC，側(cè)面底面ABC，AD側(cè)面是斜線AB在側(cè)面的射影.又ABBC，BC.設(shè)BBx，在Rt中，BEBD，.E是BBC的重心.BEBCx·，解得：x.線段AB在側(cè)面的射影長為. 例5  平面外一點A在平面內(nèi)的射影是A，BC在平面內(nèi)，ABA，ABC，求證:coscos·cos.證明  過A作BC于C，連AC.AA平面，BC垂直AC在平面內(nèi)的射線. BCAC，cos.又cos,cos，co

10、scos·cos.例6  ABC在平面內(nèi)的射影是ABC，它們的面積分別是S、S，若ABC所在平面與平面所成二面角的大小為(090°，則SS·cos.證法一 如圖(1)，當(dāng)BC在平面內(nèi)，過A作ADBC，垂足為D.AA平面，AD在平面內(nèi)的射影AD垂直BC.ADBC.ADA.又SAD·BC，SAD·BC，cos,SS·cos.證法二  如圖(2)，當(dāng)B、C兩點均不在平面內(nèi)或只有一點(如C)在平面內(nèi)，可運用(1)的結(jié)論證明SS·cos. 【難題巧解點撥】例1  求

11、證：端點分別在兩條異面直線a和b上的動線段AB的中點共面.證明  如圖，設(shè)異面直線a、b的公垂線段是PQ，PQ的中點是M，過M作平面，使PQ平面，且和AB交于R，連結(jié)AQ，交平面于N.連結(jié)MN、NR.PQ平面，MN，PQMN.在平面APQ內(nèi)，PQa,PQMN,MNa,a，又PMMQ，ANNQ，同理可證NRb,RARB.即動線段的中點在經(jīng)過中垂線段中點且和中垂線垂直的平面內(nèi). 例2  如圖，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90°，BAC30°，BC1，AA1，M是CC1的中點，求證：AB1A1M.分析：不難看出B1C1

12、平面AA1C1C，AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影.欲證A1MAB1，只要能證A1MAC1就可以了.證：連AC1，在直角ABC中，BC1，BAC30°，  ACA1C1.設(shè)AC1A1，MA1C1  tan,tg.cot(+)0,+90°  即AC1A1M.B1C1C1A1，CC1B1C1，B1C1平面AA1CC1，AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影.AC1A1M，由三垂線定理得A1MAB1.評注：本題在證AC1A1M時，主要是利用三角函數(shù)，證+90°，與常見的其他題目不太相同. 例

13、3  矩形ABCD，AB2，AD3，沿BD把BCD折起，使C點在平面ABD上的射影恰好落在AD上.(1)求證：CDAB；(2)求CD與平面ABD所成角的余弦值.(1)證明  如圖所示，CM面ABD，ADAB，CDAB(2)解：CM面ABDCDM為CD與平面ABD所成的角，cosCDM作CNBD于N，連接MN，則MNBD.在折疊前的矩形ABCD圖上可得DMCDCDCAABAD23.CD與平面ABD所成角的余弦值為 例4  空間四邊形PABC中，PA、PB、PC兩兩相互垂直，PBA45°，PBC60°，M為A

14、B的中點.(1)求BC與平面PAB所成的角；(2)求證：AB平面PMC.分析：此題數(shù)據(jù)特殊，先考慮數(shù)據(jù)關(guān)系及計算、發(fā)現(xiàn)解題思路.解    PAAB，APB90°在RtAPB中，ABP45°，設(shè)PAa，則PBa,ABa,PBPC，在RtPBC中，PBC60°,PBa.BC2a,PCa.APPC  在RtAPC中，AC2a(1)PCPA,PCPB,PC平面PAB，BC在平面PBC上的射影是BP.CBP是CB與平面PAB所成的角PBC60°，BC與平面PBA的角為60°.(2)由上知，PAP

