《編制數(shù)學(xué)開放題開展探究性學(xué)習(xí)》

1、編制數(shù)學(xué)開放題開展探究性學(xué)習(xí)摘要：開展探究性學(xué)習(xí)需要有合適的載體。實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)開放題是用丁研究性 學(xué)習(xí)合適、有效的載體，有利于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，有利于學(xué)生創(chuàng)造潛 能的發(fā)揮。木文重點(diǎn)闡述了如何編制數(shù)學(xué)開放題，開展探究性學(xué)習(xí)。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)開放題 探究性學(xué)習(xí)隨著人類新型知識體系的構(gòu)建和形成，新的教育理念正在不斷更新，以適應(yīng) 新型知識體系。國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）的基本理念屮指岀：“有效的 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué) 生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式?！碧骄啃詫W(xué)習(xí)是素質(zhì)教育培育創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的必 由之路?！皩W(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，老師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引

2、導(dǎo)者與合作 者。”為此，教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，應(yīng)該讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動屮改變 學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生樂意并將更多的精力投入到現(xiàn)實(shí)的探索性的學(xué)習(xí)活動屮去。數(shù)學(xué)開放性問題是近年來高考命題的一個新的熱點(diǎn)。近年來在全國和各地的 高考試題屮連續(xù)出現(xiàn)具有開放性的題忖。其主要形式有:信息遷移題、填空選擇 化、條件和結(jié)論的探索開放以及解題方法和策略的開放等。通過比較不難發(fā)現(xiàn)， 不僅開放的題量有所增加，而且開放的形式也在不斷變化。實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)開放 題是用于探究性學(xué)習(xí)合適、有效的載體。數(shù)學(xué)開放題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究的思想方法, 解答過程是探究的過程，數(shù)學(xué)開放題體現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的形成過程，體現(xiàn)解答對象的 實(shí)際狀態(tài)，數(shù)學(xué)開放

3、題有利于為學(xué)生個別探索，便于因材施教，可以用來培養(yǎng)學(xué) 生思維的靈活性和發(fā)散性，使學(xué)生體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成功感。開放題的核心是培養(yǎng) 學(xué)生的創(chuàng)造意識和創(chuàng)造能力，激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考和創(chuàng)新的意識，這是新的教育理 念的具體體現(xiàn)。編制開放題用于數(shù)學(xué)教學(xué)，這無疑是對教師和學(xué)生都提出了更高 的要求，通過師生對實(shí)際問題的觀察、記錄、分析、歸納、探索和交流等，為學(xué) 生提供了多渠道獲取知識，并將獲得的知識綜合應(yīng)用于開放的學(xué)習(xí)環(huán)境，從而可 以培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，提髙進(jìn)行數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的本領(lǐng)。如何編制數(shù)學(xué)開放題是值得研究的課題。數(shù)學(xué)開放題按命題要素的發(fā)散傾向 分為：條件開放型、方法開放型、結(jié)論開放型、綜合開放型；按信息過程

4、的訓(xùn)練 價(jià)值分為信息遷移型、知識鞏固型、知識發(fā)散型等。開放題的編制不僅是教師的 任務(wù)，它的編制本身也可以成為學(xué)生探究性學(xué)習(xí)的一項(xiàng)內(nèi)容。其本身意義也是一 種教育創(chuàng)新。如何編制數(shù)學(xué)開放題，本人認(rèn)為從以下幾個方面著手：1、編制數(shù)學(xué)開放題 激發(fā)學(xué)生探究興趣愛因斯坦說過，源于興趣的動力是無窮的。問題則是激發(fā)學(xué)生興趣的心理動 力。思維經(jīng)常從問題開始，它是激發(fā)學(xué)生求知欲， 引起學(xué)習(xí)興趣的內(nèi)在動力。問題不管在學(xué)習(xí)中還是 在生活中，都能引起學(xué)生的興趣。如：在“全等三廣角形判定”新課的教學(xué)中，我編制了這樣的一個開/ /放性問題。/ / 例1、某同學(xué)不慎將一塊三角形的玻璃打碎成了(如圖1所示)，現(xiàn)在要到玻璃丿占去配

