-拉氏變換與模擬濾波器設(shè)計(jì)

1、拉氏變換與模擬濾波器設(shè)計(jì)北京科技大學(xué)陽建宏2021-11-12北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院2/ 62背景介紹背景介紹信號(hào)處理信號(hào)處理：將信號(hào)做必要的變換以獲得所需信息的過程：將信號(hào)做必要的變換以獲得所需信息的過程信號(hào)分析信號(hào)分析：研究信號(hào)的構(gòu)成與特征：研究信號(hào)的構(gòu)成與特征時(shí)域時(shí)域頻域頻域傅里葉變換傅里葉變換提取關(guān)心的頻率成分提取關(guān)心的頻率成分濾波處理濾波處理北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院3/ 62背景介紹背景介紹為什么要濾波？為什么要濾波？ 在傳感器獲得的信號(hào)中，?；煊性S多其他頻率的干擾在傳感器獲得的信號(hào)中，常混有許多其他頻率的干擾 有用的信號(hào)被淹沒在干擾噪聲中有用的信號(hào)被淹沒在干擾噪聲中為突出有用

2、信號(hào)，抑制噪聲干擾，要對(duì)傳感器獲得的信號(hào)進(jìn)行濾波為突出有用信號(hào)，抑制噪聲干擾，要對(duì)傳感器獲得的信號(hào)進(jìn)行濾波頻率成分多，噪聲干擾北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院4/ 62背景介紹背景介紹濾波的實(shí)質(zhì)：濾波的實(shí)質(zhì)： 對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻率選擇，完成濾波功能的裝置稱為對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻率選擇，完成濾波功能的裝置稱為濾波器濾波器 當(dāng)信號(hào)通過濾波器時(shí)，信號(hào)中某些頻率成分得以通過，當(dāng)信號(hào)通過濾波器時(shí)，信號(hào)中某些頻率成分得以通過， 其他頻率成分的信號(hào)受到衰減或抑制其他頻率成分的信號(hào)受到衰減或抑制 信號(hào)通過濾波器的過程，就稱為對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波。信號(hào)通過濾波器的過程，就稱為對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波。濾波后濾波后北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院5/ 6

3、2背景介紹背景介紹濾波器的分類：濾波器的分類：分析對(duì)象分析對(duì)象具體實(shí)現(xiàn)具體實(shí)現(xiàn)應(yīng)用場(chǎng)合應(yīng)用場(chǎng)合 模擬濾波器模擬濾波器連續(xù)信號(hào)連續(xù)信號(hào)由模擬器件組成由模擬器件組成電子電路電子電路 數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器離散信號(hào)離散信號(hào)算法編程算法編程工程信號(hào)處理工程信號(hào)處理Questions： 模擬濾波器與數(shù)字濾波器的關(guān)系？模擬濾波器與數(shù)字濾波器的關(guān)系？ 如何進(jìn)行濾波器的設(shè)計(jì)？如何進(jìn)行濾波器的設(shè)計(jì)？ 如何評(píng)價(jià)濾波器的性能？如何評(píng)價(jià)濾波器的性能？北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院6/ 62背景介紹背景介紹簡(jiǎn)單的模擬濾波器簡(jiǎn)單的模擬濾波器RC濾波器濾波器： 電路簡(jiǎn)單電路簡(jiǎn)單 抗干擾性強(qiáng)抗干擾性強(qiáng) 有較好的低頻性能有較好的低頻

4、性能 選用標(biāo)準(zhǔn)的阻容元件選用標(biāo)準(zhǔn)的阻容元件設(shè)濾波器的輸入電壓為設(shè)濾波器的輸入電壓為ex，輸出電壓為，輸出電壓為ey，電路的微分方程為：，電路的微分方程為：(克希荷夫電壓定律)求微分方程的時(shí)域解，可獲得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。求微分方程的時(shí)域解，可獲得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院7/ 62背景介紹背景介紹一階微分方程的求解方法：一階微分方程的求解方法： 常規(guī)數(shù)學(xué)積分法：常規(guī)數(shù)學(xué)積分法：對(duì)復(fù)雜的方程不易求解，參數(shù)設(shè)定困難對(duì)復(fù)雜的方程不易求解，參數(shù)設(shè)定困難 拉普拉斯變換：拉普拉斯變換： 將時(shí)域的微分運(yùn)算，簡(jiǎn)化為代數(shù)運(yùn)算將時(shí)域的微分運(yùn)算，簡(jiǎn)化為代數(shù)運(yùn)算改進(jìn)核心思想求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

5、H(s)來分析系統(tǒng)的幅頻、相頻特性來分析系統(tǒng)的幅頻、相頻特性北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院8/ 62主要內(nèi)容主要內(nèi)容12 23 3拉氏變換拉氏變換Z變換模擬濾波器4 4數(shù)字濾波器北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院9/ 62 信號(hào)信號(hào) f(t）傅里葉變換存在需滿足狄利克雷條件，但像階躍函）傅里葉變換存在需滿足狄利克雷條件，但像階躍函數(shù)、三角函數(shù)等實(shí)際中應(yīng)用廣泛的信號(hào)不滿足數(shù)、三角函數(shù)等實(shí)際中應(yīng)用廣泛的信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件絕對(duì)可積條件，經(jīng)典意義上的傅里葉變換不存在。經(jīng)典意義上的傅里葉變換不存在。絕對(duì)可積：絕對(duì)可積： 為了為了克服傅里葉變換在系統(tǒng)分析中存在的限制克服傅里葉變換在系統(tǒng)分析中存在的限制，引出了拉普

