高中數(shù)學 第二章 基本初等函數(shù)Ⅰ第1節(jié) 指數(shù)函數(shù)3教案 新人教A版必修1

1、第一節(jié)指數(shù)函數(shù)第三課時導入新課思路1.同學們，既然我們把指數(shù)從正整數(shù)推廣到整數(shù)，又從整數(shù)推廣到正分數(shù)到負分數(shù)，這樣指數(shù)就推廣到有理數(shù)，那么它是否也和數(shù)的推廣一樣，到底有沒有無理數(shù)指數(shù)冪呢？回顧數(shù)的擴充過程，自然數(shù)到整數(shù)，整數(shù)到分數(shù)(有理數(shù))，有理數(shù)到實數(shù)并且知道，在有理數(shù)到實數(shù)的擴充過程中，增添的數(shù)是實數(shù)對無理數(shù)指數(shù)冪，也是這樣擴充而來既然如此，我們這節(jié)課的主要內(nèi)容是：教師板書本堂課的課題指數(shù)與指數(shù)冪的運算(3)之無理數(shù)指數(shù)冪思路2.同學們，在初中我們學習了函數(shù)的知識，對函數(shù)有了一個初步的了解，到了高中，我們又對函數(shù)的概念進行了進一步的學習，有了更深的理解，我們僅僅學了幾種簡單的函數(shù)，如一次函

2、數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)等，這些遠遠不能滿足我們的需要，隨著科學的發(fā)展，社會的進步，我們還要學習許多函數(shù)，其中就有指數(shù)函數(shù)，為了學習指數(shù)函數(shù)的知識，我們必須學習實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，為此，我們必須把指數(shù)冪從有理數(shù)指數(shù)冪擴充到實數(shù)指數(shù)冪，因此我們本節(jié)課學習：指數(shù)與指數(shù)冪的運算(3)之無理數(shù)指數(shù)冪，教師板書本節(jié)課的課題推進新課(1)我們知道1.414 213 56，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，是的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，是的什么近似值？(2)多媒體顯示以下圖表：同學們從上面的兩個表中，能發(fā)現(xiàn)什么樣的

3、規(guī)律？的過剩近似值5的近似值1.511.180 339 891.429.829 635 3281.4159.750 851 8081.414 39.739 872 621.414 229.738 618 6431.414 2149.738 524 6021.414 213 69.738 518 332 1.414 213 579.738 517 8621.414 213 5639.738 517 7525的近似值的不足近似值9.518 269 6941.49.672 669 9731.419.735 171 0391.4149.738 305 1741.414 29.738 461 9071.

4、414 219.738 508 9281.414 2139.738 516 7651.414 213 59.738 517 7051.414 213 569.738 517 7361.414 213 562(3)你能給上述思想起個名字嗎？(4)一個正數(shù)的無理數(shù)次冪到底是一個什么性質(zhì)的數(shù)呢？如5，根據(jù)你學過的知識，能作出判斷并合理地解釋嗎？(5)借助上面的結(jié)論你能說出一般性的結(jié)論嗎？活動：教師引導，學生回憶，教師提問，學生回答，積極交流，及時評價學生，學生有困惑時加以解釋，可用多媒體顯示輔助內(nèi)容：問題(1)從近似值的分類來考慮，一方面從大于的方向，另一方面從小于的方向問題(2)對圖表的觀察一方面

5、從上往下看，再一方面從左向右看，注意其關(guān)聯(lián)問題(3)上述方法實際上是無限接近，最后是逼近問題(4)對問題給予大膽猜測，從數(shù)軸的觀點加以解釋問題(5)在(3)(4)的基礎(chǔ)上，推廣到一般的情形，即由特殊到一般討論結(jié)果：(1)1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，這些數(shù)都小于，稱的不足近似值，而1.42，1.415,1.414 3,1.414 22，這些數(shù)都大于，稱的過剩近似值(2)第一個表：從大于的方向逼近時，5就從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，即大于5的方向逼近5.第二個表：從小于的方向逼近時，5就從51.4,51.41,51.414

6、,51.414 2,51.414 21，即小于5的方向逼近5.從另一角度來看這個問題，在數(shù)軸上近似地表示這些點，數(shù)軸上的數(shù)字表明一方面5從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，即小于5的方向接近5，而另一方面5從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，即大于5的方向接近5，可以說從兩個方向無限地接近5，即逼近5，所以5是一串有理數(shù)指數(shù)冪51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，和另一串有理數(shù)指數(shù)冪51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，按上述變化規(guī)律變化的結(jié)果

7、，事實上表示這些數(shù)的點從兩個方向向表示5的點靠近，但這個點一定在數(shù)軸上，由此我們可得到的結(jié)論是5一定是一個實數(shù)，即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21<<5<<51.414 22<51.414 3<51.415<51.42<51.5.充分表明5是一個實數(shù)(3)逼近思想，事實上里面含有極限的思想，這是以后要學的知識(4)根據(jù)(2)(3)我們可以推斷5是一個實數(shù)，猜測一個正數(shù)的無理數(shù)次冪是一個實數(shù)(5)無理數(shù)指數(shù)冪的意義：一般地，無理數(shù)指數(shù)冪a(a>0，是無理數(shù))是一個確定的實數(shù)也就是