5、一塊完全一樣的玻璃，那么他應(yīng)帶哪幾塊 去？通過編制開放性數(shù)學(xué)問題，把問題隱藏在情境z中，從而產(chǎn)生認(rèn)知沖突，形 成懸念，引發(fā)學(xué)生迫不及待地探究的興趣，激發(fā)學(xué)生探究的欲望，促進(jìn)學(xué)生利用 已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，調(diào)動己的思維，促進(jìn)學(xué)生自主探索意識的形成，使學(xué)生逐 步樹立起學(xué)習(xí)的主動性、積極性，確立學(xué)習(xí)是一個快樂的進(jìn)程。這樣學(xué)生才會肯 思維，才能敢思維。2、以知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處為切入口編制開放問題以一定的知識結(jié)構(gòu)為依托，從知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處切入編制開放問題，進(jìn)行 研究性學(xué)習(xí)。首先，我們以高考題為例，來看看高考命題專家如何編制綜合問 題來發(fā)揮其考查功能。例2、(2003年高考江蘇卷第20題)己知常數(shù)a>0,

6、向量2 = (0, a),；二(1,0)。經(jīng)過原點(diǎn)0以c +入z為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)a(0, a)以2-2入c為方向向 量的直線相交于點(diǎn)p,其中x gro試問：是否存在兩點(diǎn)e、f,使得| pe | + | pf|為定值。若存在，求出e、f的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。本小題主耍考查平面向量的概念和計(jì)算，求軌跡的方法、橢圓的方程和性 質(zhì)，利用方程判斷曲線的性質(zhì)，曲線和方程的關(guān)系等解析兒何的基本思想和綜 合解題能力。通過該問題的研究、探索和合作交流，可以增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn) 和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。因而，我們可以依照高考題的編制方法, 在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處引導(dǎo)學(xué)生編制開放題或?qū)ふ业湫烷_放

7、問題進(jìn)行改編，這樣 不僅可以提高學(xué)生的積極性，而且可以體驗(yàn)知識的形成過程，從而提高探究能 力和研究問題的本領(lǐng)。3、以數(shù)學(xué)定理、公理為依托編制數(shù)學(xué)開放題在美國國家科學(xué)教育標(biāo)準(zhǔn)屮，探究也指學(xué)習(xí)過程。它是一種積極的學(xué)習(xí)過程 “學(xué)生去做的事，而不是為他們做好的事”(something that students do, not something that is done to them) 3。換句話說，就是讓學(xué)生自己思考 怎么做甚至做什么，而不是讓學(xué)生接受教師思考好的現(xiàn)成的結(jié)論。數(shù)學(xué)中的定理、 公理或公設(shè)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，圍繞定理、公理或公設(shè)我們可以設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)?開放的問題情景，讓學(xué)生進(jìn)行探究，通

8、過口己的努力去發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，體驗(yàn)研究 的樂趣。如在平行四邊形的判定教學(xué)屮。例3、平行四邊形abcd具有以下性質(zhì)：(1) ab/cd (2)bc/ad(3)ab 二 cd(4)bc 二 ad(5)za=zc (6)zb二zi) o若滿足上述兩個條件，能否保證abci)為平行四邊形？我們以平行四邊形的判定為依托編制數(shù)學(xué)開放題，通過上述開放問題的 研究，師生合作交流，共同探究發(fā)現(xiàn)了平行四邊形的判定定理。從而讓學(xué)生經(jīng)歷 了數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的過程，培養(yǎng)了學(xué)生的探究能力。4、以封閉題為原型推廣、引申編制數(shù)學(xué)開放題很多習(xí)題多是具有完備的條件和確定的答案，習(xí)慣上稱z為“封閉題”，在 研究性學(xué)習(xí)小首先呈現(xiàn)給學(xué)生封

9、閉題，解答完z后，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究， 如探究更一般的結(jié)論，探究更多的情形，或探究該結(jié)論成立的其它條件等等。女 人教版高中數(shù)學(xué)第一冊（上）第92頁的一道習(xí)題：例4、如圖2所示，有一塊邊長為a的正方形鐵皮，將其 四個角各截去一個邊長為x的小正方形，然后折成一個無 蓋的盒子，寫出體積v以x為自變量的函數(shù)式，并求出這 個函數(shù)的定義域。探索1 （提岀問題）：問x為何值時(shí)，體積v最大？探索2 （條件發(fā)散）：從邊長為2a的正方形鐵片的四個角各截去一個邊長為x的正方形，然后折成一個無蓋的長方形盒子，要求長方體的 高度x與底面正方形邊長的比不超過常數(shù)-1）把鐵盒的容積v表示為x的函數(shù), 并指出其定義域；2

