晶體的對稱性

1、固體物理學(xué)固體物理固體物理1 晶體在幾何外形上表現(xiàn)出明顯的對稱性晶體在幾何外形上表現(xiàn)出明顯的對稱性 對稱性的性質(zhì)也在物理性質(zhì)上得以體現(xiàn)對稱性的性質(zhì)也在物理性質(zhì)上得以體現(xiàn)介電常數(shù)表示為二階張量介電常數(shù)表示為二階張量( , , )x y z ED電位移電位移01/341.5 1.5 晶體的晶體的宏觀宏觀對稱性對稱性晶體的理想外形及其在宏觀觀察中表現(xiàn)出來的對稱性稱為晶體的宏觀對稱性. 晶體的宏觀對稱性是在晶體微觀對稱性基礎(chǔ)上表現(xiàn)出來的.固體物理學(xué)固體物理固體物理2ED電位移電位移 對于立方對稱的晶體對于立方對稱的晶體0ED0介電常數(shù)看作一個簡單的標(biāo)量介電常數(shù)看作一個簡單的標(biāo)量固體物理學(xué)固體物理固體物

2、理3000000/ 六角對稱晶體六角對稱晶體 將坐標(biāo)軸取在六角軸和垂直于六角軸的平面內(nèi)將坐標(biāo)軸取在六角軸和垂直于六角軸的平面內(nèi)介電常數(shù)介電常數(shù)固體物理學(xué)固體物理固體物理4000000/E/EDEED平行軸平行軸(六角軸六角軸)分量分量垂直于六角軸分量垂直于六角軸分量 由于六角晶體的各向異性，具有光的雙折射現(xiàn)象由于六角晶體的各向異性，具有光的雙折射現(xiàn)象 立方晶體的光學(xué)性質(zhì)則是各向同性的立方晶體的光學(xué)性質(zhì)則是各向同性的固體物理學(xué)固體物理固體物理5 原子的周期性排列形成晶格原子的周期性排列形成晶格 不同的晶格表現(xiàn)出不同的宏觀對稱性不同的晶格表現(xiàn)出不同的宏觀對稱性晶體宏觀對稱性晶體宏觀對稱性 考察晶體

3、在正交變換的不變性考察晶體在正交變換的不變性 三維情況下，正交變換的表示三維情況下，正交變換的表示 矩陣是正交矩陣矩陣是正交矩陣111213122223131333xaaaxyaaayzaaaz3, 2, 1,jiaij晶體的宏觀對稱性的描述晶體的宏觀對稱性的描述05/34固體物理學(xué)固體物理固體物理6 繞繞z軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn) 角的正交矩陣角的正交矩陣1000cossin0sincos固體物理學(xué)固體物理固體物理7 中心反演的正交矩陣中心反演的正交矩陣100010001 空間轉(zhuǎn)動，矩陣行列式等于空間轉(zhuǎn)動，矩陣行列式等于1 空間轉(zhuǎn)動加中心反演，矩陣行列式等于空間轉(zhuǎn)動加中心反演，矩陣行列式等于1固體物理學(xué)固體

4、物理固體物理8 一個晶體在某一變換后，晶體在空間的分布保持不變，這一變換稱為對稱性操作。 對稱操作的數(shù)目越多，晶體的對稱性就越高，晶體的對稱類型是由少數(shù)基本的對稱操作組合而成。如果包括平移，有230種對稱類型，稱為空間群。若不包括平移，有32種宏觀對稱類型，稱為點群。固體物理學(xué)固體物理固體物理91.轉(zhuǎn)動 將晶體繞某軸旋轉(zhuǎn)一定角度后，晶體能自身重合的操作。 若轉(zhuǎn)動的角度2/n ,則稱該軸為n重旋轉(zhuǎn)軸。 由于晶體周期性的制約，晶體只有1，2，3，4，6五種轉(zhuǎn)軸，也用C1，C2，C3，C4，C6表示。1122331000cossin0sincosxxxxxx固體物理學(xué)固體物理固體物理10為什么沒有5

