現(xiàn)代分析3-5拓撲空間(1)

1、2021-11-111第三章第第三章第5 5節(jié)節(jié) 拓撲空間拓撲空間 本節(jié)是點集拓撲學基礎中之基礎本節(jié)是點集拓撲學基礎中之基礎, , 從度從度量空間及其連續(xù)映射導入一般拓撲學中最量空間及其連續(xù)映射導入一般拓撲學中最基本的兩個概念基本的兩個概念: : 拓撲空間、連續(xù)映射拓撲空間、連續(xù)映射, , 分析了拓撲空間中的開集、鄰域、聚點、分析了拓撲空間中的開集、鄰域、聚點、閉集、閉包、內部、邊界、基與子基的性閉集、閉包、內部、邊界、基與子基的性質，各幾種不同的角度生成拓撲空間，及質，各幾種不同的角度生成拓撲空間，及刻畫拓撲空間上的連續(xù)性刻畫拓撲空間上的連續(xù)性. .2021-11-112從度量空間談起 定理

2、定理 設設X,YX,Y是兩度量空間是兩度量空間. f: XY, x. f: XY, x0 0 X, X, 那么那么 (1)f(1)f在在x x0 0連續(xù)連續(xù)若若U U是是f(xf(x0 0) )的鄰域的鄰域, , 則則f f 1 1(U)(U)是是x x0 0的的鄰域鄰域; ; (2)f (2)f在在X X連續(xù)連續(xù)若若U U是是Y Y的開集的開集, , 則則f f 1 1(U)(U)是是X X的開集的開集. . 證證 (1)(1)利用連續(xù)概念和鄰域與概念利用連續(xù)概念和鄰域與概念. . (2)“ (2)“” f” f 1 1(U)(U)是每一點的鄰域是每一點的鄰域.“.“”證每一點證每一點連續(xù)連

3、續(xù), , 利用利用(1).(1).由此可見由此可見, , 度量空間的連續(xù)只與鄰域或開集有關度量空間的連續(xù)只與鄰域或開集有關. . 它導它導入建立比度量空間更一般的拓撲空間的概念及其連續(xù)性入建立比度量空間更一般的拓撲空間的概念及其連續(xù)性. .2021-11-1131. 拓撲與拓撲空間概念定義定義3.5.1 3.5.1 設設T是集合是集合X X的子集族的子集族, , 若若T滿足滿足: : (1)X, (1)X, T; ; (2) (2) A, BA, B TABAB T; ; (3) (3) Ti i T (i I), , Tii T; ; 稱稱T是是X X的一個拓撲的一個拓撲. (X,. (X,

4、T) )是拓撲空間是拓撲空間, , T的元稱為的元稱為X X的開集的開集. . 空間空間X X的拓撲是的拓撲是X X的全體開集的族的全體開集的族. .定義定義3.5.2 (X, 3.5.2 (X, ) )度量空間度量空間. . T 由由X X的所有開集構成的族的所有開集構成的族. (X, . (X, T ) )稱稱為由度量為由度量 誘導出的拓撲空間誘導出的拓撲空間. . 簡稱簡稱T 為度量拓撲為度量拓撲. . 度量空間度量空間拓撲空間拓撲空間. . 2021-11-114拓撲與拓撲空間概念 例例3.5.1 平庸拓撲T=X, . 平庸空間. 開集個數(shù)最少，開集個數(shù)最少， X X上最粗的拓撲上最粗

5、的拓撲 例例3.5.2 3.5.2 離散拓撲離散拓撲T= =P(X). (X). 離散空間離散空間. X. X的每一子的每一子集是開集集是開集. . 由離散度量空間導出的拓撲是離散拓由離散度量空間導出的拓撲是離散拓撲撲. .開集個數(shù)最多，開集個數(shù)最多， X上最細的拓撲上最細的拓撲2021-11-115拓撲與拓撲空間概念 例例3.5.3 3.5.3 有限補拓撲有限補拓撲T=U=U X|UX|U 是是X X的有限子的有限子集集. . 驗證驗證T是是X X上的拓撲上的拓撲. (1). (1)顯然顯然. (2). (2) A, BA, B X, X, 討討論論ABAB時分兩種情形時分兩種情形, , 一

