《機(jī)械制圖教案》第10-11講

1、南昌理工學(xué)院 機(jī)械制圖授課教案第十講 §24 直線(xiàn)的投影課 題：1、直線(xiàn)上點(diǎn)的投影2、兩直線(xiàn)的相對(duì)位置3、直角投影定理課堂類(lèi)型：講授教學(xué)目的：1、講解直線(xiàn)上點(diǎn)的投影特性 2、講解兩直線(xiàn)各種相對(duì)位置（平行、相交、交叉）的投影特點(diǎn) 3、講解用直角投影定理教學(xué)要求：1、理解并掌握直線(xiàn)投影的定比性的解題方法2、會(huì)根據(jù)兩直線(xiàn)的投影判斷它們的相對(duì)位置，并熟練掌握兩直線(xiàn)平行、相交的作圖問(wèn)題3、理解并掌握直角投影定理的特點(diǎn)和解題思路教學(xué)重點(diǎn)：1、兩直線(xiàn)各種相對(duì)位置（平行、相交、交叉）的投影特點(diǎn) 2、直角投影定理教學(xué)難點(diǎn)：利用直角投影定理圖解空間幾何問(wèn)題教 具：自制的三投影面體系模型教學(xué)方法：例題輔助

2、講解教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)舊課1、三種位置直線(xiàn)（包括七種類(lèi)型）的投影特性。尤其注意：實(shí)長(zhǎng)和傾角的判斷。2、用直角三角形法求一般位置直線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)各投影面傾角的方法和步驟。二、引入新課題上次課我們學(xué)習(xí)了三種位置直線(xiàn)的投影特性，本次課我們繼續(xù)學(xué)習(xí)空間直線(xiàn)的其他投影特性。三、教學(xué)內(nèi)容（一）直線(xiàn)上點(diǎn)的投影1、直線(xiàn)上點(diǎn)的投影點(diǎn)在直線(xiàn)上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必定在該直線(xiàn)的同面投影上，反之，若一個(gè)點(diǎn)的各個(gè)投影都在直線(xiàn)的同面投影上，則該點(diǎn)必定在直線(xiàn)上。舉例：如圖227所示直線(xiàn)AB上有一點(diǎn)C，則C點(diǎn)的三面投影c、c、c 必定分別在該直線(xiàn)AB的同面投影ab、a b、ab 上。（a） （b）圖227 直線(xiàn)上點(diǎn)的投影2、直線(xiàn)

3、投影的定比性直線(xiàn)上的點(diǎn)分割線(xiàn)段之比等于其投影之比，這稱(chēng)為直線(xiàn)投影的定比性。在圖227中，點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，它把線(xiàn)段AB分成AC和CB兩段。根據(jù)直線(xiàn)投影的定比性，AC：CB = ac：cb = a c：c b = ac：cb 。3、講解例題（例26） 如圖228（a），已知側(cè)平線(xiàn)AB的兩投影和直線(xiàn)上K點(diǎn)的正面投影k，求K點(diǎn)的水平投影k 。 （a）題目 （b） 解法1 （c）解法2圖228 求直線(xiàn)上點(diǎn)的投影（二）兩直線(xiàn)的相對(duì)位置兩直線(xiàn)的相對(duì)位置有平行、相交、交叉三種情況。1、兩直線(xiàn)平行（1）特性若空間兩直線(xiàn)平行，則它們的各同面投影必定互相平行。如圖229所示，由于ABCD，則必定abcd、 a b

4、c d、abcd 。反之，若兩直線(xiàn)的各同面投影互相平行，則此兩直線(xiàn)在空間也必定互相平行。 （a） （b）圖229 兩直線(xiàn)平行（2）判定兩直線(xiàn)是否平行1）如果兩直線(xiàn)處于一般位置時(shí)，則只需觀察兩直線(xiàn)中的任何兩組同面投影是否互相平行即可判定。2）當(dāng)兩平行直線(xiàn)平行于某一投影面時(shí)，則需觀察兩直線(xiàn)在所平行的那個(gè)投影面上的投影是否互相平行才能確定。如圖230所示，兩直線(xiàn)AB、CD均為側(cè)平線(xiàn)，雖然abcd、 abcd，但不能斷言?xún)芍本€(xiàn)平行，還必需求作兩直線(xiàn)的側(cè)面投影進(jìn)行判定，由于圖中所示兩直線(xiàn)的側(cè)面投影ab 與cd相交，所以可判定直線(xiàn)AB、CD不平行。2、兩直線(xiàn)相交 圖230 判斷兩直線(xiàn)是否平行（1）特性若空