8、說無理數(shù)可以作為指數(shù)，并且它的結(jié)果是一個實數(shù)，這樣指數(shù)概念又一次得到推廣，在數(shù)的擴充過程中，我們知道有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)我們規(guī)定了無理數(shù)指數(shù)冪的意義，知道它是一個確定的實數(shù)，結(jié)合前面的有理數(shù)指數(shù)冪，那么，指數(shù)冪就從有理數(shù)指數(shù)冪擴充到實數(shù)指數(shù)冪(1)為什么在規(guī)定無理數(shù)指數(shù)冪的意義時，必須規(guī)定底數(shù)是正數(shù)？(2)無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則是怎樣的？是否與有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則相通呢？(3)你能給出實數(shù)指數(shù)冪的運算法則嗎？活動：教師組織學生互助合作，交流探討，引導他們用反例說明問題，注意類比，歸納對問題(1)回顧我們學習分數(shù)指數(shù)冪的意義時對底數(shù)的規(guī)定，舉例說明對問題(2)結(jié)合有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則，既

9、然無理數(shù)指數(shù)冪a(a>0，是無理數(shù))是一個確定的實數(shù)，那么無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則應(yīng)當與有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則類似，并且相通對問題(3)有了有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則和無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則，實數(shù)的運算法則自然就得到了討論結(jié)果：(1)底數(shù)大于零的必要性，若a1，那么a是1還是1就無法確定了，這樣就造成混亂，規(guī)定了底數(shù)是正數(shù)后，無理數(shù)指數(shù)冪a是一個確定的實數(shù)，就不會再造成混亂(2)因為無理數(shù)指數(shù)冪是一個確定的實數(shù)，所以能進行指數(shù)的運算，也能進行冪的運算，有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，同樣也適用于無理數(shù)指數(shù)冪類比有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)可以得到無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則：ar·asars(a>

10、0，r，s都是無理數(shù))(ar)sars(a>0，r，s都是無理數(shù))(a·b)rarbr(a>0，b>0，r是無理數(shù))(3)指數(shù)冪擴充到實數(shù)后，指數(shù)冪的運算性質(zhì)也就推廣到了實數(shù)指數(shù)冪實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：對任意的實數(shù)r，s，均有下面的運算性質(zhì)：ar·asars(a>0，r，sr)(ar)sars(a>0，r，sr)(a·b)rarbr(a>0，b>0，rr)例1利用函數(shù)計算器計算(精確到0.001)(1)0.32.1；(2)3.143；(3)3.1；(4)3.活動：教師教會學生利用函數(shù)計算器計算，熟悉計算器的各鍵的功能，正確

11、輸入各類數(shù)，算出數(shù)值，對于(1)，可先按底數(shù)0.3，再按鍵，再按冪指數(shù)2.1，最后按，即可求得它的值；對于(2)，先按底數(shù)3.14，再按鍵，再按負號鍵，再按3，最后按即可；對于(3)，先按底數(shù)3.1，再按鍵，再按34，最后按即可；對于(4)，這種無理指數(shù)冪，可先按底數(shù)3，其次按鍵，再按鍵，再按3，最后按鍵有時也可按或鍵，使用鍵上面的功能去運算學生可以相互交流，挖掘計算器的用途解：(1)0.32.10.080；(2)3.1430.032；(3)3.12.336；(4)36.705.點評：熟練掌握用計算器計算冪的值的方法與步驟，感受現(xiàn)代技術(shù)的威力，逐步把自己融入現(xiàn)代信息社會；用四舍五入法求近似值，

12、若保留小數(shù)點后n位，只需看第(n1)位能否進位即可例2 求值或化簡(1)(a>0，b>0)；(2)()(a>0，b>0)；(3).活動：學生觀察，思考，所謂化簡，即若能化為常數(shù)則化為常數(shù)，若不能化為常數(shù)則應(yīng)使所化式子達到最簡，對既有分數(shù)指數(shù)冪又有根式的式子，應(yīng)該把根式統(tǒng)一化為分數(shù)指數(shù)冪的形式，便于運算，教師有針對性地提示引導，對(1)由里向外把根式化成分數(shù)指數(shù)冪，要緊扣分數(shù)指數(shù)冪的意義和運算性質(zhì)，對(2)既有分數(shù)指數(shù)冪又有根式，應(yīng)當統(tǒng)一起來，化為分數(shù)指數(shù)冪，對(3)有多重根號的式子，應(yīng)先去根號，這里是二次根式，被開方數(shù)應(yīng)湊完全平方，這樣，把5,7,6拆成()2()2,2