6、是一是A, BA, B中有一是中有一是, , 二二是是A, BA, B都不是都不是. (3). (3)設設T1 1 T, , 不妨設不妨設A A0 0 T T1 1, , 利用利用De MorganDe Morgan律律. . 有限補空間有限補空間. . 例例3.5.4 3.5.4 可數(shù)補拓撲可數(shù)補拓撲T=U=U X|UX|U 是是X X的可數(shù)子的可數(shù)子集集. .2021-11-1162. 拓撲空間中的連續(xù)映射 定義定義3.5.3 X, Y3.5.3 X, Y是兩拓撲空間是兩拓撲空間. f: X. f: XY. Y. 稱稱f f連續(xù)連續(xù), , 若若Y Y中每一開集中每一開集U U的原象的原象f

7、 f-1-1(U)(U)是是X X中的開集中的開集. . 定理定理3.5.1 3.5.1 恒同映射連續(xù)恒同映射連續(xù). . 連續(xù)函數(shù)的復合連續(xù)函數(shù)的復合是連續(xù)的是連續(xù)的. . 定義定義3.5.5 f: XY3.5.5 f: XY稱為同胚或同胚映射稱為同胚或同胚映射, , 若若f f是一一映射且是一一映射且f f及及f f-1-1均連續(xù)均連續(xù). .2021-11-117拓撲空間中的連續(xù)映射 定義定義3.5.6 3.5.6 稱兩空間稱兩空間X X與與Y Y同胚同胚, , 或或X X同胚于同胚于Y, Y, 若存在從若存在從X X到到Y Y的同胚的同胚. . 定理定理3.5.2 3.5.2 恒同映射同胚

8、恒同映射同胚(X(X與與X X同胚同胚); f); f同胚同胚 f f-1-1同胚同胚( (若若X X與與Y Y同胚同胚, , 則則Y Y與與X X同胚同胚); ); 同胚的復合是同胚同胚的復合是同胚( (若若X X與與Y Y同胚同胚, , 且且Y Y與與Z Z同胚同胚, , 則則X X與與Z Z同胚同胚). ). 空間的同胚關系是等價關系空間的同胚關系是等價關系. . 2021-11-118拓撲空間中的連續(xù)映射拓撲學的中心任務拓撲學的中心任務: : 研究拓撲不變性質研究拓撲不變性質. . 抽象化過程抽象化過程: : 歐氏空間歐氏空間度量空間度量空間拓撲空間拓撲空間; ; 點距離點距離度量度量

9、開集開集. .2021-11-1193、鄰域 定義定義3.5.7 3.5.7 設設(X, (X, T) )是拓撲空間是拓撲空間. . x x X X, U, U X X稱為稱為x x的鄰域的鄰域, , 如果存在如果存在V V T使使x x V V U U; ; 若若U U是開的是開的, U, U稱稱為為x x的開鄰域的開鄰域. . 定理定理3.5.3 3.5.3 設設U U X. UX. U是是X X的開集的開集U U是它的每一是它的每一點的鄰域點的鄰域. . 證證 由定義得由定義得“”; ; 利用開集之并為開得利用開集之并為開得“” . . x x在在X X的所有鄰域構成的族稱為的所有鄰域構

10、成的族稱為x x的鄰域系的鄰域系, , 記為記為Ux x. .2021-11-1110 鄰域(2) 定理定理3.5.4 3.5.4 Ux x的性質的性質: : (1) (1) X X Ux x; ; U U Ux x, , x x U U; ; (2) U, (2) U, V V Ux xUVUV Ux x; ; (3) (3) U U Ux x且且U U V VV V Ux x; ; (4) (4) U U Ux xV V Ux x使使V V U U且且 y y V V, , V V Uy y. . 證證 由定義由定義3.5.73.5.7得得(1); (1); 由開集的交是開集得由開集的交是

11、開集得(2); (2); 由定義由定義3.5.73.5.7得得(3); (3); 取取V V為滿足為滿足x x V V U U的開集的開集. . 由鄰域系出發(fā)可建立拓撲空間的理論由鄰域系出發(fā)可建立拓撲空間的理論, , 顯得自然顯得自然, , 但不但不流行流行. .2021-11-1111 鄰域(3) 利用鄰域與開集的關系利用鄰域與開集的關系( (定理定理3.5.3)3.5.3)導出開集導出開集, , 從從Ux x( ( x x X X) )具有定理具有定理3.5.43.5.4的性質的的性質的(1)-(4)(1)-(4)出發(fā)出發(fā), , 定義定義T=U U X|X| x x U U, , U U