6、，引出了拉普拉斯變換，簡(jiǎn)稱拉斯變換，簡(jiǎn)稱拉氏變換拉氏變換。拉氏變換的引入拉氏變換的引入dttf)(能量有限階躍函數(shù)不收斂，能量無限北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院10/ 62拉氏變換拉氏變換對(duì)傅里葉變換進(jìn)行改造：對(duì)傅里葉變換進(jìn)行改造： 將函數(shù)將函數(shù) f(t) 乘以一個(gè)衰減指數(shù)函數(shù)乘以一個(gè)衰減指數(shù)函數(shù) ，使得函，使得函數(shù)函數(shù)收斂，滿足絕對(duì)可積條件，則可以進(jìn)行傅里葉變換數(shù)函數(shù)收斂，滿足絕對(duì)可積條件，則可以進(jìn)行傅里葉變換: :) 0(te() ( )( )( )ttj tjtF f t ef t eedtf t edtFj滿足條件的信號(hào)傅里葉因子sj令)()()(tfLdtetfsFst)()(21)(1

7、sFLdsesFjtfjjst雙邊拉氏變換對(duì)雙邊拉氏變換對(duì)北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院11/ 62拉氏變換基本性質(zhì)拉氏變換基本性質(zhì)線性定理：線性定理：)()(, )()(2211sFtfLsFtfL?)()(21tbftafL則)()(21sbFsaF延遲定理：延遲定理：)()(sFtfL?f f( (t t) )t t)()(00sFettfLst?t tf f( (t-tt-t0 0) )t t0 0衰減定理：衰減定理： )()(sFtfL?)()(sFtfeLt?該定理說明了該定理說明了f(t)在時(shí)間域的指數(shù)衰減，其拉氏變換在變換域就成為坐標(biāo)平移在時(shí)間域的指數(shù)衰減，其拉氏變換在變換域就成為

8、坐標(biāo)平移該定理說明了時(shí)間域的平移變換在復(fù)數(shù)域有相對(duì)應(yīng)的衰減變換。該定理說明了時(shí)間域的平移變換在復(fù)數(shù)域有相對(duì)應(yīng)的衰減變換。北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院12/ 62拉氏變換基本性質(zhì)拉氏變換基本性質(zhì)時(shí)域?qū)?shù)性質(zhì)：時(shí)域?qū)?shù)性質(zhì)：?),()(sFtfL)0()()(fssFdttdfL頻域?qū)?shù)性質(zhì)：頻域?qū)?shù)性質(zhì)：)()(sFtfL?dssdFttfL)()(?初值定理：初值定理：),()(sFtfL?且f()存在，則)()(lim0sFsfs即時(shí)域函數(shù)的終值，也可以由變換域求得。即時(shí)域函數(shù)的終值，也可以由變換域求得。北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院13/ 62拉氏變換拉氏變換傅里葉變換傅里葉變換拉氏變換拉氏變換

9、分析對(duì)象 計(jì)算公式基本信號(hào)元域時(shí)域變量 t 為實(shí)數(shù)頻域變量 為實(shí)數(shù)時(shí)域變量t為實(shí)數(shù)頻域變量s為復(fù)數(shù)j teste)(tftetf)()( )j tX jf t edt( )tj tf t eedtsj拉氏變換拉氏變換S平面j傅里葉變換傅里葉變換0F變換是變換是L變換的特例變換的特例L變換是變換是F變換的擴(kuò)展變換的擴(kuò)展北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院14/ 62拉氏變換的應(yīng)用拉氏變換的應(yīng)用-系統(tǒng)函數(shù)分析系統(tǒng)函數(shù)分析 拉氏變換作為傅氏變換的推廣，將信號(hào)的拉氏變換作為傅氏變換的推廣，將信號(hào)的頻域頻域分析擴(kuò)展為分析擴(kuò)展為復(fù)頻域復(fù)頻域分析，分析，擴(kuò)大了信號(hào)變換的范圍。擴(kuò)大了信號(hào)變換的范圍。 連續(xù)信號(hào)的復(fù)頻域分

10、析方法也從頻域分析方法擴(kuò)展而來。連續(xù)信號(hào)的復(fù)頻域分析方法也從頻域分析方法擴(kuò)展而來。)()()(thtfty()()()Y jF jH j頻域?qū)τ诰€性時(shí)不變系統(tǒng)：對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)：輸入信號(hào)為輸入信號(hào)為f(t), 系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，則輸出信號(hào)為：，則輸出信號(hào)為：)()()(thtfty)()()(sHsFsY系統(tǒng)函數(shù)()()()()jY jH jH jeF j復(fù)頻域系統(tǒng)函數(shù))()()(sFsYsH北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院15/ 62簡(jiǎn)單的模擬濾波器簡(jiǎn)單的模擬濾波器RC濾波器濾波器：令令 =RC，稱為時(shí)間常數(shù)，對(duì)上式取，稱為時(shí)間常數(shù)，對(duì)上式取拉氏變換拉氏變換，有，有：其幅

