數(shù)學(xué)專題----三角形,圓,梯形常見(jiàn)輔助線做法匯總

1、 數(shù)學(xué)專題:三角形-常用輔助線 典型例題人說(shuō)幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。全等三角形輔助線                                   找全等三角形的方法

2、：（1）可以從結(jié)論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個(gè)角）分別在哪兩個(gè)可能全等的三角形中；（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形全等；（3）可從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能確定哪兩個(gè)三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。三角形中常見(jiàn)輔助線的作法：延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形；利用翻折，構(gòu)造全等三角形；引平行線構(gòu)造全等三角形；作連線構(gòu)造等腰三角形。常見(jiàn)輔助線的作法有以下幾種：（1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”。例1：如圖，ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，BD平分ABC

3、交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。（2）若遇到三角形的中線，可倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。例2：如圖，已知ABC中，AD是BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ABC是等腰三角形。  （3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。例3：已知，如圖，AC平分BAD，CD=CB，AB>AD。求證：B+ADC=180°。關(guān)于角平行線的問(wèn)題，常用兩種輔助線；

4、見(jiàn)中點(diǎn)即聯(lián)想到中位線。 （4）過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平行線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”例4：如圖，ABC中，AB=AC，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連EF交BC于D，若EB=CF。  求證：DE=DF。例5：ABC中，BAC=60°，C=40°，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。              解題

5、后的思考：（1）本題也可以在AB上截取AD=AQ，連OD，構(gòu)造全等三角形，即“截長(zhǎng)法”。（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：如圖（2），過(guò)O作ODBC交AC于D，則ADOABO從而得以解決。如圖（5），過(guò)P作PDBQ交AC于D，則ABPADP從而得以解決。（5）截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。例6：如圖甲，ADBC，點(diǎn)E在線段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB。求證：CD=AD+BC。2）在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不

6、等關(guān)系時(shí)，如直接證明不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明。小結(jié)：三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角形。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。 全等三角形中的常見(jiàn)輔助線的添加方法舉例一 有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形。例：如圖1：已知AD為ABC的中線，且12,34,求證

7、：BECFEF。二、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例：如圖2：AD為ABC的中線，且12，34，求證：BECFEF三、有三角形中線時(shí)，常延長(zhǎng)加倍中線，構(gòu)造全等三角形。例：如圖3：AD為 ABC的中線，求證：ABAC2AD。 圖3練習(xí)：已知ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖4， 求證EF2AD。 四、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖5：在ABC中，ABAC，12，P為AD上任一點(diǎn)。求證：ABACPBPC。五、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖6：已知ACBD，ADAC于A ，BCBD于B，求證：ADBC六、連接

8、四邊形的對(duì)角線，把四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為三角形來(lái)解決。例如：如圖7：ABCD，ADBC 求證：AB=CD。七有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)。例如：如圖8：在RtABC中，ABAC，BAC90°，12，CEBD的延長(zhǎng)于E 。求證：BD2CE 圖8八、連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖9；AC、BD相交于O點(diǎn)，且ABDC，ACBD，求證：AD。九、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。例如：如圖10：ABDC，AD 求證：ABCDCB。圓-常用輔助線1  遇到弦時(shí)（解決有關(guān)弦的問(wèn)題時(shí)）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過(guò)弦的端點(diǎn)的半徑?；蛘哌B結(jié)圓心

9、和弦的兩個(gè)端點(diǎn)，構(gòu)成等腰三角形，還可連結(jié)圓周上一點(diǎn)和弦的兩個(gè)端點(diǎn)。作用：1、利用垂徑定理； 2、利用圓心角及其所對(duì)的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系； 3、利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。4、可得等腰三角形； 5、據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角。例：如圖，是O的直徑,POAB交O于P點(diǎn)，弦PN與AB相交于點(diǎn)M，求證：PMPN=2PO2.分析：要證明PMPN=2PO2，即證明PMPC =PO2，過(guò)O點(diǎn)作OCPN于C，根據(jù)垂經(jīng)定理 NC=PC，只需證明PMPC=PO2，要證明PMPC=PO2只需證明RtPOCRtPMO.證明: 過(guò)圓心O作OCPN于C，PC= PNPOAB,