13、2()2,22()2，并對學生作及時的評價，注意總結(jié)解題的方法和規(guī)律解：(1)ab(ab)a2babab .點評：根式的運算常?；蓛绲倪\算進行，計算結(jié)果如沒有特殊要求，就用根式的形式來表示(2)()aabba0b0.點評：化簡這類式子一般有兩種辦法，一是首先用負指數(shù)冪的定義把負指數(shù)化成正指數(shù)，另一個方法是采用分式的基本性質(zhì)把負指數(shù)化成正指數(shù)(3)220.點評：考慮根號里面的數(shù)是一個完全平方數(shù)，千萬注意方根的性質(zhì)的運用例3 已知x(55)，nn*，求(x)n的值活動：學生思考，觀察題目的特點，從整體上看，應(yīng)先化簡，然后再求值，要有預見性，5與5具有對稱性，它們的積是常數(shù)1，為我們解題提供了思路

14、，教師引導學生考慮問題的思路，必要時給予提示x2(55)2(52·505)(5254)(55)21.這時應(yīng)看到1x21(55)2(55)2，這樣先算出1x2，再算出，代入即可解：將x(55)代入1x2，得1x21(55)2(55)n，所以(x)n(55)n(55)(55)n(5)n5.點評：運用整體思想和完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵，要深刻理解這種做法課本習題2.1a組3.利用投影儀投射下列補充練習：1化簡：(12)(12)(12)(12)(12)的結(jié)果是()a.(12)1 b(12)1 c12 d.(12)解析：根據(jù)本題的特點，注意到它的整體性，特別是指數(shù)的規(guī)律性，我們可以進行適當

15、的變形因為(12)(12)12，所以原式的分子分母同乘以(12)依次類推，所以1.答案：a2計算(2)0.50.12(2)3090.5490.5×24.解：原式()100()33×49×1003100.3計算(a1)解：原式1|1|(a1)本題可以繼續(xù)向下做，去掉絕對值，作為思考留作課下練習4設(shè)a>0，x(aa)，則(x)n的值為_解析：1x21(aa)2(aa)2.這樣先算出1x2，再算出，將x(aa)代入1x2，得1x21(aa)2(aa)2.所以(x)n(aa)n(aa)(aa)na.答案：a參照我們說明無理數(shù)指數(shù)冪的意義的過程，請你說明無理數(shù)指數(shù)冪2

16、的意義活動：教師引導學生回顧無理數(shù)指數(shù)冪5的意義的過程，利用計算器計算出的近似值，取它的過剩近似值和不足近似值，根據(jù)這些近似值計算2的過剩近似值和不足近似值，利用逼近思想，“逼出”2的意義，學生合作交流，在投影儀上展示自己的探究結(jié)果解：1.732 050 80，取它的過剩近似值和不足近似值如下表的過剩近似值2的過剩近似值的不足近似值2的不足近似值1.83.482 202 2531.73.249 009 5851.743.340 351 6781.733.317 278 1831.7333.324 183 4461.7313.319 578 3421.732 13.322 110 361.731

17、 93.321 649 8491.732 063.322 018 2521.732 043.321 972 21.732 0513.321 997 5291.732 0493.321 992 9231.732 050 93.321 997 2981.732 050 73.321 996 8381.732 050 813.321 997 0911.732 050 793.321 997 045我們把用2作底數(shù)，的不足近似值作指數(shù)的各個冪排成從小到大的一列數(shù)217,21.72,21.731,21.731 9，同樣把用2作底數(shù)，的過剩近似值作指數(shù)的各個冪排成從大到小的一列數(shù)：218,21.74,21

18、.733,21.732 1，不難看出的過剩近似值和不足近似值相同的位數(shù)越多，即的近似值精確度越高，以其過剩近似值和不足近似值為指數(shù)的冪2會越來越趨近于同一個數(shù)，我們把這個數(shù)記為2，即21.7<21.73<21.731<21.731 9<<2<<21.732 1<21.733<21.74<21.8.也就是說2是一個實數(shù)，23.321 997 也可以這樣解釋：當?shù)倪^剩近似值從大于的方向逼近時，2的近似值從大于2的方向逼近2；當?shù)牟蛔憬浦祻男∮诘姆较虮平鼤r，2的近似值從小于2的方向逼近2.所以2就是一串有理指數(shù)冪21.7,21.73,21

19、.731,21.731 9，和另一串有理指數(shù)冪21.8,21.74,21.733,21.732 1，按上述規(guī)律變化的結(jié)果，即23.321 997.(1)無理指數(shù)冪的意義一般地，無理數(shù)指數(shù)冪a(a>0，是無理數(shù))是一個確定的實數(shù)(2)實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：對任意的實數(shù)r，s，均有下面的運算性質(zhì)：ar·asars(a>0，r，sr)(ar)sars(a>0，r，sr)(a·b)rarbr(a>0，b>0，rr)(3)逼近的思想，體會無限接近的含義課本習題2.1 b組2.無理數(shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴充，教學中要讓學生通過多媒體的演示，理解無理數(shù)指數(shù)冪的意義，教學中也可以讓學生自己通過實際情況去探索，自己得出結(jié)論，加深對概念的理解，本堂課內(nèi)容較為抽象，又不能進行推理，只能通過多媒體的教學手段，讓學生體會，特別是