第六章 點的合成運動

1、理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動 第三節(jié)第三節(jié) 牽連運動為平動時點的加牽連運動為平動時點的加 速度合成定理速度合成定理第六章第六章 點的合成運動點的合成運動第一節(jié)第一節(jié) 點的合成運動的概念點的合成運動的概念第二節(jié)第二節(jié) 點的速度合成定理點的速度合成定理理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動 對于不同的參考系，物體運動的結果是不一樣的。對于不同的參考系，物體運動的結果是不一樣的。 例如例如: : 設一點設一點, ,對于某參考系可能作復雜運動。但相對于對于某參考系可能作復雜運動。但相對于另一參考系則可能作簡單運動。另一參考系則可

2、能作簡單運動。本章提出一種運動的分解和合成的方法。本章提出一種運動的分解和合成的方法。 應用運動的分解和合成的方法把點的復雜運動分解為某應用運動的分解和合成的方法把點的復雜運動分解為某些簡單的運動些簡單的運動, , 對各簡單的運動加以分析之后對各簡單的運動加以分析之后, ,再合起來就再合起來就可以解決復雜的運動問題。這稱為可以解決復雜的運動問題。這稱為點的合成運動點的合成運動 ( (點的復合點的復合運動運動 ) )。理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第

3、六章 點的合成運動點的合成運動理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動 靜坐標系 與地球固結 動坐標系 與運動車廂固結yox xoy以速度以速度 v1 向東行駛的車廂內，地板上有一南北向的槽向東行駛的車廂內，地板上有一南北向的槽AB，一小球一小球M沿槽以不變的速度沿槽以不變的速度 u 向北運動，而站在向北運動，而站在地面的人看到小球往東偏北方向運動。地面的人看到小球往東偏北方向運動。v =( u2 + v12)1/2。例例6-6-1 1 O yxoxyABv1 uM理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動這里：這里：M稱為動點，車廂相

4、稱為動點，車廂相對地面的運動為對地面的運動為牽連運動牽連運動（牽連速度，牽連加速度）；牽連速度，牽連加速度）；小球小球M相對車廂的運動是相對車廂的運動是相相對運動對運動（相對速度，相對加（相對速度，相對加速度）；小球相對于地面的速度）；小球相對于地面的運動為運動為絕對運動絕對運動（絕對速度，（絕對速度，絕對加速度）。絕對加速度）。 O yxoxyABv1 uM也即 動點 靜系 絕對運動 動點 動系 相對運動 動系 靜系 牽連運動 理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動問問：絕對運動是什么？絕對運動是什么？ 相對運動是什么？相對運動是什么？ 牽連運動是什么？牽連運

5、動是什么？靜坐標系靜坐標系 與地面固結動坐標系動坐標系 與直管OA固結 = O x y Oxy例例6-6-2 2 直管直管OAOA作定軸轉動，小球作定軸轉動，小球M M沿沿OAOA管向外運動。管向外運動。veMyxu = vrxy理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動例例6-6-3 3說明動點、動系及絕對運動、牽連運說明動點、動系及絕對運動、牽連運 動和相對運動。動和相對運動。( b )M v( a )Ox y Mvavrve理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動dtxdvxrdtydvyrdtzdvz rrrxryrzvv iv

6、jv k 絕對軌跡絕對軌跡, 牽連軌跡牽連軌跡, 相對軌跡相對軌跡; 絕對速度絕對速度, 牽連速度牽連速度, 相對速度相對速度; ( ) 絕對加速度絕對加速度, 牽連加速度牽連加速度 ,相對加速度相對加速度. ( )avrvevraeaaa若記動點相對于動坐標系的坐標為若記動點相對于動坐標系的坐標為:x = f1( t ) , y = f2( t ) , z = f3( t ) .則理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動22dtxdaxr22dtydayr22dtzdaz r則rrxryrzaa iaja k 在某一瞬時與動點在某一瞬時與動點M重合的點重合的點M

