概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)答案

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)答案習(xí)題答案第1章三、解答題1.設(shè)P(AB) = 0,則下列說法哪些是正確的？(1) A和B不相容；(2) A和B相容；(3) AB是不可能事件；(4) AB不一定是不可能事件；(5) P(A) = 0 或 P(B) = 0(6) P(A B) = P(A) 解：(4) (6)正確.2 .設(shè) A, B 是兩事件，且 P(A) = 0.6, P(B) = 0.7,問：(1)在什么條件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？(2)在什么條件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？解：因?yàn)?P(AB) P(A) P(B) P(A B),又因?yàn)?P(B) P(A B)即 P(B) P(A

2、B) 0,所以當(dāng)P(B) P(A B)時P(AB)取到最大值，最大值是 P(AB) P(A) =0.6. P(A B) 1時P(AB)取到最小值，最小值是 P(AB)=0.6+0.7-1=0.3.3 .已知事件 A, B 滿足 P(AB) P(AB),記 P(A) = p,試求 P(B).解：因?yàn)?P(AB) P(AB),即 P(AB) P(AB) 1 P(A B) 1 P(A) P(B) P(AB), 所以 P(B) 1 P(A) 1 p.4 .已知 P(A) = 0,7, P(A B) = 0.3,試求 P(AB).解：因?yàn)?P(A B) = 0.3,所以 P(A ) P(AB) = 0.

3、3, P(AB) = P(A ) 0.3,又因?yàn)榇?1)= 0.7,所以 p(/®=0.7-03=0.4, P(AB) = 1 - P(AB) = 0.6.5.從5雙不同的鞋子種任取4只，問這4只鞋子中至少有兩只配成一雙的概率是多少?解：顯然總?cè)》ㄓ?= 種，以下求至少有兩只配成一雙的取法人： 法一：分兩種情況考慮：k = C C；（C1）2 + C；其中：C；C：（C；）2為恰有1雙配對的方法數(shù)法二:分兩種情況考慮：得著+c；其中：c； 生烏 為恰有1雙配對的方法數(shù) 2!法三:分兩種情況考慮： = c"c；c!）+c；其中：。；（。：一。：）為恰有1雙配對的方法數(shù) 法四：

4、先滿足有1雙配對再除去重復(fù)部分：k=C；C；C； 法五：考慮對立事件：k = C C； （C； ）4其中：C；（C； ）4為沒有一雙配對的方法數(shù)法六:考慮對立事件：k = o -cc；c：C4!其中：C|。C8 c6 04為沒有一雙配對的方法數(shù) 4!所求概率為P =一于=.Go 216.在房間里有10個人，分別佩戴從1號到10號的紀(jì)念章，任取3人記錄其紀(jì)念章的號碼.求:（1）求最小號碼為5的概率;求最大號碼為5的概率._c； 1 j CA； 1解：（1）法一：p =：-=一,法一：p =一% 12412C2 1(2)法二：P = T = 一， 品207.將3個球隨機(jī)地放入4個杯子中去，求杯子中

5、球的最大個數(shù)分別為1, 2, 3的概率.解：設(shè)Mi, M2, M3表示杯子中球的最大個數(shù)分別為1, 2, 3的事件，則3_ 22_ 1A33C； A29C41P(M1)4-, P(M2)3-,P(M3)443 8431643 168 .設(shè)5個產(chǎn)品中有3個合格品，2個不合格品，從中不返回地任取2個，求取出的2個中全是合格品, 僅有一個合格品和沒有合格品的概率各為多少?解：設(shè)M2, Mi, M0分別事件表示取出的2個球全是合格品，僅有一個合格品和沒有合格品，則P(M2)C?c1c103 P(M1) -V 0.6,P(M1)C5C5C22C520.19 . 口袋中有5個白球，3個黑球，從中任取兩個，

6、求取到的兩個球顏色相同的概率.M2= "取到兩個球均為黑球”，解：設(shè)M1= "取到兩個球顏色相同"， M1= "取到兩個球均為白球”則 M M1 M2且 M1 M 2所以 P(M) P(M1 M2) P(M1) P(M2) c C8C3C8132810.若在區(qū)間(0, 1)內(nèi)任取兩個數(shù)，求事件“兩數(shù)之和小于6/5”的概率.解：這是一個幾何概型問題.以x和y表示任取兩個數(shù)，在平面上建立xOy直角坐標(biāo)系，如圖.因此圖？任取兩個數(shù)的所有結(jié)果構(gòu)成樣本空間=(x,y)： 0 x, y1事件A ="兩數(shù)之和小于 6/5" = (x, y)A的面積

