專升本高數(shù)第二章導(dǎo)數(shù)ppt課件

1、 第二章第二章 一元函數(shù)微一元函數(shù)微分學(xué)分學(xué)2.1. 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分我們再用極限來研討變量變化的快慢程度，這即是微分學(xué)中 的重要概念導(dǎo)數(shù)。的導(dǎo)數(shù)。在點則稱此極限值為函數(shù)極限存在，時，如果當時，相應(yīng)的函數(shù)有增量處有增量在點當自變量的某個鄰域內(nèi)有定義，在點設(shè)函數(shù)定義：00000)(0)()()(xxfyxyxxfxxfyxxxxxfy1. 1. 定義定義(一) 導(dǎo)數(shù)的概念xxfxxfxyxfxfyxxxx)()(limlim)()(0000000即或記作：等。，導(dǎo)數(shù)也可記作：00)(xxxxxfdxddxdy假設(shè)函數(shù) f (x) 在點 x0 處的導(dǎo)數(shù)存在，那么稱函數(shù)f (x) 在點 x0 處

2、可導(dǎo)，反之，稱為不可導(dǎo)。000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx導(dǎo)數(shù)的一個等價定義：xyxfxfx000lim)()(即記作：處的左導(dǎo)數(shù)。在點稱此極限值為函數(shù)存在，那么左極限如果的某個鄰域內(nèi)有定義，在點設(shè)函數(shù)000000)()()(limlim)(xxfyxxfxxfxyxxfyxx左、右導(dǎo)數(shù)xxfxxfxyxfxfxx)()(limlim)( , )(000000即同理右導(dǎo)數(shù)為處是否可導(dǎo)。在點考慮函數(shù)例00, 12sin0,)(. 12xxxxexfx。在，且點處的左、右導(dǎo)數(shù)均存在函數(shù)點處可導(dǎo)的充要條件是在定理：函數(shù))()()(0000 xfxfxxxfy21lim0)0()(lim

3、)0(200 xexfxffxxx解：2112sinlim0)0()(lim)0(00 xxxfxffxx2)0()0()0(,0fffx點可導(dǎo)所以函數(shù)在2. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 曲線的切線的斜率即為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。000000( )(,)( )()()limtan()2xxyf xM x yf xf xfxxx設(shè)曲線的方程為，則曲線在點處切線的斜率00000( )(,)()()yf xM x yyyfxxx曲線在點處的切線方程為3. 可導(dǎo)與延續(xù)的關(guān)系由導(dǎo)數(shù)定義可知： 可導(dǎo) 延續(xù)00,0sinyxxxy時，當解：1sinlimsinlim)0(00 xxxxfxx1sinlimsinlim)0(00

4、xxxxfxx( )0,0f xxx所以在連續(xù) 但在處不可導(dǎo)。處的連續(xù)性和可導(dǎo)性。在討論函數(shù)例0sin)(. 2xxxf203 . ( )sin0( )xebxf xaxxabf x，例設(shè)，問 ， 為何值時，連續(xù)且可導(dǎo)？(0 )0(0 )(0)11fffbb 解：，,sinlim)1 (sinlim)0(00axaxxbaxfxx(0)(0)2ffa，20(1)(0)lim2xxebbfx(二) 曲線的切線方程及法線方程000000( )( )(,)()()yf xf xxM x yyyfxxx設(shè)曲線的方程為，若在處可導(dǎo)，則曲線在點處的切線方程為000000()0( )(,)1()()fxyf

5、 xM x yyyxxfx 若，則曲線在點處的法線方程為(三) 求導(dǎo)公式函數(shù)在恣意點 x 處的導(dǎo)數(shù)xxfxxfxfx)()(lim)(0仍是 x 的函數(shù)，稱為 f (x)的導(dǎo)函數(shù)。1. 根本導(dǎo)數(shù)表10()cxx，()ln()xxxxaaaee，11(log)(ln )lnaxxxax，(sin )cos(cos )sinxxxx ，22(tan )sec(cot )cscxxxx ，(sec )sectan(csc )csccotxxxxxx ，2211(arcsin )(arccos )11xxxx ，2211(arctan )(arccot )11xxxx ，2. 函數(shù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)

