現(xiàn)代分析3-5拓?fù)淇臻g(1)

1、2021-11-111第三章第第三章第5 5節(jié)節(jié) 拓?fù)淇臻g拓?fù)淇臻g 本節(jié)是點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)中之基礎(chǔ)本節(jié)是點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)中之基礎(chǔ), , 從度從度量空間及其連續(xù)映射導(dǎo)入一般拓?fù)鋵W(xué)中最量空間及其連續(xù)映射導(dǎo)入一般拓?fù)鋵W(xué)中最基本的兩個(gè)概念基本的兩個(gè)概念: : 拓?fù)淇臻g、連續(xù)映射拓?fù)淇臻g、連續(xù)映射, , 分析了拓?fù)淇臻g中的開集、鄰域、聚點(diǎn)、分析了拓?fù)淇臻g中的開集、鄰域、聚點(diǎn)、閉集、閉包、內(nèi)部、邊界、基與子基的性閉集、閉包、內(nèi)部、邊界、基與子基的性質(zhì)，各幾種不同的角度生成拓?fù)淇臻g，及質(zhì)，各幾種不同的角度生成拓?fù)淇臻g，及刻畫拓?fù)淇臻g上的連續(xù)性刻畫拓?fù)淇臻g上的連續(xù)性. .2021-11-112從度量空間談起 定理

2、定理 設(shè)設(shè)X,YX,Y是兩度量空間是兩度量空間. f: XY, x. f: XY, x0 0 X, X, 那么那么 (1)f(1)f在在x x0 0連續(xù)連續(xù)若若U U是是f(xf(x0 0) )的鄰域的鄰域, , 則則f f 1 1(U)(U)是是x x0 0的的鄰域鄰域; ; (2)f (2)f在在X X連續(xù)連續(xù)若若U U是是Y Y的開集的開集, , 則則f f 1 1(U)(U)是是X X的開集的開集. . 證證 (1)(1)利用連續(xù)概念和鄰域與概念利用連續(xù)概念和鄰域與概念. . (2)“ (2)“” f” f 1 1(U)(U)是每一點(diǎn)的鄰域是每一點(diǎn)的鄰域.“.“”證每一點(diǎn)證每一點(diǎn)連續(xù)連

3、續(xù), , 利用利用(1).(1).由此可見由此可見, , 度量空間的連續(xù)只與鄰域或開集有關(guān)度量空間的連續(xù)只與鄰域或開集有關(guān). . 它導(dǎo)它導(dǎo)入建立比度量空間更一般的拓?fù)淇臻g的概念及其連續(xù)性入建立比度量空間更一般的拓?fù)淇臻g的概念及其連續(xù)性. .2021-11-1131. 拓?fù)渑c拓?fù)淇臻g概念定義定義3.5.1 3.5.1 設(shè)設(shè)T是集合是集合X X的子集族的子集族, , 若若T滿足滿足: : (1)X, (1)X, T; ; (2) (2) A, BA, B TABAB T; ; (3) (3) Ti i T (i I), , Tii T; ; 稱稱T是是X X的一個(gè)拓?fù)涞囊粋€(gè)拓?fù)? (X,. (X,

4、T) )是拓?fù)淇臻g是拓?fù)淇臻g, , T的元稱為的元稱為X X的開集的開集. . 空間空間X X的拓?fù)涫堑耐負(fù)涫荴 X的全體開集的族的全體開集的族. .定義定義3.5.2 (X, 3.5.2 (X, ) )度量空間度量空間. . T 由由X X的所有開集構(gòu)成的族的所有開集構(gòu)成的族. (X, . (X, T ) )稱稱為由度量為由度量 誘導(dǎo)出的拓?fù)淇臻g誘導(dǎo)出的拓?fù)淇臻g. . 簡稱簡稱T 為度量拓?fù)錇槎攘客負(fù)? . 度量空間度量空間拓?fù)淇臻g拓?fù)淇臻g. . 2021-11-114拓?fù)渑c拓?fù)淇臻g概念 例例3.5.1 平庸拓?fù)銽=X, . 平庸空間. 開集個(gè)數(shù)最少，開集個(gè)數(shù)最少， X X上最粗的拓?fù)渖献畲?/p>