12、Ux x, , 則則(X, (X, T) )是拓撲空間是拓撲空間, , 且這空間中每一點且這空間中每一點x x的鄰域系的鄰域系恰是恰是Ux x. . 定義定義3.5.8(3.5.8(點連續(xù)點連續(xù)) ) 映射映射f: XYf: XY稱為在點稱為在點x x X X連續(xù)連續(xù), , 如果如果U U是是f(xf(x) )在在Y Y中的鄰域中的鄰域, , 則則f f-1-1(U)(U)是是x x在在X X中的鄰域中的鄰域. . 定理定理3.5.43.5.4保證了在度量空間中點的連續(xù)性與由度量導出保證了在度量空間中點的連續(xù)性與由度量導出的拓撲空間中的點的連續(xù)性的一致的拓撲空間中的點的連續(xù)性的一致. . 另一

13、方面另一方面, , 關于點的連關于點的連續(xù)性續(xù)性, , 易驗證易驗證( (定理定理3.5.5), 3.5.5), 恒等映射在每一點連續(xù)恒等映射在每一點連續(xù), , 兩點連續(xù)兩點連續(xù)的函數(shù)之復合仍是點連續(xù)的的函數(shù)之復合仍是點連續(xù)的. . 2021-11-1112鄰域(4) 定義定義3.3.43.3.4與定義與定義2.5.82.5.8所定義的所定義的“整體整體”連續(xù)連續(xù)與每一與每一“點點”連續(xù)是一致的連續(xù)是一致的. . 定理定理3.5.5 3.5.5 設設f: XY. f: XY. 則則f f連續(xù)連續(xù)f f在每一在每一x x X X連連續(xù)續(xù). . 證證 “”若若U U是是 f (xf (x) )的鄰

14、域的鄰域 , , 開集開集V V 使使f(x)f(x) V V U U, x, x f f-1-1(V) (V) f f-1-1(U). (U). “”若若U U是是Y Y的開集的開集, , x x f f-1-1(U), U(U), U是是f(xf(x) )的鄰域的鄰域, , f f-1-1(U)(U)是是x x的鄰域的鄰域, , 所以所以f f-1-1(U)(U)在在X X中開中開. .2021-11-11134、 導集、閉集、閉包 定義定義3.5.9 3.5.9 設設A A X. xX. x稱為稱為A A的聚點的聚點( (凝聚點凝聚點, , 極限點極限點), ), 如果如果x x的每一鄰

15、域的每一鄰域U U中有中有A A中異于中異于x x的點的點, , 即即U(A-x)U(A-x). A. A的全體的全體聚點之集稱為聚點之集稱為A A的導集的導集, , 記為記為d(Ad(A). x). x稱為稱為A A的孤立點的孤立點, , 若若x x不不是是A A的聚點的聚點, , 即存在即存在x x的鄰域的鄰域U U使使U(A-x)=U(A-x)=, , 即即UAUA xx. . 例例3.5.5 X3.5.5 X是離散空間是離散空間. . 若若A A X, X, 則則d(Ad(A)=)=. . x x X X, , 取取U=x, U=x, 則則UAUA xx, , 所以所以x x d(Ad

16、(A). ). 例例3.5.6 X3.5.6 X是平庸空間是平庸空間, A, A X. X. 若若A=A=, , 則則d(Ad(A)=)=; ; 若若|A|=1, |A|=1, 則則d(Ad(A)=X-A; )=X-A; 若若|A|1, |A|1, 則則d(Ad(A)=X.)=X. 對于對于x x X X, , 若若U U是是x x的鄰域的鄰域, , 則則U=X, U=X, 于是于是U(A-U(A-x)x)A-A-xxA A xx, , 由此由此, , 易計算易計算d(Ad(A). ).2021-11-1114 導集、閉集、閉包(2) 定理定理3.5.7 A, B3.5.7 A, B X, X

17、, 則則 (1) d(1) d()=)=; (2) ; (2) A A B Bd(Ad(A) ) d(Bd(B); ); (3) (3) d(ABd(AB)=)=d(A)d(Bd(A)d(B); (4) ); (4) d(d(Ad(d(A) ) Ad(AAd(A). ). 證證 由定義由定義3.5.93.5.9得得(1)(1)和和(2). (2). 關于關于(3). (3). 由由(2)(2)得得d(A)d(B)d(A)d(B) d(ABd(AB). ). 設設x x d(A)d(Bd(A)d(B), ), 分別存在分別存在x x的鄰域的鄰域U, VU, V使得使得UAUA xx, , VBV

