數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)

1、總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí)2221.0/( , )( , )( , ):0/( , )( , ):( , ):( , )0/( , )( , )(ttxxttxxtxxua uf x tF x tf x tua uf x tf x tF x tF x tua uf x tf x tcF x如何寫定解問題寫泛定方程(1)均勻弦的微小橫振動：作用在每單位質(zhì)量弦上的橫向外力均勻桿的縱振動：作用在每單位質(zhì)量桿上的縱向外力作用在桿上每單位長度每單位橫截面積所受的縱向外力(2)細(xì)桿導(dǎo)熱問題：，2, ):0/( , , , ),( , , , )ttuauf x y z tf x y z t 熱源強(qiáng)度(單位時間內(nèi)在單位長

2、度桿中產(chǎn)生的熱量)熱傳導(dǎo)問題：按單位熱容量計算的熱源強(qiáng)度000200000,00110()0()( , , ) /02.( , , , )(, ),( , )0,( ,xxyyxyzxuuuuuuk uF x y zEuu x y z tf xyz tlu x tu x 邊界（3）穩(wěn)定溫度分布問題：或圓形邊界條件矩形邊界條件泊松方程（4）靜電場問題：靜電場方程：電勢滿足的靜電場方程：寫邊界條件：第一類邊界條件：如：長為 的弦兩端固定：000)0( , )0,( , )( , )( , )0,( , )x lxx lxx ltu x tu x tf x tu x tu x tu或一端固定一端按已

3、知規(guī)律變化：細(xì)桿導(dǎo)熱問題：一端為零度一端處于恒溫環(huán)境中：000000,( , )( ),(, )00,0 xx axyzxx lxx lxxx luux tf tf xyz tnFYSuuqk ukuu 邊界,第二類邊界條件：,如：桿的某一端是自由的，自由即不受力：又如：細(xì)桿導(dǎo)熱問題：若桿的一端是絕熱的，意味著進(jìn)出該端點(diǎn)的熱流強(qiáng)度為零。0000003.( , , , )( , , )( , , , )( , , )( , )0( , )( , )( , )tttttttu x y z tx y zu x y z tx y zu x tu x tvu x tf x t寫初始條件振動問題：初始位移

4、:初始速度:如：對上面的小車問題：，如：對細(xì)桿導(dǎo)熱問題，只需初始溫度分布，v0 xl0v長為l的均勻桿，一端固定在車壁上，另一端自由，車子以速度 行進(jìn)而突然停止。則邊界條件：000 xxx luu，00P0lxxlTxhF1611：長為 的均勻弦，兩端和固定，弦中張力為 ，在點(diǎn)，以橫向力拉弦，達(dá)到穩(wěn)定后放手任其自由振動，寫出初始條件。習(xí)題TTF0l0hux1211220102000000000000sintan;sintansinsin()(),0, ( , )( )(), , ( , )0tttyyhlhyyTTFTTFhlhF h lhyTlFlhx xhTlu x txF hlx xh

5、lT lu x t初始位移初始速度0PlF1612:長為 的均勻桿兩端受拉力作用而縱振動，寫出邊界條件。習(xí)題/nF SuYFYSYSuunn由胡克定律： =00000000,nxxxxxnxx lx lFFFuuuYSYSYSFFuuYSYS F0 xlF000Plq1613.長為的均勻桿，兩端有恒定熱流進(jìn)入，其強(qiáng)度為 ，寫出這個熱傳導(dǎo)問題的邊界條件。習(xí)題q0 xlq00000000000nx anxx lx lxxx= aqkuqx= aqkuqkuqx=qkuq 若桿的某端點(diǎn)有熱流 沿該端點(diǎn)外法線方向流出：若桿的端點(diǎn)有熱流 沿該端點(diǎn)外法線方向流入：若桿的端點(diǎn)有熱流 沿該端點(diǎn)外法線方向流入：