7、( )的面積6/5172511 .隨機(jī)地向半圓0 y V2ax x2 (a為常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn),點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，求原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于 一的概率.4解：這是一個幾何概型問題. 以x和y表示隨機(jī)地向半圓內(nèi)擲一點(diǎn)的坐標(biāo)，表示原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與x軸的夾角，在平面上建立 xOy直角坐標(biāo)系，如圖.隨機(jī)地向半圓內(nèi)擲一點(diǎn)的所有結(jié)果構(gòu)成樣本空間因此=(x, y)： 0 x 2a,0 y d2ax x2事件A="原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與 X軸的夾角小于一42=(x, y)： 0 x 2a,0 y J2ax x,04P(A)A的面積 的面積142a112.已知 P(A)

8、-,P(BA)1 1,P(AB) 3P(A B) .解：P(AB) P(A)P(B A)113 RP(B)P(AB) 1P(A|B) 12P(A B) P(A) P(B)P(AB)12 3設(shè)A= "所取兩件產(chǎn)品中至少有一件是不合格品”，B= "兩件均為不合格品”；_ c2P(A) 1 P(A) 1 2C102_2 P(B) Cl 23,C2o 15,P(B|A) PP(B) 2 21 - / P(A) 15 3 513.設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品,從中任取兩件，已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率是多少?解：題中要求的“已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是

9、不合格品，則另一件也是不合格品的概率”應(yīng)理解為 求“已知所取兩件產(chǎn)品中至少有一件是不合格品，則兩件均為不合格品的概率”。14.有兩個箱子，第1箱子有3個白球2個紅球，第2個箱子有4個白球4個紅球，現(xiàn)從第1個箱子中隨機(jī)地取1個球放到第2個箱子里，再從第2個箱子中取出一個球，此球是白球的概率是多少？已知上 述從第2個箱子中取出的球是白球，則從第 1個箱子中取出的球是白球的概率是多少?解：設(shè)A= "從第1個箱子中取出的1個球是白球"，B= "從第2個箱子中取出的1個球是白球”，C23 7、2則 P(A) -2 二，P(A) 一,由全概率公式得C5553 C12 C123

10、P P(A)P(B|A) P(A)P(B|A) 5 M g，7由貝葉斯公式得P(A|B)P(A)P(B|A) 3P(B)1C5 23 155/C； 45 2315.將兩信息分別編碼為A和B傳遞出去，接收站收到時,A被誤收作B的概率為0.02,而B被誤收作A的概率為0.01,信息A與信息B傳送的頻繁程度為2:1,若接收站收到的信息是A,問原發(fā)信息是A的概率是多少?解：設(shè)M= "原發(fā)信息是A"，n= "接收到的信息是 A”，已知P(N |M ) 0.02,P(N |M )0.01, P(M)所以P(N |M ) 0.98, P(N |M )0.99, P(M)13,由

11、貝葉斯公式得P(M | N)P(M )P(N |M )P(M )P(N |M ) P(M )P( N | M )0.98 ( 31 0.98 -30.01)19619716.三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1 1 1 、一 一一,一,一,I可二人中至少有一人目匕將5 3 4此密碼譯出的概率是多少?解：設(shè)Ai= "第i個人能破譯密碼”，i=1,2,3.11已知” 5,P(A2)3,P(A3)4,所以P(A) ”加至少有一人能將此密碼譯出的概率為1 P(AA2A3) 1P(A)P(A2)P(A2) 117.設(shè)事件 A與B相互獨(dú)立，已知 P(A) = 0.4, P(AU