15、Ba,ACBC2a.M為AB的中點，則ABPM，ABCM.AB平面PCM.說明  要清楚線面的垂直關(guān)系，線面角的定義，通過數(shù)據(jù)特點，發(fā)現(xiàn)解題捷徑. 例5  在空間四邊形ABCP中，PAPC，PBBC，ACBC.PA、PB與平面ABC所成角分別為30°和45°。(1)直線PC與AB能否垂直?證明你的結(jié)論；(2)若點P到平面ABC的距離為h，求點P到直線AB的距離.分析：主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用及線面角，點面間距離等概念應(yīng)用，空間想象力及推理能力.解  (1)AB與PC不能垂直，證明

16、如下：假設(shè)PCAB，作PH平面ABC于H，則HC是PC在平面ABC的射影，HCAB，PA、PB在平面ABC的射影分別為HB、HA，PBBC，PAPC.BHBC，AHACACBC，平行四邊形ACBH為矩形.HCAB，ACBH為正方形.HBHAPH平面ACBH.PHBPHA.PBHPAH，且PB，PA與平面ABC所成角分別為PBH，PAH.由已知PBH45°，PAH30°，與PBHPAH矛盾.PC不垂直于AB.(2)由已知有PHh,PBH45°BHPHh.PAH30°，HAh.矩形ACBH中，AB2h.作HEAB于E，HEh.PH平面ACBH，HEAB，由三

17、垂線定理有PEAB，PE是點P到AB的距離.在RtPHE中，PEh.即點P到AB距離為h.評析：此題屬開放型命題，處理此類問題的方法是先假設(shè)結(jié)論成立，然后“執(zhí)果索因”，作推理分析，導(dǎo)出矛盾的就否定結(jié)論(反證法)，導(dǎo)不出矛盾的，就說明與條件相容，可采用演繹法進行推理，此題(1)屬于反證法. 例6  平面內(nèi)有一個半圓，直徑為AB，過A作SA平面，在半圓上任取一點M，連SM、SB，且N、H分別是A在SM、SB上的射影.(1)求證：NHSB.(2)這個圖形中有多少個線面垂直關(guān)系?(3)這個圖形中有多少個直角三角形?(4)這個圖形中有多少對相互垂直的直線?分析：此題主要考查

18、直線與直線，直線與平面的垂直關(guān)系及論證，空間想象力.解  (1)連AM，BM.AB為已知圓的直徑，如圖所示.AMBM，SA平面，MB，SAMB.AMSAA，BM平面SAM.AN平面SAM，BMAN.ANSM于N，BMSMM，AN平面SMB.AHSB于H，且NH是AH在平面SMB的射影NHSB.(2)由(1)知，SA平面AMB，BM平面SAM.AN平面SMB.SBAH且SBHN.SB平面ANH.圖中共有4個線面垂直關(guān)系(3)SA平面AMB，SAB、SAM均為直角三角形.BM平面SAM，BMA，BMS均為直角三角形.AN平面SMB.ANS、ANM、ANH均為直角三角形.SB平面

19、AHN.  SHA、BHA、SHN均為直角三角形綜上所述，圖中共有10個直角三角形.(4)由SA平面AMB知：SAAM，SAAB，SABM；由BM平面SAM知：BMAM，BMSM，BMAN；由AN平面SMB知：ANSM，ANSB，ANNH；SB平面AHN知：SBAH，SBHN；綜上所述，圖中有11對互相垂直的直線. 例7  如圖，在棱長為a的正方體AC1中，M是CC1的中點，點E在AD上，且AEAD，F(xiàn)在AB上，且AFAB，求點B到平面MEF的距離.解法一：設(shè)AC與BD交于O點，EF與AC交于R點，由于EFBD所以將B點到面MEF的距離轉(zhuǎn)化為O

20、點到面MEF的距離，面MRC面MEF，而MR是交線，所以作OHMR，即OH面MEF，OH即為所求.OH·MROR·MC，OH.解法二：考察三棱錐BMEF，由VB-MEFVM-BEF可得h.點評  求點面的距離一般有三種方法：利用垂直面；轉(zhuǎn)化為線面距離再用垂直面；當(dāng)垂足位置不易確定時，可考慮利用體積法求距離. 例8  正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，求A1C1和平面AB1C間的距離.解法1  如圖所示，A1C1平面AB1C，又平面BB1DD1平面AB1C.故若過O1作O1EOB1于E，則OE1平面