5、的拓?fù)?例例3.5.2 3.5.2 離散拓?fù)潆x散拓?fù)銽= =P(X). (X). 離散空間離散空間. X. X的每一子的每一子集是開集集是開集. . 由離散度量空間導(dǎo)出的拓?fù)涫请x散拓由離散度量空間導(dǎo)出的拓?fù)涫请x散拓?fù)鋼? .開集個(gè)數(shù)最多，開集個(gè)數(shù)最多， X上最細(xì)的拓?fù)渖献罴?xì)的拓?fù)?021-11-115拓?fù)渑c拓?fù)淇臻g概念 例例3.5.3 3.5.3 有限補(bǔ)拓?fù)溆邢扪a(bǔ)拓?fù)銽=U=U X|UX|U 是是X X的有限子的有限子集集. . 驗(yàn)證驗(yàn)證T是是X X上的拓?fù)渖系耐負(fù)? (1). (1)顯然顯然. (2). (2) A, BA, B X, X, 討討論論ABAB時(shí)分兩種情形時(shí)分兩種情形, , 一

6、是一是A, BA, B中有一是中有一是, , 二二是是A, BA, B都不是都不是. (3). (3)設(shè)設(shè)T1 1 T, , 不妨設(shè)不妨設(shè)A A0 0 T T1 1, , 利用利用De MorganDe Morgan律律. . 有限補(bǔ)空間有限補(bǔ)空間. . 例例3.5.4 3.5.4 可數(shù)補(bǔ)拓?fù)淇蓴?shù)補(bǔ)拓?fù)銽=U=U X|UX|U 是是X X的可數(shù)子的可數(shù)子集集. .2021-11-1162. 拓?fù)淇臻g中的連續(xù)映射 定義定義3.5.3 X, Y3.5.3 X, Y是兩拓?fù)淇臻g是兩拓?fù)淇臻g. f: X. f: XY. Y. 稱稱f f連續(xù)連續(xù), , 若若Y Y中每一開集中每一開集U U的原象的原象f

7、 f-1-1(U)(U)是是X X中的開集中的開集. . 定理定理3.5.1 3.5.1 恒同映射連續(xù)恒同映射連續(xù). . 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合連續(xù)函數(shù)的復(fù)合是連續(xù)的是連續(xù)的. . 定義定義3.5.5 f: XY3.5.5 f: XY稱為同胚或同胚映射稱為同胚或同胚映射, , 若若f f是一一映射且是一一映射且f f及及f f-1-1均連續(xù)均連續(xù). .2021-11-117拓?fù)淇臻g中的連續(xù)映射 定義定義3.5.6 3.5.6 稱兩空間稱兩空間X X與與Y Y同胚同胚, , 或或X X同胚于同胚于Y, Y, 若存在從若存在從X X到到Y(jié) Y的同胚的同胚. . 定理定理3.5.2 3.5.2 恒同映射同胚

8、恒同映射同胚(X(X與與X X同胚同胚); f); f同胚同胚 f f-1-1同胚同胚( (若若X X與與Y Y同胚同胚, , 則則Y Y與與X X同胚同胚); ); 同胚的復(fù)合是同胚同胚的復(fù)合是同胚( (若若X X與與Y Y同胚同胚, , 且且Y Y與與Z Z同胚同胚, , 則則X X與與Z Z同胚同胚). ). 空間的同胚關(guān)系是等價(jià)關(guān)系空間的同胚關(guān)系是等價(jià)關(guān)系. . 2021-11-118拓?fù)淇臻g中的連續(xù)映射拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù)拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù): : 研究拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)研究拓?fù)洳蛔冃再|(zhì). . 抽象化過程抽象化過程: : 歐氏空間歐氏空間度量空間度量空間拓?fù)淇臻g拓?fù)淇臻g; ; 點(diǎn)距離點(diǎn)距離度量度量

9、開集開集. .2021-11-1193、鄰域 定義定義3.5.7 3.5.7 設(shè)設(shè)(X, (X, T) )是拓?fù)淇臻g是拓?fù)淇臻g. . x x X X, U, U X X稱為稱為x x的鄰域的鄰域, , 如果存在如果存在V V T使使x x V V U U; ; 若若U U是開的是開的, U, U稱稱為為x x的開鄰域的開鄰域. . 定理定理3.5.3 3.5.3 設(shè)設(shè)U U X. UX. U是是X X的開集的開集U U是它的每一是它的每一點(diǎn)的鄰域點(diǎn)的鄰域. . 證證 由定義得由定義得“”; ; 利用開集之并為開得利用開集之并為開得“” . . x x在在X X的所有鄰域構(gòu)成的族稱為的所有鄰域構(gòu)