5、度旋轉(zhuǎn)軸？ 設(shè)設(shè)B1ABA1是晶體中某一晶是晶體中某一晶面上的一個晶列，面上的一個晶列，AB為這一晶為這一晶列上相鄰的兩個格點。列上相鄰的兩個格點。A1ABB1 AB 若晶體繞通過格點若晶體繞通過格點A并垂直于并垂直于紙面的紙面的u軸順時針轉(zhuǎn)軸順時針轉(zhuǎn) 角后能自身重角后能自身重合，則由于晶體的周期性，通過格合，則由于晶體的周期性，通過格點點B也有一轉(zhuǎn)軸也有一轉(zhuǎn)軸u。, ,ABBA2cos1BA AB是是 的整數(shù)倍，的整數(shù)倍， 固體物理學(xué)固體物理固體物理111 ,21, 0cos ,23,212,62,42相反若逆時針轉(zhuǎn)相反若逆時針轉(zhuǎn) 角后能自身重合，則角后能自身重合，則A1ABB1 AB, ,

6、ABBA2cos1BA AB是是 的整數(shù)倍，的整數(shù)倍， 1,21, 0cos ,32,222,32,42 643212, , , , ,n,n綜合上述證明得：綜合上述證明得：固體物理學(xué)固體物理固體物理12晶體對稱定律：晶體對稱定律：在晶體中不可能存在五次在晶體中不可能存在五次及高于六次的對稱軸。及高于六次的對稱軸。因為不符合空間格因為不符合空間格子規(guī)律，其對應(yīng)的網(wǎng)孔不能毫無間隙地布子規(guī)律，其對應(yīng)的網(wǎng)孔不能毫無間隙地布滿整個平面。滿整個平面。固體物理學(xué)固體物理固體物理132.中心反演 將任一點（x1,x2,x3）變成（-x1,-x2,-x3）的操作。112233100010001xxxxxx10

7、0010001A固體物理學(xué)固體物理固體物理143.鏡面反演 以x1=0的平面為鏡面，將任一點（x1,x2,x3）變成（-x1, x2, x3）的操作。112233100010001xxxxxx100010001A固體物理學(xué)固體物理固體物理154.旋轉(zhuǎn)反演操作（象轉(zhuǎn)操作） 若繞某軸旋轉(zhuǎn)2/n 角度后再經(jīng)中心反演，晶體能自身重合，則稱該操作為旋轉(zhuǎn)反演操作，此軸稱為n度旋轉(zhuǎn)反演軸。n=1,2,3,4,6.分別用 表示。3i (表示聯(lián)合操作）36i (表示聯(lián)合操作）664321,固體物理學(xué)固體物理固體物理161 立方體的對稱操作立方體的對稱操作 1) 繞三個立方軸轉(zhuǎn)動繞三個立方軸轉(zhuǎn)動 9個對稱操作個對

8、稱操作23,2固體物理學(xué)固體物理固體物理17 共有共有6個對稱操作個對稱操作2) 繞繞6條面對角線軸轉(zhuǎn)動條面對角線軸轉(zhuǎn)動固體物理學(xué)固體物理固體物理18 8個對稱操作個對稱操作3) 繞繞4個立方體對角線個立方體對角線軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動34,324) 正交變換正交變換(不動不動) 1個對稱操作個對稱操作10001000110/34固體物理學(xué)固體物理固體物理19 立方體的對稱操作共有立方體的對稱操作共有48個個5) 以上以上24個對稱操作個對稱操作 加中心反演仍是對稱操作加中心反演仍是對稱操作固體物理學(xué)固體物理固體物理202 正四面體的對稱操作正四面體的對稱操作 四個原子位于正四個原子位于正四面體的四個頂

9、角上四面體的四個頂角上 金剛石晶格金剛石晶格 對稱操作包含在對稱操作包含在 立方體操作之中立方體操作之中 固體物理學(xué)固體物理固體物理21 共有共有3個對稱操作個對稱操作1) 繞三個立方軸轉(zhuǎn)動繞三個立方軸轉(zhuǎn)動 8個對稱操作個對稱操作2) 繞繞4個立方體對角線軸轉(zhuǎn)動個立方體對角線軸轉(zhuǎn)動34,323) 正交變換正交變換 1個對稱操作個對稱操作100010001固體物理學(xué)固體物理固體物理22 6個對稱操作個對稱操作4) 繞三個立方軸轉(zhuǎn)動繞三個立方軸轉(zhuǎn)動23,2加中心反演加中心反演 6個對稱操作個對稱操作5) 繞繞6條面對角線軸轉(zhuǎn)動條面對角線軸轉(zhuǎn)動加上中心反演加上中心反演 正四面體正四面體 對稱操作共有

