三因素多元方差分析初探

1、三因素多元方差分析初探 胡想順，劉小鳳，趙惠燕，劉同先作者簡介：胡想順（1973- ），男，助研，從事昆蟲生態(tài)學，害蟲生防，小麥抗蚜性與煙粉虱抗藥性等研究工作. E-mail: huxiangshun1.51.5Key Laboratory of Crop Pest Management on the Northwest Loess Plateau of Ministry of Agriculture, and State Key Laboratory for Crop Stress Biology in Arid Areas, Northwest A&F University, Ya

2、ngling, Shaanxi 712100, China;Key Laboratory of Crop Pest Management on the Northwest Loess Plateau of Ministry of Agriculture, and State Key Laboratory for Crop Stress Biology in Arid Areas, Northwest A&F University, Yangling, Shaanxi 712100, China;Key Laboratory of Crop Pest Management on the

3、Northwest Loess Plateau of Ministry of Agriculture, and State Key Laboratory for Crop Stress Biology in Arid Areas, Northwest A&F University, Yangling, Shaanxi 712100, China;Key Laboratory of Crop Pest Management on the Northwest Loess Plateau of Ministry of Agriculture, and State Key Laboratory

4、 for Crop Stress Biology in Arid Areas, Northwest A&F University, Yangling, Shaanxi 712100, China西北農(nóng)林科技大學植保學院，農(nóng)業(yè)部西北黃土高原作物有害生物綜合治理重點實驗室，旱區(qū)作物逆境生物學國家重點實驗室，楊凌，712100;西北農(nóng)林科技大學植保學院，農(nóng)業(yè)部西北黃土高原作物有害生物綜合治理重點實驗室，旱區(qū)作物逆境生物學國家重點實驗室，楊凌，712100;西北農(nóng)林科技大學植保學院，農(nóng)業(yè)部西北黃土高原作物有害生物綜合治理重點實驗室，旱區(qū)作物逆境生物學國家重點實驗室，楊凌，712100;西北農(nóng)林

5、科技大學植保學院，農(nóng)業(yè)部西北黃土高原作物有害生物綜合治理重點實驗室，旱區(qū)作物逆境生物學國家重點實驗室，楊凌，712100712100029-87035762;陜西楊凌，西北農(nóng)林科技大學植保學院;陜西楊凌，西北農(nóng)林科技大學植保學院;huxiangshun;xiaoliu2008;zhaohy1983;txliu6胡想順（1973- ），男，助研，從事昆蟲生態(tài)學，害蟲生防，小麥抗蚜性與煙粉虱抗藥性等研究工作。;胡想順;劉小鳳;趙惠燕;劉同先HU Xiangshun;LIU Xiaofeng;ZHAO Huiyan;LIU Tongxian胡想順1.51.51.51.51.

6、51.51.51.51.51.51.51.5*|1|胡想順|HU Xiangshun|西北農(nóng)林科技大學植保學院，農(nóng)業(yè)部西北黃土高原作物有害生物綜合治理重點實驗室，旱區(qū)作物逆境生物學國家重點實驗室，楊凌，712100|Key Laboratory of Crop Pest Management on the Northwest Loess Plateau of Ministry of Agriculture, and State Key Laboratory for Crop Stress Biology in Arid Areas, Northwest A&F University,

7、Yangling, Shaanxi 712100, China|胡想順（1973- ），男，助研，從事昆蟲生態(tài)學，害蟲生防，小麥抗蚜性與煙粉虱抗藥性等研究工作。|陜西楊凌，西北農(nóng)林科技大學植保學院|712100|huxiangshun18991299903<CR>|2|劉小鳳|LIU Xiaofeng|西北農(nóng)林科技大學植保學院，農(nóng)業(yè)部西北黃土高原作物有害生物綜合治理重點實驗室，旱區(qū)作物逆境生物學國家重點實驗室，楊凌，712100|Key Laboratory of Crop Pest Management on the Northwest Loess P

8、lateau of Ministry of Agriculture, and State Key Laboratory for Crop Stress Biology in Arid Areas, Northwest A&F University, Yangling, Shaanxi 712100, China|陜西楊凌，西北農(nóng)林科技大學植保學院|xiaoliu2008|<CR>|3|趙惠燕|ZHAO Huiyan|西北農(nóng)林科技大學植保學院，農(nóng)業(yè)部西北黃土高原作物有害生物綜合治理重點實驗室，旱區(qū)作物逆境生物學國家重點實驗室，楊凌，712100|Key Laboratory

9、of Crop Pest Management on the Northwest Loess Plateau of Ministry of Agriculture, and State Key Laboratory for Crop Stress Biology in Arid Areas, Northwest A&F University, Yangling, Shaanxi 712100, China|zhaohy1983|<CR>|4|劉同先|LIU Tongxian|西北農(nóng)林科技大學植保學院，農(nóng)業(yè)部西北黃土高原作物有害生物綜合治理重點實驗室，旱區(qū)作物逆境生物學國家重