7、 相對于靜坐標系的速相對于靜坐標系的速度和加速度度和加速度, , 稱為動點稱為動點M 在這一瞬時的在這一瞬時的牽連速度牽連速度和和牽連加牽連加速度速度。M 稱為稱為牽連點牽連點。 牽連運動牽連運動: :在某一瞬時與動點在某一瞬時與動點M重合而與動坐標系固結重合而與動坐標系固結在一起的點在一起的點M 對于靜坐標系的軌跡為牽連運動的軌跡。對于靜坐標系的軌跡為牽連運動的軌跡。理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動例例6-6-4 4 凸輪機構運動分析。凸輪機構運動分析。理論力學電子教程理論力學電子教程

8、第六章第六章 點的合成運動點的合成運動理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動 本節(jié)主要研究點的絕對速度、牽連速度、相對速度三者本節(jié)主要研究點的絕對速度、牽連速度、相對速度三者之間的關系之間的關系aervvv速度合成定理：速度合成定理： 任一瞬時，動點的絕對速度等于牽連速度與相對速度任一瞬時，動點的絕對速度等于牽連速度與相對速度的矢量和。的矢量和?，F(xiàn)推導點的速度合成定理?，F(xiàn)推導點的速度合成定理。理論力學電子教程理論力學電子教程

9、第六章第六章 點的合成運動點的合成運動t后：(1)動曲線 ，動 點M1的絕對軌跡絕對軌跡。 (2)在動點體系上觀察M點的運動，則它沿曲線運動到M2，該弧稱為相對軌跡相對軌跡。 (3)在瞬時與動點M重合的那點 則沿 運動到 稱為牽連軌跡牽連軌跡。BAABM1MM1MMMrvevBBAav1M1MxyzM2（M ）理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動111100010limlimlim lim tttaertM MMMMMtttMMv v v t 112000lim , lim , limaer

10、tttMMM MMMv vvttt 由定義：方向均如圖所示。111)(MMMMMM另存在以t除兩端，并令t0，取lim 有MMrvevBBAav1M1MxyzM2（M ）理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動aervvv點的速度合成定理表式提供投影方程點的速度合成定理表式提供投影方程2個，可以求解兩個個，可以求解兩個未知量。未知量。 也即若要求解問題，則需分析若要求解問題，則需分析aervvv方向 大小 理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動例例6-56-5 凸輪頂桿機構中半徑為凸輪頂桿機構中半徑為R的半圓形凸輪以等速度的半圓形凸

11、輪以等速度v0沿水沿水平軌道向右運動，帶動頂桿平軌道向右運動，帶動頂桿AB沿鉛垂方向運動，如圖所示，沿鉛垂方向運動，如圖所示，試求試求=60時，頂桿時，頂桿AB的速度。的速度。 理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動運運 動動 演演 示示理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動Oxy，理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動00ea577. 060 cot cotvvvvreavvv理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動例例6-6 6-6 刨床的急回機構如圖所示，曲柄刨床

12、的急回機構如圖所示，曲柄OA的一端的一端A與滑塊用與滑塊用鉸鏈連接，當曲柄鉸鏈連接，當曲柄OA以勻角速度以勻角速度繞固定軸繞固定軸O轉動時，滑塊轉動時，滑塊在搖桿在搖桿O1B上滑動，并帶動搖桿上滑動，并帶動搖桿O1B繞固定軸繞固定軸O1擺動，設曲擺動，設曲柄長柄長OA=r，兩間距離兩間距離OO1= l，求當曲柄在水平位置時搖桿求當曲柄在水平位置時搖桿的角速度的角速度1。 理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動運動演示運動演示理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動

13、vavevrreavvv222erlrv sinaevv , sin22rlr， arv 理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動221rlAO2221rlrvavevr22211erlrAOv理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動例例6-76-7 已知已知: 凸輪半徑凸輪半徑r , 圖示時圖示時v， 300 桿桿OA靠在凸輪