10、對稱操作共有24個個15/34固體物理學(xué)固體物理固體物理233 正六面柱的對稱操作正六面柱的對稱操作 1) 繞中心軸線轉(zhuǎn)動繞中心軸線轉(zhuǎn)動35,34,32,3 5個個 3個個3) 繞相對面中心連線轉(zhuǎn)動繞相對面中心連線轉(zhuǎn)動 3個個4) 正交變換正交變換5) 12個對稱操作加中心反演個對稱操作加中心反演 正六面柱的對稱操作有正六面柱的對稱操作有24個個2) 繞對棱中點連線轉(zhuǎn)動繞對棱中點連線轉(zhuǎn)動 1個個固體物理學(xué)固體物理固體物理24對稱素對稱素 簡潔明了地概括一個物體的對稱性簡潔明了地概括一個物體的對稱性對稱素對稱素 一個物體的旋轉(zhuǎn)軸、旋轉(zhuǎn)反演軸一個物體的旋轉(zhuǎn)軸、旋轉(zhuǎn)反演軸 物體繞某一個轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動物體繞

11、某一個轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動 加上中心反演的聯(lián)合操作加上中心反演的聯(lián)合操作 以及其聯(lián)合操作的倍數(shù)不變時以及其聯(lián)合操作的倍數(shù)不變時 該軸為該軸為n重旋轉(zhuǎn)反演軸，計為重旋轉(zhuǎn)反演軸，計為2 /nn4 對稱素對稱素 物體繞某一個轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動物體繞某一個轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動 ，以及其倍數(shù)不變時，以及其倍數(shù)不變時 該軸為該軸為n重旋轉(zhuǎn)軸，計為重旋轉(zhuǎn)軸，計為2 /nn固體物理學(xué)固體物理固體物理25面對角線面對角線 為為2重軸，計為重軸，計為2( ) 立方體立方體3(,)22立方軸立方軸 為為4重軸，計為重軸，計為44同時也是同時也是4重旋轉(zhuǎn)反演軸，計為重旋轉(zhuǎn)反演軸，計為2同時也是同時也是2重旋轉(zhuǎn)反演軸，計為重旋轉(zhuǎn)反演軸，計為固體物理學(xué)固

12、體物理固體物理2624(,)33體對角線軸體對角線軸 為為3重軸，計為重軸，計為33同時也是同時也是3重旋轉(zhuǎn)反演軸，計為重旋轉(zhuǎn)反演軸，計為固體物理學(xué)固體物理固體物理27 正四面體正四面體體對角線軸是體對角線軸是3重軸重軸 不是不是3重旋轉(zhuǎn)反演軸重旋轉(zhuǎn)反演軸 立方軸是立方軸是4重旋轉(zhuǎn)反演軸重旋轉(zhuǎn)反演軸 不是不是4重軸重軸面對角線是面對角線是2重旋轉(zhuǎn)反演軸重旋轉(zhuǎn)反演軸 不是不是2重軸重軸20/34固體物理學(xué)固體物理固體物理28 對稱素對稱素 的含義的含義2 先繞軸轉(zhuǎn)動角度先繞軸轉(zhuǎn)動角度 ，再作中心反演，再作中心反演 A點是點是A點在通過中心垂直于轉(zhuǎn)軸的平面點在通過中心垂直于轉(zhuǎn)軸的平面M的鏡像的鏡像

13、 對稱素對稱素 存在一個對稱面存在一個對稱面M2 用用 表示表示m or一個物體的全部對稱操一個物體的全部對稱操作構(gòu)成一個對稱操作群作構(gòu)成一個對稱操作群 對稱素為鏡面對稱素為鏡面固體物理學(xué)固體物理固體物理29旋轉(zhuǎn)-反演對稱軸并不都是獨立的基本對稱素。如：12i1123456i 3312m21 固體物理學(xué)固體物理固體物理30ABDCEFGH正四面體既無四正四面體既無四度軸也無對稱心度軸也無對稱心6=3+m12345661 2 3 4 5 123443 1 4 2 CADGFHEB固體物理學(xué)固體物理固體物理311 1，2 2，3 3，4 4，6 6 度旋轉(zhuǎn)對稱操作。度旋轉(zhuǎn)對稱操作。 1 1，2 2

14、，3 3，4 4，6 6度旋轉(zhuǎn)反演對稱操作。度旋轉(zhuǎn)反演對稱操作。(3)(3)中心反中心反演演：i。(4)(4)鏡象反映：鏡象反映：m。 C1，C2，C3，C4，C6 （用熊夫利符號表示）（用熊夫利符號表示）S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符號表示）（用熊夫利符號表示）點對稱操作：點對稱操作：(2)(2)旋轉(zhuǎn)反演對稱操作：旋轉(zhuǎn)反演對稱操作：(1)(1)旋轉(zhuǎn)對稱操作：旋轉(zhuǎn)對稱操作： 獨立的對稱操作有8種, ,即即1 1，2 2，3 3，4 4，6 6，i i，m m， 。 或或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。 4固體物理學(xué)固體物理固體物理32立方體對稱性立方體對稱性(1)(