5、間兩直線(xiàn)相交，則它們的各同面投影必定相交，且交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律。如圖231所示，兩直線(xiàn)AB、CD相交于K點(diǎn)，因?yàn)镵點(diǎn)是兩直線(xiàn)的共有點(diǎn)，則此兩直線(xiàn)的各組同面投影的交點(diǎn) k、 k、k 必定是空間交點(diǎn)K的投影。反之，若兩直線(xiàn)的各同面投影相交，且各組同面投影的交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律，則此兩直線(xiàn)在空間也必定相交。（a） （b） 圖231 兩直線(xiàn)相交（2）判定兩直線(xiàn)是否相交1）如果兩直線(xiàn)均為一般位置線(xiàn)時(shí)，則只需觀察兩直線(xiàn)中的任何兩組同面投影是否相交且交點(diǎn)是否符合點(diǎn)的投影規(guī)律即可判定。2）當(dāng)兩直線(xiàn)中有一條直線(xiàn)為投影面平行線(xiàn)時(shí)，則需觀察兩直線(xiàn)在該投影面上的投影是否相交且交點(diǎn)是否符合點(diǎn)的投影規(guī)律才能確定；或者根

6、據(jù)直線(xiàn)投影的定比性進(jìn)行判斷。如圖232所示，兩直線(xiàn)AB、CD兩組同面投影ab與cd、a b 與c d 雖然相交，但經(jīng)過(guò)分析判斷，可判定兩直線(xiàn)在空間不相交。（a） （b）圖232 兩直線(xiàn)在空間不相交3、兩直線(xiàn)交叉兩直線(xiàn)既不平行又不相交，稱(chēng)為交叉兩直線(xiàn)。（1）特性若空間兩直線(xiàn)交叉，則它們的各組同面投影必不同時(shí)平行，或者它們的各同面投影雖然相交，但其交點(diǎn)不符合點(diǎn)的投影規(guī)律。反之亦然。如圖233（a）所示。（2）判定空間交叉兩直線(xiàn)的相對(duì)位置空間交叉兩直線(xiàn)的投影的交點(diǎn)，實(shí)際上是空間兩點(diǎn)的投影重合點(diǎn)。利用重影點(diǎn)和可見(jiàn)性，可以很方便地判別兩直線(xiàn)在空間的位置。在圖233（b）中，判斷AB和CD的正面重影點(diǎn) k

7、（l）的可見(jiàn)性時(shí)，由于K、L兩點(diǎn)的水平投影k比l的y坐標(biāo)值大，所以當(dāng)從前往后看時(shí)，點(diǎn)K可見(jiàn)，點(diǎn)L不可見(jiàn)，由此可判定AB在CD的前方。同理，從上往下看時(shí)，點(diǎn)M可見(jiàn)，點(diǎn)N不可見(jiàn)，可判定CD在AB的上方。 （a） （b）圖233 兩直線(xiàn)交叉（三）直角投影定理 1、概念空間垂直相交的兩直線(xiàn)，若其中的一直線(xiàn)平行于某投影面時(shí)，則在該投影面的投影仍為直角。反之，若相交兩直線(xiàn)在某投影面上的投影為直角，且其中有一直線(xiàn)平行于該投影面時(shí)，則該兩直線(xiàn)在空間必互相垂直。這就是直角投影定理。如圖234所示。已知ABBC，且AB為正平線(xiàn)，所以ab必垂直于bc 。（a） （b） 圖234 垂直相交的兩直線(xiàn)的投影2、講解例題（

