--空間向量的正交分解及其坐標表示坐標運算

1、3.1.4 3.1.4 空間向量的正交空間向量的正交分解及其坐標表示分解及其坐標表示1211122122e eae eaee 如如果果 ，是是同同一一平平面面內內的的兩兩個個向向量量，那那么么對對于于這這一一平平面面內內的的任任一一向向量量 ，有有且且只只有有一一對對實實數(shù)數(shù) ，使使。（ 、叫叫做做表表示示這這一一平平面面內內所所有有向向量量的的一一組組不不共共線線基基底底。）平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐標表示平面向量的正交分解及坐標表示xyoaijaxiy j(1,0),(0,1),0(0,0).ij【溫故知新】問題：問題：p 我們知道，平面內的任意一個向量我們知道，平面內的任意

2、一個向量 都可以都可以用兩個不共線的向量用兩個不共線的向量 來表示（平面向量基本定來表示（平面向量基本定理）。對于空間任意一個向量，有沒有類似的結論呢？理）。對于空間任意一個向量，有沒有類似的結論呢？, a b xyzOijkQPp .OPOQzk .OQxiy j.OPOQzkxiy jzk 由此可知，如果由此可知，如果 是空間兩是空間兩兩垂直的向量，那么，對空間任一兩垂直的向量，那么，對空間任一向量向量 ，存在一個有序實數(shù)組，存在一個有序實數(shù)組 x,y,z使得使得 我們稱我們稱 為向量為向量 在在 上的分向量。上的分向量。, ,i j k p .pxiy jzk ,xi y j zk, ,

3、i j k p 探究：探究：在空間中，如果用任意三個不共面向量在空間中，如果用任意三個不共面向量 代替兩兩垂直的向量代替兩兩垂直的向量 ，你能得出類似的，你能得出類似的 結論嗎？結論嗎？, ,a b c , ,i j k 任意任意不共面不共面的三個向量都可做為空間的一個的三個向量都可做為空間的一個基底基底。一、空間向量基本定理：一、空間向量基本定理： 如果三個向量 不共面，那么對空間任一向量 ，存在一個唯一的有序實數(shù)組x,y,z，使, ,a b c p . pxaybzc都叫做都叫做基向量基向量, ,a b c （1）任意）任意不共面不共面的三個向量都可做為空間的一個基底。的三個向量都可做為空

4、間的一個基底。特別提示：特別提示：對于基底對于基底a,b,c,除了應知道除了應知道a,b,c不共面，不共面， 還應明確：還應明確： （2） 由于可視由于可視 為與任意一個非零向量共線，與任為與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著意兩個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著它們都不是它們都不是 。00（3）一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基）一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關聯(lián)的不同概念。底中的某一個向量，二者是相關聯(lián)的不同概念。二、空間直角坐標系二、空間直角坐標系 單位正交基底：單位正交基底：如果空間的一個基底的

5、如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個，則這個基底叫做基底叫做單位正交基底單位正交基底,常用常用 e1 , e2 , e3 表示表示 空間直角坐標系：空間直角坐標系：在空間選定一點在空間選定一點O和一和一個單位正交基底個單位正交基底 e1,e2,e3 ,以點以點O為原點，分別為原點，分別以以e1,e2,e3的正方向建立三條數(shù)軸：的正方向建立三條數(shù)軸：x軸、軸、y軸、軸、z軸，它們都叫做坐標軸軸，它們都叫做坐標軸.這樣就建立了一個這樣就建立了一個空間直角坐標系空間直角坐標系O-xyz 點點O叫做原點，向量叫做原點，向量e1,e2,e3都叫做都叫做坐

6、標向量坐標向量.通過每兩個坐通過每兩個坐標軸的平面叫做標軸的平面叫做坐標平面坐標平面。xyzOe1e2e3 給定一個空間坐標系和向給定一個空間坐標系和向量量 ,且設且設e1,e2,e3為坐標向量，為坐標向量，由空間向量基本定理，存在唯由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數(shù)組一的有序實數(shù)組(x,y, z)使使 p = xe1+ye2+ze3 有序數(shù)組有序數(shù)組( x, y, z)叫做叫做p在空間在空間直角坐標系直角坐標系O-xyz中的坐標，中的坐標，記作記作.P=(x,y,z)三、空間向量的直角坐標系三、空間向量的直角坐標系pxyzOe1e2e3p例例1 1平行六面體中平行六面體中, ,點點MC=