12、B) = 0.7,求 P(BA).解：由于A與B相互獨(dú)立，所以 P(AB)=P(A)P(B),且P(AU B)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B)將 P(A) = 0.4, P(AU B) = 0.7 代入上式解得 P(B) = 0.5,所以P(BA) 1 P(BA) 1P(AB) 1 P(A)P(B)P(A)P(A)1 P(B) 1 0.5 0.5.或者，由于A與B相互獨(dú)立，所以A與B相互獨(dú)立，所以P(B A) P(B) 1 P(B) 1 0.5 0.5.18.甲乙兩人獨(dú)立地對同一目標(biāo)射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5,現(xiàn)已知目標(biāo)被命中，則

13、它是甲射中的概率是多少？解：設(shè)A= "甲射擊目標(biāo)”，B= "乙射擊目標(biāo)"，M= "命中目標(biāo)”，已知 P(A)=P(B)=1，P(M A) 0.6,P(M B) 0.5,所以P(M ) P(AB AB AB) P(AB) P(AB) P(AB).由于甲乙兩人是獨(dú)立射擊目標(biāo)，所以P(M ) P(A)P(B) P(A)P(B) P(A)P(B) 0.6 0.5 0.4 0.5 0.6 0.5 0.8.P(AM )P(A|M) 曾P(A)P(M |A)P(M )1 0.60.80.7519.某零件用兩種工藝加工，第一種工藝有三道工序，各道工序出現(xiàn)不合格品的概率分

14、別為0.3, 0.20.1;第二種工藝有兩道工序，各道工序出現(xiàn)不合格品的概率分別為0.3, 0.2,試問：(1)用哪種工藝加工得到合格品的概率較大些？(2)第二種工藝兩道工序出現(xiàn)不合格品的概率都是0.3時，情況又如何？解：設(shè)Ai= "第1種工藝的第i道工序出現(xiàn)合格品"，i=1,2,3; Bi= "第2種工藝的第i道工序出現(xiàn)合 格品"，i=1,2.(1)根據(jù)題意，P(A1)=0.7, P(A2)=0.8, P(A3)=0.9, P(B1)=0.7,P(B2)=0.8,第一種工藝加工得到合格品的概率為P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)= 0

15、.7 0.8 0.9 0.504,第二種工藝加工得到合格品的概率為p(B1B2)= p(B1)P(B2) = 0.7 0.80.56,可見第二種工藝加工得到合格品的概率大。(2)根據(jù)題意，第一種工藝加工得到合格品的概率仍為0.504,而P(B1)=P(B2)=0.7,第二種工藝加工得到合格品的概率為P(B1B2)= P(B1)P(B2) = 0.7 0.70.49.可見第一種工藝加工得到合格品的概率大。1.設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件A, B和C滿足條件ABC =-1P(A) P(B) P(C)，且已知_ _9P(A B C) 事 求 p(a).解：因?yàn)锳BC =,所以P(ABC) =0,因?yàn)锳,

16、B, C兩兩相互獨(dú)立，P(A) P(B) P(C),所以2P(AB) P(BC) P(AC) P(A)P(B) P(B)P(C) P(A)P(C) 3P(A)由加法公式 P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC)得293P(A) 3P(A)2 即4P(A) 34P(A) 1 016一， 11考慮到P(A)-,得P(A)-.12.設(shè)事件A, B, C的概率都是一，且P(ABC) P(ABC),證明：2八八八 12P(ABC) P(AB) P(AC) P(BC)-.證明：因?yàn)镻(ABC) P(ABC),所以P(ABC) 1 P(A B C) 1

17、 P(A)一八一八、1將P(A) P(B) P(C)萬代入上式得到c3P(ABC) 1 P(AB) 2整理得2P(ABC) P(AB)P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC)P(BC) P(AC) P(ABC)1P(BC) P(AC)一 23 .設(shè) 0 < P(A) < 1,0 < P(B) < 1 , P(A|B) +P(A|B)1 ,試證A與B獨(dú)立.證明：因?yàn)镻(A|B) + P(A | B) 1 ,所以P(AB) P(AB) P(AB)P(B) P(B) P(B)1 P(A B) 11 P(B) ，將 P(A B)P(A) P(B) P