11、頻、相頻特性公式為其幅頻、相頻特性公式為: 分析可知分析可知: 當(dāng)當(dāng)f 很小時(shí)，很小時(shí)，A(f)=1，信號(hào)不受衰減地通過；，信號(hào)不受衰減地通過； 當(dāng)當(dāng)f 很大時(shí)，很大時(shí)，A(f)=0，信號(hào)完全被阻擋，不能通過，信號(hào)完全被阻擋，不能通過。 sj拉氏變換的應(yīng)用拉氏變換的應(yīng)用-系統(tǒng)函數(shù)分析系統(tǒng)函數(shù)分析北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院16/ 62拉氏變換拉氏變換連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)拉氏變換獲得系統(tǒng)函數(shù)獲得系統(tǒng)函數(shù) sH離散系統(tǒng)如何獲得系統(tǒng)函數(shù)？離散系統(tǒng)如何獲得系統(tǒng)函數(shù)？北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院17/ 62主要內(nèi)容主要內(nèi)容12 23 3拉氏變換Z Z變換變換模擬濾波器4 4數(shù)字濾波器北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院1

12、8/ 62Z變換的引入變換的引入 Z Z變換的作用：變換的作用：nz z變換是變換是離散信號(hào)離散信號(hào)分析和處理，離散系統(tǒng)設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)中分析和處理，離散系統(tǒng)設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)中一種重要的數(shù)學(xué)工具一種重要的數(shù)學(xué)工具, ,它在離散系統(tǒng)中的地位與作用，它在離散系統(tǒng)中的地位與作用，相當(dāng)于連續(xù)系統(tǒng)中的拉氏變換。相當(dāng)于連續(xù)系統(tǒng)中的拉氏變換。n應(yīng)用應(yīng)用z z變換可以把離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型即變換可以把離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型即差分方程轉(zhuǎn)換差分方程轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單的代數(shù)方程為簡(jiǎn)單的代數(shù)方程，使求解過程簡(jiǎn)化。，使求解過程簡(jiǎn)化。 Z Z變換兩種定義：變換兩種定義：n定義定義1:1:對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行沖激抽樣經(jīng)拉氏變換引出對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行沖激抽樣經(jīng)

13、拉氏變換引出, ,常用于常用于自動(dòng)控制采樣系統(tǒng)的分析。自動(dòng)控制采樣系統(tǒng)的分析。n定義定義2:2:直接給出數(shù)學(xué)定義；常用于數(shù)字信號(hào)處理中。直接給出數(shù)學(xué)定義；常用于數(shù)字信號(hào)處理中。北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院19/ 62Z變換變換Step1:Step1:若對(duì)一若對(duì)一模擬信號(hào)模擬信號(hào)x(t)作沖激抽樣作沖激抽樣，得到其沖激抽樣信號(hào)，得到其沖激抽樣信號(hào): :Step2Step2：對(duì)上式兩邊進(jìn)行對(duì)上式兩邊進(jìn)行（雙邊）拉氏變換（雙邊）拉氏變換：Step3Step3：將積分與求和的將積分與求和的運(yùn)算次序?qū)φ{(diào)運(yùn)算次序?qū)φ{(diào)，利用沖激函數(shù)抽樣性，得：，利用沖激函數(shù)抽樣性，得：( )( )( )( ) (sTnxtx

14、 ttx ttnT）令令北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院20/ 62Z變換變換Step4Step4：對(duì)上式對(duì)上式引入復(fù)變量引入復(fù)變量 , ,得到一個(gè)得到一個(gè)z z的函數(shù)的函數(shù)X(z)Z Z變換變換: : 離散時(shí)間域離散時(shí)間域n n 復(fù)數(shù)域復(fù)數(shù)域z z 的映射，是復(fù)變量的映射，是復(fù)變量Z Z-1 -1 的冪級(jí)數(shù)，即羅朗級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)，即羅朗級(jí)數(shù)nnznxzX)()(上式為雙邊上式為雙邊z z變換，單邊變換，單邊z z變換則可定義為：變換則可定義為：0)()(nnznxzX考慮起始條件，更易收斂，實(shí)際中應(yīng)用較多考慮起始條件，更易收斂，實(shí)際中應(yīng)用較多北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院21/ 62Z變換收斂域變換收斂

15、域 由由Z Z變換的定義式可以看出，變換的定義式可以看出，Z Z變換實(shí)際上是復(fù)函數(shù)變換實(shí)際上是復(fù)函數(shù)X(zX(z) )在在Z Z平面上，平面上，以序列以序列x(nx(n) )為系數(shù)為系數(shù)展開的羅朗級(jí)數(shù)。展開的羅朗級(jí)數(shù)。由級(jí)數(shù)的理論可知，收斂的充要條件是滿足條件：由級(jí)數(shù)的理論可知，收斂的充要條件是滿足條件：可以證明，收斂域是可以證明，收斂域是z z平面上的一個(gè)環(huán)狀區(qū)域平面上的一個(gè)環(huán)狀區(qū)域: :0)()(nnznxzX北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院22/ 62Z變換性質(zhì)變換性質(zhì)線性線性時(shí)移性時(shí)移性xxRzRzXnx | )()(，Z若：若：xxnRzRzXznnx | )()(00，Z則：則：若：若：

