導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案

1、學(xué)案14導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用0導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次).2.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)及最大(最小)值自主梳理1導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系：(1)若f(x)>0在(a，b)上恒成立，則f(x)在(a，b)上是_函數(shù)，f(x)>0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為_(kāi)區(qū)間；(2)若f(x)<0在(a，b)上恒成立，則f(x)在(a，b)上是_函數(shù)，f(x)<0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為_(kāi)區(qū)間；(3)若在(

2、a，b)上，f(x)0，且f(x)在(a，b)的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零f(x)在(a，b)上為_(kāi)函數(shù)，若在(a，b)上，f(x)0，且f(x)在(a，b)的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零f(x)在(a，b)上為_(kāi)函數(shù)2函數(shù)的極值(1)判斷f(x0)是極值的方法一般地，當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)，如果在x0附近的左側(cè)_，右側(cè)_，那么f(x0)是極大值；如果在x0附近的左側(cè)_，右側(cè)_，那么f(x0)是極小值(2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟求f(x)；求方程_的根；檢查f(x)在方程_的根左右值的符號(hào)如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得_；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得_自我檢測(cè)1.已知f(

3、x)的定義域?yàn)镽，f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則 ()Af(x)在x1處取得極小值Bf(x)在x1處取得極大值Cf(x)是R上的增函數(shù)Df(x)是(，1)上的減函數(shù)，(1，)上的增函數(shù)2(2009·廣東)函數(shù)f(x)(x3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是 ()A(，2)B(0,3)C(1,4)D(2，)3(2011·濟(jì)寧模擬)已知函數(shù)yf(x)，其導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則yf(x)()A在(，0)上為減函數(shù)B在x0處取極小值C在(4，)上為減函數(shù)D在x2處取極大值4設(shè)p：f(x)x32x2mx1在(，)內(nèi)單調(diào)遞增，q：m，則p是q的()A充分不必要條件B必要不充

4、分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件5(2011·福州模擬)已知函數(shù)f(x)x3ax2bxa2在x1處取極值10，則f(2)_.探究點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性例1已知aR，函數(shù)f(x)(x2ax)ex(xR，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)當(dāng)a2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在(1,1)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(3)函數(shù)f(x)能否為R上的單調(diào)函數(shù)，若能，求出a的取值范圍；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由變式遷移1(2009·浙江)已知函數(shù)f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR)(1)若函數(shù)f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率是3，求a，b的值；(2)若

5、函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)上不單調(diào)，求a的取值范圍探究點(diǎn)二函數(shù)的極值例2若函數(shù)f(x)ax3bx4，當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)f(x)有極值.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若關(guān)于x的方程f(x)k有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍變式遷移2設(shè)x1與x2是函數(shù)f(x)aln xbx2x的兩個(gè)極值點(diǎn)(1)試確定常數(shù)a和b的值；(2)試判斷x1，x2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，并說(shuō)明理由探究點(diǎn)三求閉區(qū)間上函數(shù)的最值例3(2011·六安模擬)已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc，曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)x1處的切線(xiàn)為l：3xy10，若x時(shí)，yf(x)有極值(1)求a，b，c的值；(2)求yf(x)在

6、3,1上的最大值和最小值變式遷移3已知函數(shù)f(x)ax3x2bx(其中常數(shù)a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函數(shù)(1)求f(x)的表達(dá)式；(2)討論g(x)的單調(diào)性，并求g(x)在區(qū)間1,2上的最大值和最小值分類(lèi)討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例(12分)(2009·遼寧)已知函數(shù)f(x)x2ax(a1)ln x，a>1.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)證明：若a<5，則對(duì)任意x1，x2(0，)，x1x2，有>1.多角度審題(1)先求導(dǎo)，根據(jù)參數(shù)a的值進(jìn)行分類(lèi)討論；(2)若x1>x2，結(jié)論等價(jià)于f(x1)x1>f(x2)x2，若x1<x2，問(wèn)題等價(jià)

7、于f(x1)x1<f(x2)x2，故問(wèn)題等價(jià)于yf(x)x是單調(diào)增函數(shù)【答題模板】(1)解f(x)的定義域?yàn)?0，)f(x)xa.2分若a11，即a2時(shí)，f(x).故f(x)在(0，)上單調(diào)遞增若a1<1，而a>1，故1<a<2時(shí)，則當(dāng)x(a1,1)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(0，a1)及x(1，)時(shí)，f(x)>0，故f(x)在(a1,1)上單調(diào)遞減，在(0，a1)，(1，)上單調(diào)遞增若a1>1，即a>2時(shí)，同理可得f(x)在(1，a1)上單調(diào)遞減，在(0,1)，(a1，)上單調(diào)遞增6分(2)證明考慮函數(shù)g(x)f(x)xx2ax(a1)ln

8、xx.則g(x)x(a1)2(a1)1(1)2.由于1<a<5，故g(x)>0，即g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，從而當(dāng)x1>x2>0時(shí)，有g(shù)(x1)g(x2)>0，即f(x1)f(x2)x1x2>0，故>1.10分當(dāng)0<x1<x2時(shí)，有>1.綜上，若a<5，對(duì)任意x1，x2(0，)，x1x2有>1.12分【突破思維障礙】(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的關(guān)鍵是討論導(dǎo)數(shù)大于0或小于0的不等式的解集，一般就是歸結(jié)為一個(gè)一元二次不等式的解集的討論，在能夠通過(guò)因式分解得到導(dǎo)數(shù)等于0的根的情況下，根的大小是分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)；(2)利用導(dǎo)數(shù)解

