數(shù)字信號處理習(xí)題1

1、 習(xí)題習(xí)題1.1序列序列x(n)示意如圖示意如圖T1-1,請用各延遲單位脈沖序列的請用各延遲單位脈沖序列的幅度加權(quán)和表示幅度加權(quán)和表示012332-4 -3 -2-14 56-2-1X(n)3(2) 1(3)()3(2)(nnnnnx解：1.4已知人的腦電波的頻率范圍是已知人的腦電波的頻率范圍是045Hz，對其進行，對其進行數(shù)字處理的最大采樣周期是多少？數(shù)字處理的最大采樣周期是多少？解：腦電波的頻率范圍解：腦電波的頻率范圍045Hz , 所以所以 由采樣定理：由采樣定理： 所以最大采樣周期：所以最大采樣周期：Hzfc45Hzffcs902sfTs01111. 090111.5一頻譜從直流到一頻

2、譜從直流到100Hz的連續(xù)時間信號延續(xù)的連續(xù)時間信號延續(xù)2分鐘，為分鐘，為了進行計算機處理，需將此信號轉(zhuǎn)換為離散形式，試求了進行計算機處理，需將此信號轉(zhuǎn)換為離散形式，試求最小的理想采樣點數(shù)。最小的理想采樣點數(shù)。解：信號時域總記錄時間： 信號頻域頻率范圍：f=0100Hz 由采樣定理： 所以最少采樣點數(shù)：)(120602sTpssfTff12點24000200120sppfTTTN1.8設(shè)一連續(xù)時間信號頻普包括直流設(shè)一連續(xù)時間信號頻普包括直流,1kHz,2kHz, 和和3kHz 等頻率分量，它們的幅度分別為等頻率分量，它們的幅度分別為0.5:1:0.5:0.25,相位頻譜相位頻譜為零。設(shè)對該連續(xù)

3、信號進行采樣的采樣率為為零。設(shè)對該連續(xù)信號進行采樣的采樣率為10kHz,畫出畫出經(jīng)過采樣后的離散信號頻譜。包括從直流到經(jīng)過采樣后的離散信號頻譜。包括從直流到30kHz的所的所有頻率分量。有頻率分量。分析分析知識點：時域采樣，頻域周期延拓。知識點：時域采樣，頻域周期延拓。0 1 2 310.50.50.25f(kHz)(jfa0.510.50.254 5 6 7 8 9100 1 2 310.50.50.25f(kHz)(jfa解：f(t) 的最高頻率為100Hz.HzffHzftfcsc6002300)3() 1 (1.9有限頻帶信號f(t)的最高頻率為100Hz，若對下列信號進行時域采樣，求

4、最小采樣頻率.(1) f(3t)(3)f(t)*f(2t）2)()2(tf2)()()4(tftfHzffHzftfcsc4002200)()2(2時域卷積，頻域相乘)2()()3(tftfHzffHzfHzfcccc100200100121取最小值Hzffcs2002HzfHzftftfsc400200)()()4(2取頻帶范圍大的，則 1.10有限頻帶信號 ,式 中， 。 用 的沖激函數(shù)序列 進行取樣.(1)畫出f(t)及采樣信號 在頻率區(qū)間(-10kHz, 10kHz) 的頻譜圖。 (2)若由 恢復(fù)原信號，理想低通濾波器的截止頻率應(yīng)如何選擇。)4cos()2cos(25)(11tftft

5、fkHzf11kHzfs5)(tT)(tfscf)(tfs解：)(tfs012-2-15f)(jfF112121幅值相對大小012-2-15f)(jfF11212121212111553467(2)若由 恢復(fù)原信號，理想低通濾波器的截止頻率：kHzffxc252 1.11有限頻帶信號)4cos()2cos(25)(11tftftf,式中kHzf11.用Hzfs800的沖激函數(shù)序列)(tT進行取樣。（請注意)1ffs(1)畫出f(t)及采樣信號在頻率區(qū)(-2kHz,2kHz)的頻普圖。)(tfs(2)若將采樣信號)(tfs輸入到截止頻率,500Hzfc幅度為T的理想低通濾波器，即其頻率響應(yīng)為畫出