10、點實驗室，楊凌，712100|Key Laboratory of Crop Pest Management on the Northwest Loess Plateau of Ministry of Agriculture, and State Key Laboratory for Crop Stress Biology in Arid Areas, Northwest A&F University, Yangling, Shaanxi 712100, China|txliu6|三因素多元方差分析初探|The preliminary exploration of three-way m

11、ultivariate analysis of variance(MANOVA)|（西北農(nóng)林科技大學植保學院，農(nóng)業(yè)部西北黃土高原作物有害生物綜合治理重點實驗室，旱區(qū)作物逆境生物學國家重點實驗室，楊凌，712100）摘要：目的 給出三因素多元方差分析的原理以及過程。方法 在學習兩因素多元方差分析的基礎上進行三因素多元方差分析的過程推導。結(jié)果 所得內(nèi)容包括在三因素水平下的試驗設計原理，離差陣計算公式及步驟，假設檢驗步驟，以及在檢驗差異顯著的情況下，進行多元多重比較的方法。結(jié)論 獲得了對三個同協(xié)方差陣多元正態(tài)總體均值向量進行差異比較的方法。關鍵詞：生物統(tǒng)計，三因素，多元方差分析中圖分類號：Q332T

12、he preliminary exploration of three-way multivariate analysis of variance(MANOVA)HU Xiangshun, LIU Xiaofeng, ZHAO Huiyan, LIU Tongxian(Key Laboratory of Crop Pest Management on the Northwest Loess Plateau of Ministry of Agriculture, and State Key Laboratory for Crop Stress Biology in Arid Areas, Nor

13、thwest A&F University, Yangling, Shaanxi 712100, China)Abstract: Given the principle and ways of three-way multivariate analysis of variance (MANOVA). Get the principle and ways of three-way MANOVA basis on two-way MANOVA. The contents included the test design principle in the three factors and

14、levels, deviation matrix calculation formula and steps, hypothesis testing process, and when the testing significance is different, the method of how to multiple comparison. A way that used to solve the problems of mean vector comparison for three multivariate normal distribution with the same covar

15、iance matrix was obtained.Key words: Biological statistics; three-way; multivariate analysis of variance（MANOVA）0 引言在對一個樣本進行測量時，往往可以從不同的角度進行量度，從而得到多個指標。也就是說說，實驗指標常為多個指標。多元方差分析是數(shù)理統(tǒng)計的基本方法之一，用于解決兩個以上同協(xié)方差陣多元正態(tài)總體均值向量的比較問題1。目前常見的農(nóng)林業(yè)多元統(tǒng)計參考書和一些統(tǒng)計軟件中大多只列出了兩因素多元方差分析或三因素一元方差分析的方法和例子1-2，當實驗因素超過兩個因素時，而我們又需要考察多個指

16、標下樣本的總體效應，這就要用多因素多元方差分析法。本文給出了在三個實驗因素下，對多個指標下樣本的總體效應進行比較的原理與方法。1 試驗設計在圖1立方圖中，每一個小方塊代表一個處理：AhBiCj，其中Ah代表第一因素（h=1,2,a），Bi代表第二因素（i=1,2,b），Cj代表第三因素種類(j=1,2,c)，每一個處理重復觀察p個指標，重復k次(k=1,2,l, ,m)，單獨的觀察值向量表示為Xhijk=(xhijk1, xhijk2,xhijkp)T；處理AhBiCj的觀察和向量為Thij· = (Thij·1,Thij·2,Thij·p)T, 第一因

17、素與第二因素相互交叉處理AhBi的觀察和向量為Thi·· = (Thi··1,Thi··2,Thi··p)T, 第一因素與第三因素相互交叉處理AhCj的觀察和向量為Th·j· = (Th·j·1,Th·j·2,Th·j·p)T, 第二因素與第三因素相互交叉處理BiCj的觀察和向量為T·ij· = (T·ij·1,T·ij·2,T·ij·p)T；第一因素Ah的

18、觀察和向量為Th···=(Th···1,Th···2,Th···p)T；第二因素Bi的觀察和向量為T·i··= (T·i··1,T·i··2,T·i··p)T, 第三因素Cj的觀察和向量為T··j·=(T··j·1,T··j·2,T··j·

19、p)T；總和向量為T····=(T····1,T····2,T·····p)T；相應的，處理AhBiCj的均值向量表示為hij. = (hij.,hij.2,hij.p)T；處理AhBi的均值向量表示為hi.=(hi.1,hi.2, ,hi.p)T ，AhCj的均值向量表示為h.j.=(h.j.1,h.j.2,h.j.p)T，BiCj的均值向量表示為.ij.=(.ij.1,.ij.2,.ij.p)T，Ah的均值向量表示為h.=