10、） x取何值時(shí)，容積v有最大值？探索3（對彖發(fā)散）：有一塊長為2,寬為1的矩形鐵皮，現(xiàn)要在四個角各截去一 個邊長為x的正方形，然后做成無蓋的長方形盒子，問x取何值時(shí)，容積v有最 大值？通過教師引導(dǎo)師生共同深入挖掘教材，使教學(xué)內(nèi)容問題化，教學(xué)過程 探索化。課木上有很多好題，如果我們能對具進(jìn)行挖掘、加工、引申與改造，就 可以得到一些綜合性具有創(chuàng)新意義的新問題。這樣可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對 學(xué)生應(yīng)用能力、探究能力的提高大有裨益，同時(shí)也是進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)的一-種行之 有效的手段。我們在原有封閉性問題基礎(chǔ)上，使學(xué)生的思維向縱深發(fā)展，發(fā)散開 去，能夠啟發(fā)學(xué)生有獨(dú)創(chuàng)性的理解，就形成了開放題。5. 以實(shí)際問題

11、為背景編制開放題教師要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察社會現(xiàn)象，觀察生活，從而從中找到可以 供學(xué)生研究的問題，以實(shí)際問題為背景編制的開放題，往往有趣而富有吸引力， 有利于開展探究性學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。ci + m a例4已知s已廠并且代方求證喬近（蘇教版，選修4-5不 等式選講第13頁例3）除教材介紹的方法外，并用實(shí)際例子說明這個不等式的意義。根據(jù)廿標(biāo)的結(jié) 構(gòu)特征，改變一下考察問題的角度，或同時(shí)對目標(biāo)的結(jié)構(gòu)作些調(diào)整、重新組合， 可獲得如下思路：兩點(diǎn)（b,a）、（-m, -m）的連線的斜率大于兩點(diǎn)（b,a）、（0, 0） 的連線的斜率；b個單位溶液屮有a個單位溶質(zhì)，其濃度小于加入m個單位溶質(zhì) 后的

12、濃度；在數(shù)軸上的原點(diǎn)和坐標(biāo)為1的點(diǎn)處，分別放置質(zhì)量為m、a的質(zhì)點(diǎn)時(shí) 質(zhì)點(diǎn)系的重心，位于分別放置質(zhì)量為叭b的質(zhì)點(diǎn)時(shí)質(zhì)點(diǎn)系的重心的左側(cè)等。以實(shí)際問題為背景，編制此類應(yīng)用問題的作用，用于探究性學(xué)習(xí)，不只在于 解決問題，更重要的是讓學(xué)生參與活動，增加體驗(yàn)，增強(qiáng)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué) 問題的“數(shù)學(xué)化”能力，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，從而提高研究能力。此外，以數(shù)學(xué)研究思想、方法和技巧等為依托均可編制開放題。數(shù)學(xué)家的很 多數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)屮研究方法蘊(yùn)涵深刻的數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)屮讓學(xué)生親身體 驗(yàn)數(shù)學(xué)家的某些研究，做小科學(xué)家，點(diǎn)燃埋藏在學(xué)生心靈深處的智慧火種。以此 為著眼點(diǎn)編制開放題，其教育價(jià)值是不言而喻的。總z,在課堂上應(yīng)倡導(dǎo)“開放式學(xué)習(xí)方式”，鼓勵學(xué)生大膽質(zhì)疑，盡量把思 考的時(shí)間和表現(xiàn)的機(jī)會止給學(xué)生，鼓勵師生間、學(xué)生間相互交流，體現(xiàn)以“學(xué)生 的發(fā)展為木”的教育觀念。著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾說過：“沒有一種數(shù)學(xué) 的思想，以它被發(fā)現(xiàn)時(shí)的那個樣子公開發(fā)表出來”。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)屮反璞歸 真，尋找數(shù)學(xué)的木原，重現(xiàn)數(shù)學(xué)家當(dāng)初發(fā)明創(chuàng)新時(shí)的思維過程，