18、(AB)代入上式得1 P(B)P(AB) 1 P(A) P(B) P(AB)P(B),兩邊同乘非零的P(B)1-P(B)并整理得到P(AB) P(A)P(B),所以A與B獨(dú)立.4.設(shè)A, B是任意兩事件，其中 A的概率不等于0和1,證明P(B|A) P(B|A)是事件A與 獨(dú)立的充分必要條件. P(AB) P(Ab)證明：充分，性，由于 P(B|A) P(B|A),所以一(一)( 一 ),即P(A) P(A)P(AB) P(B) P(AB)P(A) 1 P(A)，兩邊同乘非零的P(A)1-P(A)并整理得到P(AB) P(A)P(B),所以A與B獨(dú)立.必要性：由于A與B獨(dú)立，即P(AB) P(

19、A)P(B),且P(A) 0,P(A) 0,所以一方面P(B|A)迪 PP P(B),P(A) P(A)另一方面P(B|A)P(AB)P(A)P(B) P(AB)P(AP(B) P(A)P(B)P7AP(B),所以 P(B|A) P(B| A).5. 一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試.第一次及格的概率為p,若第一次及格則第二次及格的概率也為p；若第一次不及格則第二次及格的概率為.2(1)若至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率.(2)若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率.解：設(shè)Ai= "第i次及格"，i=1, 2.已知P(A1) P,P(A2lA)

20、p, P(A2|A1) p由全概率公式得2PP(A2) P(A)P(A2|A) P(A1)P(A2|A1) p (1 p)；(1)他取得該資格的概率為P(A1 A2) P(A1) P(A2) P(A02) P(A) P(A2) P(A1)P(A2 IA1),c22,、p 2 3p pp p (1 p) - p-一.22(2)若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率為p(AI&)P(AiA2)P(A2)P(Ai)P(A2| Ai)PA5p p2p2P P 1P (1 P)p26.每箱產(chǎn)品有10件，其中次品從0到2是等可能的，開箱檢驗(yàn)時，從中任取一件，如果檢驗(yàn)為次品，則認(rèn)為該箱產(chǎn)品為不合格

21、而拒收.由于檢驗(yàn)誤差，一件正品被誤判為次品的概率為2%, 一件次品被誤判為正品的概率為10% .求檢驗(yàn)一箱產(chǎn)品能通過驗(yàn)收的概率.解：設(shè)Ai= "一箱產(chǎn)品有i件次品"，i=0, 1, 2.設(shè)M= "一件產(chǎn)品為正品"，N= "一件產(chǎn)品被檢驗(yàn)為 正品”.1 已知 P(A0) P(A) P(A>) ,P(N|M) 0.02,P(N|M) 0,1,3由全概率公式1989P(4)P(M|Az)(1),310 10101 P(N |M ) 1 0,02 0.98,91一 0.980.1 0.892.10107.用一種檢驗(yàn)法檢驗(yàn)產(chǎn)品中是否含有某種雜質(zhì)的效

22、果如下.若真含有雜質(zhì)檢驗(yàn)結(jié)果為含有的概率為P(M) P(A0)P(M IA0)9P(M) 1 P(M) 1 p(A)P(M IA)1,又 P( N I M ) 10由全概率公式得一箱產(chǎn)品能通過驗(yàn)收的概率為P(N) P(M)P(N |M) P(M )P(N I M)0.8;若真含不有雜質(zhì)檢驗(yàn)結(jié)果為不含有的概率為0.9;據(jù)以往的資料知一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)或真不含有雜質(zhì)的概率分別為0.4和0.6.今獨(dú)立地對一產(chǎn)品進(jìn)行三次檢驗(yàn)，結(jié)果是兩次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì)，而有一次認(rèn)為 不含有雜質(zhì)，求此產(chǎn)品真含有雜質(zhì)的概率.解：a= "一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)"，Bi= "對一產(chǎn)品進(jìn)行第i次檢驗(yàn)認(rèn)為含

23、有雜質(zhì)"，i=1,2,3.已知獨(dú)立進(jìn)行的三次檢驗(yàn)中兩次認(rèn)為含有雜質(zhì)，一次認(rèn)為不含有雜質(zhì)，不妨假設(shè)前兩次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì)，第三次認(rèn)為檢驗(yàn)不含有雜質(zhì)，即 B1, B2發(fā)生了，而B3未發(fā)生.又知 P(Bi|A) 0,8,P(Bi I A) 0.9, P(A) 0.4,所以P(Bi |A) 02 P(Bi | A)0.1, P(A) 0,4,P(A) 0.6,所求概率為P(A| B1 B2B3)P(AB1B2B3)PB1B2B3)Pf)P(B1B2B31A)_ _P(A)PB2b | A) P(A)P(B1B2b3 I A)由于三次檢驗(yàn)是獨(dú)立進(jìn)行的，所以P(A|BB2比)P(A)P(B |