16、yyxxRzRzYnyRzRzXnx | )()( | )()(，ZZ則：則：RzRzbYzaXnbynax | )()()()(，Z北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院23/ 62Z變換性質(zhì)變換性質(zhì)序列指數(shù)加權(quán)序列指數(shù)加權(quán)(z(z域尺度變換域尺度變換) )xxRzRzXnx | )()(，Z若：若：xxnRazRaazXnxa| | | )()(，Z那么序列那么序列x(n)x(n)乘以指數(shù)序列乘以指數(shù)序列a a（a a是常實(shí)數(shù)或常復(fù)數(shù)）后，就有是常實(shí)數(shù)或常復(fù)數(shù)）后，就有序列線性加權(quán)（序列線性加權(quán)（z z域微分）域微分）xxRzRzXnx | )()(，ZxxRzRzXdzdznnx | )()(，Z若

17、：若：則：則：北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院24/ 62Z變換與拉氏變換變換與拉氏變換在在Z Z變換過程中，變換過程中，因此，有因此，有Z Z平面用極坐標(biāo)表示平面用極坐標(biāo)表示jrez s s平面用直角坐標(biāo)表示平面用直角坐標(biāo)表示sj()jjTTj Treeee得到：得到：TerT實(shí)部虛部Z平面jS平面jS平面實(shí)部虛部Z平面jS平面？北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院25/ 62變換變換Z Z拉氏變換拉氏變換三種變換的關(guān)系三種變換的關(guān)系-按計(jì)算流程按計(jì)算流程)(tx連續(xù)信號(hào)連續(xù)信號(hào) 傅氏變換傅氏變換絕對(duì)可積信號(hào)絕對(duì)可積信號(hào)tetx)(抽樣信號(hào)抽樣信號(hào)）nTttx()( )f tto( )f nno( )f n

18、no拉氏變換拉氏變換離散信號(hào)離散信號(hào))(nx北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院26/ 62三種變換的關(guān)系三種變換的關(guān)系-按變量關(guān)系按變量關(guān)系北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院27/ 62主要內(nèi)容主要內(nèi)容 12 23 3拉氏變換Z變換模擬濾波器模擬濾波器4 4數(shù)字濾波器北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院28/ 62基本概念基本概念l 濾波：濾波：提取所需要的信號(hào)提取所需要的信號(hào), ,抑制不需要的信號(hào)。所用裝抑制不需要的信號(hào)。所用裝置稱為濾波器。信號(hào)通過濾波器的過程，就稱為對(duì)信號(hào)進(jìn)置稱為濾波器。信號(hào)通過濾波器的過程，就稱為對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波。行濾波。l 傳統(tǒng)濾波傳統(tǒng)濾波：信號(hào)和噪聲各占不同頻帶。：信號(hào)和噪聲各占不同頻帶。對(duì)信

19、號(hào)進(jìn)行頻率選擇。當(dāng)信號(hào)通過濾波器時(shí)，信號(hào)中某些頻率成分得對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻率選擇。當(dāng)信號(hào)通過濾波器時(shí)，信號(hào)中某些頻率成分得以通過，其他頻率成分的信號(hào)受到衰減或抑制。以通過，其他頻率成分的信號(hào)受到衰減或抑制。l 現(xiàn)代濾波：現(xiàn)代濾波：信號(hào)和噪聲的頻譜相互重疊信號(hào)和噪聲的頻譜相互重疊. .在統(tǒng)計(jì)指標(biāo)最優(yōu)條件下，利用信號(hào)統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行時(shí)域估計(jì)；在統(tǒng)計(jì)指標(biāo)最優(yōu)條件下，利用信號(hào)統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行時(shí)域估計(jì)； WienerWiener濾波、濾波、kalmankalman濾波、線性預(yù)測(cè)、自適應(yīng)濾波等。濾波、線性預(yù)測(cè)、自適應(yīng)濾波等。北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院29/ 62傳統(tǒng)濾波器理想濾波器實(shí)際濾波器模擬濾波器數(shù)字濾波器巴巴特特

20、沃沃斯斯切切比比雪雪夫夫橢橢圓圓濾濾波波FIRIIR按信號(hào)類型分按信號(hào)類型分連續(xù)模擬信號(hào)連續(xù)模擬信號(hào)離散數(shù)字信號(hào)離散數(shù)字信號(hào)（不可實(shí)現(xiàn)）（不可實(shí)現(xiàn)）維維納納濾濾波波卡卡爾爾曼曼濾濾波波線線性性預(yù)預(yù)測(cè)測(cè)自自適適應(yīng)應(yīng)濾濾波波（信噪頻帶分離）信噪頻帶分離）（信噪頻帶重疊）（信噪頻帶重疊）現(xiàn)代濾波器在統(tǒng)計(jì)指標(biāo)最優(yōu)條件下，利用在統(tǒng)計(jì)指標(biāo)最優(yōu)條件下，利用信號(hào)統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行時(shí)域估計(jì)信號(hào)統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行時(shí)域估計(jì)總體框架總體框架北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院30/ 62理想濾波器要求：理想濾波器要求：l通帶內(nèi)通帶內(nèi)信號(hào)的幅值和相位都信號(hào)的幅值和相位都不失真不失真，阻帶內(nèi)阻帶內(nèi)的頻率成分都的頻率成分都衰衰減為零減為零的濾波