14、上。靠在凸輪上。 求：桿求：桿OA的角速度。的角速度。理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動【分析】【分析】相接觸的兩個物體的接觸點位置都隨時間而變化，相接觸的兩個物體的接觸點位置都隨時間而變化，因此兩物體的接觸點都不宜選為動點，否則相對運動的分析因此兩物體的接觸點都不宜選為動點，否則相對運動的分析就會很困難。這種情況下，需選擇滿足上述兩條原則的非接就會很困難。這種情況下，需選擇滿足上述兩條原則的非接觸點為觸點為動點動點。理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動【解】【解】 取凸輪上取凸輪上C點為點為動點動點, 動系動系固結于固結于

15、OA桿桿上上, 靜系靜系固結于基座。固結于基座。絕對運動: 直線運動, 絕對速度:相對運動: 直線運動, 相對速度:牽連運動: 定軸轉動, 牽連速度: , 方向vvaOCOCve方向待求未知 , , 方向未知 ,rvOA理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動rvvrrve6333212 如圖示。根據(jù)速度合成定理,reavvv做出速度平行四邊形vvvae33tg（） ,2sinrrOCve又理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動 前面主要講述了點的速度合成定理點的速度合成定理，不論動參考系作任何運動，它都是成立的。但點的加速度合成定

16、理加速度合成定理，對牽連運動是平移和牽連運動是轉動是不相同的。xyz x y zMaaraeaOO理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動由于在每一瞬時，平移物體內的速度和加速度彼此相等。動點每一瞬時的牽連速度和牽連加速度都等于動參考系原點O在同一瞬時的速度和加速度，即： 根據(jù)點的運動學理論，動點M的相對速度和相對加速度分別為 方法一方法一 設圖示動參考系 相對于定坐標系Oxyz作平移。動點M 的相對運動方程為O x y z )(),(),(321tfztfytfx 222222,rdxdydzd xd yd zvijk aijkdtdtdtdtdtdt理論力學電

17、子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動又 動參考系作平動時，單位 是大小和方向均保持不變。于是求導數(shù)k、j、i222222rdvd xd yd zijkdtdtdtdt又 ，則 牽連運動作平移時，牽連速度對時間的一 次導數(shù)等于牽連加速度。 aeradvdvdvadtdtdt eoeooedvdvvv aa dtdt eoeoaavvaaadvdt，aervvvxyz x y zMaaraeaOO理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動 為動系的正向單位矢量。同理在任意瞬時t的相對加速度 由于動系作平移，在同一瞬時，動系(可視為剛體)上所有各點

18、的速度都相同，故而動點的牽連速度必與原動系原點O的速度 相同， k、j、i222222 (2)rd xd yd zaijkdtdtdtov方法二方法二 設在圖示中的動系作平移。則動點M在任意瞬時t的相對速度 與其相對坐標 之間有下面關系：zyxorvzyx、245 2 (1)2rdxdydzbbacvijkdtdtdta 由理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動 上式是任意瞬時都成立的，故可對時間t求導，注意到動系僅作平動， 均為常矢，有 將(2)代入，即 因為動系作平移，在同一瞬時，動系上所有各點的加速度都相同，故而動點的牽連加速度必與動系原點O的加速度 相同

19、，即 代入(6)有ijk (5)aoaax iy jz k (6)aoraaaoaeoaaaeraaa即將(1)、(3)代入 ，有 (3)eovv (4)aovvx iy jz kaervvv理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動即當牽連運動為平動時，動點的絕對加速度等于牽連加速度即當牽連運動為平動時，動點的絕對加速度等于牽連加速度與相對加速度的矢量和。與相對加速度的矢量和。aeraaant aaanrtrnetenataaaaaaa一般式可寫為因為理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動 當牽連運動為轉動時，動點的絕對加速度等于它

20、的牽連當牽連運動為轉動時，動點的絕對加速度等于它的牽連加速度，相對加速度和科氏加速度三者的矢量和。即加速度，相對加速度和科氏加速度三者的矢量和。即creaaaaa其一般式為其一般式為ctrnrtenetanaaaaaaaa 一般情況下一般情況下 科氏加速度科氏加速度 的計算可以用矢積表示的計算可以用矢積表示) (re不垂直時與vcarec2va理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動例例6-8 如圖所示的曲柄滑道機構中，曲柄長如圖所示的曲柄滑道機構中，曲柄長OA100 mm ，當當COA=45時，其角速度時，其角速度1 rad/s，加速度，加速度1 rad/s,轉

