量子力學(xué)復(fù)習(xí)題答案與題解

1、量子力學(xué)復(fù)習(xí)題P12導(dǎo)致量子論產(chǎn)生的物理現(xiàn)象主要有哪些 p2 量子的概念是如何引進的 p5 為什么說愛因斯坦是量子論的主要創(chuàng)始人之一 p6 寫出德布羅意公式并說明其中各量的含義和該公式的意義什么是波函數(shù)的幾率解釋 p18 態(tài)的迭加原理。 P22 動量算符的定義。 P27 寫出單粒子薛定諤方程。 P27 寫出多粒子薛定諤方程。 P28 寫出單粒子哈密頓算符及其本征值方程。 P33 什么條件下可以得到定態(tài)薛定諤方程 p32 什么是束縛態(tài) p37 什么情況下量子系統(tǒng)具有分立能級 p37 什么是基態(tài) p37 寫出線性諧振子的定態(tài)薛定諤方程。 P39 寫出線性諧振子的能級表達式。 P40 寫出波函數(shù)應(yīng)滿

2、足的三個基本條件。 P51寫出算符的本征值方程并說明其中各量的含義。 P54 量子力學(xué)中的力學(xué)量算符如何由經(jīng)典力學(xué)中相應(yīng)的力學(xué)量得出 p55 寫出厄米算符的定義， 并解釋為什么量子力學(xué)中的力學(xué)量要用厄米算 符來表示。 P56寫出軌道角動量算符的各分量表達式。 P60 什么是角量子數(shù)、磁量子數(shù)寫出相應(yīng)的本征值表達式及其數(shù)值關(guān)系。 P63解： L?2Ylm ( , ) l(l 1) 2Ylm( , )L?zYlm ( , ) m Ylm ( , )其中I表征角動量的大小，稱為角量子數(shù)，m稱為磁量子數(shù)。對應(yīng)于一個I的值, m可以取(2I +1)個值，從-I到+I。寫出波爾半徑的值和氫原子的電離能，可

3、見光能否導(dǎo)致氫原子電離 oa0 0.52A ( 3 分) E1 13.6eV ( 3 分) 可見光的能量不超過 , 這個值小于氫原子的電離能，所以不能引起氫原子電離。( 4 分 ) 寫出類氫原子體系的定態(tài)薛定諤方程。 P65 寫出氫原子能級的表達式及其簡并度。 P68s, p, d, f 態(tài)粒子是什么含義 p63 關(guān)于力學(xué)量與算符的關(guān)系的基本假定。 P83 寫出力學(xué)量平均值的積分表達式。 P84 兩個算符可對易的充要條件是什么 p89 寫出 X 方向坐標(biāo)與動量的不確定關(guān)系。 P92什么是Q表象p108久期方程帶來的好處是什么 p113寫出兩個表象中的力學(xué)量和態(tài)矢量之間的變換公式。P117寫出幺

4、正變換的兩個重要性質(zhì)。P118應(yīng)用微擾法的限制條件是什么 p135寫出用非簡并微擾法解題的基本步驟。P136寫出用變分法求解體系基態(tài)能量的基本步驟。P145寫出黃金規(guī)則公式，并解釋其含義。P154什么是量子力學(xué)中的共振現(xiàn)象 p157自旋角動量與其它力學(xué)量的根本差別是什么p197電子自旋的取值有何特點 p196寫出泡利矩陣。P202寫出電子自旋算符各分量之間的對易關(guān)系（矢量形式和分量形式）P198C-G系數(shù)是如何定義的其中各參數(shù)的含義是什么p209p210P223在角動量耦合問題中，jl和j2給定后，j的取值范圍是什么寫出全同性原理。P217什么是費米子什么是玻色子 P220寫出全同玻色子體系的

5、波函數(shù)表達式， 并說明其中各量的含義。什么是自旋單態(tài)和三重態(tài) P223根據(jù)能量算符和動量算符的定義及經(jīng)典的能量一動量關(guān)系,導(dǎo)”單粒子薛定諤方程。P27推導(dǎo)定態(tài)薛定諤方程。P32一個質(zhì)量為m的粒子置于寬度為a的無限深勢阱中:V(x) 00 x a其它OO求該系統(tǒng)的能量本征值。P34OO解：設(shè)系統(tǒng)波函數(shù)為 (X)當(dāng)0 X a時，薛定諤方程可以寫為2m x2(x) E (x)(1)當(dāng)x 0, x a時，薛定諤方程可以寫為2m x2(x) V(x) (x) E (x)由波函數(shù)的連續(xù)性可得(x)0。當(dāng)V(x)時，根據(jù)系統(tǒng)波函數(shù)的有限性及系統(tǒng)能量的有限性，可得令k2警，可將式化為h22(x) k (x)0