21、器，其通帶和阻帶之間有的濾波器，其通帶和阻帶之間有明顯的分界線明顯的分界線。l理想濾波器理想濾波器在通帶內(nèi)的在通帶內(nèi)的幅頻特性應(yīng)為常數(shù)幅頻特性應(yīng)為常數(shù)，相頻特性的斜率相頻特性的斜率為常值為常值；在；在通帶外的幅頻特性應(yīng)為零通帶外的幅頻特性應(yīng)為零。理想濾波器理想濾波器0)(t相頻特性：相頻特性：幅頻特性：幅頻特性：?, 0, 1)(00jH北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院31/ 62物理上物理上不可實(shí)現(xiàn)！不可實(shí)現(xiàn)！理想濾波器是從一個(gè)頻帶到另一個(gè)頻帶之間的突變。理想濾波器是從一個(gè)頻帶到另一個(gè)頻帶之間的突變。l時(shí)域上講，沒有器件能夠在一瞬間完成開關(guān)過程，都會(huì)時(shí)域上講，沒有器件能夠在一瞬間完成開關(guān)過程，都會(huì)

22、存在時(shí)延和振蕩；存在時(shí)延和振蕩；l頻域上講，矩形脈沖需要無窮帶寬，實(shí)際中也沒有條件頻域上講，矩形脈沖需要無窮帶寬，實(shí)際中也沒有條件提供這么大帶寬。提供這么大帶寬。理想濾波器理想濾波器北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院32/ 62理想濾波器要物理可實(shí)現(xiàn)：理想濾波器要物理可實(shí)現(xiàn)：應(yīng)從一個(gè)到另一個(gè)帶之間應(yīng)從一個(gè)到另一個(gè)帶之間設(shè)置一個(gè)過渡帶設(shè)置一個(gè)過渡帶，且在通帶和止，且在通帶和止帶內(nèi)也不應(yīng)嚴(yán)格要求為帶內(nèi)也不應(yīng)嚴(yán)格要求為1 1或或0 0，應(yīng)給以較小容限。，應(yīng)給以較小容限。過渡帶越窄越好過渡帶越窄越好，即對(duì)通帶外的頻率成分衰減得越快、越，即對(duì)通帶外的頻率成分衰減得越快、越多越好。多越好。 實(shí)際濾波器頻域特性實(shí)際

23、濾波器頻域特性實(shí)際濾波器實(shí)際濾波器因此，在設(shè)計(jì)實(shí)際濾波器時(shí)，總因此，在設(shè)計(jì)實(shí)際濾波器時(shí)，總是通過各種方法使其盡量逼近理是通過各種方法使其盡量逼近理想濾波器。想濾波器。北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院33/ 6212ps通帶內(nèi)允許誤差：通帶內(nèi)允許誤差：阻帶衰減：阻帶衰減：通帶截止頻率：通帶截止頻率：p1s2 )(lg20dBjH 衰減：衰減：阻帶截止頻率：阻帶截止頻率：性能指標(biāo)性能指標(biāo)實(shí)際濾波器實(shí)際濾波器北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院34/ 62描述實(shí)際濾波器的主要參數(shù)：l紋波幅度紋波幅度：越小越好l截止頻率截止頻率l帶寬帶寬：決定濾波器分離信號(hào)相鄰頻率成分的能力l品質(zhì)因數(shù)品質(zhì)因數(shù)：Q值越大，表明濾波器頻

24、率分辨力越高l倍頻程選擇性倍頻程選擇性：W值越大，衰減越快，則濾波器的選擇性越好l濾波器因數(shù)：濾波器因數(shù)：越接近于1，濾波器選擇性越好實(shí)際濾波器實(shí)際濾波器北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院35/ 62紋波幅度紋波幅度d dn在一定頻率范圍內(nèi)，實(shí)際濾波器的在一定頻率范圍內(nèi)，實(shí)際濾波器的幅頻特性幅頻特性可能呈波可能呈波紋變化，其波動(dòng)幅度紋變化，其波動(dòng)幅度d d與幅頻特性的平均值與幅頻特性的平均值A(chǔ) A0 0相比，相比，越小越好越小越好，一般應(yīng)遠(yuǎn)小于，一般應(yīng)遠(yuǎn)小于-3dB-3dB。截止頻率截止頻率n幅頻特性值等于幅頻特性值等于 所對(duì)應(yīng)的頻率稱所對(duì)應(yīng)的頻率稱為為濾波器的截濾波器的截止頻止頻率率。n 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)

25、于-3dB-3dB點(diǎn)，即相對(duì)衰減點(diǎn)，即相對(duì)衰減3dB3dB。若以信號(hào)的幅值平方表示若以信號(hào)的幅值平方表示信號(hào)功率信號(hào)功率，則所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)正好是半功率點(diǎn)。則所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)正好是半功率點(diǎn)。2121cf實(shí)際濾波器的參數(shù)實(shí)際濾波器的參數(shù)北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院36/ 62帶寬帶寬B Bn上下兩截止頻率之間的頻率范圍稱為上下兩截止頻率之間的頻率范圍稱為濾波器濾波器帶寬帶寬，或，或-3dB-3dB帶寬，單位為帶寬，單位為HzHz。n帶寬決定著濾波器分離信號(hào)中相鄰頻率成分帶寬決定著濾波器分離信號(hào)中相鄰頻率成分的能力的能力頻率分辨力頻率分辨力。B實(shí)際濾波器的參數(shù)實(shí)際濾波器的參數(shù)品質(zhì)因數(shù)品質(zhì)因數(shù)Q Qn對(duì)于帶通濾波

