流體力學第2章

1、第第2 2章章 流體靜力學流體靜力學靜壓強的特性靜壓強的特性靜壓強的分布規(guī)律靜壓強的分布規(guī)律作用面上總壓力的計算作用面上總壓力的計算靜止流體中的應力具有兩個特性。特性一：應力的方向沿作用面的內法線方向。靜止流體中只存在壓應力壓強。2.1 靜止流體中應力的特性NNpnp2.1 靜止流體中應力的特性特性二：靜壓強的大小與作用面方位無關。分析作用在四面體上的力。表面力：xPyPzPnP質量力：zyxXFddd61BxzyxYFddd61ByzyxZFddd61Bz2.1 靜止流體中應力的特性特性二：靜壓強的大小與作用面方位無關。由平衡條件，0 xF有：0),cos(BxnxFxnPP以三角形BOC面

2、積zyxnAAdd21),cos(nx除上式，得2.1 靜止流體中應力的特性對上式取極限，其中0d31nnxxxXAPAPxxx0 xlimpAPAnnn0nlimpAPA0)d31(lim 0dxXx于是0nxPPnxPP同理，由 0 0zy，FF可得nzny PPPP，所以nzyxPPPP2.1 靜止流體中應力的特性 因為O點和法線的方向都是任選的，故靜止流體內任一點上，壓強的大小與作用面方位無關，或者說作用于同一點上各方向的靜水壓強大小相等。 各個方向的壓強用同一符號p表示，p只是該點坐標的連續(xù)函數。1)-(2 ),(zyxpp 2.1 靜止流體中應力的特性2.2.1 流體平衡微分方程流

3、體平衡微分方程表面力：后面中心點的壓強：xxppzyxxppd21),2d(M前面中心點的壓強：xxppzyxxppd21),2d(N),(),(zyxppzyxO2.2 流體平衡微分方程xzyMdydzdxNO2.2.1 流體平衡微分方程流體平衡微分方程表面力：2.2 流體平衡微分方程后面上的壓力：zyxxppPdd)d21(M前面上的壓力：zyxxppPdd)d21(N),(),(zyxppzyxOxzyMdydzdxNO若函數f(x)在點x=x0的某一鄰域內具有直到(n+1)階的導數，則有n階泰勒公式： 200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxfONMppxfzyxp

4、xfO0)( )()(，xxxMxxxNd21d2100點：，后面點：前面xxppxxpppd21)d21(M2.2 流體平衡微分方程2.2.1 流體平衡微分方程流體平衡微分方程質量力：2.2 流體平衡微分方程zyxXFdddBx由平衡條件，0 xF有：0ddddd)d21(dd)d21(zyxXzyxxppzyxxpp),(),(zyxppzyxOxzyMdydzdxNO2.2.1 流體平衡微分方程流體平衡微分方程2.2 流體平衡微分方程化簡得01xpX同理，y、z方向可得01Yyp 01zpZ（2-2）0ddddd)d21(dd)d21(zyxXzyxxppzyxxpp上式用一個向量方程表

5、示3)-(2 01pf式中稱哈米爾頓算子zkyjxi式（2-3）是液體平衡微分方程，又稱為歐拉平衡微分方程。方程表明：在靜止流體中，各點單位質量流體所受表面力和質量力相平衡。2.2 流體平衡微分方程01xpX01Yyp 01zpZ對中的3個分式交叉求偏導數，可得4)-(2 zXxZyZzYxYyX， 由曲線積分定理，上式是表達式Xdx+Ydy+Zdz為某一坐標函數U（x，y，z）的全微分之必要條件，即 ddddzZyYxXU（2-5）2.2 流體平衡微分方程而zzUyyUxxUUdddd由此，得xUXyUYzUZ（2-6） 滿足上式的坐標函數U（x，y，z）稱為力的勢函數。2.2 流體平衡微分