24、A)P(B2 1A)P(B3 心)_P(A)P(B1 |A)P(B2 |A)P(B3| A) P(A)P(Bi | A)P(B? | A)P(B | 入)0.4 0.8 0.8 0.20.4 0.8 0.8 0.2 0.6 0.1 0.1 0.90.905.8.火炮與坦克對戰(zhàn)，假設(shè)坦克與火炮依次發(fā)射，且由火炮先射擊，并允許火炮與坦克各發(fā)射2發(fā),已知火炮與坦克每次發(fā)射的命中概率不變，它們分別等于0.3和0.35.我們規(guī)定只要命中就被擊毀.試問(1)火炮與坦克被擊毀的概率各等于多少？(2)都不被擊毀的概率等于多少？解：設(shè)Ai= "第i次射擊目標(biāo)被擊毀”，i=1,2,3,4.已知 P(Ai

25、) P(A3) 0.3, PA)P(A4) 0.35,所以P(A1) P(A3) 0.7, P(A2) P(A4) 0.65,(1)火炮被擊毀的概率為P(AA2 AA2A3A4) P(AA2) P(AA2A3A4)P(A)P(A2) P(A)P(A2)P(A3)P(A4) 0.70.35 0.7 0.65 0.7 0.35 0.356475坦克被擊毀的概率為P(A A1A2A3) P(A) P(AA2A3)P(A1) P(A1)P(A2)P(A3) 0.3 0.7 0.65 0.3 0.4365(2)都不被擊毀的概率為P(A1A2A3A4)P(a1)P(A2)P(A3)P(A4) 0.7 0.

26、65 0.7 0.65 0.207025.9.甲、乙、丙三人進(jìn)行比賽，規(guī)定每局兩個人比賽，勝者與第三人比賽，依次循環(huán)，直至有一人連，一 一一 一 、什一 口1L,V， ，一勝兩次為止，此人即為冠軍，而每次比賽雙方取勝的概率都是一，現(xiàn)假定甲乙兩人先比，試求各人得冠軍2的概率.解：Ai= "甲第i局獲勝”，Bi= "乙第i局獲勝”，Bi= "丙第i局獲勝”，i=1,2,.， 1 .一 已知P(A) P(Bi)P(Ci) -,i 1,2,.,由于各局比賽具有獨(dú)立性，所以在甲乙先比賽，且甲先勝第一局時，丙獲勝的概率為P(AC2c3AC2B3 A4c5c6A1C2B3 A4

27、c5B6 A7c8c9.)17,同樣，在甲乙先比賽，且乙先勝第一局時，丙獲勝的概率也為64丙得冠軍的概率為27,甲、乙得冠軍的概率均為14第二章一、填空題:1.F(X2)F(X1)2.PXkc：pk(1p)n k , k = 0,13.PXk)一e k!0為參數(shù)，k = 01,4.5.6.f(x)1b a0,其它f(x)(X )22 27.(X)8.(b)(a9.X-112pi0.40.40.2分析：由題意，該隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)求法，可觀察出隨機(jī) 變量的取值及概率。910.分析：每次觀察下基本結(jié)果“ X01/2”出現(xiàn)的概率為一、,12c. 1f (x)dx

28、0 2xdx -,而本題對隨機(jī)變量X取值的觀察可看作是 3重伯努利實(shí)驗(yàn)，所以11.P X 2.22.2 1P 1.6 X5.81.6 1(2.4)(1.3)(2.4)2 1 21 3 2巴)(14)2.2 164)0.7257,5.8 15.8 1(21.6 1(丁)(1.3)0.8950,同理，P| X |3.5 =0.8822.12.G(y) P Y3X 1F(1313.,利用全概率公式來求解:482X2X2X13 48二、單項(xiàng)選擇題:1. B,由概率密度是偶函數(shù)即關(guān)于縱軸對稱，容易推導(dǎo)a00F (-a)=f (x)dx f (x)dx- f (x)dx-a0f (x)dx-aa0 f(x