26、器，通常把中心頻對(duì)于帶通濾波器，通常把中心頻率率 和帶寬和帶寬 B B之比稱為濾波器的品之比稱為濾波器的品質(zhì)因數(shù)質(zhì)因數(shù)Q Q。n例如一個(gè)中心頻率為例如一個(gè)中心頻率為500Hz500Hz的濾波器，帶寬的濾波器，帶寬為為10Hz10Hz，則稱其，則稱其Q Q值為值為5050。nQ Q值越大，表明濾波器頻率分辨力越高。值越大，表明濾波器頻率分辨力越高。c2c1fff0BffQcc21北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院37/ 62倍頻程選擇性倍頻程選擇性W Wn所謂倍頻程選擇性，是指在上截止頻率所謂倍頻程選擇性，是指在上截止頻率f fc2c2與與 2f2fc2c2之之間，或者在下截止頻率間，或者在下截止頻率f

27、 fc1c1與與f fc1c1/2/2之間幅頻特性的衰之間幅頻特性的衰減值，即頻率變化減值，即頻率變化一個(gè)倍頻程時(shí)的衰減量一個(gè)倍頻程時(shí)的衰減量。n過渡帶的幅頻曲線傾斜程度表明了幅頻特性衰減的快過渡帶的幅頻曲線傾斜程度表明了幅頻特性衰減的快慢，它慢，它決定著濾波器對(duì)帶寬外頻率成分的衰阻能力決定著濾波器對(duì)帶寬外頻率成分的衰阻能力。通常用倍頻程選擇性來表征。通常用倍頻程選擇性來表征。nW W值越大，即衰減越快，則濾波器的選擇性越好。值越大，即衰減越快，則濾波器的選擇性越好?；蚧?11()220lg()ccfAWA f22(2)20lg()ccAfWA f實(shí)際濾波器的參數(shù)實(shí)際濾波器的參數(shù)北京科技大學(xué)

28、機(jī)械工程學(xué)院38/ 62濾波器因數(shù)（或矩形系數(shù)）濾波器因數(shù)（或矩形系數(shù)） n濾波器因數(shù)是濾波器選擇性的另一種表示方式濾波器因數(shù)是濾波器選擇性的另一種表示方式 ，它，它是利用濾波器幅頻特性的是利用濾波器幅頻特性的 -60dB-60dB帶寬與帶寬與-3dB-3dB帶寬的比帶寬的比值來衡量濾波器選擇性，即值來衡量濾波器選擇性，即 n理想濾波器理想濾波器=1=1，常用濾波器，常用濾波器 =15=15，顯然，顯然， 越越接近于接近于1 1，濾波器選擇性越好，濾波器選擇性越好。實(shí)際濾波器的參數(shù)實(shí)際濾波器的參數(shù)北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院39/ 62傳統(tǒng)濾波器理想濾波器實(shí)際濾波器模擬濾波器數(shù)字濾波器巴巴特特沃

29、沃斯斯切切比比雪雪夫夫橢橢圓圓濾濾波波FIRIIR按信號(hào)類型分按信號(hào)類型分連續(xù)模擬信號(hào)連續(xù)模擬信號(hào)離散數(shù)字信號(hào)離散數(shù)字信號(hào)（不可實(shí)現(xiàn)）（不可實(shí)現(xiàn)）維維納納濾濾波波卡卡爾爾曼曼濾濾波波線線性性預(yù)預(yù)測(cè)測(cè)自自適適應(yīng)應(yīng)濾濾波波（信噪頻帶分離）信噪頻帶分離）（信噪頻帶不分離）（信噪頻帶不分離）現(xiàn)代濾波器在統(tǒng)計(jì)指標(biāo)最優(yōu)條件下，利用在統(tǒng)計(jì)指標(biāo)最優(yōu)條件下，利用信號(hào)統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行時(shí)域估計(jì)信號(hào)統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行時(shí)域估計(jì)總體框架總體框架北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院40/ 62傳輸特性時(shí)域上傳輸特性時(shí)域上用單位脈沖響應(yīng)用單位脈沖響應(yīng) 表示；表示；頻域上頻域上用系統(tǒng)函數(shù)用系統(tǒng)函數(shù) 或頻率響應(yīng)或頻率響應(yīng) 表示。表示。)()()(s

30、HjHth)()(X)(sXjtx)()()()()()()()()()()(sXsHsYjXjHjYdthxt*htxty系統(tǒng)框圖系統(tǒng)框圖)(th)(sH)( jH拉式變換dtethsstjs)()(H)j(H)()()()()(2sHsHjHjHjHjs因此，由因此，由 即可得出濾波器的系統(tǒng)函數(shù)即可得出濾波器的系統(tǒng)函數(shù)2)( jH) s (H模擬濾波器模擬濾波器模擬濾波器表示方法：模擬濾波器表示方法：北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院41/ 62巴特沃斯(Butterworth)濾波器切比雪夫(Chebyshev)濾波器橢圓(Cauer)濾波器模擬濾波器常用類型模擬濾波器常用類型北京科技大學(xué) 機(jī)械