6、00PlTxF2011：長為 的弦，兩端固定，弦中張力為 ，在距一端為 的一點(diǎn)以力把弦拉開，然后突然撤除這力，求解弦的振動。習(xí)題TTF0l0 x0ux1211220012000000000000000sintan;sintansinsin()(),0,( , )( )(), ( , )0tttyyxlxyyTTFTTFxlxF x lxyTlFlxx xxTlu x txF xlx xx lTlu x t初始位移初始速度200000000000,0(),0,(), 0ttxxxx ltttua uuuFlxx xxTluF xlx xx lTlu定解問題為：1222212222( , )( )

7、sin( )( )sin0( )( )0( )cossinnnnnnnnnnnn xu x tT tlnan xTtT tllnaTtT tln atn atT tABll解：根據(jù)邊界條件可設(shè)：，代入(1)式得000100100000020002( , )0sin002( , )( ),sin( )( )sin()222sin()sinsin()2( , )sin()tnntnlnntnxlxn an xu x tBBlln xn xu x txAxAxdxlllFlxF xF ln xn xn xxdxlxdxlTlllTllT nlF ln xu x tT n 代入初始條件：又1sinco

8、snn xn atlll000uuq2.研究細(xì)桿導(dǎo)熱問題，桿的初始溫度是均勻的,保持桿的一端溫度為不變的 ，至于另一端則有強(qiáng)度為恒定的 熱流流入。習(xí)題q0 xl0000nxx lx lx= aqkuqkuq 解：若桿的端點(diǎn)有熱流 流入：uunx2000000,txxxxx ltua uquuukuu定解問題為：(1 2 )ll3.長為 的均勻桿，兩端受壓從而長度縮為，放手后自由振動，求解桿的這一振動。習(xí)題F0 xl0uunx00020000(1 2 )2,0,2220,( , )(2 )20,0( , )(2 ),( , )0 xtttxxxxxx ltttullFYSYSFYSxltuudx

9、CxClxuClu x tlxua uuuuu x tlx u x t 又處，定解問題為：F0/nF SuYFYSYSuunn解：首先應(yīng)正確理解物理量u:表示桿上各點(diǎn)相對于平衡位置的縱向位移由胡克定律： =lF04.長為 的均勻桿，一端固定，另一端受力后而伸長，求解桿在放手后的振動。習(xí)題F0 xl0uunx200000( , )0,( , )0( , ),( , )0ttxxxxx ltttua uu x tux tFu x tx u x tYS定解問題為：00000/0,( , )0,00( , )ttF SuYFYSuxxFFtdudxu x txCYSYSFxuCu x txYS 解：桿

10、因受力而伸長，顯然桿上各點(diǎn)有初始位移。由胡克定律： =時刻，積分得：20102000204.0( , )0, ( , )0( , )( )sin( , )( )0( , )0,( , )0( , )( )cos( , )( )0( , )0,( , )txxnxx lnttxxxxnxx lnttxxxxx lua un xu x tu x tu x tT tlu x txua un xux tux tu x tT tlu x txua uu x tux t定解問題和試探解設(shè)：設(shè)：000001()20( , )( )sin( , )( )0( , ), ( , )( , )( )cos( ,

11、)0,( , )0nntxxyyxx anyyyy bnxu x tT tlu x txuun yu x yA u x yAyu x yX xbux yux y設(shè)：設(shè)：010210004.0( , )0, ( , )0( , )( )sin( , )( ), ( , )0110,0( , )(cossin)( , )0ln( , )cosxxyyxx lnyymmmmauun xu x yu x yu x yY ylu x yx u x yuuuuuAmBmuCDuE 定解問題和試探解設(shè)：或1(cossin)mmmmCmDm0100001( , )( ) ( )() (cos )( )llll

12、lllr rruu rR r=ArBPufur ，有限值0001000( , , )(cossin)(cos )( , )1cossin(cos )lmmmlllml mr rmmmllllrml murru rrAmBmPufCmDmPur （）有限5.非齊次泛定方程處理200020( )00( , )0,00,000,00,( , )( , ; )( , )( , )( , ; )ttxxxx ltttttxxxx lttttttua uf x tuuuuva vvvvvf xv x tu x tux tv x td解出后6.非齊次邊界條件的處理20000(1)( ),( ) (2)( )