15、1)立方軸立方軸C4：3 3個立方軸；個立方軸；4個個3度軸；度軸；(2)體對角線體對角線C3：(3)面對角線面對角線C2：6個個2度軸；度軸；固體物理學(xué)固體物理固體物理33 所有點對稱操作都可由這所有點對稱操作都可由這8種操作或它們的組合來完成。種操作或它們的組合來完成。一個晶體的全部對稱操作構(gòu)成一個群，每個操作都是群的一個，每個操作都是群的一個元素。對稱性不同的晶體屬于不同的群。由旋轉(zhuǎn)、中心反演、元素。對稱性不同的晶體屬于不同的群。由旋轉(zhuǎn)、中心反演、鏡象和旋轉(zhuǎn)鏡象和旋轉(zhuǎn)-反演點對稱操作構(gòu)成的群，稱作點群。反演點對稱操作構(gòu)成的群，稱作點群。 理論證明，所有理論證明，所有晶體只有32種點群，即

16、只有，即只有32種不同的點對種不同的點對稱操作類型。這種對稱性在宏觀上表現(xiàn)為晶體外形的對稱及物理稱操作類型。這種對稱性在宏觀上表現(xiàn)為晶體外形的對稱及物理性質(zhì)在不同方向上的對稱性。所以又稱宏觀對稱性。性質(zhì)在不同方向上的對稱性。所以又稱宏觀對稱性。如果考慮平移，還有兩種情況，即如果考慮平移，還有兩種情況，即螺旋軸和滑移反映面。固體物理學(xué)固體物理固體物理34 （5 5）n度螺旋軸度螺旋軸：若繞軸旋轉(zhuǎn)：若繞軸旋轉(zhuǎn)2 / /n角以后，再角以后，再沿軸方向平移l( (T/ /n) )，晶體能自身重合，則稱此軸為，晶體能自身重合，則稱此軸為n度螺旋軸。其中度螺旋軸。其中T是是軸方向的周期，軸方向的周期， l

17、是小于是小于n的整數(shù)。的整數(shù)。 n只能取只能取1、2、3、4、6。 （6 6）滑移反映面滑移反映面：若經(jīng)過某面：若經(jīng)過某面進(jìn)行鏡象操作后，再沿平行于該面進(jìn)行鏡象操作后，再沿平行于該面的某個方向平移的某個方向平移T/ /n后，晶體能自后，晶體能自身重合，則稱此面為滑移反映面。身重合，則稱此面為滑移反映面。 T是平行方向的周期，是平行方向的周期， n可取可取2或或4。固體物理學(xué)固體物理固體物理35點群（點群（32種）種） Schnflies符號：用符號：用主軸腳標(biāo)主軸腳標(biāo)表示表示 國際符號：以國際符號：以特征方向的對稱性特征方向的對稱性來表示來表示主軸：主軸：Cn、Dn、Sn、T和和OCn：n次旋

18、轉(zhuǎn)軸次旋轉(zhuǎn)軸 Sn : n次旋轉(zhuǎn)反映軸次旋轉(zhuǎn)反映軸 Dn：n次旋轉(zhuǎn)軸加上一個與之垂直的二次軸次旋轉(zhuǎn)軸加上一個與之垂直的二次軸T： 四面體群四面體群 O： 八面體群八面體群 腳標(biāo)：腳標(biāo)：h、v、dh：垂直于：垂直于n次軸（主軸）的次軸（主軸）的水平水平面為對稱面面為對稱面v：含：含n次軸（主軸）在內(nèi)的次軸（主軸）在內(nèi)的豎直豎直對稱面對稱面d：垂直于主軸的兩個二次軸的：垂直于主軸的兩個二次軸的平分平分面為對稱面面為對稱面固體物理學(xué)固體物理固體物理36晶體的宏觀對稱類型：晶體的宏觀對稱類型：八類對稱元素按合理組合，但不能產(chǎn)生5或高于6的軸次。由此，推出晶體所屬的32個點群。軸 C1 C2 C3 C4