21、AB1C，O1E為所求的距離由O1E·OB1O1B1·OO1，可得：O1E解法2：轉(zhuǎn)化為求C1到平面AB1C的距離，也就是求三棱錐C1AB1C的高h.由  VV，可得ha.解法3  因平面AB1C平面C1DA1，它們間的距離即為所求，連BD1，分別交B1O、DO1與F、G(圖中未畫出)。易證BD1垂直于上述兩個平面，故FG長即為所求，易求得FG.點評  (1)求線面距離的先決條件是線面平行，而求線面距離的常用方法是把它們轉(zhuǎn)化為求點面之間的距離，有時也可轉(zhuǎn)化為求面面距離，從本題的解法也可悟出求異面直線之間的距離的思路

22、. 【課本難題解答】1.已知：CD，EA，EB，求證：CDAB.2.求證：兩條平行線和同一條平面所成的角相等.已知：ab，aA1,bB1，1、2分別是a、b與所成的角.如圖，求證：12.證：在a、b上分別取點A、B.如圖，且AA1BB1，連結(jié)AB和A1B1.AA1BB1四邊形AA1B1B是平行四邊形.ABA1B1又A1B1  AB.設(shè)AA2于A2，BB2于B2，則AA2BB2在RtAA1A2與中  AA2BB2，AA1BB1RtAA1A2RtBB1B2AA1A2BB1B2即  12.3.經(jīng)過一個角的頂點引這個角所在平面的斜線

23、，如果斜線和這個角兩邊的夾角相等，那么斜線在平面上的射影是這個角的平分線所在的直線.已知：ABC,P,PBAPBC,PQ，Q，如圖.求證：QBAQBC證：PRAB于R，PSBC于S.則：PRBPSB90°.PBPB.PBRPBSRtPRBRtPSBPRPS點Q是點P在平面上的射影.QRQS又QRAB，QSBCABQCBQ 【命題趨勢分析】本節(jié)需要掌握直線和平面垂直的概念、判定定理、性質(zhì)定理、斜線在平面的射影的概念，直線和平面所成角的概念，能用上述概念、定理進行論證和解決問題.三垂線定理及逆定理在老教材中很受重視，在新教材中降了要求.此節(jié)知識是高考考查的重點之一，在大題，小題

24、中反復(fù)出現(xiàn)，與前后知識交叉考查，具有靈活多變的特點，應(yīng)予以高度重視. 【典型熱點考題】例1  如圖，E、F分別是正方體的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是        (要求：把可能的圖的序號都填上)解  四邊形BFD1E在正方體的一對平行面上的投影圖形相同，在上、下底面上，E、F的射影在棱的中點，四邊形的投影圖形為，在左右側(cè)面上，E、F的連線垂直側(cè)面，從而四邊形的投影圖形為，在前后側(cè)面上四邊形投影圖形也為.故應(yīng)填

25、. 例2  如圖，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA90°，點D1，F(xiàn)1分別是A1B1，A1C1的中點，若BCCACC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是(    )A.         B.            C.       &#

26、160;     D.解  連D1F1，則D1F1A1C1，又BCCA，所以BD1在平面ACC1A1內(nèi)的射影為CF1，設(shè)AC2a，則BCCC12a.取BC的中點E，連EF1，則EFBD1.cos1cosEF1C，cos2cosAF1C，  coscos1·cos2·，應(yīng)選A. 例3  (1)如果三棱錐SABC的底面是不等邊三角形，側(cè)面與底面所成的角都相等，且頂點S在底面的射影O在ABC內(nèi)，那么O是ABC的(    )

27、A.垂心       B.重心       C.外心       D.內(nèi)心(2)設(shè)P是ABC所在平面外一點，若PA，PB，PC與平面所成的角都相等，那么P在平面內(nèi)的射影是ABC的(    )A.內(nèi)心       B.外心       C.垂心       D.重心解  (1)利用三垂線定理和三角形全等可證明O到ABC的三邊的距離相等，因而O是A