13、,( ) (3)ttxxxx ltttua uututux ux(一)一般處理方法例：自由振動問題0( , )( )( )( )( )( )( ) 0( )( )( )( )( )( )( )( )( )( , )( ) ( )( )(4)xx lv x tA t xB tB ttvtA tB ttttvtA tlB ttA tlxv x ttttl 可選取一個函數(shù)使之滿足邊界條件(2)20000(1)( ),( ) (2)( ),( ) (3)ttxxxx ltttua uututux ux22000000( , )( , )( , ) (5)0( ),( )( ),( )ttxxttxxx

14、xx lx lttttttu x tv x tw x twa wva vvwtvwtvwx vwx利用疊加原理，令將(4)(5)代入(1)(2)(3)中( , )( ) ( )( )(4)xv x ttttl2000( ) ( )( )0,0( )(0) (0)(0)( )(0) (0)(0)ttxxxx ltttxwa wtttlwwxwxlxwxl 這樣邊界條件化為齊次的了，但是泛定方程卻變?yōu)榉驱R次的，接著可參照非齊次方程的求解過程進(jìn)行。02( ),( )( , )( )( )xxxx lututv x tA t xB t x若為第二類非齊次邊界條件：可設(shè)這樣無論弦振動方程是否齊次，邊界條

15、件是否齊次，最終可用分離變量法求解。（二）特殊處理方法特解法( , )( )sin,v x tX xt設(shè)代入(1)(2)20000(1)0,(2)0,0(3)ttxxxx ltttua uuuAsin tuu22000,xx lXXaXXA( )cos()sin()(0)0,( )sin()/sinX xCxDxaaXCllX lDADAaa( , )sinsinsinAxv x ttlaa( , )( , )( , )sinsin( , ),sinAxu x tv x tw x ttw x tlaa令代入(1)(2)(3)得：200000,0sin(/ )0,sin(/ )ttxxxx lt

16、ttwa wwwAx awwl a 2000( , )(1)( ),( ) (2)( ),( ) (3)ttxxxx ltttua uf x tututux ux(一)一般的有界波動和輸運(yùn)問題以有界弦的一般振動問題為例：0( , )( )( )( )( )( )( ) 0( )( )( )( )( )( )( )( )( )( , )( ) ( )( )(4)xx lv x tA t xB tB ttvtA tB ttttvtA tlB ttA tlxv x ttttl 采取以下求解步驟：（1）化邊界條件為齊次取使之滿足邊界條件(2)非齊次泛定方程非齊次邊界條件非零值初始條件弦受外力作用，有初

17、始位移、初始速度兩個端點(diǎn)按已知規(guī)律隨時間變化2000( , )(1)( ),( ) (2)( ),( ) (3)ttxxxx ltttua uf x tututux ux200000( , )( , )( , ) (5)( , )( , )0,0( )( ),( )( )ttxxttxx lttttttu x tv x tw x twwa wf x tvg x twwwxvx wxvx 利用疊加原理，令將(4)(5)代入(1)(2)(3)中得 的定解問題( , )( ) ( )( )(4)xv x ttttl然后用傅立葉級數(shù)法求解，如$8.2例1,P204法二：采用疊加原理利用疊加原理化成兩個

18、簡單的定解問題。(2)(1)2(1)(2)2(2)(1)(1)(2)(2)00(1)(1)(2)(2)0000( , )( , )( , )0( , )0,00,0( ),( )0,0ttxxttxxxx lxx lttttttw x twx twx twa wwa wg x twwwwwx wxww 令齊次方程，非零值初始條件非齊次方程，零值初始條件分離變數(shù)法，傅立葉級數(shù)(1)法求解沖量定理法求解200( , )( ),( )( )txxxx ltua uf x tututux對于一般的有界輸運(yùn)問題，如求解步驟與上述振動問題完全相同。（二）一般的有界穩(wěn)定場問題以二維矩形域穩(wěn)定溫度分布問題為例，其定解問題是：00( , )( , )( , )( , )( , )( , )0( )(0, ),( )