10、 OCPN，MOP=OCP=90°.又OPC=MPO，RtPOCRtPMO. 即PO2= PMPC. PO2= PMPN，PMPN=2PO2.【例1】如圖，已知ABC內(nèi)接于O，A=45°，BC=2，求O的面積。 【例2】如圖，O的直徑為10，弦AB8，P是弦AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么OP的長(zhǎng)的取值范圍是_【例3】如圖，弦AB的長(zhǎng)等于O的半徑，點(diǎn)C在弧AMB上，則C的度數(shù)是_.2  遇到有直徑時(shí)常常添加（畫(huà)）直徑所對(duì)的圓周角。作用：利用圓周角的性質(zhì)，得到直角或直角三角形。例 如圖，在ABC中，C=90°，以BC上一點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑的圓交AB于點(diǎn)M，交BC

11、于點(diǎn)N（1） 求證：BA·BM=BC·BN；（2） 如果CM是O的切線，N為OC的中點(diǎn)，當(dāng)AC=3時(shí)，求AB的值分析：要證BA·BM=BC·BN，需證ACBNMB，而C=90°，所以需要NMB中有個(gè)直角，而B(niǎo)N是圓O的直徑，所以連結(jié)MN可得BMN=90°。MNOCA（1） 證明：連結(jié)MN，則BMN=90°=ACBACBNMBAB·BM=BC·BN（2） 解：連結(jié)OM，則OMC=90°N為OC中點(diǎn)BMN=ON=OM，MON=60°OM=OB，B=MON=30°ACB=90

12、76;，AB=2AC=2×3=6【例4】如圖，AB是O的直徑，AB=4，弦BC=2, B= 3  遇到90°的圓周角時(shí)常常連結(jié)兩條弦沒(méi)有公共點(diǎn)的另一端點(diǎn)。作用：利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑?！纠?】如圖，AB、AC是O的的兩條弦，BAC=90°，AB=6，AC=8，O的半徑是 5  遇到有切線時(shí)（1）常常添加過(guò)切點(diǎn)的半徑（連結(jié)圓心和切點(diǎn)）（2）常常添加連結(jié)圓上一點(diǎn)和切點(diǎn)作用：1、可構(gòu)成弦切角，從而利用弦切角定理。2、利用切線的性質(zhì)定理可得OAAB，得到直角或直角三角形?！纠?】如圖，AB是O的直徑，弦AC與AB成30°角，CD與O切于

13、C，交AB的延長(zhǎng)線于D，求證：AC=CD 6  遇到證明某一直線是圓的切線時(shí)切線判定分兩種：公共點(diǎn)未知作垂線、公共點(diǎn)已知作半徑切線的判定定理是：“經(jīng)過(guò)半徑的外端,并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.”，就是說(shuō)，要判定一條直線是否是切線，應(yīng)同時(shí)滿足這樣的兩條：（1）直線經(jīng)過(guò)半徑的外端，（2）直線垂直于這條半徑，所以,在證明直線是切線時(shí), 往往需要通過(guò)作恰當(dāng)?shù)妮o助線,才能順利地解決問(wèn)題.下面是添輔助線的小規(guī)律.1無(wú)點(diǎn)作垂線需證明的切線，條件中未告之與圓有交點(diǎn)，則聯(lián)想切線的定義，過(guò)圓心作該直線的垂線，證明垂足到圓心的距離等于半徑.例7已知：如圖，AB是O的直徑，ADAB于A， B

14、CAB于B，若DOC= 90°.求證：DC是O的切線.分析：DC與O沒(méi)有交點(diǎn)，“無(wú)點(diǎn)作垂線”，過(guò)圓心O作OEDC，只需證OE等于圓的半徑.因?yàn)锳O為半徑，若能證OE=OA即可.而OE、OA在DEO、DAO中，需證明DEODAO證明：作OEDC于E點(diǎn)，取DC的中點(diǎn)F，連結(jié)OF.又DOC= 90°. FO=FD 1=3.ADAB，BCAB, BCAD, OF為梯形的中位線.OFAD . 2=3. 1=2.DO是ADE的角平分線. OADA，OEDC，OA=OE=圓的半徑. DC是O的切線.2有點(diǎn)連圓心.當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)已知時(shí)，聯(lián)想切線的判定定理，只要將該點(diǎn)與圓心連結(jié)，再證明該

