工程力學(xué)I-第3章力矩與平面力偶系

1、3-1 3-1 關(guān)于力矩的概念與計(jì)算關(guān)于力矩的概念與計(jì)算3-2 3-2 關(guān)于力偶的概念關(guān)于力偶的概念3-3 3-3 平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡小小 節(jié)節(jié)3-1 關(guān)于力矩的概念及其計(jì)算關(guān)于力矩的概念及其計(jì)算力對物體作用時(shí)可以產(chǎn)生力對物體作用時(shí)可以產(chǎn)生移動(dòng)移動(dòng)和和轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)外兩個(gè)外效應(yīng)。效應(yīng)。Mo(F)Fd力力F對對O點(diǎn)點(diǎn)之之矩矩定定義為：義為：矩心矩心：；力臂力臂：d。通常規(guī)定：力使物體繞矩心通常規(guī)定：力使物體繞矩心逆時(shí)針逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力矩為力矩為正正，反之為負(fù)。，反之為負(fù)。3-1 關(guān)于力矩的概念及其計(jì)算關(guān)于力矩的概念及其計(jì)算在在平面平面問題中，力對點(diǎn)之問題中

2、，力對點(diǎn)之矩只取決于力矩的大小及矩只取決于力矩的大小及其旋轉(zhuǎn)的方向（力矩正負(fù)），可視其旋轉(zhuǎn)的方向（力矩正負(fù)），可視為一個(gè)為一個(gè)代數(shù)量代數(shù)量。Mo(F)2AOAB力矩的單位是牛頓力矩的單位是牛頓米（米（Nm）。力力F對點(diǎn)對點(diǎn)O的矩也可用圖中的矩也可用圖中OAB的面積的的面積的2倍表示：倍表示：3-1 關(guān)于力矩的概念及其計(jì)算關(guān)于力矩的概念及其計(jì)算特性：特性：（1）力對點(diǎn)之矩，不僅取決于力的大小，還與矩心的位置有關(guān)。）力對點(diǎn)之矩，不僅取決于力的大小，還與矩心的位置有關(guān)。 力矩隨矩心的位置變化而變化。力矩隨矩心的位置變化而變化。（2）力對任一點(diǎn)之矩，不因該力的作用點(diǎn)沿其作用線移動(dòng)而改變。）力對任一點(diǎn)之

3、矩，不因該力的作用點(diǎn)沿其作用線移動(dòng)而改變。*（3）力的大小等于零或其作用線通過矩心時(shí)，力矩等于零。）力的大小等于零或其作用線通過矩心時(shí)，力矩等于零。（4）互成）互成平衡平衡的兩個(gè)力對同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和為零。的兩個(gè)力對同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和為零。Mo(F)Fd3-1 關(guān)于力矩的概念及其計(jì)算關(guān)于力矩的概念及其計(jì)算合力矩定理：合力矩定理：yxFRFyFxyAxAdOAr-xyDMo(FR)=FRd=FRrsin(-) =FRr(sin cos-sin cos) =FRsin rcos-rsin FRcosFRsin=Fy; FRcos = Fx;rsin =yA; rcos = xA. =xAFy -

4、yA FxMo(Fx)=- yA FxMo(Fy)=xA Fy =Mo(Fy)+Mo(Fx)AD yAO yOAD3-1 關(guān)于力矩的概念及其計(jì)算關(guān)于力矩的概念及其計(jì)算合力矩定理：合力矩定理：平面匯交力系的平面匯交力系的合力合力對作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于力對作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于力系中系中各分力各分力對對同一點(diǎn)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。之矩的代數(shù)和。三角函數(shù)和角公式三角函數(shù)和角公式:正余同余正，余余反正正。正余同余正，余余反正正。 3-1 關(guān)于力矩的概念及其計(jì)算關(guān)于力矩的概念及其計(jì)算【例例】扳手扳手上受力上受力F作用作用F=200N,a=30,OA=20cm，計(jì)算該，計(jì)算該力對螺母力對螺母O之矩。之矩。

5、FOAdD axy( )cos200 0.2 cos3034.64OMFFdFOAaN m 根據(jù)合力矩定理，還可以將根據(jù)合力矩定理，還可以將F分解到分解到如圖所示如圖所示x,y方向分別計(jì)算其對方向分別計(jì)算其對O點(diǎn)力矩，點(diǎn)力矩，在求和得在求和得F對對O點(diǎn)之矩。點(diǎn)之矩。3-1 關(guān)于力矩的概念及其計(jì)算關(guān)于力矩的概念及其計(jì)算力偶：一對等值、反向而力偶：一對等值、反向而不共線不共線的平行力，的平行力，用符號（用符號（F ,F）表示。）表示。力偶臂：兩個(gè)力作用力偶臂：兩個(gè)力作用線之間的線之間的垂直垂直距離距離d。力偶的作用面：兩個(gè)力偶的作用面：兩個(gè)力作用線所決定的平力作用線所決定的平面面F F d 3-2