6、)()() )()( )()(.xvxuxvxuxxvxu處可導(dǎo)，則在點和設(shè)函數(shù)定理1)()()()() )()( )()(.xvxuxvxuxvxuxxvxu處可導(dǎo)，則在點和設(shè)函數(shù)定理223.( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ()( )( )u xv xxu xu x v xu x v xv xvx 定理設(shè)函數(shù)和在點 處可導(dǎo)，則4.tanyxy例設(shè)，求cot5. xxxyyex例 設(shè)，求6. cos nxyx axy例設(shè)，求x2sec22)() 1)(cot()csc)(cot(xeexxxxxxeyxxxxaxxaaxxanxyxnxnxnsincos)(lncos13. 復(fù)

7、合函數(shù)和反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)dxdududydxdyxufxfxxfyuufyxxu或且處可導(dǎo)，在點處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)對應(yīng)點在可導(dǎo)，又函數(shù)在點設(shè)函數(shù)定理)()()()()()(.45.( )( )( )11( )( )yf xxyydyfxdxydxdy定理設(shè)是單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)，又設(shè)存在，且不為零，則有或7.yxy例 設(shè)， 為任意實數(shù)，求318.12yyx例設(shè)， 求29.ln(1)yxxy例設(shè)， 求lnlnln1xxxyeeyexx，431(12 )23yx 11)211211 (11222xxxxxy( )10.( )()xf xf xyf e e例設(shè)可導(dǎo)，求的導(dǎo)數(shù)11.arcsinyxy例設(shè)，

8、 求12.arctanyxy例設(shè)，求)()()()()(xfeefeeefyxfxxfxx211cos1)(sin1xyy2211sec1)(tan1xyy4.分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1 2 3見例 、(四) 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，舉例說明。求導(dǎo)，即可解出，兩邊對導(dǎo)數(shù)，由于的所確定的隱函數(shù)現(xiàn)在討論由方程)(0)(,()(0),(xyxxyxFxyyyxF22213.( )xyryy x例求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。222222)2(1211xrxxxryxry所以，：由方程可以解出解2() 220 xyxxxy yyy 解 ：方程兩邊對 求導(dǎo) 把 看成 的函數(shù) ：，214.cos5sin(3)( )yxxyy

9、y x例求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。)(3)3cos(5sincos2 : )(2yxyxyxyxyyxyx的函數(shù)看成把求導(dǎo)解：方程兩邊對)3cos(15cos2sin)3cos(152xyxxyxyxyyy( )15.( ) v xyu xy例設(shè)，求)(ln)(ln2xuxvy ：兩邊先取對數(shù)：解)()()()(ln)(1xuxuxvxuxvyylnln1,( ln)vuvuvyeyevuuu解 ：( )( ( )ln ( )( )( )v xyy v xu xu xu x1lnvvuu vv uu ( )( ) 1( )ln ( )( )( )( )( )v xv xu xu xv xv

10、 xu xu x利用先取對數(shù)再求導(dǎo)的求導(dǎo)方法稱為對數(shù)求導(dǎo)法。2 3223(1)3216.1 (21)xxyyxx例設(shè)，求) 12ln(32) 1ln(21)23ln(31) 1ln(2ln2xxxxy：兩邊先取對數(shù)解：122321221233311212xxxxxyy(五) 對數(shù)求導(dǎo)法(六) 高階導(dǎo)數(shù)1 . 高階導(dǎo)數(shù)概念處的二階導(dǎo)數(shù)。在為函數(shù)存在，那么稱此極限值如果的函數(shù)，仍然是的導(dǎo)數(shù)在任意點設(shè)函數(shù)xxfxxfxxfxxfxxfyx)()()(lim)()(02222)(),(,dxxfddxydxfy或記作： 階導(dǎo)數(shù)。處的在點極限值為存在，那么稱此階導(dǎo)數(shù)存在，如果的設(shè)函數(shù)nxxfxxfxxf