6、方程 質量力有勢是流體靜止的必要條件，重力和慣性力都屬有勢力。2.2.2 平衡微分方程的積分平衡微分方程的積分)ddd(dddzZyYxXzzpyypxxp 上式等號左邊是壓強 p（x，y，z)的全微分7)-(2 )ddd(dzZyYxXp流體平衡微分方程的全微分式 將式 各分式分別乘以dx、dy、dz后相加，得到（2-2）2.2 流體平衡微分方程Updd 積分，得cUp 式中積分常數c可結合邊界條件和已知條件確定。 將式 代入式（2-7），得到（2-5）2.2 流體平衡微分方程 不可壓縮流體在有勢的質量力作用下才能靜止，流體平衡微分方程有確定的解析解。2.2.3 等等 壓壓 面面 壓強相等的

7、空間點構成的面（平面或曲面）稱為等壓面，例如液體的自由表面。 等壓面的一個重要性質是，等壓面與質量力正交。等壓面上，p=常數0)ddd(dzZyYxXp密度0，則等壓面方程0dddzZyYxX2.2 流體平衡微分方程即0ddddBlfzZyYxX由此證明，等壓面與質量力正交。當質量力只有重力時，因重力的方向鉛垂向下，可知等壓面是水平面。2.2 流體平衡微分方程若重力之外，還有其它質量力作用，則知等壓面非水平面。 只有重力作用下的等壓面應滿足的條件：靜止；連通；連通的介質為同一均質流體；質量力僅有重力；同一水平面。2.2 流體平衡微分方程2.3.1 流體靜力學基本方程流體靜力學基本方程1. 基本

8、方程的兩種表達式如圖所示，液體中任一點的壓強)ddd(dzZyYxXp質量力只有重力時zgpdd上式積分，得8)-(2 cgzp2.3 重力場中流體靜壓強的分布規(guī)律代入上式，得X=Y=0，Z=g由邊界條件z=z0，p=p0，定出積分常數00gzpc2.3 重力場中流體靜壓強的分布規(guī)律代回原式，得)(00zzgpp9)-(2 0ghppgczgp 10)-(2 cgpz或以單位體積液體的重量 除式（2-8）各項，得g式中 p靜止液體內某點的壓強； p0液體表面壓強，自由液面壓強用pa表示； h該點到液面的距離，稱淹沒深度； z該點在坐標平面以上的高度。2.3 重力場中流體靜壓強的分布規(guī)律10)-

9、(2 cgpz9)-(2 0ghpp2. 推論（1）靜壓強的大小與液體的體積無直接關系2.3 重力場中流體靜壓強的分布規(guī)律（2）兩點的壓強差，等于兩點間單位面積垂直液柱的重量。液體內任意兩點A、B的壓強A0AghppB0BghppABABAB)(ghhhgpp2.3 重力場中流體靜壓強的分布規(guī)律或ABBAghppABABghpp（2-11）hABS=1（3）平衡狀態(tài)下，液體內（包括邊界上）任意點壓強的變化，等值地傳遞到其它各點。 液體內任意點的壓強ABABghpp 在平衡狀態(tài)下，當A點的壓強增加p，則B點的壓強變?yōu)?2)-(2 )()(BABAABABpppghpghppp帕斯卡原理2.3 重

10、力場中流體靜壓強的分布規(guī)律【例】水壓機是由兩個尺寸不同而彼此連通的圓筒以及置于筒內的一對活塞所組成，筒內充滿著水或油。已知大小活塞的面積分別為A1、A2。若忽略兩活塞的重量及其與圓筒摩阻的影響，當小活塞加力P1時，求大活塞所產生的力P2?！窘狻吭赑1作用下小活塞上產生的靜水壓強為11APp 根據帕斯卡原理11222PAApAP2.3 重力場中流體靜壓強的分布規(guī)律2.3.3 壓強的度量壓強的度量1. 絕對壓強和相對壓強 絕對壓強是以無氣體分子存在的完全真空為基準起算的壓強（pabs）。 相對壓強是以當地大氣壓為基準起算的壓強（p）。18)-(2 aabsppp2.3 重力場中流體靜壓強的分布規(guī)律