8、目的是幫助學(xué)生理解掌握利用直角投影定理圖解空間幾何問(wèn)題的解題思路和解題方法）（1）例27 求點(diǎn)A到直線(xiàn)BC的距離， 如圖235（a） （a）題目 （b）解法 圖235 求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離（2）例28 如圖236（a）所示，已知菱形ABCD的一條對(duì)角線(xiàn)AC為一正平線(xiàn)，菱形的一邊AB位于直線(xiàn)AM上，求該菱形的投影圖。（a）題目 （b）解法圖236 求菱形的投影圖四、小結(jié)1、平行兩直線(xiàn)的投影特性和判別方法。2、相交兩直線(xiàn)的投影特性和判別方法。3、交叉兩直線(xiàn)的投影特性。4、直角投影定理的應(yīng)用五、布置作業(yè)習(xí)題集22（3）、（4）、（5）、（6）、（8）、（9）、（10）、（11）第十一講 §25

9、 平面的投影課 題：1、平面的表示法2、平面對(duì)于一個(gè)投影面的投影特性3、各種位置平面的投影特性課堂類(lèi)型：講授教學(xué)目的：1、介紹平面的兩種表示法2、講解三種投影面平行面和三種投影面垂直面的投影特性教學(xué)要求：1、熟悉平面在投影圖上的表示法2、理解并掌握各種位置平面的投影特性，并能根據(jù)投影特性判別平面對(duì)投影面的相對(duì)位置教學(xué)重點(diǎn)：各種位置平面的投影特性，教 具：自制的三投影面體系模型； 掛圖：“投影面平行面的投影特性”、“投影面垂直面的投影特性”教學(xué)方法：平面投影的實(shí)質(zhì)，就是平面形各頂點(diǎn)的同面投影依次連線(xiàn)。各種位置平面的投影，講解重點(diǎn)放在投影特性和有無(wú)實(shí)形的判斷上；對(duì)于每一種位置平面形的投影，重點(diǎn)講解

10、其中的一種類(lèi)型，其他類(lèi)型可由學(xué)生自己分析解決。教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)舊課1、復(fù)習(xí)兩直線(xiàn)各種相對(duì)位置（平行、相交、交叉）的投影特性和判別方法。2、結(jié)合作業(yè)講解直角投影定理的應(yīng)用。二、引入新課題平面圖形具有一定的形狀、大小和位置，常見(jiàn)的有三角形、矩形、正多邊形等直線(xiàn)輪廓的平面形。另外，還有一些由直線(xiàn)或曲線(xiàn)圍成的平面形。平面投影的實(shí)質(zhì)，就是求平面形輪廓上的一系列的點(diǎn)的投影（對(duì)于多邊形而言則是其頂點(diǎn)），然后將各點(diǎn)的同面投影依次連線(xiàn)。三、教學(xué)內(nèi)容（一）平面的表示法在投影圖上表示平面有兩種方法。1、一組幾何元素的投影表示平面（1）不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)，如圖237（a）（2）一直線(xiàn)和直線(xiàn)外一點(diǎn)，如圖237（b）

11、（3）相交兩直線(xiàn)，如圖237（c）（4）平行兩直線(xiàn)，如圖237（d）（5）任意平面圖形，如三角形、四邊形、圓形等，如圖237（e） （a） （b） （c） （d） （e）圖237 用幾何元素表示平面注意：為了解題的方便，常常用一個(gè)平面圖形（如三角形）表示平面。2、跡線(xiàn)表示法跡線(xiàn)空間平面與投影面的交線(xiàn)，如圖238（a）所示。平面P與H面的交線(xiàn)稱(chēng)為水平跡線(xiàn)，用PH表示；平面P與V面的交線(xiàn)稱(chēng)為正面跡線(xiàn)，用PV表示；平面P與W面的交線(xiàn)稱(chēng)為側(cè)面跡線(xiàn)，用PW表示。PH 、PV 、PW兩兩相交的交點(diǎn)Px 、PY 、PZ稱(chēng)為跡線(xiàn)集合點(diǎn)，它們分別位于OX、OY、OZ軸上。由于跡線(xiàn)既是平面內(nèi)的直線(xiàn)，又是投影面內(nèi)的

