彈性力學(xué)習(xí)題答案PPT課件

1、習(xí)題習(xí)題4-1試導(dǎo)出位移分量的坐標(biāo)變換式試導(dǎo)出位移分量的坐標(biāo)變換式sincosvuurcossinvuusincosuuurcossinuuvrrASuvruuxyo第1頁(yè)/共45頁(yè)習(xí)題習(xí)題4-2設(shè)有內(nèi)徑為 a 而外徑為 b 的圓筒受內(nèi)壓力 q ，試求內(nèi)半徑及外半徑的改變，并求圓筒厚度的改變。解：解：軸對(duì)稱問(wèn)題的徑向位移公式（平面應(yīng)變）：sincos)21 (2KICrBrrBrrAEur)41 () 1(ln)21 (21對(duì)于圓筒軸對(duì)稱問(wèn)題，有 ur 不隨 變化，即0 KICrrAEur)21 (21又由位移單值條件，有0B常數(shù)A、B由應(yīng)力邊界條件確定。應(yīng)力分量：CrAr22邊界條件：qar

2、r0brrqCaA22022 CbAqabbaA2222qabaC2222第2頁(yè)/共45頁(yè)CrrAEur)21 (21qabbaA2222qabaC2222rrbqabEaur)21 ()(122221)(122222ababqEauarr)(21222ababEaqubrr112ababqEauuarrbrr第3頁(yè)/共45頁(yè)習(xí)題習(xí)題4-3 設(shè)有剛體，具有半徑為 b 的圓柱形孔道，孔道內(nèi)放置一外半徑為 b而內(nèi)半徑為 a的圓筒，受內(nèi)壓力 q ，試求圓筒壁的應(yīng)力。解：解：剛體邊界條件：qarr0arr0brruCrrAEur)21 (21CrAr22代入邊界條件，有qCaA220)21 (2Cbb

3、AqabbaA2222)21 ()21 (qabaC222)21 (2CrA220r將常數(shù)A、C 代入，有第4頁(yè)/共45頁(yè)將常數(shù)A、C 代入，有)211()21 (222222rbqabba)211()21 (222222rbqabbar剛體CrAr22CrA220rqabbaA2222)21 ()21 (qabaC222)21 (2)211()21 (222222abqabba)211()21 (222222abqabbarar q第5頁(yè)/共45頁(yè)習(xí)題習(xí)題4-4 矩形薄板受純剪，剪力集度為q，如圖所示。如果離板邊較遠(yuǎn)處有一小圓孔，試求孔邊的最大和最小正應(yīng)力。qqqqqqqq 45解：解：xy

4、rqqxyr(a)由圖（a）給出的孔邊應(yīng)力結(jié)果：)2cos21 ( q得：)45(2cos21q)45(2cos21q2sin21 q2sin21q2sin4qq4maxq4min第6頁(yè)/共45頁(yè)習(xí)題習(xí)題4-5楔形體在兩側(cè)受有均布剪應(yīng)力q，如圖所示。試求其應(yīng)力分量。xyOqq22解：解： （1）應(yīng)力函數(shù) 的確定),(r由因次分析法，可知)(2fr代入相容方程：011222222rrrr得到：0)(4)(122442dfddfdr0)(4)(2244dfddfdDCBAf2sin2cos)()(2fr)2sin2cos(2DCBAr第7頁(yè)/共45頁(yè)（2）應(yīng)力分量的確定DCBAr222sin22c

5、os2DCBA222sin22cos2CBAr2cos22sin2)(2fr)2sin2cos(2DCBArxyOqq22由對(duì)稱性，,r應(yīng)為 的偶函數(shù)；r應(yīng)為 的奇函數(shù)， 因而有，0CB（3）由邊界條件確定常數(shù)邊界條件：DAr22cos2DA22cos22sin2Ar02qr2代入，有：02cos2 DAqAsin2sin2qA cot2qD代入應(yīng)力分量式，有22211rrrr22rrrr1第8頁(yè)/共45頁(yè)DAr22cos2DA22cos22sin2ArxyOqq22代入應(yīng)力分量式，有sin2qA cot2qDcotsin2cosqrsin2sinqrcotsin2cosqr第9頁(yè)/共45頁(yè)習(xí)

6、題習(xí)題4-6 三角形懸臂梁在自由端受集中荷載 P，如圖所示。試用公式（4-21）求任一鉛直截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，并與材料力學(xué)中的結(jié)果對(duì)比。xyO22P)sinsin(2rPr解：解：由密切爾（ J. H. Michell ）解答，得0, 0r2sin2cos22rrrx2sin2cos22rrry2cos2sin2rrxy由應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式：2cos22rrx)2cos1)(sinsin(rP2cos22rry)2cos1)(sinsin(rP00rr)sinsinsinsincoscos(2rPr （4-21） 密切爾（ J. H. Michell ）解答第10頁(yè)/共45頁(yè)2sin2c