29、)dx2. B,只有B的結(jié)果滿足F () Jim F (x)3. C,根據(jù)分布函數(shù)和概率密度的性質(zhì)容易驗(yàn)證4. D,2,X YX,X2,可以看出Y不超過22,所以FY(y) py1,P X1,y 11,y ,y2,0，2可以看出，分布函數(shù)只有一個間斷點(diǎn)(第四次命中)同時發(fā)生的概5. C,事件的概率可看作為事件 A (前三次獨(dú)立重復(fù)射擊命中一次)與事件率，即p P(AB) P(A)P(B) C1p(1 p)32 p.三、解答題1.點(diǎn)數(shù)為1 ,其余一個1至6點(diǎn)均可，共有C2 6-1 （這里1c2指任選某次點(diǎn)數(shù)為16為另一次有6種結(jié)果均可取，減1即減去兩次均為1的情形，因?yàn)閏26多算了一次）或C25

30、 1種，故C216-1 C362 5 13611巾 口，其他結(jié)果類似可得.36X123456P113693673653633613)6分析：這里的概率均為古典概型下的概率，所有可能性結(jié)果共種，如果X=1 ,則表明兩次中至少有一36PX1,1 x2PX1 PX2,2 x 3PX1 PX2 PX 3, 3 x 4PX1 PX2 PX 3 PX 4, 4 x 5PX1 PX2 PX 3 PX 4 PX 5,0 ,x1F(x)65 x1 ,x。1 36”2 3627,3 3632 , 一，43635,5361 ， x2.125126126注意，這里3.ka k!4.f(x)5.6.0.5t7.解:X指

31、的是贏錢數(shù)，X取0-1ae0, xPXPX1,偶數(shù)-11，13PX或100-1,顯然P X2,20,99126-11223的倍數(shù)P 0.5t2.5設(shè)射擊的次數(shù)為1.5X,124122 i151616123ilim由題意知43,241,lim122122i 匚 221231.5e 2.5X B 400,0.2k °c：000.02k0.98400 k8-e 81 0.28 0.9972 ,其中 8=400 xk!0.02.8.解：設(shè)X為事件A在5次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù),X B 5,0.3則指示燈發(fā)出信號的概率31 (C500.300.75C50.310.74 C；0.320.73)

32、9.解：因?yàn)閅 B 5,0.83690.1631;X服從參數(shù)為 5的指數(shù)分布,F(x)xeK P X2101 F(10) e 2 ,則 PY kC；(e2)k(12)5k,k0,1,PY11-PY0(1e2)50.516710.(1)、由歸一性知:f (x)dx2 a cosxdx 2a ,所以 a2(2)、P0 X4Losxdx 0 2-sinx|04211.解(1)由f(x)在x=1的連續(xù)性可得lim F(x) limF(x) F(1),即 a=i.(2)P 0.3 X0.7F(0.7)F(0.3)0.4.(3)X的概率密度f(x) F (x)2x,00,12.解因?yàn)閄服從(05)上的均勻

33、分布，所以f(x)其他，2若萬程4x24Xx X 2 0有實(shí)根，則(4X)216X 32 0,即1 ,所以有實(shí)根的概率為51 P X 1 dx250dx135513.解：(i)因?yàn)?X N(3,4) 所以P2 X 5 F(5) F(2)(1)(0.5) 1 0.8413 0.6915 1 0.5328P 4 X 10F(10) F( 4)(3.5)( 3.5) 1 2 (3.5) 12 0.998 1 0.996P X 2 1 P X 21F(2) F( 2)1( 0.5)( 2.5)1(2.5)(0.5)1 0.3023 0.6977P X 31 P X 31 F (3) 1(0) 1 0.