7、2=2AM, ,A1 1N=2=2ND, ,設設AB= =a, ,AD= =b, ,AA1 1= =c, ,試用試用a, ,b, ,c表示表示MN. .分析分析: :要用要用a, ,b, ,c表示表示MN, ,只要結合圖形只要結合圖形, ,充充分運用空間向量加法分運用空間向量加法和數(shù)乘的運算律即可和數(shù)乘的運算律即可. .ABCDA1B1D1C1MN解解: :ABCDA1B1D1C1MN連連AN, , 則則MN=MA+ANMN=MA+ANMA=MA= AC =AC = ( (a+ +b) )1313AN=AD+DN=ADAN=AD+DN=ADNDND= = （2 2 b + + c ) )13=

8、 = （ a + + b + + c ) )13MN= MA+ANMN= MA+AN例例1 1平行六面體中平行六面體中, ,點點MC=2=2AM, ,A1 1N=2=2ND, ,設設AB= =a, ,AD= =b, ,AA1 1= =c, ,試用試用a, ,b, ,c表示表示MN. .例題例題已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N，分別是對邊OA，BC的中點，點P，Q是線段MN三等分點，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.BOACPNMQ練習練習 . .空間四邊形空間四邊形OABCOABC中中,OA=,OA=a,OB=,OB=b,OC=,OC=c點點M M在在OAOA上上

9、, ,且且OM=2MA,NOM=2MA,N為為BCBC的中點的中點, ,則則MN=( ).MN=( ).OABCMN(A) a b + c 122312(B) a + b + c 122312(C) a + b c 122312(D) a + b c 1223233.1.5 空間向量運算的坐標表示一、向量的直角坐標運算一、向量的直角坐標運算則設),(),(321321bbbbaaaa;ab;ab;a;a b/;.ab;ab112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaaR1 12233a ba ba b112233,()ab ab abR112233

10、/ababab1 122330a ba ba b二、距離與夾角二、距離與夾角1. 1.距離公式距離公式（1 1）向量的長度（模）公式）向量的長度（模）公式222123| aa aaaa| ABABAB AB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222,212121()()()A Bdxxyyzz在空間直角坐標系中，已知、在空間直角坐標系中，已知、，則，則111(,)A xyz222(,)B xyz（2）空間兩點間的距離公式）空間兩點間的距離公式cos,| | a ba bab1 1223 3222222123123;a ba ba baaabbb2.2.兩個向

11、量夾角公式兩個向量夾角公式注意：注意：（1）當）當 時，同向；時，同向；（2）當）當 時，反向；時，反向；（3）當）當 時，。時，。cos,1 a b與 abcos,1 a b與 abcos,0 a bab思考：當思考：當 及及 時，時，夾角在什么范圍內？夾角在什么范圍內？1cos,0 a b,10cos a b練習：練習：1.求下列兩個向量的夾角的余弦：求下列兩個向量的夾角的余弦：(1)(2,3,3),(1,0,0) ;ab(2)( 1,1,1),( 1,0,1) ; ab2.求下列兩點間的距離：求下列兩點間的距離：(1)(1,1,0) ,(1,1,1) ;AB(2)( 3,1,5) ,(0

12、,2,3) .CD例例5如圖，在正方體中，如圖，在正方體中，求與所成的角的余弦值。，求與所成的角的余弦值。1111ABCDA BC D11B E11114A BD F1BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：設正方體的棱長為解：設正方體的棱長為1，如圖建，如圖建立空間直角坐標系，則立空間直角坐標系，則Oxyz13(1,1,0) ,1,1 ,4BE11(0,0,0) ,0, 1 .4，DF1311,1(1,1,0)0,1 ,44BE 例例5如圖，在正方體中，如圖，在正方體中，求與所成的角的余弦值。，求與所成的角的余弦值。1111ABCDA BC D11B E11114A BD F1

13、BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCxyzO1110, 1(0,0,0)0, 1 .44 ，DF111115001 1,4416 BE DF111717|, |.44 BEDF111111151516cos,.17| |171744 BE DFBEDFBEDF例 6如圖，正方體1111ABCDA B C D 中，E，F(xiàn)分別是1BB，11D B中點，求證：1EFDA 練習：練習：。求證：的值；求的長；求的中點，、分別為、，棱，中，底面：直三棱柱如圖MCBA3)CB,cos2)BN1)AABANM2AA90BCA1CBCAABC, 11111111o111BACBAABCBCC1A1B1ANM思考題：。的面積方法求用向量（、（已知SABC),5 , 1, 1 (),6 , 1 , 2B) 3 , 2 , 0AC四、課堂小結