31、工程學(xué)院42/ 62221()1aNcHj幅度平方函數(shù)幅度平方函數(shù)：N N 濾波器的階數(shù)濾波器的階數(shù) 濾波器濾波器截止頻率截止頻率巴特沃斯濾波巴特沃斯濾波：通頻帶的頻率響應(yīng)曲線最平滑。：通頻帶的頻率響應(yīng)曲線最平滑。n最先由英國(guó)工程師最先由英國(guó)工程師Stephen ButterworthStephen Butterworth在在19301930年提出。年提出。Butterworth-最平響應(yīng)特性濾波器最平響應(yīng)特性濾波器c北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院43/ 62階數(shù)階數(shù)N N越大，越接近理想特性越大，越接近理想特性221()1aNcHj幅度平方函數(shù)：幅度平方函數(shù)： 過渡帶及阻帶內(nèi)，快速單調(diào)減小；過渡

32、帶及阻帶內(nèi)，快速單調(diào)減??； 通帶內(nèi)幅度特性平坦，單調(diào)減?。煌◣?nèi)幅度特性平坦，單調(diào)減??； 單調(diào)性：?jiǎn)握{(diào)性：Butterworth-最平響應(yīng)特性濾波器最平響應(yīng)特性濾波器北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院44/ 62 巴特沃茲濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，如果階次巴特沃茲濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，如果階次一定，則在靠近截止頻率一定，則在靠近截止頻率c處，幅度下降處，幅度下降3dB3dB。為了。為了使通帶內(nèi)使通帶內(nèi)的衰減足夠小，的衰減足夠小，需要的巴特沃茲濾波器階次需要的巴特沃茲濾波器階次N N很高，采用切比很高，采用切比雪夫多項(xiàng)式逼近雪夫多項(xiàng)式逼近|Ha(j)|2, ,可以降低濾波器階次。

33、可以降低濾波器階次。切比雪夫?yàn)V波器的提出切比雪夫?yàn)V波器的提出Chebychev-通帶等波紋濾波器通帶等波紋濾波器右圖中右圖中N=8N=8，在靠，在靠近近c(diǎn)處處同階次的同階次的巴特沃茲濾波器巴特沃茲濾波器衰減大于切比雪夫衰減大于切比雪夫?yàn)V波器濾波器北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院45/ 62切比雪夫?yàn)V波：切比雪夫?yàn)V波：N為奇數(shù)：N為偶數(shù)：?jiǎn)握{(diào)特性等波紋特性1|),(harccos(hcos1|),arccos(cos()(TNcccccNNChebychev-通帶等波紋濾波器通帶等波紋濾波器c c濾波器截止頻率濾波器截止頻率N N 階數(shù)階數(shù) 與通帶波紋有關(guān)的參量與通帶波紋有關(guān)的參量 ， 越大，波紋越大

34、越大，波紋越大10時(shí)遞增），當(dāng)（1)(21)(coshxeexxx北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院46/ 62012300.20.40.60.81MagnitudeType 1 Chebyshev FilterN = 2N = 3N = 8階數(shù)階數(shù)N N越大，越接近理想特性。越大，越接近理想特性。 過渡帶及阻帶內(nèi)，快速單調(diào)減??；過渡帶及阻帶內(nèi)，快速單調(diào)減??； 通帶內(nèi)具有等波紋，即誤差分布均勻；通帶內(nèi)具有等波紋，即誤差分布均勻；切比雪夫?yàn)V波切比雪夫?yàn)V波：Chebychev-通帶等波紋濾波器通帶等波紋濾波器北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院47/ 62o切比雪夫?yàn)V波器在通帶內(nèi)有起伏，但通帶衰減小于切比雪夫?yàn)V波器

35、在通帶內(nèi)有起伏，但通帶衰減小于3dB3dB， 值越小，通帶起伏越小，截止頻率點(diǎn)衰減的分貝值越小，通帶起伏越小，截止頻率點(diǎn)衰減的分貝值也越小。故與巴特沃斯濾波器進(jìn)行比較，切比雪夫?yàn)V值也越小。故與巴特沃斯濾波器進(jìn)行比較，切比雪夫?yàn)V波器的波器的通帶有波紋，過渡帶較陡直通帶有波紋，過渡帶較陡直，更接近理想情況。，更接近理想情況。 如右圖（如右圖（N=8N=8）o缺點(diǎn)：進(jìn)入阻帶后缺點(diǎn)：進(jìn)入阻帶后衰減特性變化緩慢。衰減特性變化緩慢。橢圓濾波器橢圓濾波器幅值響應(yīng)在通帶幅值響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都等波紋和阻帶內(nèi)都等波紋Chebychev-通帶等波紋濾波器通帶等波紋濾波器北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院48/ 62橢圓濾