34、5 0.51 c 31 P X C 1 P X C ,則 P X c F(c) (),經(jīng)查表得2 221 c 3 (0),即0,得c 3;由概率密度關(guān)于x=3對稱也容易看出。22 P X d 1 P X d 1 F(d) 1(U) 0.9,2d 3、 d 3 一則(d二)0.1 ,即(-d-) 0.9,經(jīng)查表知 (1.28) 0.8997, 22d 3a- 1.28,即 d 0.44;214.解：P X k 1 P X k 1 P k X k 1()()2 2 (與 0.1所以 (k) 0.95, p X kk、F (k)() 0.95；由對稱性更容易解出;-215.解 X N ( , *UP

35、XPXF( ) F( )()()(1)( 1)2 1 0.6826上面結(jié)果與 無關(guān)，即無論怎樣改變，P X都不會改變;16.解：由X的分布律知所以丫的分布律是X2-2-1151130Y0149的分布律為17.解因?yàn)榉恼龖B(tài)分布N(F(x)y 0時,y 0時,2)，(x )2所以11Fy(y)0,則fY(y)3030f(x)FY(y)FY(y)p exInfY(y) Fy (y) (F(iny)(x )2e,(In y )22 2(ln y ) (y) (F(1y) 1e所以Y的概率密度為fY(y) y J2一0 18.解 XU(0,1) , f(x)Fy(y) p Y

36、 yF(1y)所以 fY(y)fX(1y)1,0,0 1其他1,0,0 y其他19.解：XU(1,2),則f(x)x其他FY(y) P Y y2XP e0時，F(xiàn)Y（y）2XP e0,0時,FY(y)21n1 FX(2lny)fY(y)FY(y)1(F(2lny)1fX201 (-ln y)其他12y02 e x其他20.解:FyEPY yP 3XFx（3Y）fY«)Fy1113 fX(3y)因?yàn)閒X（x）3x22 01 x其他所以fY（y）113 fX(3y)y , 180 ,13y 其他y , 180 ,其他 FY2(y) PY2 y P3 X y PX 3 y 1 Fx (3 y

37、),fY2(y)Fy2 (X) 1 Fx (3 y)fx (3 y)因?yàn)閒x（X）3 2 _x201 x 1其他所以fY2（y）fx(3y)322(3 y) ,1 3 y 10,其他32-(3 y) , 2 y 420,其他 Fy3(y) PY3y0時，F(xiàn)Y3（y）P x2fY3 (y)Fy3 (x)0時,FY3(y)Fx( Jy)，所以因?yàn)閒Y3(y)fY3(y)fx (x)_ , , 、 /-Fy3(x) F y泰fx.yf（fx-、 y)fxy fx( . y)y), y 0,y 03x2x20x其他所以fY3( y)0 y其他四.應(yīng)用題1 .解：設(shè)x為同時打電話的用戶數(shù)，由題意知x B

38、 10,0.2設(shè)至少要有k條電話線路才能使用戶再用電話時能接通的概率為0.99,則kPX kC100.2i0.810 ii 0查表得k=5.e 0.99,其中 2, i!2.解：該問題可以看作為10重伯努利試驗(yàn),每次試驗(yàn)下經(jīng)過5個小時后組件不能正常工作這一基本結(jié)果0.4的概率為1-e ，記x為10塊組件中不能正常工作的個數(shù)，則XB(10,1 e0.4),5小時后系統(tǒng)不能正常工作，即X 2 ,其概率為1 Cw(1 0.8916.0.4 00.4 10 八10.4 10.4 10)(e )C10(1 e ) (e ). 一 一 一2、，3.解：因?yàn)閄 N(20,40 ),所以PX 30 P 303

39、0 F(30) F( 30)30 2030 204040(0.25)0.5187(1.25) 10.8944 1X B(3,0.4931),0.4931設(shè)Y表示三次測量中誤差絕對值不超過30米的次數(shù)，則 PY 1 1 PY 0 1 C00.49310(10.4931)31-0.506930.8698 . PY 1 C30.49311 0.506920.3801.4.解:0時，Y y是不可能事件，知F(y) 0,y 2時，丫和X同分布，服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，知F (y)2時，Y y為必然事件，知F(y) 1 ,因此，丫的分布函數(shù)為0 ,y 0F(y)1-ei,yy%0y 2；25.解：(1)挑