10、成的族稱為x x的鄰域系的鄰域系, , 記為記為Ux x. .2021-11-1110 鄰域(2) 定理定理3.5.4 3.5.4 Ux x的性質(zhì)的性質(zhì): : (1) (1) X X Ux x; ; U U Ux x, , x x U U; ; (2) U, (2) U, V V Ux xUVUV Ux x; ; (3) (3) U U Ux x且且U U V VV V Ux x; ; (4) (4) U U Ux xV V Ux x使使V V U U且且 y y V V, , V V Uy y. . 證證 由定義由定義3.5.73.5.7得得(1); (1); 由開集的交是開集得由開集的交是

11、開集得(2); (2); 由定義由定義3.5.73.5.7得得(3); (3); 取取V V為滿足為滿足x x V V U U的開集的開集. . 由鄰域系出發(fā)可建立拓?fù)淇臻g的理論由鄰域系出發(fā)可建立拓?fù)淇臻g的理論, , 顯得自然顯得自然, , 但不但不流行流行. .2021-11-1111 鄰域(3) 利用鄰域與開集的關(guān)系利用鄰域與開集的關(guān)系( (定理定理3.5.3)3.5.3)導(dǎo)出開集導(dǎo)出開集, , 從從Ux x( ( x x X X) )具有定理具有定理3.5.43.5.4的性質(zhì)的的性質(zhì)的(1)-(4)(1)-(4)出發(fā)出發(fā), , 定義定義T=U U X|X| x x U U, , U U

12、Ux x, , 則則(X, (X, T) )是拓?fù)淇臻g是拓?fù)淇臻g, , 且這空間中每一點(diǎn)且這空間中每一點(diǎn)x x的鄰域系的鄰域系恰是恰是Ux x. . 定義定義3.5.8(3.5.8(點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù)) ) 映射映射f: XYf: XY稱為在點(diǎn)稱為在點(diǎn)x x X X連續(xù)連續(xù), , 如果如果U U是是f(xf(x) )在在Y Y中的鄰域中的鄰域, , 則則f f-1-1(U)(U)是是x x在在X X中的鄰域中的鄰域. . 定理定理3.5.43.5.4保證了在度量空間中點(diǎn)的連續(xù)性與由度量導(dǎo)出保證了在度量空間中點(diǎn)的連續(xù)性與由度量導(dǎo)出的拓?fù)淇臻g中的點(diǎn)的連續(xù)性的一致的拓?fù)淇臻g中的點(diǎn)的連續(xù)性的一致. . 另一

13、方面另一方面, , 關(guān)于點(diǎn)的連關(guān)于點(diǎn)的連續(xù)性續(xù)性, , 易驗(yàn)證易驗(yàn)證( (定理定理3.5.5), 3.5.5), 恒等映射在每一點(diǎn)連續(xù)恒等映射在每一點(diǎn)連續(xù), , 兩點(diǎn)連續(xù)兩點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)之復(fù)合仍是點(diǎn)連續(xù)的的函數(shù)之復(fù)合仍是點(diǎn)連續(xù)的. . 2021-11-1112鄰域(4) 定義定義3.3.43.3.4與定義與定義2.5.82.5.8所定義的所定義的“整體整體”連續(xù)連續(xù)與每一與每一“點(diǎn)點(diǎn)”連續(xù)是一致的連續(xù)是一致的. . 定理定理3.5.5 3.5.5 設(shè)設(shè)f: XY. f: XY. 則則f f連續(xù)連續(xù)f f在每一在每一x x X X連連續(xù)續(xù). . 證證 “”若若U U是是 f (xf (x) )的鄰

14、域的鄰域 , , 開集開集V V 使使f(x)f(x) V V U U, x, x f f-1-1(V) (V) f f-1-1(U). (U). “”若若U U是是Y Y的開集的開集, , x x f f-1-1(U), U(U), U是是f(xf(x) )的鄰域的鄰域, , f f-1-1(U)(U)是是x x的鄰域的鄰域, , 所以所以f f-1-1(U)(U)在在X X中開中開. .2021-11-11134、 導(dǎo)集、閉集、閉包 定義定義3.5.9 3.5.9 設(shè)設(shè)A A X. xX. x稱為稱為A A的聚點(diǎn)的聚點(diǎn)( (凝聚點(diǎn)凝聚點(diǎn), , 極限點(diǎn)極限點(diǎn)), ), 如果如果x x的每一鄰