15、半徑與直線垂直.例8已知：如圖，AB為O的直徑，BC為O的切線，切點(diǎn)為B，OC平行于弦AD，求證：CD是O的切線.分析：D在O上，有點(diǎn)連圓心，連結(jié)DO，證明DODC即可. 證明：連結(jié)DO，OCAD DAO=COB，ADO=DOC而DAO=ADODOC=COB，又OC=OC，DO=BO DOCBOC ODC=OBC， BC為O的切線，切點(diǎn)為BOBC=90°， ODC=90°，又D在O上，CD是O的切線.【例7】如圖所示，已知AB是O的直徑，ACL于C，BDL于D，且AC+BD=AB。求證：直線L與O相切。 【例8】如圖，ABO中，OA= OB，以O(shè)為圓心的圓經(jīng)過(guò)AB中點(diǎn)C，且

16、分別交OA、OB于點(diǎn)E、F 求證：AB是O切線； 7  遇到兩相交切線時(shí)（切線長(zhǎng)）常常連結(jié)切點(diǎn)和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一點(diǎn)、連結(jié)兩切點(diǎn)。作用：據(jù)切線長(zhǎng)及其它性質(zhì)，可得到：角、線段的等量關(guān)系；垂直關(guān)系；全等、相似三角形?！纠?】如圖，P是O外一點(diǎn)，PA、PB分別和O切于A、B，C是弧AB上任意一點(diǎn)，過(guò)C作O的切線分別交PA、PB于D、E，若PDE的周長(zhǎng)為12，則PA長(zhǎng)為_(kāi)8  遇到三角形的內(nèi)切圓時(shí)連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點(diǎn)，或過(guò)內(nèi)心作三角形各邊的垂線段。作用：利用內(nèi)心的性質(zhì)，可得：    內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線是三角形的角平分線；

17、60;   內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等。【例10】如圖，ABC中，A=45°，I是內(nèi)心，則BIC= 【例11】如圖，RtABC中，AC=8，BC=6，C=90°，I分別切AC，BC，AB于D，E，F(xiàn)，求RtABC的內(nèi)心I與外心O之間的距離9  遇到三角形的外接圓時(shí)，連結(jié)外心和各頂點(diǎn)作用：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。課后沖浪1已知：P是O外一點(diǎn)，PB，PD分別交O于A、B和C、D，且AB=CD.求證：PO平分BPD.2 如圖，ABC中，C=90°，圓O分別與AC、BC相切于M、N，點(diǎn)O在AB上，如果AO=15，BO=10，求圓O的半

18、徑.3已知：ABCD的對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn)，BC切O于E點(diǎn).求證：AD也和O相切.4如圖，學(xué)校A附近有一公路MN，一拖拉機(jī)從P點(diǎn)出發(fā)向PN方向行駛，已知NPA=30°，AP=160米，假使拖拉機(jī)行使時(shí)，A周圍100米以內(nèi)受到噪音影響，問(wèn)：當(dāng)拖拉機(jī)向PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪音影響？請(qǐng)說(shuō)明理由.如果拖拉機(jī)速度為18千米小時(shí)，則受噪音影響的時(shí)間是多少秒？5如圖，A是半徑為1的圓O外的一點(diǎn)，OA=2，AB是圓O的切線，B是切點(diǎn)，弦BCOA，連結(jié)AC，求陰影部分的面積.我們可以把圓中常用輔助線的規(guī)律總結(jié)為如下歌訣：弦與弦心距，密切緊相連；直徑對(duì)直角，圓心作半徑；已知有兩圓，常畫(huà)連心

19、線；.遇到相交圓，連接公共弦；遇到相切圓，作條公切線；“有點(diǎn)連圓心，無(wú)點(diǎn)作垂線.”切線證明法，規(guī)律記心間.梯形-常見(jiàn)輔助線的作法一、平移對(duì)角線：平移一條對(duì)角線，使之經(jīng)過(guò)梯形的另一個(gè)頂點(diǎn)。例1如圖，在等腰梯形ABCD中，ABCD,ACBD,梯形的高CF為10，求梯形ABCD的面積。                          

20、0;            二、平移一腰或兩腰：平移一腰，使之經(jīng)過(guò)梯形的另一個(gè)頂點(diǎn)或另?xiàng)l腰的中點(diǎn)；或者同時(shí)移動(dòng)兩腰使它們交于一點(diǎn)。 例2如圖，等腰梯形ABCD兩底之差等于一腰的長(zhǎng)，那么這個(gè)梯形較小的一個(gè)內(nèi)角是(  )       A.9O° B.6O° C.45° D.30°例3如圖，在梯形ABCD中，ADBCAD<BC，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，且EFBC。求證：B=C。