19、 C6軸面mhmv CS C2h C3h C4h C6h C2V C3V C4V C6V軸21面無面 D2 D3 D4 D6mhmv D2h D3h D4h D6h D2d D3d軸mi Ci C3i S4正四面體 T Th Td正八面體 O Oh固體物理學(xué)固體物理固體物理375 群的概念群的概念 群代表一組群代表一組“元素元素”的集合，的集合，G E, A ,B, C, D 這些這些“元素元素”被賦予一定的被賦予一定的“乘法法則乘法法則”，滿足下列，滿足下列性質(zhì)性質(zhì)1) 集合集合G中任意兩個元素的中任意兩個元素的“乘積乘積”仍為集合內(nèi)的元素仍為集合內(nèi)的元素 若若 A, B G, 則則AB=C

20、 G. 叫作群的封閉性叫作群的封閉性2) 存在單位元素存在單位元素E, 使得所有元素滿足：使得所有元素滿足：AE = A3) 對于任意元素對于任意元素A, 存在逆元素存在逆元素A-1, 有：有：AA-1=E4) 元素間的元素間的“乘法運算乘法運算”滿足結(jié)合律：滿足結(jié)合律：A(BC)=(AB)C固體物理學(xué)固體物理固體物理38正實數(shù)群正實數(shù)群 所有正實數(shù)所有正實數(shù)(0 除外除外)的集合，以普通乘法為的集合，以普通乘法為 運算法則運算法則整數(shù)群整數(shù)群 所有整數(shù)的集合，以加法為運算法則所有整數(shù)的集合，以加法為運算法則 一個物體一個物體全部對稱操作全部對稱操作的集合滿足上述群的定義的集合滿足上述群的定義

21、運算法則運算法則 連續(xù)操作連續(xù)操作固體物理學(xué)固體物理固體物理39單位元素單位元素 不動操作不動操作任意元素的任意元素的逆元素逆元素 繞轉(zhuǎn)軸角度繞轉(zhuǎn)軸角度 ，其逆操作為繞轉(zhuǎn)軸，其逆操作為繞轉(zhuǎn)軸角度角度 ；中心反演的逆操作仍是中心反演；中心反演的逆操作仍是中心反演；連續(xù)進(jìn)行連續(xù)進(jìn)行A和和B操作操作 相當(dāng)于相當(dāng)于C操作操作A 操作操作 繞繞OA軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動 /2 S點轉(zhuǎn)到點轉(zhuǎn)到T點點B 操作操作 繞繞OC軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動 /2 T點轉(zhuǎn)到點轉(zhuǎn)到S點點S固體物理學(xué)固體物理固體物理40上述操作中上述操作中S和和O沒動，而沒動，而T點轉(zhuǎn)動到點轉(zhuǎn)動到T點點 相當(dāng)于一個操作相當(dāng)于一個操作C：繞：繞OS軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動2

22、 /3CABBCA)()(BAC 表示為表示為 群的封閉性群的封閉性可以證明可以證明 滿足結(jié)合律滿足結(jié)合律S25/34固體物理學(xué)固體物理固體物理416 立方對稱晶體的介電系數(shù)為一個標(biāo)量常數(shù)的證明立方對稱晶體的介電系數(shù)為一個標(biāo)量常數(shù)的證明 1 ED, X，Y，Z軸分量軸分量 X，Y，Z軸為立方體的三個立方軸方向軸為立方體的三個立方軸方向假設(shè)電場沿假設(shè)電場沿Y軸方向軸方向EDxyxEDyyyEDzyzzyxzzzyzxyzyyyxxzxyxxzyxEEEDDD0,zxyEEEE固體物理學(xué)固體物理固體物理42將晶體和電場同時繞將晶體和電場同時繞Y軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動 /2ZXYYXZ,xzzyDDE yyy

23、yDDE zxxyDDE 轉(zhuǎn)動的實施轉(zhuǎn)動的實施 電場沒變電場沒變 同時是一個對稱操作，晶體轉(zhuǎn)動前后沒有任何差別同時是一個對稱操作，晶體轉(zhuǎn)動前后沒有任何差別應(yīng)有應(yīng)有xyzyxyzy 0zyxyDDZXY固體物理學(xué)固體物理固體物理43將晶體和電場同時繞將晶體和電場同時繞Z軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動 /2假設(shè)電場沿假設(shè)電場沿Z軸方向軸方向0yzxyED zyx,所以所以 332211000000固體物理學(xué)固體物理固體物理44 再取電場方向沿再取電場方向沿111方向方向000000 xxxxyyyyzzzzDEDEDE13xxxEEEE3/EDxxx3/EDyyy3/EDzzz固體物理學(xué)固體物理固體物理45,ZXX