15、域的每一鄰域U U中有中有A A中異于中異于x x的點(diǎn)的點(diǎn), , 即即U(A-x)U(A-x). A. A的全體的全體聚點(diǎn)之集稱為聚點(diǎn)之集稱為A A的導(dǎo)集的導(dǎo)集, , 記為記為d(Ad(A). x). x稱為稱為A A的孤立點(diǎn)的孤立點(diǎn), , 若若x x不不是是A A的聚點(diǎn)的聚點(diǎn), , 即存在即存在x x的鄰域的鄰域U U使使U(A-x)=U(A-x)=, , 即即UAUA xx. . 例例3.5.5 X3.5.5 X是離散空間是離散空間. . 若若A A X, X, 則則d(Ad(A)=)=. . x x X X, , 取取U=x, U=x, 則則UAUA xx, , 所以所以x x d(Ad

16、(A). ). 例例3.5.6 X3.5.6 X是平庸空間是平庸空間, A, A X. X. 若若A=A=, , 則則d(Ad(A)=)=; ; 若若|A|=1, |A|=1, 則則d(Ad(A)=X-A; )=X-A; 若若|A|1, |A|1, 則則d(Ad(A)=X.)=X. 對(duì)于對(duì)于x x X X, , 若若U U是是x x的鄰域的鄰域, , 則則U=X, U=X, 于是于是U(A-U(A-x)x)A-A-xxA A xx, , 由此由此, , 易計(jì)算易計(jì)算d(Ad(A). ).2021-11-1114 導(dǎo)集、閉集、閉包(2) 定理定理3.5.7 A, B3.5.7 A, B X, X

17、, 則則 (1) d(1) d()=)=; (2) ; (2) A A B Bd(Ad(A) ) d(Bd(B); ); (3) (3) d(ABd(AB)=)=d(A)d(Bd(A)d(B); (4) ); (4) d(d(Ad(d(A) ) Ad(AAd(A). ). 證證 由定義由定義3.5.93.5.9得得(1)(1)和和(2). (2). 關(guān)于關(guān)于(3). (3). 由由(2)(2)得得d(A)d(B)d(A)d(B) d(ABd(AB). ). 設(shè)設(shè)x x d(A)d(Bd(A)d(B), ), 分別存在分別存在x x的鄰域的鄰域U, VU, V使得使得UAUA xx, , VBV

18、B xx, , 令令D=UV, D=UV, 則則D(AB) D(AB) x.x. 關(guān)于關(guān)于(4). (4). 設(shè)設(shè)x x Ad(AAd(A), ), 存在存在x x的鄰域的鄰域U, U, 使得使得UAUA xx, , 取取x x的開鄰域的開鄰域V V U, U, 則則VA=VA=, , y y V V, V(A-y)=, V(A-y)=, , y y d(Ad(A), ), Vd(AVd(A)=)=, , x x d(d(Ad(d(A).).2021-11-1115導(dǎo)集、閉集、閉包(3) 定義定義3.5.10 A3.5.10 A X X稱為稱為X X的閉集的閉集, , 如果如果d(A)d(A)

19、 A A. . 定理定理3.5.8 A3.5.8 A閉閉A A 開開. . 證證 “” x x A A , , 由于由于d(A)d(A) A A, , 存在存在x x的鄰域的鄰域U U使使UA=UA=, , 于是于是U U A A . . “” x x A A , A, A A=A=, , x x d(Ad(A), ), 所以所以d(A)d(A) A A. . 例例3.5.7 R3.5.7 R的閉區(qū)間是閉集的閉區(qū)間是閉集. .a, ba, b =(-=(- , , a)(ba)(b, +, + ) )開集開集. (a, b). (a, b)不是閉集不是閉集, , 因?yàn)橐驗(yàn)閍 a是聚點(diǎn)是聚點(diǎn).