11、nxfnnx)()()(lim) 1()()1()1(0階導(dǎo)數(shù)的定義：nnnnnnndxxfddxydxfy)(),(,)()(或記作：為了方式上一致的一階導(dǎo)數(shù)。稱為把，或定義)()()()(,)0()0(xfxfxfxfyy( )17.,nyxy例設(shè)求( )18.sin ,nyxy例設(shè)求)2cos()(cos)(nxxn同理( )19.ln ,nyxy例設(shè)求二階及二階以上階導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)nxn) 1() 1()2sin()(sin)(nxxnnnxn)!1() 1(1(七) 微分1. 微分的定義微分是微積分學(xué)中又一根本概念，它和導(dǎo)數(shù)有著極其親密的關(guān)系。00)(0yxxxf時，點處連續(xù)：當

12、在Axyxxxf時，點處可導(dǎo)：當在0)(0定義：設(shè)函數(shù) y = f (x)在 x0 的某個鄰域內(nèi)有定義,假設(shè) 存在一個與 x 無關(guān)的量 A 及一個 x 的高階無窮小o(x) ，使得函數(shù)增量 y 可表示為 y=Ax+o(x) ，那么稱函數(shù) f (x) 在點 x0 處微分存在 , Ax 稱為函數(shù)在 x0 處的微分，xAdyxx0記作：假設(shè)函數(shù) f (x) 在點 x0 的微分存在，那么稱函數(shù)在該點可微。3 . 微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系0001.(1)( )( ) ()yf xxf xxfxA定理如果函數(shù)在點處可微分，那么在點處可導(dǎo)，且)( )()()2(000 xfAxxfxxfy處可微分，且在點處可導(dǎo)，那

13、么在點如果函數(shù)000( )()x xf xxdyfxx因此，當在點可微分時，其微分為：2 . 微分的幾何意義為了方式上一致，記 dx= x ，那么 dy = f (x)dx故導(dǎo)數(shù)又稱為微商?；?)(dxdyxf恣意點 x 處的微分稱為函數(shù)的微分，記作 dy 或 df (x)即 dy = f (x) x 4 . 根本微分表和微分運算法那么dxxdxdc1,0dxedeadxadaxxxx,lndxxxddxaxxda1ln,ln1logxdxxdxdxxdsincos,cossinxdxxdxdxxd22csccot,sectanxdxxxdxdxxxdcotcsccsc,tansecsecdx

14、xxddxxxd2211arccos,11arcsindxxxddxxxd11cotarc,11arctan22微分運算法那么)()()()(xdvxduxvxud)()()()()()(xdvxuxduxvxvxud)()()()()()()(2xvxdvxuxduxvxvxud5. 微分方式不變性1221.cosln()xyxe例求函數(shù)的微分.2arcsin(1)20.xyxdy例設(shè)求duufdxxufdyxfyxuufy)()()()()(, )(的微分為：，則復(fù)合函數(shù)設(shè)函數(shù)這一性質(zhì)又稱微分方式不變性。dxxxxxxdy2222) 1arcsin() 1(12dxxexexexdyxxx

15、)1(2(1)ln(sin211212一洛必達法那么一洛必達法那么”型的定值法不定型“00. 1)()(lim)()(lim)()(lim)(,)(),()(lim,)(lim)()(.xgxfxgxfxgxfxgxgxfxxgxfxxxgxfxxxxxxxxxx000003020011000則存在（或為無窮大）且存在的某個鄰域內(nèi)在點內(nèi)有定義，如果可除外）的某個鄰域（在點和設(shè)定理2.2.2.2.導(dǎo)數(shù)的運用導(dǎo)數(shù)的運用001)0 xxx 注意：型，將改成，定理同樣成立.00( )2)lim( )( )lim( )xxxxfxg xf xg x當不存在且不為無窮大時，并不能說明不存在.( )3)(

16、)fxg x當仍是不定型時，可再用洛必達法則.xxxxtan1sinlim20例如：30sinlim. 1xxxx求例xxxeexxxsin2lim. 20求例xexxeexxxx423cos0tan) 1)(1ln() 1(lim. 33求例22)2()ln(sinlim. 4xxx求例30cossinlim. 5xxxxx求例arctan26.lim1xxx例求值法及其它一些不定型的定不定型. 20 xxx 當或時，對于不定型也有相應(yīng)的洛必達法則.)1ln(2tanlnlim. 71xxx求例)(lnlim. 8為正整數(shù)求例nxxnx)0, 1,(lim. 9anaxxnx為正整數(shù)求例xx