6、濾波器的輸出信號的頻普，并求出輸出信號y(t). HzfHzfTfjHjH5000500)2()(1.11解：kHzftftftf14cos2cos25)(111注幅值 大小只表示各頻率成分的相對大小。012-2-15112121f(kHz)( jF1.13今對三個正弦信號ttxttxttxaaa10cos)(,6cos)(,2cos)(321進行理想采樣，采樣頻率為 試求三個采樣輸出序列，.8s比較這三個結(jié)果，畫出 的波形及采樣點位置并解釋頻譜混淆現(xiàn)象。)(),(),(321txtxtxaaa4128ssT解：2cos42cos)()()()(4111nntxnTtnTxnxntnaaa)(

7、2cos23cos46cos)()(14122nxnnntxnxantaa)(2cos25cos)(13nxnnnxaa)()()(321nxnxnxaaa10)(6)(2)(:332211cacacatxtxtx最高頻率最高頻率最高頻率頻域1.14一個理想采樣系統(tǒng)，如圖T1-2所示，采樣頻率為 8s采樣后經(jīng)理想低通 還原。)( jH4044/1)( jH今有兩輸入 問輸出信號 有沒有失真？為什么失真？,5cos)(,2cos)(21ttxttxaa)(),(21tytyaaT)( jH)(txa)(tya)( txacsacsatyty2)(4)(21因為采樣頻率有失真輸出信號因為采樣頻率無

8、失真輸出信號解：1.18判斷下列系統(tǒng)的線性和時不變性。mmxnynxnynnxnynxny)()()4()()() 3()6/7/2sin()()()2(3)(2)() 1 (2解: (1)線性:)()(3)(2)(23)()( 2)()(21212121nbynaynbxnaxnbxnaxnbxnaxT時不變性：)(3)(2)(3)(2)()()(00000nnxTnnxnnynnxnnxTnynxT時不變系統(tǒng)。非線性1.19判斷下列各系統(tǒng)是否為: ( 1) 穩(wěn)定系統(tǒng)；(2)因果系統(tǒng)；(3)線性系統(tǒng)。并說明理由。bnaxnxTenxTnnxnxTkxnxTkxnxTngnxngnxTnxnn

9、nnknnk)()()6()()5()()()4()()()3()()()2()();()()() 1 ()(0000有界這里解 : (1)線性 因果 穩(wěn)定knkximlMnxnn)()()2(0非穩(wěn)定時）非因果（線性Mnkxkxnnnnknnnnk000002)()()3( 線性非因果穩(wěn)定1.21討論一個輸入為x(n)和輸出為y(n)的系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系由下列兩個性質(zhì)確定： 1)0()2()() 1()() 1 (ynxnayny試問：(1)判斷該系統(tǒng)是否為時不變的： (2)判斷該系統(tǒng)是否為線性的：(3)假設(shè)差粉方程保持不變，但規(guī)定y(0)植為零， ( 1)和(2)的答案是否改變?解：

10、判斷線性時不變性可通過設(shè)輸入信號： 來檢驗；) 1()()(),1()(32nnnxnnx和),()(1nnx)() 1()(1)0(),()() 1 (1111nnaynyynnx)()(1nuanyn可得：) 1() 1()(1)0(),1()()2(2222nnaynyynnx)() 1()1 ()(12nnuaanyn可得：系統(tǒng)時變并結(jié)合時變性定義得：比較) 1()()2(),1 (12nyny)1()()1()()(33nTnTnnTny：由情況非線性系統(tǒng))()()(213nynyny) 1()() 1()(1)0(),1()()()()()3(33213nnnaynyynnnxnx

11、nx)() 1()1 ()(13nnuaanyn可得：0)0(),() 1()()4(ynxanyny若差分方程不變：線性系統(tǒng)時變系統(tǒng))()()() 1()(21312nynynynyny) 1()1()()() 1()1()()(0)()()(1312211nuannTnynuannxTnynnxTnynn則此時：1.34研究一個線性時不變系統(tǒng)，其脈沖響應(yīng)h(n)和輸入x(n)分別為：（1)直接計算x(n)和h(n)的離散卷積，求輸出y(n).(2)把輸入和單位脈沖響應(yīng)的Z變換相乘,計算乘積的Z反變換,求輸出y(n).000)(nnanhn解（1）直接卷積1011102110101)1 (1

12、11)()()()()()(NmNNnmnNnnnmnmnNnmNmmnNmmaaaaaaaaaaamnhmnhmxnhnxny其他0101)(Nnnx1)1(111111100111111111)()()(11)(11)(aZZaZZaZZZaZZZHZYZZZzaZZaZHNNNNnnnnn（2）通過Z變換計算：aZ 11)()1() 1()(1111)(100)1(11)1(111111NnaNnmanyNnuanuanuaaZZZaZZZaZZnyZNmmnnmmnNnnnN反變換得：1.35求以下序列x(n)的頻譜: )(jweX)()7()(sin)6()(cos)5()()4()