20、. 定理定理3.5.9 3.5.9 記記F是空間是空間X X的全部閉集族的全部閉集族, , 則則(1) X, (1) X, F; (2) A, B; (2) A, B FABAB F; (3) ; (3) H FH H HH H F. .2021-11-1116 導(dǎo)集、閉集、閉包(4) 證證 利用利用De MorganDe Morgan定律及拓?fù)涞亩x定律及拓?fù)涞亩x. . F=U=U |U|U T. . 直接驗(yàn)證可得直接驗(yàn)證可得(1)(1)、(2).(2). ( 3 ) ( 3 ) 令令U= H= H H H H . . 則則 H H HH H T, , 從 而從 而H H HH=H=H H

21、 HH H =(=(H H HH H ) )F. . Cantor Cantor集集( (例例3.4.4)3.4.4)是集合論、點(diǎn)集拓?fù)浠驅(qū)嵶兒瘮?shù)論是集合論、點(diǎn)集拓?fù)浠驅(qū)嵶兒瘮?shù)論中是具有特別意義的例子中是具有特別意義的例子, , 它說明它說明R R中的閉集可以是很復(fù)中的閉集可以是很復(fù)雜的雜的, , 在此不介紹在此不介紹. .定義定義3.6.11 3.6.11 Ad(A)稱為A的閉包, 記為, 或A或c(A).A2021-11-1117 導(dǎo)集、閉集、閉包(5) 定理定理3.5.10 3.5.10 對(duì)對(duì)A, BA, B X, X, 有有 (1) (1) = = ; (2) A; (2) A A A

22、 ; (3) (AB); (3) (AB) =A=A BB ; (4) (A; (4) (A ) ) =A=A . . 證證 (3) (AB)(3) (AB) = =ABd(ABABd(AB) ) = =Ad(A)Bd(BAd(A)Bd(B)= A)= A BB . . (4) (A (4) (A ) ) =(=(Ad(AAd(A) ) = =A A d(Ad(A) ) = =Ad(A)d(d(AAd(A)d(d(A)= A)= A . . 上述上述4 4條確定了閉包運(yùn)算條確定了閉包運(yùn)算, , 稱為稱為KuratowskiKuratowski閉包公理閉包公理, , 由此可建立拓?fù)淇沼纱丝山⑼?/p>

23、撲空間的概念間的概念. . 事實(shí)上事實(shí)上, , 記此運(yùn)算為記此運(yùn)算為c(Ac(A), ), 定義定義T=U U X|c(UX|c(U )=U)=U , , 則則(X, (X, T) )是是拓?fù)淇臻g拓?fù)淇臻g, , 且這空間中每一且這空間中每一c(Ac(A)= A)= A , , 詳見定理詳見定理3.4.8.3.4.8.2021-11-1118 導(dǎo)集、閉集、閉包(6) 關(guān)于閉包的幾個(gè)相關(guān)結(jié)果關(guān)于閉包的幾個(gè)相關(guān)結(jié)果: :(1) (1) x x A A 對(duì)對(duì)x x的任一鄰域有的任一鄰域有UAUA. (. (定義定義3.5.113.5.11后后) )(2) (2) d(Ad(A)=(A-x)=(A-x)

24、 . .(3) A(3) A閉閉d(A)d(A) A AA A=A=A . (. (定理定理3.5.11)3.5.11)(4) A(4) A 是閉集是閉集. (. (定理定理3.5.12)3.5.12)(5) A(5) A 是包含是包含A A的所有閉集之交的所有閉集之交, , 是包含是包含A A的最小閉集的最小閉集. (. (定定理理3.5.13: 3.5.13: 設(shè)設(shè)F F是包含是包含A A的所有閉集之交的所有閉集之交, , 則則A A F F A A , , A A F, F, 所以所以F=AF=A .) .)2021-11-1119導(dǎo)集、閉集、閉包(7) 定義定義3.5.12(X, 3.