36、波器橢圓濾波器：幅值響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的。幅值響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的。對(duì)于給定的階數(shù)和波紋要求，橢圓濾波器能獲得較其它濾波對(duì)于給定的階數(shù)和波紋要求，橢圓濾波器能獲得較其它濾波器為器為窄的過渡帶寬窄的過渡帶寬，就這點(diǎn)而言，橢圓濾波器是最優(yōu)的。，就這點(diǎn)而言，橢圓濾波器是最優(yōu)的。幅度平方函數(shù)幅度平方函數(shù)：R RN N（，L L）為雅可比橢圓函數(shù)；）為雅可比橢圓函數(shù)；L L是一個(gè)表示波紋性質(zhì)的參量。是一個(gè)表示波紋性質(zhì)的參量。 橢圓濾波器橢圓濾波器RN（，L）為雅可比橢圓函數(shù)；實(shí)際設(shè)計(jì)中該函數(shù)需要查表計(jì)算查表計(jì)算。L：表示波紋性質(zhì)的參量。 北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院49/ 62同等濾波

37、效果要求橢圓濾波器的階次最低，切比雪夫次同等濾波效果要求橢圓濾波器的階次最低，切比雪夫次之，巴特沃茲最高，參數(shù)的靈敏度則恰恰相反。之，巴特沃茲最高，參數(shù)的靈敏度則恰恰相反。幅度平方函數(shù)幅度平方函數(shù)特點(diǎn)特點(diǎn)幅頻圖幅頻圖巴特沃斯巴特沃斯通帶阻帶內(nèi)單調(diào)通帶阻帶內(nèi)單調(diào)下降，衰減約下降，衰減約3dB3dB切比雪夫切比雪夫通帶有波紋，過通帶有波紋，過渡帶較陡直，衰渡帶較陡直，衰減小減小橢圓橢圓通帶阻帶都有波通帶阻帶都有波紋，過渡帶最陡紋，過渡帶最陡直直221()1aNcHj對(duì)比對(duì)比北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院50/ 62對(duì)比對(duì)比對(duì)同樣階數(shù)的濾波器，從對(duì)同樣階數(shù)的濾波器，從 Butterworth Cheby

38、shev Elliptic，其幅頻特性逼近得越來越好，但階躍響應(yīng)的起伏、，其幅頻特性逼近得越來越好，但階躍響應(yīng)的起伏、超量和振蕩也越厲害。系統(tǒng)的復(fù)雜程度也越來越高，相應(yīng)地，超量和振蕩也越厲害。系統(tǒng)的復(fù)雜程度也越來越高，相應(yīng)地，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)所付出的代價(jià)也越來越大。實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)所付出的代價(jià)也越來越大。5階階Butterworth濾波器與濾波器與5階階Elliptic濾波器的比較濾波器的比較北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院51/ 62確定技術(shù)指標(biāo)（即濾波器的頻率特性要求）選擇濾波器類型：巴特沃斯、切比雪夫、橢圓確定性能參數(shù)：得濾波器頻率特性12psNc模擬濾波器的設(shè)計(jì)步驟模擬濾波器的設(shè)計(jì)步驟北京科技大學(xué) 機(jī)械工程

39、學(xué)院52/ 62模擬濾波器的設(shè)計(jì)步驟模擬濾波器的設(shè)計(jì)步驟例：給定模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)，如下圖例：給定模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)，如下圖 通帶允許起伏：通帶允許起伏：-1dB，02104rad/s 阻帶衰減：阻帶衰減： -15dB，22104rad/s 求用巴特沃斯濾波器實(shí)現(xiàn)時(shí)所需階數(shù)求用巴特沃斯濾波器實(shí)現(xiàn)時(shí)所需階數(shù)N、截止角頻率、截止角頻率 c和和Ha(s)表示式。表示式。解：解：(1)求階數(shù)N和截止頻率 c ，寫出|Ha(j)|在 p和 s兩點(diǎn)的方程2015242012410102211)(1010211)(NcsaNcpajHjH443. 31021022lg2110110lg441011015N取

40、整得N=4，代入式（1）求得 crad/s10304. 12rad/s11010224810154c由式（1）解得式（1）北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院53/ 62模擬濾波器的設(shè)計(jì)步驟模擬濾波器的設(shè)計(jì)步驟解：解：(2)求濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，由巴特沃斯多項(xiàng)式表查得N=4的BN(s)即 Ha(s)的分母多項(xiàng)式，令 代入Ha(s)得到濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。ssc19152103541910506. 410437. 110292. 21014. 210506. 4)(sssssHa例：給定模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)例：給定模擬濾波器技術(shù)指標(biāo) 通帶允許起伏：通帶允許起伏：-1dB，02104rad/s 阻

41、帶衰減：阻帶衰減： -15dB，22104rad/s 求用巴特沃斯濾波器實(shí)現(xiàn)時(shí)所需階數(shù)求用巴特沃斯濾波器實(shí)現(xiàn)時(shí)所需階數(shù)N、截止角頻率、截止角頻率 c和和Ha(s)表示式。表示式。北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院54/ 62模擬濾波器模擬濾波器o按功能分：n低通濾波器，高通濾波器，帶通濾波器，帶阻濾波器o低通濾波器n從0f2頻率之間，幅頻特性平直，它可以使信號(hào)中低于f2的頻率成分幾乎不受衰減地通過，而高于f2的頻率成分受到極大地衰減。o高通濾波器n與低通濾波相反，從頻率f1，其幅頻特性平直。它使信號(hào)中高于f1的頻率成分幾乎不受衰減地通過，而低于f1的頻率成分將受到極大地衰減。北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院55/ 62模擬