13、() 3()2()() 1 (00)()00nRnnuwennuwenuenuennnNanannjwaan1)()() 1 (njwnjwene解：jwaajwajjwajnjwnannjwnanjweeeeeenuee111)()() 3(02)(1)(級數(shù)收斂0)0(0)()()()2(jwnmnmjwnjwnjweemennejwjNwjweee11)()7(111121)()(21)(sin)6()0()0(000wwjawwjajwnjwnjwananeejenueeejnunwe)0()0(000011211121)()(21)(cos)5(wwjawwjaajwnjwnjwan

14、aneeenueeenunwe)0(0)0()0(11)()4(jwjwaannjwjwanjwnnjwajweeeee1.38設(shè)x(n)的序列傅立葉變換為 試證明),(jweXdweXeXnxnxjwjwn)(*)(21)(*)(dweXeXdwenxeXdweeXnxnxnxjwjwjwnnjwjwnjwnn)()(21)()(21)(21)()(*)(證明：1.39已知 的傅立葉變換如圖T1-5所示，對 進行等間隔采樣而得x(n),，采樣周期為0.25ms,，試畫出x(n)的傅立葉變換 的圖形。),(jweX )(txa)(txa- 11af / k H z)( jfXa解：采樣周期T=

15、0.25ms所以采樣頻率HzTfs40001Ta)(jweZ5 . 05 . 025 . 1wTa1.41已知 式中 以采樣頻率 對 進行采樣，得到采樣信號 和時域離散信號x(n).試完成下面各題： (1)寫出 的傅立葉變換表示式( 2)寫出 和x(n)的表達式。 (3)分別求出 的傅立葉變換和x(n)序列的傅立葉 變換。)(txa,1000Hzf Hzfs400),2cos(2)(0tftxa)( txa)( txa)(txa)( txa).( jXa)()(2)(cos2)()() 1 (00000函數(shù)引入解：dteeedtetdtetxjtjtjtjtjtjsamsfTfnTnxnTtn

16、TnTttxtxsnnaa5 . 212002)cos(2)()()cos(2)()()()2(00005 . 0)2()2(2cos2)()(8002)()(2)()()3(0000000TwkwwkwwenwenxefkkTjkjjknjwnnjwnjwsskssksaa式中：1.44一種用以濾除躁聲的簡單數(shù)據(jù)處理方法是移動平均。當(dāng)接收到輸入數(shù)據(jù)x(n)后，就將本次輸入數(shù)據(jù)與其前3次的輸入數(shù)據(jù)（共4個數(shù)據(jù)）進行平均。求該數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。解：該數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)：y(n)=(1/4)x(n)+x(n-1)+x(n-2)+x(n-3)2sin2sin41)(41)()()(41)()()(2

17、332321wweeeHeZHeHZZHZZXZYZHZwjwjwjjwjweZjw頻率響應(yīng)變換通過1.45描述某線性時不變離散系統(tǒng)的差分方程為 設(shè)輸入連續(xù)信號的角頻率為 ，取樣周期為T；已知 輸入取樣序列 試求該系統(tǒng)的 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)y(n).) 1(2)()2(81) 1(41)(nxnxnynyny).sin(2)(Tnnx解：)()(1)(1 26sin2sin2)(8141121)(8141121)()()(6666662211jnjjnjnjnjwjjwjwjweHeeHejnyjeenTnnxeeeeHzzzZXZYZH系統(tǒng)輸出：系統(tǒng)輸入：1.46設(shè) 是如圖T1-6所示的x(n)信號的

18、傅立葉變換，不必求出 ，試完成下列計算：)(jweX)(jweXdwdwedXdweXdweXeXjwjwjwjw22)()4()()3()()2()() 1 (01232-4 -3 -2-1456-1-2-11111178n由性質(zhì)可得：7032222(1)()( )( )6(2)()2(0)4(3)()2( )28()(4)2( )316jnmjwjwnjwnX ex nx nX edwxX edwx ndX edwjnx ndw1.50試作出圖T1-9所示諧振器的差分方程，系統(tǒng)函數(shù) 零極點圖，單位脈沖響應(yīng)以及頻響。試問該系統(tǒng)是IIR還是FIR系統(tǒng)？是遞歸還是非遞歸結(jié)構(gòu)？),1zH （X(n)Y(n)ab-11z1z1zNjNjezezzwzwzzbzazZXZYZHny