二階線性常微分方程的冪級數(shù)解法

1、二階線性常微分方程的幕級數(shù)解法從微分方程學(xué)中知道，在滿足某些條件下，可以用幕級數(shù)來表示 一個函數(shù)。因此，自然想到，能否用幕級數(shù)來表示微分方程的解呢？ 例1、求方程 y xy 0的通解解：設(shè) y ao aix a2 x2 an xn 為方程的解，這里犖(i 0,1,2,-, n,-)是待定常系數(shù)，將它對x微分兩次,有y 2 la2 3 2a3 x L n (h l)an xn 2 (n l)nan ixn 1 L將y, y的表達式代入方程，并比較的同次幕的系數(shù)，得到x 2 la2 0 ,3 2a3 ao 0,4 3a4 ai 0,5 4as a2 0,L或一般的可推得ao2356L(3k1) 3

2、ka3k 1ai3467L3k (3k 1)a 03k 2其中22是任意的，因而代入設(shè)的解中可得:X3ny ao 1 2 323562356L(3n 1) 3nL aixL3 43 4 6 7 L 3n (3n 1)這個幕級數(shù)的收斂半徑是無限大的， 因而級數(shù)的和(其中包括兩個任意常數(shù)辿及犖)便是所要求的通解。例 求方程y” 2xy，4y 0的滿足初值條件丫(0)0及y® 1的解。6解 設(shè)級數(shù)y ao aix a2X2 - an xn為方程的解。首先，利用初值條件，可以得到因而y x &2 X2 a.3X3 L an Xn Ly 1 2a2 x 3as X2 l nan xn

3、i Ly” 2a23 2as x L n (n 1)弘 Xn 2 L將y,y”的表達式帶入原方程，合并 x的各同次幕的項，并令各項系數(shù)等于零，得到a2 0, ail,a4nT 2U 丄,anan 2n 1因而一 1 Tas,a6 0,a?, as 0, ag2!6 3!最后得a&2 k 11丄，2kk(k D!k !0 ,L丁,L 4!對一切正整數(shù)k成立。ao aix a，2 x2an xn 就得到將ai(i 0,l,2,L )的值代回yy x x3 x5 L X2k 1 l2!k !x(l x2 x4 L X2k l ) xex2 ,2!k !這就是方程的滿足所給初值條件的解。是否所

4、有方程都能按以上方式求出其幕級數(shù)解？或者說究竟方程應(yīng)該滿足什么條件才能保證它的解可用幕級數(shù)來表示呢？級數(shù)的 形式怎樣？其收斂區(qū)間又如何？這些問題，在微分方程解析理論中有完滿的解答，但因討論時需要涉及解析函數(shù)等較專門的知識，在此我們僅敘述有關(guān)結(jié)果而不加證明，若要了解定理的證明過程，可參考有關(guān)書籍?？紤]二階齊次線性微分方程iLyq(x) y 0dx2dx及初值條件。及的情況。y(x ) y y (xo) y o不失一般性，可設(shè)xo 0,否則，我們引進新變量t xxo,經(jīng)此變換，方程的形狀不變，在這時對應(yīng)于x xo的就是© 0 了，因此, 今后我們總認為X0 0od 2 ydy定理10 若

5、方程dx2 P(x)dx q (x) y 0中系數(shù)p (x)和q (x)都能展2成X的幕級數(shù)，且收斂區(qū)間為|x | R ,貝!|方程y p(x) q (x) y 0dx2dx有形如yHn Xnn 0的特解，也以|x| R為級數(shù)的收斂區(qū)間。在上兩例中方程顯然滿足定理的條件，系數(shù)x , 2x和4可看作是 在全數(shù)軸上收斂的幕級數(shù)，故方程的解也在全數(shù)軸上收斂。但有些 方程，例如n階貝賽爾方程X2d/y X_dyn2 )y 0dx2 dx這里n為非負常數(shù),不一定是正整數(shù)，(士 P(x) Q(x)y 0 )dx2dx在此p(x)丄nq 仗)19X 9x2,顯然它不滿足定理10的條件，因而不能肯定有形如ya

6、 xnn旳特解。但它滿足卜述定埋n 011的條件，從而具有別種形狀的幕級數(shù)解。的特解,是一個特定的常數(shù),級數(shù)yo an xn也以為收斂區(qū)間。%或更一般的,0(iW但葺0,d 2 ydy定理11若方程一r pQ q(x)y 0中系數(shù)p(x) , qQ具有dxdx這樣的性質(zhì)，即xp (x)和x?q仗)均能展成x的幕級數(shù) 口收斂區(qū)間為d2ydyX R ,若ao 0,則方程2P(X)q仗)y 0有形如dxdxy xan Xnr0即b xk這里bo am仍為待定常數(shù)。則引入記號例7求解n階貝賽爾方程X2d 2 y dydx2 xdxxn X解將方程改寫成d 2 y 1 dy x2 r)2 y Q ,dx

7、2 x dx x2易見，它滿足定理11的條件(xp(x)和x?q仗)均能展成x的幕級數(shù)，且收斂區(qū)間為|x| R ),且xpx l,x2qx x2 n2,按展成的幕級數(shù)收斂區(qū)間為 X ,由定理11,方程有形如y akxa kk 0的解，這里ao 0 ,而和 是待定常數(shù)，將ak xa k代k 02 d2y dy 22A：Xdx? Xdx a n)y° 中，得x2k)(ak l)akxa k2k 1x k)a.R xa k 1k 1(x2 n2 ) ak xa k 0 ,k 0把x同幕次項歸在一起，上式變?yōu)?k)(k 1) (k) n2 ak xa kak xa k 20k 0k 0令各項