6、 (2)x則方程(2)的解可以寫為(x) Asin kx B coskx(a)(0) 0卄 Asin ka Bcoska 0 Asinka 0即，得(3)B 0B 0由于當(dāng)A 0 , B 0時，系統(tǒng)波函數(shù)（x） 0，與粒子的存在相矛盾，所以A, B不能同時為0，所以 式的解為B= 0， sin ka= 0，由此有 ka n （ n = 0，± 1，± 2，± 3，）因為n= 0對應(yīng) （x） 0,故舍去，n取負(fù)整數(shù)與取正整數(shù)的情況，系統(tǒng)狀態(tài)完全一樣，故只取正整數(shù)即可,因此k牛，再結(jié)合k2響得,2mEh2即系統(tǒng)能量本征值為2 2h nE廠(n=1, 2, 3,)。2m

7、a證明厄米算符的本征值是實數(shù)。P56證明厄米算符屬于不同本征值的兩個本征函數(shù)彼此正交。 P78 根據(jù)坐標(biāo)算符和動量算符的定義證明：在 X方向上兩算符滿足X, ?x ih。P87證明：在Q表象中，Q算符本身的表示矩陣是對角的。P110試推導(dǎo)非簡并定態(tài)微擾理論中一級修正項所滿足的方程。P131一電荷為e的線性諧振子受恒定弱電場 ？作用，電場沿正x 方向。用微擾法求體系定態(tài)能量的一級修正，用變量替換法求 能量修正。P137用變分法解氦原子基態(tài)問題時，哈密頓算符如何給出其中各量是何含義嘗試波函數(shù)如何選取 p146寫出烏倫貝克和哥德斯密特關(guān)于電子自旋的假設(shè)。P196(1) 每個電子具有自旋角動量S，它在

8、空間任何方向上的投影只能取兩個數(shù)值：hSz2 ；(2) 每個電子具有自旋磁矩Ms,它和自旋角動量S的關(guān)系是Ms -S，式中-e是電子的電荷，卩是電子的質(zhì)量。在兩個角動量耦合的問題中，什么是無耦合表象什么是耦合表象寫出兩種表象基矢的關(guān)系式。P208寫出全同費米子體系的波函數(shù)表達式，并由此給出泡利不相容原理。P223寫出坐標(biāo)表象下，產(chǎn)生、湮滅算符的表達式，并證明a,? 1P125由坐標(biāo)表象下的薛定諤方程推導(dǎo) Q表象下的薛定諤方程(分量形式和矩陣形式)。P113證明自旋算符滿足：【©sz o,其中s2 ?x sy sz。P198對泡利矩陣證明：(1) ?x,?y2i ?z； (2)?z的本

9、征值為1,并求出相應(yīng)的歸一化本征矢;(3)?x在?z的兩個本征態(tài)中的平均值皆為0P202答：泡利矩陣：001,(3 分)(1) x,y12i001 2i z2(3分)(2)ab，由此得久期方程:2 10解得1(4 分)設(shè)平面波具有如下一般形式:(r,t) Aei(kr t)其中A為常數(shù)，k和？?滿足hk2/2m。(1)試驗證平面波滿足自由粒子薛定諤方程。(2)解釋為什么說平面波不能嚴(yán)格代表個自由粒子。h2(1) ih (r,t)( t2m左邊=2)(r,t)ih Aei(kr t) ihA(t右邊=(2)Aei(kr t)2m左邊=右邊i )ei(kr t) hA ei(kr(帥2日尹t)t)

10、2 2hkt)2m吐(“2m(2)平面波不滿足平方可積條件*(r,t) (r,t)d所以平面波不能嚴(yán)格上述積分的涵義是粒子存在的總幾率， 應(yīng)當(dāng)是有限值。 代表一個自由粒子。 (a) Write the postulate for the relati on ship betwee n an observable and the resultof its measurement. (b) Supposea system isat thesuperpositionstateof two energy eigenstates:| c! | 1c212 . Whatresult would be obta ined whe n measuri ng the en ergy of the system (10marks)解：(a) 一個可觀察量可以用一個