25、5.12(X, ) )是度量空間是度量空間. . 對(duì)非空的對(duì)非空的A A X, xX, x X, X, 定義定義 (x, A)=(x, A)=infinf (x(x, y) | , y) | y y A A. . 定理定理3.5.14 3.5.14 對(duì)度量空間對(duì)度量空間(X, (X, ) )的非空子集的非空子集A, A, (1) (1) x x A A (x(x, A)=0; , A)=0; (2) (2) x x d(Ad(A) ) (x, A-x)=0.(x, A-x)=0. 證證 (x, A)=0(x, A)=00, 0, y y A A, , (x, y)(x, y) B(xB(x,

26、, )A)A U U Ux x, UA, UA x x A A . .2021-11-1120導(dǎo)集、閉集、閉包(8) 定理定理3.5.15 3.5.15 設(shè)設(shè)f: Xf: XY, Y, 則下述等價(jià)則下述等價(jià) (1) f(1) f連續(xù)連續(xù); (2) ; (2) 若若B B閉于閉于Y, Y, 則則f f-1-1(B)(B)閉于閉于X; (3) X; (3) A A X, X, f(Af(A ) ) f(Af(A) ) . . 證證 (1)(1)(2) B(2) B是是Y Y的閉集的閉集, B, B 是是Y Y的開集的開集, f, f-1-1(B(B )=f)=f-1-1(B)(B) 是是X X的開

27、集的開集, f, f-1-1(B)(B)是是X X的閉集的閉集. . (2) (2)(3) (3) f(Af(A) ) f(Af(A) ) , A, A f f-1-1(f(A)(f(A) ), A), A f f-1-1(f(A)(f(A) ), ), f(Af(A ) ) f(Af(A) ) . . (3) (3)(1)(1)設(shè)設(shè)U U是是Y Y的開集的開集, U, U 是是Y Y的閉集且的閉集且f(ff(f-1-1(U(U ) ) ) ) f(ff(f-1-1(U(U ) ) U U =U=U , f, f-1-1(U(U ) ) f f-1-1(U(U ), f), f-1-1(U(U

28、 )=f)=f-1-1(U)(U) 是閉是閉, f, f-1-1(U)(U)是開是開. .2021-11-11215、 內(nèi)部、邊界內(nèi)部、邊界 定義定義3.5.13 3.5.13 若若A A是是x x的鄰域的鄰域, , 則稱則稱x x是是A A的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn). A. A的所有內(nèi)點(diǎn)的所有內(nèi)點(diǎn)的集合稱為的集合稱為A A的內(nèi)部的內(nèi)部, , 記為記為A A . . 定理定理3.5.16 3.5.16 對(duì)對(duì)A A X, AX, A =A=A , A, A =A=A. . 證證 x x A A , , 由于由于AAAA = =, , 于是于是x x A A , , 從而從而x x A A . . 反之反之,

29、, x x A A , , x x A A , , x x的鄰域的鄰域VAVA = =, V, V A, A, x x A A . . 因此因此, A, A =A=A . . 從而從而A A =A=A =A=A , A, A =A=A. . 定理定理3.5.17 3.5.17 對(duì)對(duì)A, BA, B X, X, 有有 (1) X(1) X =X; (2) A=X; (2) AA; (3) (AB) A; (3) (AB) =A=A BB ; (4) A; (4) A=A=A . . 證證 (1)(1)、(2)(2)是顯然的是顯然的. . (AB)(AB) =(A=(A BB ) ) =A=A B

30、B =A=A BB . .而而A A=A=A =A=A =A=A . .2021-11-1122 內(nèi)部、邊界內(nèi)部、邊界(2) 關(guān)于內(nèi)部的幾個(gè)相關(guān)結(jié)果關(guān)于內(nèi)部的幾個(gè)相關(guān)結(jié)果: :(1) A(1) A是是x x的鄰域的鄰域x x A A . .(2) A(2) A 是開集是開集. (. (定理定理3.5.18)3.5.18)(3) A(3) A是開集是開集A=AA=A .( .(定理定理3.5.19)3.5.19)(4) A(4) A 是是A A所包含的所有開集之并所包含的所有開集之并, , 是含于是含于A A內(nèi)的最大開集內(nèi)的最大開集. . ( (定理定理3.5.20)3.5.20)證證 ( 2

31、) A( 2 ) A = A= A 是 開 集是 開 集 . ( 3 ) A. ( 3 ) A 開開A A 閉閉A A =A=A A=AA=A =A=A . (4). (4)設(shè)設(shè)OO是含于是含于A A內(nèi)的所有開集之并內(nèi)的所有開集之并, , A AOO A, OA, O A A , , 所以所以O(shè)=AO=A . .2021-11-1123 內(nèi)部、邊界內(nèi)部、邊界(3) 定義定義3.5.14 x3.5.14 x稱為稱為A A的邊界點(diǎn)的邊界點(diǎn), , 若若x x的每一鄰域的每一鄰域, , 既含既含有有A A中的點(diǎn)又有中的點(diǎn)又有A A 中的點(diǎn)中的點(diǎn). A. A的邊界點(diǎn)之集稱為邊界的邊界點(diǎn)之集稱為邊界, ,