11、1個標準大氣壓 1atm=101325Pa1個工程大氣壓 1at=98000Pa或 1at=0.1MPa（1MPa=103kPa=106Pa）2.3 重力場中流體靜壓強的分布規(guī)律壓強的單位有三種形式：N/m2（Pa）或kN/m2（kPa）；液柱高度（mH2O）（mmHg）；以大氣壓表示。求1標準大氣壓的水柱高和水銀柱高，（水柱）m33.108 . 91000101325gatmph（水銀柱）760mmm76. 08 . 913600101325gatmmph2.3 重力場中流體靜壓強的分布規(guī)律水體中某點壓強產生8m的水柱高度，該點的相對壓強為多少？相當于多少大氣壓？2N/m7840088 .

12、91000ghp大氣壓774. 010132578400atmpp2.3 重力場中流體靜壓強的分布規(guī)律 工程結構和工業(yè)設備都處在當地大氣壓的作用下，采用相對壓強往往能使計算簡化。PaPa 開口容器可忽略大氣壓沿高度的變化，則液面下某點的相對壓強等于19)-(2 aaAghpghpp 工業(yè)用的各種壓力表，測得的壓強是相對壓強。2. 真空度 真空度是指絕對壓強不足當地大氣壓的差值，即相對壓強的負值（pv）。20)-(2 absavpppp2.3 重力場中流體靜壓強的分布規(guī)律【例2-1】立置在水池中的密封罩如圖所示，試求罩內A、B、C三點的壓強。【解】B點壓強0BpA點壓強Pa147005 . 18

13、 . 91000 ABABBAghghppC點壓強Pa1960028 . 91000BCBCBCghghpp2.3 重力場中流體靜壓強的分布規(guī)律【解】B點壓強0BpA點壓強Pa147005 . 18 . 91000 ABABBAghghppC點壓強Pa1960028 . 91000BCBCBCghghpp2.3 重力場中流體靜壓強的分布規(guī)律C點真空度Pa19600 Cvpp2.3.4 測壓管水頭測壓管水頭1. 測壓管高度、測壓管水頭靜力學基本方程的另一種形式cgpz式中z位置高度或位置水頭。 物理意義是單位重量液體 具有的，相對于基準面的重力勢能，簡稱勢能。 2.3 重力場中流體靜壓強的分布規(guī)

14、律 測壓管高度或壓強水頭。 物理意義是單位重量液體具有的壓強勢能，簡稱壓能。gp2.3 重力場中流體靜壓強的分布規(guī)律測壓管pghp21)-(2 pgph 液體沿測壓管上升的高度hp 是可以用測壓管直接量 測的高度。gp2.3 重力場中流體靜壓強的分布規(guī)律 測壓管水頭。 是單位重量液體具有的總勢能。gpz 靜力學基本方程表示：靜止液體中各點的測壓管水頭相等，測壓管水頭線是水平線。其物理意義是靜止液體中各點單位重量液體具有的總勢能相等。2. 真空高度（當測點的絕對壓強小于當地大氣壓時） 槽內的液體沿玻璃管上升的高度hvavabsgphp22)-(2 gvabsavgppphhv稱為真空高度。2.3

15、 重力場中流體靜壓強的分布規(guī)律測壓管 測壓管是利用液柱高度表達壓強的原理制成的簡單的測量裝置。2.3 重力場中流體靜壓強的分布規(guī)律 測量較大壓強或負壓時，常采用壓力表和真空表。金屬測壓計與真空計2.3 重力場中流體靜壓強的分布規(guī)律【例2-2】密閉容器，側壁上方裝有U形管水銀測壓計，讀值hp=20cm。試求安裝在水面下3.5m處的壓力表讀值?！窘狻?容器內水面壓強kPa66.26 2 . 08 . 96 .130pp0ghp壓力表讀值kPa64. 75 . 38 . 9166.260ghpp2.3 重力場中流體靜壓強的分布規(guī)律【例】如圖所示水銀測壓計是一U形測壓管，管內裝有水銀，求A點的壓強?！?/p>