7、os22rrrx2sin2cos22rrry2cos2sin2rrxy2cos22rrx)2cos1)(sinsin(rP2cos22rry)2cos1)(sinsin(rP2sin2rxy2sin)sinsin(rP由坐標(biāo)變換式：22yxrsin,cosryrx,)(sin22222yxyxPx,)(sin22223yxyPy,)(sin22222yxxyPxy,)(sin22222yxyxPx,)(sin22222yxxyPxy第11頁(yè)/共45頁(yè)x2tanxh 材料力學(xué)結(jié)果：截面彎矩xyO22PPxM截面慣性矩1223hI截面正應(yīng)力IMyx2tan3233x2tan2332xPy,)(si

8、n22222yxyxPx 彈性力學(xué)結(jié)果兩者結(jié)果相差較大。第12頁(yè)/共45頁(yè)習(xí)題習(xí)題4-7 曲梁在兩端受相反的兩個(gè)力 P 作用，如圖所示。試求其應(yīng)力分量。xyrabOPP解：解：（1）應(yīng)力函數(shù)的確定分析：任取一截面 ，截面彎矩為PyM sinrP)()(1rfMsin)(1rf22rsin)(rf將其代入相容方程：011222222rrrr0sin)(3)(3)(3)(2)(432223344rfrdrrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfd0)(3)(3)(3)(2)(432223344rfrdrrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfd （a）第13頁(yè)/共45頁(yè)0)(3)(3)(3)(2)

9、(432223344rfrdrrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfd上述歐拉方程的解：rDrCrrBArrfln1)(3 （b）代入應(yīng)力函數(shù)為sinln13rDrCrrBAr （c）（2）應(yīng)力分量的確定22211rrrr22rrrr1sin)22(3rDrBArsin)26(3rDrBArcos)22(3rDrBAr （d）第14頁(yè)/共45頁(yè)邊界條件：0arr, 0arr0brr, 0brr代入應(yīng)力分量得：0223aDaBAa0223bDbBAb端部條件（右端）：Pdrbar0代入剪應(yīng)力分量得：PrDrBArbaln122PabDbaabBabAln)(222222 （f）聯(lián)立求解式（e）

10、、（f），得：xyrabOPP （e）00drba00rdrba自然滿足22211rrrr22rrrr1sin)22(3rDrBArsin)26(3rDrBArcos)22(3rDrBAr （d）22211rrrr22rrrr1sin)22(3rDrBArsin)26(3rDrBArcos)22(3rDrBAr （d）第15頁(yè)/共45頁(yè),2NPA ,222NbPaB)(22baNPD其中，abbabaNln)()(2222代入應(yīng)力分量式（d），有：sin)(32222rbarbarNPrsin)3(32222rbarbarNPcos)(32222rbarbarNPr （f）xyrabOPP第1

11、6頁(yè)/共45頁(yè)習(xí)題習(xí)題4-8 設(shè)有無(wú)限大的薄板，在板內(nèi)的小孔中受有集中力P，如圖所示。試用如下應(yīng)力函數(shù)求其應(yīng)力分量。解：解：（1）應(yīng)力分量sincoslnBrrAr提示：須要考慮位移單值條件。22211rrrr22rrrr1cos)2(rBAcosrAsinrA（2）確定常數(shù)rrr取一半徑為 r 的圓板為隔離體，其上受力如圖。由圓板的平衡，得, 0 xF0sincos20Prdrr代入應(yīng)力分量，有第17頁(yè)/共45頁(yè)rrr0sincos22022PrdrArBA0cos2sincos20222PdBA02 PB代入應(yīng)力分量，有2PB, 0yF, 0OM0cossin20rdrr020rdrcos

12、)2(rBArsinrAr0cossin220dBA0sin20dA恒等式（3）由位移單值條件確定常數(shù) A第18頁(yè)/共45頁(yè)由物理方程與幾何方程：rrrcos)2(rBArcosrAsinrAr2PB其中：應(yīng)力分量：)(1rrrErucos)2(1ABArE積分得：)(cos)2(lnfABAErur代入：)(11rrEurrucos)2(1BAArEruucos)2(1BAAE將 ur 代入積分得：)2(ln)2(sinABArBAAEu)()(rgdf)(1rrrEru)(11rrEurrurE12ruruurrr1第19頁(yè)/共45頁(yè)rE12ruruurrr1將 ur u 代入r ,rAE

13、sin12 dfBBAEddf)(sin)2(2)(0)()(rgdrrdgr要使上式對(duì)任意的 r、 成立，有LdfBBAEddf)(sin)2(2)(Lrgdrrdgr)()(LJrrg)(其中：L為常數(shù)。（a）（b）求解式（a），有（c）將式（b）變?yōu)椋?)(cos)2(2)(22fBBAEdfd（d）第20頁(yè)/共45頁(yè)0)(cos)2(2)(22fBBAEdfd（d）求解式（b），有sin2sincos)(EBBAKIf（e）cossin)(KIdf（f）LEBBAcossin2)2(ln)2(sinABArBAAEucossinKIJrEBBAcossin2將 代入 u , 有 )(,