6、 關(guān)于力偶的概念關(guān)于力偶的概念轉(zhuǎn)動(dòng)游戲方向盤轉(zhuǎn)動(dòng)游戲方向盤擰水龍頭擰水龍頭扳手?jǐn)Q螺母扳手?jǐn)Q螺母FFdFFdFFd3-2 關(guān)于力偶的概念關(guān)于力偶的概念力偶的性質(zhì)：力偶的性質(zhì)：O力偶在任何坐標(biāo)軸上的力偶在任何坐標(biāo)軸上的投影為投影為0；力偶不能合成為一個(gè)力。力偶不能合成為一個(gè)力。力偶對物體不產(chǎn)生移動(dòng)力偶對物體不產(chǎn)生移動(dòng)效應(yīng)，只產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)效應(yīng)，只產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng).yxabc dF d -+注意：注意：既然既然力偶在任何坐標(biāo)力偶在任何坐標(biāo)軸上的投影等于零，那它的軸上的投影等于零，那它的合力也等于零。這種說法對合力也等于零。這種說法對不對？不對？ 不對，在任何坐標(biāo)軸上投不對，在任何坐標(biāo)軸上投影為零的力系合力

7、為零是針影為零的力系合力為零是針對平面對平面匯交匯交力系。力系。3-2 關(guān)于力偶的概念關(guān)于力偶的概念力偶矩力偶矩 ：力偶對物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。：力偶對物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。M(F, F)Fd力偶的三要素：力偶的三要素：力偶距力偶距的大小、力偶的大小、力偶的轉(zhuǎn)向、力偶的作用面。的轉(zhuǎn)向、力偶的作用面。FFdOxABC力偶對作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩的大小恒等于力偶中力偶對作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩的大小恒等于力偶中一力的大小和力偶臂的乘積，一力的大小和力偶臂的乘積，與矩心的位置無關(guān)。與矩心的位置無關(guān)。ABCAFFM2),(3-2 關(guān)于力偶的概念關(guān)于力偶的概念(1)根據(jù)加減平衡根據(jù)加減平衡力系力系公理，公理，對受力偶對受力偶

8、(F,F)作用的剛體作用的剛體增加一對平衡力增加一對平衡力(Q,Q)，不，不改變剛體的作用效應(yīng)，則有改變剛體的作用效應(yīng)，則有(F,F) =(F,F ,Q,Q)。(2)由力由力F,Q求得合力求得合力P，由，由力力F,Q，從而有，從而有 (F,F ,Q,Q) =(P,P) 。PP1P1PFFQQABAB(3)將力將力P和和P沿各自的作用沿各自的作用線移至任意點(diǎn)線移至任意點(diǎn)A，B，根，根據(jù)力的可傳性原理，有據(jù)力的可傳性原理，有 (P,P) =(P1,P1) 。3-2 關(guān)于力偶的概念關(guān)于力偶的概念(4)( ,)2,ABDM F FABBDA 顯然，顯然，ABDABCAA并注意到力偶矩的轉(zhuǎn)向也相同，并注

9、意到力偶矩的轉(zhuǎn)向也相同，則有則有( ,)( ,)M F FM P P11( ,)( ,)M P PM P P顯然，顯然，從而有從而有，11( ,)( ,)M F FM P PbCDABCABCABPPM2,）（PP1P1PFFQQABABA11( ,)( ,)M F FM P P3-2 關(guān)于力偶的概念關(guān)于力偶的概念同一平面內(nèi)力偶的等效定理：同一平面內(nèi)力偶的等效定理：在同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如它們的在同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如它們的力偶矩力偶矩大小相等，而且大小相等，而且轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)向相同，則此兩力偶等效。相同，則此兩力偶等效。推論推論1力偶可在其作用面內(nèi)任意移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，而不會(huì)改變它對力偶可在其作用面內(nèi)