20、(h.1, h.2, ,h.p)T，B.i.的均值向量表示為.i.=(.i.1,.i.2,.i.p)T，Cj的均值向量表示為j=(j 1,j 2,j p)T，總均值向量表示為.= (.1,.2,.p)T。Fig.1 Schematic diagram of the three-way multivariate experimental design2 離差陣計算公式總離差陣表示為W，第一因素離差陣表示為LA，第二因素離差陣表示為LB，第三因素離差陣表示為LC，第一因素×第二因素離差陣表示為LA×B，第一因素×第三因素離差陣表示為LA×C，第二因素

21、5;第三因素離差陣表示為LB×C，第一因素×第二因素×第三因素離差陣表示為L A×B×C，誤差離差陣表示為Le，則其計算公式如下;W=lkm=(l,m=1,2,p) （1）LA=(l,m=1,2,p) （2）LB=(l,m=1,2,p) （3）LC=(l,m=1,2,p) （4）LA×B=(l,m=1,2,p)（5）LA×C= (l,m=1,2,p) （6）LB×C=(l,m=1,2,p) （7）L A×B×C= （8）Le=(l,m=1,2,p) （9）3 假設檢驗總體差異顯著性檢驗所用公式如

22、下： 近似服從2(pf) （10）各因素間及因素交互間的差異性檢驗所用公式如下：近似服從2(pfA) （11）近似服從2(pfB) （12）近似服從2(pfC) （13）近似服從2(pf) （14）近似服從2(pf) （15）近似服從2(pf) （16）近似服從2(pf) （17）其中公式（10）用于總體間的差異檢驗，（11）第一因素間差異性檢驗，（12）用于第二因素間差異性檢驗，（13）用于第三因素間差異性檢驗，（14）用于第一因素×第三因素交互作用間差異性檢驗，（15）用于第二因素×第三因素交互作用間差異性檢驗，（16）用于第一因素×第二因素交互作用間差異性檢

23、驗，（17）用于第一因素×第二因素×第三因素交互作用間差異性檢驗。4 多重比較在固定模型下，當方差檢驗差異顯著時，就要進行多重比較，用到的公式有：F(p,fe-p+1) (18)其中i,j=1,2,a,ij,為Ai與Aj間的馬氏距離。F(p,fe-p+1) (19)其中i, j = 1, 2,b,ij, 為Bi與Bj間的馬氏距離。F(p,fe-p+1) (20)其中i,j=1,2,c,ij, 為Ci與Cj間的馬氏距離。F(p ,fe-p+1) (21)其中i,k=1,2,a, j,l=1,2,b,(i,jk,l), 為ABij與ABkl間的馬氏距離。F(p,fe-p+1)

24、(22)其中i ,k=1,2,a, h,m=1,2,c,(i,hk,m), 為ACih與ACkm間的馬氏距離。F(p,fe-p+1) (23)其中j,l=1,2,b, h,m=1,2,c,(i,hl,m), 為BCjh與BClm間的馬氏距離。F(p,fe-p+1) (24)其中i,k=1,2,b; j,l=1,2,c;h,m=1,2c(i,j,hk,l,m), 為ABCijh與ABCklm間的馬氏距離。 Se=Le/(a-1)(b-1)(c-1)(r-1) (25) (26)隨機模型下，當方差檢驗差異顯著時，就要進行多重比較的公式也可以參照文獻1推導出。5結(jié)論與討論應用數(shù)學知識來解決農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中

25、的實際問題，是農(nóng)業(yè)應用數(shù)學中最重要內(nèi)容之一1。在農(nóng)業(yè)科學和生物學的研究中，如果每一個響應變量，或者我們測量的每一個指標具有固有的生物學意義。那么要知道每一個指標在不同的群體或處理間是否有差異，可以對每一個指標進行一元方差分析。但實際上，同一群體中或同一處理單元中的不同指標之間往往存在很強的相關性，正是由于這些指標不相互獨立，對多指標進行多次一元方差分析所得到的結(jié)果可能就會很難解釋。另外，如果指標很多的話，由于單變量測驗次數(shù)很多，也會導致犯第一類拒真錯誤的概率增加3,4，使整體結(jié)論失真。對于群體或處理間，我們更關心的是的多個指標的綜合效應，或者說他們在總體上是否存在差異，多元方差分析就是解決這些問題的。多元方差分析的主要理論基礎是建立在多元正態(tài)分布總體基礎上的1，國內(nèi)外理論與實踐探索已經(jīng)相當成熟。在各統(tǒng)計軟件中如SSPS和DPS就能實現(xiàn)兩因素以上的多元方差分析和多重比較。但是一些軟件會要求各處理的整體指標數(shù)相等，甚至每一個處理的所有指標的個數(shù)也必須相同。但在實踐中，即使同一處理的指標有時可能也會不相同。比如，我們調(diào)查麥蚜在某一小麥品種上的發(fā)育歷期、成蟲壽命及產(chǎn)子數(shù)三個指標，當遇到蚜蟲變?yōu)槌上x后丟失或不小心殺死蚜蟲的情況時，發(fā)育歷期的