14、)(),(rgdff由位移單值條件，有02BBABA21P41第21頁(yè)/共45頁(yè)P(yáng)A412PBcos)2(rBArcosrAsinrAr代入應(yīng)力分量：rrr得到：cos4)3(rPrcos4)1 (rPsin4)1 (rPr第22頁(yè)/共45頁(yè)習(xí)題習(xí)題4-9 半平面在其一段邊界上受法向分布載荷作用 q , 如圖所示。試證半平面體中直角坐標(biāo)應(yīng)力分量為：)2sin2(sin)(2212120qx（疊加法）)2sin2(sin)(2212120qy)2cos2(cos2120qxyqxyOP12證法證法1:aa第23頁(yè)/共45頁(yè)qxyOP12aaxyOaaqPxyOaaqP（疊加法）證法證法1:分析思

15、路：第24頁(yè)/共45頁(yè)xyOqPrqxyPrqqr)(tan2)2sin2()2cos1 (tanqq)(tan2)2sin2()2cos1 (tanqr)(tan2)2sintan)2cos1 (2sin)2(2qr2sin)2(2q)2cos1 (2qr求解步驟：由楔形體在一面受均布?jí)毫?wèn)題的結(jié)果：（4-25）)(第25頁(yè)/共45頁(yè)xyOqPr2sin)2(2qr2sin)2(2q)2cos1 (2qr222)arctan2(2yxxyxyqx222)arctan2(2yxxyxyqy22222yxxqxy（由應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換） 應(yīng)力分量的直角坐標(biāo)形式第26頁(yè)/共45頁(yè)xyOaaqP22

16、)()(2)arctan2(2ayxayxxayqx22)()(2)arctan2(2ayxayxxayqy222)(22ayxxqxyy y+axyOqPr222)arctan2(2yxxyxyqx222)arctan2(2yxxyxyqy22222yxxqxy第27頁(yè)/共45頁(yè)22)()(2)arctan2(2ayxayxxayqx22)()(2)arctan2(2ayxayxxayqy222)(22ayxxqxyxyOaaqP2222sin)2(2qx222sin)2(2qy)2cos1 (22qxy2arctanxay222cos)(ayxay222sin)(ayxx2222cos1s

17、in2第28頁(yè)/共45頁(yè)xyOaaq0P22)()(2)arctan2(2ayxayxxayqx22)()(2)arctan2(2ayxayxxayqy222)(22ayxxqxyxyOqPr222)arctan2(2yxxyxyqx222)arctan2(2yxxyxyqy22222yxxqxyy ya第29頁(yè)/共45頁(yè)1112sin)2(2qx112sin)2(2qy)2cos1 (21qxyxyOaaq0P22)()(2)arctan2(2ayxayxxayqx22)()(2)arctan2(2ayxayxxayqy222)(22ayxxqxy1arctanxay122cos)(ayxa

18、y122sin)(ayxx1212cos1sin2第30頁(yè)/共45頁(yè)q0 xyOP12aa222sin)2(2qx222sin)2(2qy)2cos1 (22qxy112sin)2(2qx112sin)2(2qy)2cos1 (21qxy)2sin2(sin)(2212120qx)2sin2(sin)(2212120qy)2cos2(cos2120qxy第31頁(yè)/共45頁(yè)（積分法）證法證法2:qxyOP12qdyx2223)(2yxxqddx2222)()(2yxyxqddy2222)()(2yxyxqddxy 利用半限平面邊界上作用法向集中力 P 的結(jié)果，有： 由圖中的幾何關(guān)系，有：cos)

19、(22 yxxsin)(22yxytanxy 2cosdxd222coscos)(dyxcos)(22dyx（1）將以上關(guān)系式代入式（1），有第32頁(yè)/共45頁(yè)qxyOP12qdyxdqdx2cos2（2）dqdy2sin2dqdxycossin22223)(2yxxqddx2222)()(2yxyxqddy2222)()(2yxyxqddxy（1）122cos2dqx122sin2dqy12cossin2dqxy（3）第33頁(yè)/共45頁(yè)qxyOP12qdyx122cos2dqx122sin2dqy12cossin2dqxy（3） 積分上式，有：)2sin2(sin)(2212120qx)2s

20、in2(sin)(2212120qy)2cos2(cos2120qxy第34頁(yè)/共45頁(yè)badr000bardrbardr00arr0arr0brr0brrbardr000badr00bardr0arr0arr0brr0brrPPM(a)(b)090bardrbadr90bardr90PPMMPPbaM2MPba2Pba2MPbaM2badr0bardr0bardr00MPba2P第35頁(yè)/共45頁(yè)(c)rra0000r01800180r0cossincos0Padarrarr0sincossin0Padarrarr00adaarr0 xF0yF0OM第36頁(yè)/共45頁(yè)補(bǔ)充題xyO22MP列寫圖示問(wèn)題的邊界條件qr000r00r0qrr0qrr第37頁(yè)/共45頁(yè)xyO22MP00r00rrrr0yF0cossincos22Prdrr0sincossin22Prdrr0 xF0OM0222Mdrrr第38頁(yè)/共45頁(yè)試證明： 補(bǔ)充題 1 1122222rrrrrrrr滿足極坐標(biāo)下平衡微分方程（4-1） 補(bǔ)充題證明極坐標(biāo)系下應(yīng)變