17、xkxaaxkkxxln,ln,),1(),1(,.ln,ln,),1),1(, !,(nnnknaannkknn的速度快慢依次為時，趨于當x快慢依次為的速度時，趨于對于數(shù)列，當nxxxxxsincoslim.10求例000 0010除了不定型、外，還有下列幾種不定型：，0 0這些不定型均可化為不定型、然后由洛必達法則計算其極限。xxxln)arctan2(lim.11求例01112.lim()1xxxe例求3.其它一些不定型的定值法(二二) 導(dǎo)數(shù)的運用導(dǎo)數(shù)的運用1. 1. 函數(shù)單調(diào)性的判別法函數(shù)單調(diào)性的判別法假設(shè)函數(shù)可導(dǎo)的話，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的增減有很大的關(guān)系。上嚴格單調(diào)減少。在時，函數(shù)當上嚴格單

18、調(diào)增加；在時，函數(shù)則當內(nèi)可導(dǎo)，在設(shè)函數(shù)定理,)()(,)()(,)(.baxfxfbaxfxfbaxfy001定理1的條件結(jié)論可改寫成：。且只在個別點上等于零或上在的充要條件是：或嚴格單調(diào)減少上嚴格單調(diào)增加在內(nèi)可導(dǎo)，函數(shù)在設(shè)函數(shù))0(0)(,)(,)(,)(xfbabaxfbaxfy) 15() 1)(1()(2xxxxf解：1,51, 10)(xxxxf得列表討論 普通來說，用導(dǎo)數(shù)為零的點來劃分單調(diào)區(qū)間，有時，導(dǎo)數(shù)不存在的點也可用來劃分單調(diào)區(qū)間?！?表示單調(diào)添加“ 表示單調(diào)減少。)(xf51)51, 1() 1 ,51(), 1 ( ) 1,(x11)(xf 000的單調(diào)區(qū)間。確定函數(shù)例32

19、) 1() 1()(. 1xxxf的單調(diào)區(qū)間。確定函數(shù)例xxxf32)(. 2的單調(diào)區(qū)間。確定函數(shù)例xexxf1)6()(. 32. 函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法極小值,極大值統(tǒng)稱極值，極小點,極大點統(tǒng)稱極值點。留意：極小值、極大值與最小值、最大值的差別。0( )f xx定義：設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義0000(1)0( )()()xxf xf xf xx如果當時，則稱為函數(shù)的極小值，為極小值點。0000(2)0( )()()xxf xf xf xx如果當時，則稱為函數(shù)的極大值，為極大值點。對可導(dǎo)函數(shù)來說，極值點必為駐點，而駐點不一定是極值點。什么條件下駐點必為極值點呢？。即處的導(dǎo)數(shù)

20、為零，在點處取得極值，那么點處可導(dǎo)，且在在點設(shè)函數(shù)必要條件定理0)()()()( . 20000 xfxxfxxxf的駐點。的點，稱為函數(shù))(0)(xfxf3. ()定理第一充分條件00( )()0f xxfx設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且000(1)( ) ()xxfxf xx如當 從左至右經(jīng)過時，由正變負，則為極大值，為極大值點。000(2)( ) ()xxfxf xx如當 從左至右經(jīng)過時，由負變正，則為極小值，為極小值點。00(3)( ) ()xxfxf x如當 從左至右經(jīng)過時，不變號，則不是極值。4.()定理第二充分條件00( )()0f xxfx設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且

21、00(1)()0( )fxf xx當時， 函數(shù)在處取得極大值；00(2)()0( )fxf xx當時， 函數(shù)在處取得極小值；00(3)()0()fxf x當時， 不能確定是否為極值。234.( )(1)f xxx例求函數(shù)的極值。325.( )f xxx例求函數(shù)的極值。12121212( ) , (1), , ,( )() ()22( )f xa bx xa bxxxxf xf xff x定義：設(shè)函數(shù)在上有定義如果當時，有則稱的圖象是凹的。x1x2y0 xy0 x1x2x12121212(2), , ,( )()()22( )x xa bxxxxf xf xff x如果當時，有則稱的圖象是凸的。3. 3. 曲線的凹凸性曲線的凹凸性用定義來斷定函數(shù) f (x)的圖形是凹還是凸是非常困難的，下面給出充分條件。6.( ) , (1)( )0(