40、選成功的概率 p1C841 .70(2)設(shè)10隨機(jī)挑選成功的次數(shù)為1X,則該 X B 10, 70設(shè)10隨機(jī)挑選成功三次的概率為:31k 1 7PX 3 Cw( )k(1)7 0.00036,7070以上概率為隨機(jī)挑選下的概率，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于該人成功的概率3/10=0.3,因此，可以斷定他確有區(qū)分能力。(B)1 .解：由概率密度可得分布函數(shù)F(x)0, x 13x, 1,1 3131, x9(x63), 3 x 6由于P Xk 2,即 F(k)33；2 .解：X服從（1,2）的均勻分布,f(x)x其他1 ,x1,X0,0,PX200f(x)dxPY1PX 0 1-PX01 (1 y)6所以丫的分布律

41、為Y2-11D12P333.解：Fy(y)P1y PX (1 y)3Fx (1 y)3,fY(y)FY(y)1 F(1 y)3(1y)3 (1 y)33(1 y)2 fX (1y)323(1 y)2,y R；4.證明：因fx(x)是偶函數(shù)，故fx( X)fx(x),Fy(Y)PY y P X y P X y 1 P X y1Fx(y)所以 fY(y) Fy(y) fx( y)fx(y).5.解：隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)0 , 3x-1, 1,x 8,顯然 F(x) 0,1, 8FY(y)PYy PF(X) y,0時,F(X)y是不可能事件，知 FY(y)0,y 1 時，F(xiàn)y(y) pVx

42、 iy PX(1 y)31 時，F(xiàn)(X)y是必然事件，知Fy(y) 1Fy(Y)6. (1)Fy1 (y) PY當(dāng)"2所以fY(y) Fy2 (y)PY2y,1,y0時，即0時，即P2X1時,y>1時,yPXFY(y)Fx(y)PXPXy 12 0dxe xdx0,1 Se 220, y 1，y，其他y PeXX0時，ey為不可能事件，則y 1 時，In y 0,則 Fy2 (y)1 時，ln y 0 ,貝U FY2 (y) PFy2 (y)PeXy0,PeXy pX ln yln y0dx 0,X ln yln ye0xdx 1根據(jù) fY2(y) FY2(y)得fY2(y)0

43、, y 1,1 y 1；2，y 1y Fy3 (y) pY3ypx2y，0時,Fy3 (y)px2y 0，0時,FY3(y)2PX2y p.y所以fY3(y)Q yye21yy7.(1)證明:由題意知f (x)2x2e ,x0 ,xYie2x, Fy(Y)PYiyPe2Xy0時，F(xiàn)Yi(y)0即 fY(y)0，y 1 時，F(xiàn)yi (y)2X 、Pe yIn y2In y 2e dx y ,1時,FY(y)In yX22e2xdx 1故有fYi(y)1,00,1,可以看出丫服從區(qū)間i)均勻分布;丫22xe ,FY2(y)PY2iyP1-e2XyPe2X1-yy 0 時，F(xiàn)y2 (y)2xPe1-

44、y1,1 y 1 時,Fy2(y)P(e 2X1-yln(12y)ln(1 y)2c 2x .22e dxy,0y 1 時，F(xiàn)y2(y)2XPe1-yy)ln(1 y)2 0dx 0,由以上結(jié)果，易知 fY（y）1,0 y 1，可以看出丫2服從區(qū)間（0, 1）均勻分布。0,第三章1解：（XY取到的所有可能值為（1,1）,（1,2）,（2,1）由乘法公式:PX=1,Y=1= PX=1PY=1|X=1|=2/3 1/2=/3同理可求得 PX=1,Y=1=1/3; PX=2,Y=1=1/3（X,Y）的分布律用表格表示如下:2解：X, Y所有可能取至I的值是 0, 1,2(1) PX=i, Y=j=P

45、 X=iP Y=j|X=i|=?.?-(?+?)?-?i,j=0,1,2, i+j 2或者用表格表不如下:(2)P(X,Y) A=PX+Y 1=PX=0, Y=0+PX=1,Y=0+PX=0,Y=0=9/143 解：P(A)=1/4,由 P(B|A)=P(AB)P(AB)1/2 得 P(AB)=1/8由 P(A|B)= P( AB) 1/2 得 P(B)=1/4P(B)(X,Y)取到的所有可能數(shù)對為(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),則PX=0,Y=0=) P(A B)=?=?Q ?/)-P(B)+P(AB)=5/8PX=0,Y=1=P( ?/B)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8PX=1,Y=0=P(A ?=P(A-B)=