12、直線(xiàn)，所以跡線(xiàn)的一個(gè)投影與其本身重合，另兩個(gè)投影與相應(yīng)的投影軸重合。在用跡線(xiàn)表示平面時(shí)，為了簡(jiǎn)明起見(jiàn)，只畫(huà)出并標(biāo)注與跡線(xiàn)本身重合的投影，而省略與投影軸重合的跡線(xiàn)投影，如圖238（b）所示。（a） （b）圖238 用跡線(xiàn)表示平面（二）平面對(duì)于一個(gè)投影面的投影特性空間平面相對(duì)于一個(gè)投影面的位置有平行、垂直、傾斜三種，三種位置有不同的投影特性。1、真實(shí)性 當(dāng)平面與投影面平行時(shí)，則平面的投影為實(shí)形，如圖239（a）所示。2、積聚性 當(dāng)平面與投影面垂直時(shí)，則平面的投影積聚成一條直線(xiàn)，如圖239（b）所示。3、類(lèi)似性 當(dāng)直線(xiàn)或平面與投影面傾斜時(shí)，則平面的投影是小于平面實(shí)形的類(lèi)似形，如圖239（c）所示。（

13、a） （b） （c）圖239 平面的投影特性（三）各種位置平面的投影特性 根據(jù)平面在三投影面體系中的位置可分為投影面傾斜面、投影面平行面、投影面垂直面三類(lèi)。前一類(lèi)平面稱(chēng)為一般位置平面，后兩類(lèi)平面稱(chēng)為特殊位置平面。1、投影面垂直面垂直于一個(gè)投影面且同時(shí)傾斜于另外兩個(gè)投影面的平面稱(chēng)為投影面垂直面。垂直于V面的稱(chēng)為正垂面；垂直于H面的稱(chēng)為鉛垂面；垂直于W面的稱(chēng)為側(cè)垂面。平面與投影面所夾的角度稱(chēng)為平面對(duì)投影面的傾角。、分別表示平面對(duì)H面、V面、W面的傾角。舉例說(shuō)明：鉛垂面的投影特性強(qiáng)調(diào)：（1）兩個(gè)投影均為類(lèi)似形；（2）一個(gè)投影積聚為直線(xiàn)，并反映、角?？偨Y(jié)投影面平行線(xiàn)的投影特性：兩面一線(xiàn)。要求學(xué)生必須掌

14、握表23中的圖例。對(duì)于投影面垂直面的辨認(rèn)：如果空間平面在某一投影面上的投影積聚為一條與投影軸傾斜的直線(xiàn)，則此平面垂直于該投影面。講解例題（例29） 如圖239（a）所示，四邊形ABCD垂直于V面，已知H面的投影abcd及B點(diǎn)的V面投影b，且于H面的傾角= 45°，求作該平面的V面和W面投影。（a）題目 （b）解答圖240 求作四邊形平面ABCD的投影2、投影面平行面平行于一個(gè)投影面且同時(shí)垂直于另外兩個(gè)投影面的平面稱(chēng)為投影面平行面。平行于V面的稱(chēng)為正平面；平行于H面的稱(chēng)為水平面；平行于W面的稱(chēng)為側(cè)平面；舉例說(shuō)明：正平面的投影特性強(qiáng)調(diào)：（1）兩個(gè)投影積聚為直線(xiàn)；（2）一個(gè)投影反映實(shí)形?？偨Y(jié)投影面平行線(xiàn)的投影特性：兩線(xiàn)一面。要求學(xué)生必須掌握表24中的圖例。對(duì)于投影面垂直面的辨認(rèn)：如果空間平面在某一投影面上的投影積聚為一條與投影軸傾斜的直線(xiàn)，則此平面垂直于該投影面。3、一般位置平面與三個(gè)投影面都處于傾斜位置的平面稱(chēng)為一般位置平面。例如