18、B xx, , 令令D=UV, D=UV, 則則D(AB) D(AB) x.x. 關于關于(4). (4). 設設x x Ad(AAd(A), ), 存在存在x x的鄰域的鄰域U, U, 使得使得UAUA xx, , 取取x x的開鄰域的開鄰域V V U, U, 則則VA=VA=, , y y V V, V(A-y)=, V(A-y)=, , y y d(Ad(A), ), Vd(AVd(A)=)=, , x x d(d(Ad(d(A).).2021-11-1115導集、閉集、閉包(3) 定義定義3.5.10 A3.5.10 A X X稱為稱為X X的閉集的閉集, , 如果如果d(A)d(A)

19、 A A. . 定理定理3.5.8 A3.5.8 A閉閉A A 開開. . 證證 “” x x A A , , 由于由于d(A)d(A) A A, , 存在存在x x的鄰域的鄰域U U使使UA=UA=, , 于是于是U U A A . . “” x x A A , A, A A=A=, , x x d(Ad(A), ), 所以所以d(A)d(A) A A. . 例例3.5.7 R3.5.7 R的閉區(qū)間是閉集的閉區(qū)間是閉集. .a, ba, b =(-=(- , , a)(ba)(b, +, + ) )開集開集. (a, b). (a, b)不是閉集不是閉集, , 因為因為a a是聚點是聚點.

20、. 定理定理3.5.9 3.5.9 記記F是空間是空間X X的全部閉集族的全部閉集族, , 則則(1) X, (1) X, F; (2) A, B; (2) A, B FABAB F; (3) ; (3) H FH H HH H F. .2021-11-1116 導集、閉集、閉包(4) 證證 利用利用De MorganDe Morgan定律及拓撲的定義定律及拓撲的定義. . F=U=U |U|U T. . 直接驗證可得直接驗證可得(1)(1)、(2).(2). ( 3 ) ( 3 ) 令令U= H= H H H H . . 則則 H H HH H T, , 從 而從 而H H HH=H=H H

21、 HH H =(=(H H HH H ) )F. . Cantor Cantor集集( (例例3.4.4)3.4.4)是集合論、點集拓撲或實變函數(shù)論是集合論、點集拓撲或實變函數(shù)論中是具有特別意義的例子中是具有特別意義的例子, , 它說明它說明R R中的閉集可以是很復中的閉集可以是很復雜的雜的, , 在此不介紹在此不介紹. .定義定義3.6.11 3.6.11 Ad(A)稱為A的閉包, 記為, 或A或c(A).A2021-11-1117 導集、閉集、閉包(5) 定理定理3.5.10 3.5.10 對對A, BA, B X, X, 有有 (1) (1) = = ; (2) A; (2) A A A

22、 ; (3) (AB); (3) (AB) =A=A BB ; (4) (A; (4) (A ) ) =A=A . . 證證 (3) (AB)(3) (AB) = =ABd(ABABd(AB) ) = =Ad(A)Bd(BAd(A)Bd(B)= A)= A BB . . (4) (A (4) (A ) ) =(=(Ad(AAd(A) ) = =A A d(Ad(A) ) = =Ad(A)d(d(AAd(A)d(d(A)= A)= A . . 上述上述4 4條確定了閉包運算條確定了閉包運算, , 稱為稱為KuratowskiKuratowski閉包公理閉包公理, , 由此可建立拓撲空由此可建立拓

23、撲空間的概念間的概念. . 事實上事實上, , 記此運算為記此運算為c(Ac(A), ), 定義定義T=U U X|c(UX|c(U )=U)=U , , 則則(X, (X, T) )是是拓撲空間拓撲空間, , 且這空間中每一且這空間中每一c(Ac(A)= A)= A , , 詳見定理詳見定理3.4.8.3.4.8.2021-11-1118 導集、閉集、閉包(6) 關于閉包的幾個相關結果關于閉包的幾個相關結果: :(1) (1) x x A A 對對x x的任一鄰域有的任一鄰域有UAUA. (. (定義定義3.5.113.5.11后后) )(2) (2) d(Ad(A)=(A-x)=(A-x)

24、 . .(3) A(3) A閉閉d(A)d(A) A AA A=A=A . (. (定理定理3.5.11)3.5.11)(4) A(4) A 是閉集是閉集. (. (定理定理3.5.12)3.5.12)(5) A(5) A 是包含是包含A A的所有閉集之交的所有閉集之交, , 是包含是包含A A的最小閉集的最小閉集. (. (定定理理3.5.13: 3.5.13: 設設F F是包含是包含A A的所有閉集之交的所有閉集之交, , 則則A A F F A A , , A A F, F, 所以所以F=AF=A .) .)2021-11-1119導集、閉集、閉包(7) 定義定義3.5.12(X, 3.