16、解】 NN為等壓面，則在N-N面上U形管左邊)(210NhhgppU形管右邊mmNghp所以mm210)(ghhhgp2.3 重力場中流體靜壓強的分布規(guī)律)(21mm0hhgghp2mm121mm10A)(ghghghhhgghghpp2.3 重力場中流體靜壓強的分布規(guī)律【解】mm210)(ghhhgp則：【例2-3】用U形管水銀壓差計測量水管A、B兩點的壓強差。已知兩測點的高差z=0.4m，壓差計的讀值hp=0.2m。試求A、B兩點的壓強差和測壓管水頭差?！窘狻?設高度h，作等壓面MN，壓強差由 pN=pMppBpA)(ghghphhzgpkPa78.20)(ppBAzgghpp2.3 重力

17、場中流體靜壓強的分布規(guī)律壓強差kPa78.20)(ppBAzgghpp測壓管水頭差，由前式)()(BAppBAzzgghpp整理得m52. 26 .12) 1()()(pppBBAAhhgpzgpz2.3 重力場中流體靜壓強的分布規(guī)律2.5.1 解析法解析法1. 總壓力的大小和方向液體作用在dA上的微小壓力：yAygPPdsindAgyAghPdsindd作用在平面上的總壓力：2.5 液體作用在平面上的總壓力hOyAdAdPyxyAygPPdsind作用在平面上的總壓力：積分 ，為受壓面A對Ox軸的靜矩，代入上式AyAyyCd 29)-(2 sinCCCApAghAygP2.5 液體作用在平面

18、上的總壓力hChOyAdAdPyxCyC2. 總壓力的作用點 根據合理矩定理AAygyPPydsind2DxDsin IgPy將 代入上式化簡，得AygPCsinAyIyCxD2.5 液體作用在平面上的總壓力hDhChOPyAdAdPyxCyC 積分 ，為受壓面A對Ox軸的慣性矩，代入上式：xA2dIAyDyDAyIyCxD由慣性矩的平行移軸定理， ，代入上式AyII2CCx30)-(2 CCCDAyIyy2.5 液體作用在平面上的總壓力上式中 ，故 ，即總壓力作用點D一般在0CCAyICDyy 受壓面形心C之下。 CCCDAhIhh上式不能寫成 【例2-6】矩形平板一側擋水，與水平面夾角=3

19、0，平板上邊與水面齊平，水深h=3m，平板寬b=5m。試求作用在平板上的靜水總壓力。【解】總壓力大小441kNgsin 22CCbhhbhgAghApP2.5 液體作用在平面上的總壓力【解】總壓力大小441kNgsin 22CCbhhbhgAghApP作用點m430sin323221223CCCDhlbllbllAyIyy方向為受壓面內法線方向2.5 液體作用在平面上的總壓力2.5.2 圖算法圖算法1. 壓強分布圖 壓強分布圖是在受壓面承壓的一側，以一定比例尺的矢量線段，表示壓強大小和方向的圖形。 由于壓強沿水深直線分布，只要把上、下兩點的壓強用線段繪出，中間以直線相連，就得到相對壓強分布圖。

20、2.5 液體作用在平面上的總壓力2.5 液體作用在平面上的總壓力 圖算法的步驟是：先繪出壓強分布圖，總壓力的大小等于壓強分布圖的面積S，乘以受壓面的寬度b，即bsP 對于規(guī)則的平面，特別是對矩形平面，一般來說采用圖算法較為方便和形象化。2.5 液體作用在平面上的總壓力 總壓力的作用線通過壓強分布圖的形心，作用線與受壓面的交點，就是總壓力的作用點。hhbhbhhAhIhh32212123CCCD若壓強分布圖為三角形，則：2.5 液體作用在平面上的總壓力【例2-7】矩形平板一側擋水，與水平面夾角=30，平板上邊與水面齊平，水深h=3m，平板寬b=5m。試求作用在平板上的靜水總壓力。用圖算法計算?！?/p>