10、任意移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，而不會(huì)改變它對物體的效應(yīng)。物體的效應(yīng)。推論推論2只要保持力偶矩不變，可同時(shí)改變力偶中力的大小和力只要保持力偶矩不變，可同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長度，而不會(huì)改變它對物體的作用效應(yīng)。偶臂的長度，而不會(huì)改變它對物體的作用效應(yīng)。3-2 關(guān)于力偶的概念關(guān)于力偶的概念1F1F2F2F1F1F2F2FxyzO一一力偶力偶( , )作用在平面作用在平面Oxy內(nèi)，另一力偶內(nèi)，另一力偶( , )作用在作用在平面平面Oyz內(nèi)，他們的力偶矩大小相等。試問此兩力偶是否內(nèi)，他們的力偶矩大小相等。試問此兩力偶是否等效？為什么？等效？為什么？3-3 平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡 平面力

11、偶系：物體平面力偶系：物體上作用的若干力偶的作用上作用的若干力偶的作用面在同一平面內(nèi)面在同一平面內(nèi)。 平面力偶系合成的結(jié)果是一個(gè)力偶，合力偶平面力偶系合成的結(jié)果是一個(gè)力偶，合力偶矩等于力偶系中所有各力偶矩的代數(shù)和。矩等于力偶系中所有各力偶矩的代數(shù)和。合成合成在在平面力偶系中，力偶矩是代數(shù)量，力偶平面力偶系中，力偶矩是代數(shù)量，力偶的合成即是代數(shù)量相加的合成即是代數(shù)量相加。12RniMMMMMF1d1 F 2F2d2 dF1d1 F11dM1F 1F11F11F2d2 F22d-M2F22F22FRFRMR FRd （F11-F22）d F11 d -F22 d M1+M23-3 平面力偶系的合成

12、與平衡平面力偶系的合成與平衡 平面力偶系合成的結(jié)果是一個(gè)力偶，合力平面力偶系合成的結(jié)果是一個(gè)力偶，合力偶矩等于力偶系中所有各力偶矩的偶矩等于力偶系中所有各力偶矩的代數(shù)和代數(shù)和。平衡平衡 平面平面力偶系平衡的充分必要條件是：力偶力偶系平衡的充分必要條件是：力偶系中所有各力偶矩的代數(shù)和等于零系中所有各力偶矩的代數(shù)和等于零。0iM 利用利用這個(gè)平衡條件，可以求解一個(gè)未知量。這個(gè)平衡條件，可以求解一個(gè)未知量。3-3 平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡 ABMeBMeA例 3-3FBFA0iM lMe FAl=0FA=FB= Me /l=100N3-3 平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與

13、平衡 例3-40iM FAl-M1-M2-M3=0FA= （M1+M2+M3）/l=22N3-3 平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡 如圖所示的鉸接連桿機(jī)構(gòu)如圖所示的鉸接連桿機(jī)構(gòu)OABD，在桿在桿OA和和BD上分別作用著矩上分別作用著矩為為M1和和M2的的力偶，而使機(jī)構(gòu)在圖示位置力偶，而使機(jī)構(gòu)在圖示位置處于平衡。已知處于平衡。已知OA=r，DB=2r， =30，不計(jì)各桿自重，試，不計(jì)各桿自重，試求求M1和和M2間間的關(guān)系。的關(guān)系。解解：容易容易看出看出AB桿為二力構(gòu)件，其反桿為二力構(gòu)件，其反力力FAB和和FBA只只能能沿沿A，B的連線方向。的連線方向。BODM1M2AABABFBAF

14、 分別取桿分別取桿OA和和DB為研究對象。因?yàn)榱ε贾荒芘c力偶平為研究對象。因?yàn)榱ε贾荒芘c力偶平衡，所以支座衡，所以支座O和和D的約束力的約束力FO 和和FD只能分別平行于只能分別平行于FAB和和FBA ，且與其方向相反。，且與其方向相反。OAABFOF1MBDBAFDF2M 分別對桿分別對桿OA和和DB建立平衡方程：建立平衡方程：ABBAFF212MM1cos0ABMF r22cos0BAMF r1cos0ABMFOA2cos0BAMFBD即：即：如圖所示，在物體上作用有兩力偶如圖所示，在物體上作用有兩力偶( , )和和( , )，其力，其力多邊形封閉。請問該物體是否平衡？為什么？多邊形封閉。請問該物體是否平衡？為什么？1F1F2F2F1F1F2F2F1F1F2F2F3-3 平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡 1力對點(diǎn)矩的定義、正負(fù)規(guī)定；力對點(diǎn)矩的定義、正負(fù)規(guī)定；2 合力矩定理和力矩的計(jì)算；合力矩定理和力矩的計(jì)算；3力偶的概念和性質(zhì)；力偶的概念和性質(zhì)；4力偶矩的定義、正負(fù)規(guī)定，力偶的三