25、5.12(X, ) )是度量空間是度量空間. . 對非空的對非空的A A X, xX, x X, X, 定義定義 (x, A)=(x, A)=infinf (x(x, y) | , y) | y y A A. . 定理定理3.5.14 3.5.14 對度量空間對度量空間(X, (X, ) )的非空子集的非空子集A, A, (1) (1) x x A A (x(x, A)=0; , A)=0; (2) (2) x x d(Ad(A) ) (x, A-x)=0.(x, A-x)=0. 證證 (x, A)=0(x, A)=00, 0, y y A A, , (x, y)(x, y) B(xB(x,

26、, )A)A U U Ux x, UA, UA x x A A . .2021-11-1120導集、閉集、閉包(8) 定理定理3.5.15 3.5.15 設設f: Xf: XY, Y, 則下述等價則下述等價 (1) f(1) f連續(xù)連續(xù); (2) ; (2) 若若B B閉于閉于Y, Y, 則則f f-1-1(B)(B)閉于閉于X; (3) X; (3) A A X, X, f(Af(A ) ) f(Af(A) ) . . 證證 (1)(1)(2) B(2) B是是Y Y的閉集的閉集, B, B 是是Y Y的開集的開集, f, f-1-1(B(B )=f)=f-1-1(B)(B) 是是X X的開

27、集的開集, f, f-1-1(B)(B)是是X X的閉集的閉集. . (2) (2)(3) (3) f(Af(A) ) f(Af(A) ) , A, A f f-1-1(f(A)(f(A) ), A), A f f-1-1(f(A)(f(A) ), ), f(Af(A ) ) f(Af(A) ) . . (3) (3)(1)(1)設設U U是是Y Y的開集的開集, U, U 是是Y Y的閉集且的閉集且f(ff(f-1-1(U(U ) ) ) ) f(ff(f-1-1(U(U ) ) U U =U=U , f, f-1-1(U(U ) ) f f-1-1(U(U ), f), f-1-1(U(U

28、 )=f)=f-1-1(U)(U) 是閉是閉, f, f-1-1(U)(U)是開是開. .2021-11-11215、 內部、邊界內部、邊界 定義定義3.5.13 3.5.13 若若A A是是x x的鄰域的鄰域, , 則稱則稱x x是是A A的內點的內點. A. A的所有內點的所有內點的集合稱為的集合稱為A A的內部的內部, , 記為記為A A . . 定理定理3.5.16 3.5.16 對對A A X, AX, A =A=A , A, A =A=A. . 證證 x x A A , , 由于由于AAAA = =, , 于是于是x x A A , , 從而從而x x A A . . 反之反之,

29、, x x A A , , x x A A , , x x的鄰域的鄰域VAVA = =, V, V A, A, x x A A . . 因此因此, A, A =A=A . . 從而從而A A =A=A =A=A , A, A =A=A. . 定理定理3.5.17 3.5.17 對對A, BA, B X, X, 有有 (1) X(1) X =X; (2) A=X; (2) AA; (3) (AB) A; (3) (AB) =A=A BB ; (4) A; (4) A=A=A . . 證證 (1)(1)、(2)(2)是顯然的是顯然的. . (AB)(AB) =(A=(A BB ) ) =A=A B

30、B =A=A BB . .而而A A=A=A =A=A =A=A . .2021-11-1122 內部、邊界內部、邊界(2) 關于內部的幾個相關結果關于內部的幾個相關結果: :(1) A(1) A是是x x的鄰域的鄰域x x A A . .(2) A(2) A 是開集是開集. (. (定理定理3.5.18)3.5.18)(3) A(3) A是開集是開集A=AA=A .( .(定理定理3.5.19)3.5.19)(4) A(4) A 是是A A所包含的所有開集之并所包含的所有開集之并, , 是含于是含于A A內的最大開集內的最大開集. . ( (定理定理3.5.20)3.5.20)證證 ( 2