21、解】 繪出壓強分布圖總壓力大小441kNg30sin 212hbhghbbSP2.5 液體作用在平面上的總壓力總壓力作用線通過壓強分布圖的形心方向為受壓面內法線方向m430sin32Dhy2.5 液體作用在平面上的總壓力【例】一鉛直矩形平板ABFE如圖所示，板寬b=1.5m，板高h=2.0m ，板頂的水深h1=1m ，求總壓力的大小及作用點。【解】（1）用解析法kN8 .58 25 . 1)221 (8 . 91 CCAghApP總壓力的大小2.5 液體作用在平面上的總壓力總壓力的作用點為m17. 2)221 (25 . 125 . 1121)221 (3CCCDAhIhh2.5 液體作用在平

22、面上的總壓力（2）用圖算法kN8 .58 )212(5 . 128 . 9121 )2(21)(21111hhghbhbhhgghP2.5 液體作用在平面上的總壓力壓強分布圖的形心)()2(3Cbabahy這里m321m1m0 . 211hhbhah，所以m67)31 ()321 (32Cy總壓力作用點的位置2.17m671C1Dyhh2.5 液體作用在平面上的總壓力2.6.1 曲面上的總壓力曲面上的總壓力 作用在曲面各點的壓強并不平行，總壓力作用點不一定落在曲面上。 方法：將不平行的力系分解為互相垂直的分力。 本節(jié)重點討論液體作用在二向曲面上的總壓力。2.6 液體作用在曲面上的總壓力2.6.

23、1 曲面上的總壓力曲面上的總壓力將dP分解為水平分力和鉛垂分力xxd cosdcosddAghAghPPzzd sindsinddAghAghPP2.6 液體作用在曲面上的總壓力OxzEF(y)ABdPxdPzdAxdPdAzABxxd cosdcosddAghAghPP總壓力的水平分力為：xxxxddAAhgPP代入上式xCxxdAhAhAxCxCxApAghP 液體作用在曲面上總壓力的水平分力，等于作用在該曲面的鉛垂投影面上的壓力。式中2.6 液體作用在曲面上的總壓力OxzEF(y)dPxdPzdAxAxPxdAzdP總壓力的鉛垂分力34)-(2 ddzzzzgVAhgPPA液體作用在曲面

24、上的總壓力35)-(2 2z2xPPP總壓力作用線與水平面夾角xztanPP36)-(2 arctanxzPP總壓力作用點為此二力的合力的作用線與曲面的交點。2.6 液體作用在曲面上的總壓力ABOxzEF(y)dPxdPzdAxAxPxdAzVPzdP2.6.2 壓力體壓力體 積分 表示的幾何體積稱為壓力體。VAhAzzd壓力體：設想取鉛垂線沿曲面邊緣平行移動一周，割出的以自由液面（或延伸面）為上底，曲面本身為下底的柱體就是壓力體。2.6 液體作用在曲面上的總壓力 壓力體有三種情況：1. 實壓力體 壓力體和液體在曲面AB的同側，壓力體內實有液體，習慣上稱為實壓力體。Pz方向向下。2.6 液體作用在曲面上的總壓力2. 虛壓力體 壓力體和液體在曲面AB的異側，其上底面為自由液面的延伸面，壓力體內虛空，習慣上稱為虛壓力體。Pz方向向上。2.6 液體作用在曲面上的總壓力3. 壓力體疊加 對于水平投影重疊的曲面，分開界定壓力體，然后相疊加。2.6 液體作用在曲面上的總壓力2.6 液體作用在曲面上的總壓力2.6 液體作用在曲面上的總壓力2.6.3 液體作用在潛體和浮體上的總壓力液體作用在潛體和浮體上的總壓力1. 水平分力xCxxCx21 AghPAghP，02xxx1PPP2. 鉛垂分力dcdbbz1gVP方向向下dadbbz2gVP