32、 記為記為 A. A. 定理定理3.5.21 3.5.21 對(duì)對(duì)A A X, X, 有有(1)(1) A=AA=A AA = = (A(A ); ); (2)A(2)A =A=A A; (3)AA; (3)A =A=A - - A.A. 證證 (2) A(2) A A=AA=A (A(A AA ) ) =(A =(A AA )(A)(A AA )=A)=A (A(A AA )=A)=A . . (3) A (3) A - - A=AA=A -(A-(A AA )=A)=A -A-A =A=A AA =A=A . .2021-11-11246、 基與子基 定義定義3.5.15 3.5.15 設(shè)設(shè)

33、T是空間是空間X X的拓?fù)涞耐負(fù)? , B T, , 如果如果T中每一元是中每一元是B中中某子集族之并某子集族之并, , 稱稱B是是X X的基的基. . 度量空間度量空間球形鄰域球形鄰域開集開集拓?fù)渫負(fù)? . 在度量空間中球形鄰域的在度量空間中球形鄰域的作用就是拓?fù)淇臻g中基的作用作用就是拓?fù)淇臻g中基的作用. . 所有單點(diǎn)集的族是離散空間的基所有單點(diǎn)集的族是離散空間的基. . 定理定理3.5.22 3.5.22 設(shè)設(shè)B T. . B為為X X的基的基x x X X及及x x的鄰域的鄰域U Ux x, , V Vx x B使使x x V Vx x U Ux x. . 證證 “” 開集開集WWx x

34、使得使得x x WWx x U Ux x, , B1 1 B使得使得WWx x=B1 1, , V Vx x B1 1 B使使x x V Vx x U Ux x. . “”設(shè)設(shè)U U T, , x x U U, , V Vx x B使使x x V Vx x U U, , 從而從而 V Vx x | | x x UU B且且U=U=x x U UV Vx x. . 在度量空間中在度量空間中, , 所有球形鄰域的族是度量拓?fù)涞幕星蛐梧徲虻淖迨嵌攘客負(fù)涞幕? (定理定理3.5.23). 3.5.23). 所有開區(qū)間的族是所有開區(qū)間的族是R R的基的基. .2021-11-1125基與子基(2)

35、定理定理3.5.24 3.5.24 拓?fù)淇臻g拓?fù)淇臻gX X的基的基B滿足滿足: : (i) (i) B=X; (ii) =X; (ii) B B1 1, B, B2 2 B, x, x B B1 1BB2 2, , B B3 3 B使使x x B B3 3 B B1 1BB2 2. . 反 之反 之 , , 若 集 合若 集 合 X X 的 子 集 族的 子 集 族B滿 足滿 足 ( 1 )( 1 ) 、 ( 2 ) , ( 2 ) , 定 義定 義T=B1 1| |B1 1 B, , 則則T是是X X的以的以B作為基的唯一拓?fù)渥鳛榛奈ㄒ煌負(fù)? . 證證 驗(yàn)證驗(yàn)證T是是X X的拓?fù)涞耐負(fù)?

36、(1) . (1) =. (2) . (2) 先設(shè)先設(shè)B B1 1, B, B2 2 B, , x x B B1 1BB2 2, , WWx x B使使x x WWx x B B1 1BB2 2, , 于是于是B B1 1BB2 2=WWx x| | x x B B1 1BB2 2 T. . 如果如果A A1 1, A, A2 2 T, , 設(shè)設(shè)A A1 1=B1 1, A, A2 2=B2 2, , 則則A A1 1AA2 2= B= B1 1BB2 2|B|B1 1 B1 1, B, B2 2 B2 2 T. (3) . (3) 設(shè)設(shè)T1 1 T, , A A T1 1, , B BA A B, , 使得使得A=A=BA A, , 那么那么T1 1=(=(BA A|A|A T1 1).). 較強(qiáng)于較強(qiáng)于(ii)(ii)且易于驗(yàn)證的條件是且易于