31、) A( 2 ) A = A= A 是 開 集是 開 集 . ( 3 ) A. ( 3 ) A 開開A A 閉閉A A =A=A A=AA=A =A=A . (4). (4)設設OO是含于是含于A A內的所有開集之并內的所有開集之并, , A AOO A, OA, O A A , , 所以所以O=AO=A . .2021-11-1123 內部、邊界內部、邊界(3) 定義定義3.5.14 x3.5.14 x稱為稱為A A的邊界點的邊界點, , 若若x x的每一鄰域的每一鄰域, , 既含既含有有A A中的點又有中的點又有A A 中的點中的點. A. A的邊界點之集稱為邊界的邊界點之集稱為邊界, ,

32、 記為記為 A. A. 定理定理3.5.21 3.5.21 對對A A X, X, 有有(1)(1) A=AA=A AA = = (A(A ); ); (2)A(2)A =A=A A; (3)AA; (3)A =A=A - - A.A. 證證 (2) A(2) A A=AA=A (A(A AA ) ) =(A =(A AA )(A)(A AA )=A)=A (A(A AA )=A)=A . . (3) A (3) A - - A=AA=A -(A-(A AA )=A)=A -A-A =A=A AA =A=A . .2021-11-11246、 基與子基 定義定義3.5.15 3.5.15 設設

33、T是空間是空間X X的拓撲的拓撲, , B T, , 如果如果T中每一元是中每一元是B中中某子集族之并某子集族之并, , 稱稱B是是X X的基的基. . 度量空間度量空間球形鄰域球形鄰域開集開集拓撲拓撲. . 在度量空間中球形鄰域的在度量空間中球形鄰域的作用就是拓撲空間中基的作用作用就是拓撲空間中基的作用. . 所有單點集的族是離散空間的基所有單點集的族是離散空間的基. . 定理定理3.5.22 3.5.22 設設B T. . B為為X X的基的基x x X X及及x x的鄰域的鄰域U Ux x, , V Vx x B使使x x V Vx x U Ux x. . 證證 “” 開集開集WWx x

34、使得使得x x WWx x U Ux x, , B1 1 B使得使得WWx x=B1 1, , V Vx x B1 1 B使使x x V Vx x U Ux x. . “”設設U U T, , x x U U, , V Vx x B使使x x V Vx x U U, , 從而從而 V Vx x | | x x UU B且且U=U=x x U UV Vx x. . 在度量空間中在度量空間中, , 所有球形鄰域的族是度量拓撲的基所有球形鄰域的族是度量拓撲的基( (定理定理3.5.23). 3.5.23). 所有開區(qū)間的族是所有開區(qū)間的族是R R的基的基. .2021-11-1125基與子基(2)

35、定理定理3.5.24 3.5.24 拓撲空間拓撲空間X X的基的基B滿足滿足: : (i) (i) B=X; (ii) =X; (ii) B B1 1, B, B2 2 B, x, x B B1 1BB2 2, , B B3 3 B使使x x B B3 3 B B1 1BB2 2. . 反 之反 之 , , 若 集 合若 集 合 X X 的 子 集 族的 子 集 族B滿 足滿 足 ( 1 )( 1 ) 、 ( 2 ) , ( 2 ) , 定 義定 義T=B1 1| |B1 1 B, , 則則T是是X X的以的以B作為基的唯一拓撲作為基的唯一拓撲. . 證證 驗證驗證T是是X X的拓撲的拓撲.

36、(1) . (1) =. (2) . (2) 先設先設B B1 1, B, B2 2 B, , x x B B1 1BB2 2, , WWx x B使使x x WWx x B B1 1BB2 2, , 于是于是B B1 1BB2 2=WWx x| | x x B B1 1BB2 2 T. . 如果如果A A1 1, A, A2 2 T, , 設設A A1 1=B1 1, A, A2 2=B2 2, , 則則A A1 1AA2 2= B= B1 1BB2 2|B|B1 1 B1 1, B, B2 2 B2 2 T. (3) . (3) 設設T1 1 T, , A A T1 1, , B BA A B, , 使得使得A=A=BA A, , 那么那么T1 1=(=(BA A|A|A T1 1).). 較強于較強于(ii)(ii)且易于驗證的條件是且易于