21、轉向如圖。求此瞬時，導桿向如圖。求此瞬時，導桿BC的加速度及滑塊的加速度及滑塊A在滑道在滑道DB中滑中滑塊的加速度。塊的加速度。O45CABD理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動【解】【解】 取滑塊取滑塊A為動點，動系固結于導桿為動點，動系固結于導桿BC上，定系固結于上，定系固結于 地面。動點地面。動點A絕對運動是圓周運動絕對運動是圓周運動(圓心圓心O，半徑，半徑OA)。故絕。故絕 對對a有兩個分量有兩個分量 ，即，即nata,aa2tam/s1 . 0OAa22nam/s10. 0OAa 動點的相對運動為沿槽動點的相對運動為沿槽DB軸的軸的直線運動，故直線運

22、動，故 為可導，為可導， 其大其大小和指向待求。指向暫設向左。小和指向待求。指向暫設向左。牽連運動豎直方向、牽連運動豎直方向、 大小和指大小和指向待求，指向暫設向上。有向待求，指向暫設向上。有raO45CABDrenataaaaa理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動在在x、y 軸上投影，則有軸上投影，則有enatarnata45cos45sin45sin45cosaaaaaa將數(shù)據(jù)代入求解得將數(shù)據(jù)代入求解得m/s141. 00eraaO45CABDAtaanaaraea2em/s141. 0 aaBC即即理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運

23、動點的合成運動解：取桿上的解：取桿上的A點為點為動點動點， 動系動系與凸輪固連。與凸輪固連。例例6-86-8 已知：凸輪半徑 。求： =60o時, 頂桿AB的加速度。ooavR,理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動絕對速度va = ? , 方向AB ；絕對加速度aa=?, 方向AB，待求。相對速度vr = ? , 方向CA; 相對加速度art =? 方向CA , 方向沿CA指向C牽連速度ve=v0 , 方向 ; 牽連加速度 ae=a0 , 方向Rvarnr/2【分析】【分析】理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動由速度合成定理,

24、reavvv做出速度平行四邊形,如圖示。00er3260sinsinvvvvo因牽連運動為平動牽連運動為平動，故有nrtreaaaaaRvRvRva34/)32(/ 20202rnr其中 作加速度矢量圖如圖示，將上式投影到法線上，得nreacossinaaa60sin/ )3460cos(sin/ )cos(200nreaRvaaaan理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動整理得)38(33200aRvaaaAB注加速度矢量方程的投影 是等式兩端的投影，與 靜平衡方程的投影關系 不同n理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動例例6-

25、96-9 如圖所示，已知如圖所示，已知 ABOOmBOAO2121,1 . 0桿桿 以等角速度轉動，以等角速度轉動， ； 求求 時時CD桿桿的速度和加速度。的速度和加速度。AO1srad /2060【解】【解】 取取CD桿上的點桿上的點C為動點，為動點，AB桿為動系。對動點作速桿為動系。對動點作速度分析和加速度分析，如圖所示。度分析和加速度分析，如圖所示。Avrvavev1O2OCDAB理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動則10.2/eAvvO Am scos0.1/aevvm s0.1/CDavvm s故reaaaa又有221/4 . 0smAOaaAe故：

26、2/3464. 0sinsmaaea即：2/3464. 0smaaaCDaaBACAaearaAvrvavev1O2OCDABreavvv理論力學電子教程理論力學電子教程第六章第六章 點的合成運動點的合成運動如圖所示，平底頂桿AB可沿導軌上下移，偏心圓盤繞軸O轉動，軸O位于頂桿的軸線上。圓盤半徑為R，偏心OC=e,角速度為 。OC與水平線夾角用 表示，求 =00時頂桿的速度。【解】【解】取盤心C為動點，平頂桿AB為動系。則有：aervvv速度平行四邊形如圖示；圖中 平行于桿AB的底平面，所以：rcoseavv當 時，頂桿的速度 0eve例例6-106-10rvavevOBA理論力學電子教程理論力學電子