8、的系數(shù)等于0,得一系列的代數(shù)方程ao Lad(l)2n2ak (k)2n2ak 22,3,L因為ao故從aon2解得的兩個值先考慮n時方程2宀X 2dxdy 22、(x n) ydx解，這時我們總可以從以上方程組中逐個地確定所有的系數(shù)的一個特ak o扌巴n代入以上方程組，得到ai 02k(2n k) k 2,3L或按下標為奇數(shù)或偶數(shù)，我們分別有a2k 1a2ka2k 2k 1 2n 2k 1ak 1,2丄2 k 22k 2n 2k從而求得a 02klk1，2丄a2an22 1 n 1ao24 2!n 1 n 2ao26 3!n一般地a2kao22 k k!nln2Lnkk 1，2，L將8k各代

9、入ak xa k得到方程X2d?k 0ydx2X_dy (x2 n2 )y 0dx的一個解yi ao xnk1 aov 2k n既然是求122k k!nln2Lnkn2)y °kx2d2y dy 2x (xdxdx的特解，我們不妨令ao2n n 1其中函數(shù) s定義如下:當(dāng)S0時， s1推公式 (s) Sss具有性質(zhì)0 Xs ledx；當(dāng)So且非整數(shù)時，由遞1 、定義。s 1 S s ； n 1 n!n為正整數(shù)a xn1 &0ki22k k!nln2 L n kX2k n變?yōu)?k n JCn 12k1 yik o k! n k L n 1注意到函數(shù)的性質(zhì)，即有k2kn1XyiJ

10、n Xko k!n kr 22d2ydy22Jn X是由貝塞爾方程X2x (xn) y 0定義的特殊函dxdx數(shù)，稱為n階貝賽爾函數(shù)。因此，對于n階貝塞爾方程，它總有一個特解 Jn X o為了求得另一個與Jnx 2d 2 y2 dx時方程線性無關(guān)的特解，我們自然想到,。的形如Xdy 2 x (xdxn2)y的解，我們注意到只要n不為非負整數(shù)，像以上對于的求解過程一樣，我們總可以求得a2kiO k 1，2丄a2klkao1,2丄2k2ao _2 n20ai (l)2n20a (k)2n2：a0k 2使之滿足kk2,3,Ly222kk1k! n 1 n 2 L2d 2 y是 X dx2dyx 二a

11、oY2中的一系列方程，因 X2k nn k2n)y 0的一個特解。此時，若令k 12 2kk!X2k nn k變2k nJn Xk 0 k ! n k 12稱J n X為階貝賽爾函數(shù)。利用達朗貝爾判別法不難驗證級數(shù)kya xn1aoX：2k n和i0k 1 22kkin1n2 Ln kkya x nL-W-X2k n'、在20k 122kk!n1n 2Lnk(kya x nL-ao- X2k n中20k 122kk!n1n 2Lnkx 0）都是收斂的，因此，當(dāng)n不為非負整數(shù)時，Jn X和Jn X 都是方程X2匚 X空（X 2 n2）y °的解，而且是線性無關(guān)的，dx dx因為

12、它們可展為由X的不同幕次開始的級數(shù)，從而它們的比不可能2 d2 v dy 22是常數(shù)。于是方程x X （x n）y0的通解可寫為 dxdxy CiJn X C2 J n Xc這里Ci ,2是任意常數(shù)。此情形的Jn x和Jn X稱為第一類貝塞爾函數(shù)。例8求方程x2 y” xy4涉y 0的通解。25解 引入新變量t 2X ,我們有衛(wèi) dyVj 2_dydxdtdxdtd2yddydtd2y24dx2dt dtdxdt 2 ,將上述關(guān)系代入院方程，得到2 d 2 yt 2dtdytdt29t y 0 ,的貝塞爾方程，由例7可知，方程2 d 2 yt 2dtdy tdt29t y 0的通解可表為25y

13、 C1J3 t5代回原來變量，就得到原方程的通解y C1J_3 2x C2 J_3 2x55其中Cl，C2是任意常數(shù)。第二宇宙速度計算作為這一節(jié)的應(yīng)用,我們計算發(fā)射人造衛(wèi)星的最小速度,即所謂25第二宇宙速度。在這個速度你下，物體將擺脫地球的引力，向地球一樣 繞著太陽運行，成為人造衛(wèi)星讓我們首先建立物體垂直上拋運動的微分方程 .以M和m分別表示地球和物體的質(zhì)量按牛頓萬有引力定律，作用于物體的引力F徑氣阻力忽略不計）為F k列r2這里r表示地球的中心和物理體重心之間的距離，k為萬有引力常數(shù)。因為，物體運動規(guī)律應(yīng)滿足下面的微分方程m d 2r k m M dt2r2d2 r Mdt2 kr 2這里的負號表示物體的加速度是負的。設(shè)地球半徑為R(R 63 105 m),物理發(fā)射速度為Vo ,因此，當(dāng)物體 剛剛離開地球表面時，我們有rR,drv0，-§卩應(yīng)取初值條件為dt0 時，r R,r vodt、丁門£ 萬程dt2的方法,把方程降階成為一階方程k町不顯含自變量t,應(yīng)用4.3.1 (可降階的一些方程類型) rV dv dr解得2注意到這時初值條件為因而v2 kM vo 2 kM )2 r 2 R因為物體運動速度必須始終保持是正的，即0,而隨著r的個斷增大，量