9、決不等式問(wèn)題的主要方法就是構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)而解決不等式問(wèn)題1求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求f(x)，令f(x)0，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)根；(3)把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)(即f(x)的無(wú)定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)數(shù)根按由小到大的順序排列起來(lái)，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間；(4)確定f(x)在各個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)f(x)的符號(hào)判定函數(shù)f(x)在每個(gè)相應(yīng)小開(kāi)區(qū)間內(nèi)的增減性2可導(dǎo)函數(shù)極值存在的條件：(1)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)x0一定滿(mǎn)足f(x0)0，但當(dāng)f(x1)0時(shí)，x1不一定是極值點(diǎn)如f(x)x3，f(0)

10、0，但x0不是極值點(diǎn)(2)可導(dǎo)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f(x0)0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f(x)的符號(hào)不同3函數(shù)的最大值、最小值是比較整個(gè)定義區(qū)間的函數(shù)值得出來(lái)的，函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出來(lái)的函數(shù)的極值可以有多有少，但最值只有一個(gè)，極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點(diǎn)取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值，極值可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)必定是極值4求函數(shù)的最值以導(dǎo)數(shù)為工具，先找到極值點(diǎn)，再求極值和區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值 (滿(mǎn)分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1(2011·大連模擬)設(shè)f(x)，

11、g(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù)，f(x)、g(x)分別為f(x)、g(x)的導(dǎo)函數(shù)，且f(x)·g(x)f(x)g(x)<0，則當(dāng)a<x<b時(shí)，有 ()Af(x)g(b)>f(b)g(x)Bf(x)g(a)>f(a)g(x)Cf(x)g(x)>f(b)g(b)Df(x)g(x)>f(a)g(a)2.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點(diǎn) ()A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)3(2011·嘉興模擬)若函數(shù)ya(x3x)在區(qū)間上為減函數(shù)，則a的取值范圍是 ()A

12、a>0B1<a<0Ca>1D0<a<14已知函數(shù)f(x)x42x33m，xR，若f(x)90恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()AmBm>CmDm<5設(shè)aR，若函數(shù)yeax3x，xR有大于零的極值點(diǎn)，則 ()Aa>3Ba<3Ca>Da<題號(hào)12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6(2009·遼寧)若函數(shù)f(x)在x1處取極值，則a_.7已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如右圖所示，給出以下結(jié)論：函數(shù)f(x)在(2，1)和(1,2)上是單調(diào)遞增函數(shù)；函數(shù)f(x)在(2,0)上是單調(diào)遞增函數(shù)，在(0,2)上

13、是單調(diào)遞減函數(shù)；函數(shù)f(x)在x1處取得極大值，在x1處取得極小值；函數(shù)f(x)在x0處取得極大值f(0)則正確命題的序號(hào)是_(填上所有正確命題的序號(hào))8已知函數(shù)f(x)x3mx2(m6)x1既存在極大值又存在極小值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)三、解答題(共38分)9(12分)求函數(shù)f(x)的極值10(12分)(2011·秦皇島模擬)已知a為實(shí)數(shù)，且函數(shù)f(x)(x24)(xa)(1)求導(dǎo)函數(shù)f(x)；(2)若f(1)0，求函數(shù)f(x)在2,2上的最大值、最小值11(14分)(2011·汕頭模擬)已知函數(shù)f(x)x3mx2nx2的圖象過(guò)點(diǎn)(1，6)，且函數(shù)g(x)f(x)6x的

14、圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)(1)求m，n的值及函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若a>0，求函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a1，a1)內(nèi)的極值答案 自主梳理1(1)增增(2)減減(3)增減2.(1)f(x)>0f(x)<0f(x)<0f(x)>0(2)f(x)0f(x)0極大值極小值自我檢測(cè)1C2.D3.C4.C518解析f(x)3x22axb，由題意即得a4，b11或a3，b3.但當(dāng)a3時(shí)，f(x)3x26x30，故不存在極值，a4，b11，f(2)18.課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引(1)一般地，涉及到函數(shù)(尤其是一些非常規(guī)函數(shù))的單調(diào)性問(wèn)題，往往可以借助導(dǎo)數(shù)這一重要工具進(jìn)行求解函數(shù)在定

15、義域內(nèi)存在單調(diào)區(qū)間，就是不等式f(x)>0或f(x)<0在定義域內(nèi)有解這樣就可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式問(wèn)題(2)已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)求參數(shù)問(wèn)題，通常是解決一個(gè)恒成立問(wèn)題，方法有分離參數(shù)法，利用二次函數(shù)中恒成立問(wèn)題解決(3)一般地，可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上是增(或減)函數(shù)的充要條件是：對(duì)任意x(a，b)，都有f(x)0(或f(x)0)，且f(x)在(a，b)的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零特別是在已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍時(shí)，要注意“等號(hào)”是否可以取到解(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)(x22x)ex，f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)>0，即(x

16、22)ex>0，ex>0，x22>0，解得<x<.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，)(2)函數(shù)f(x)在(1,1)上單調(diào)遞增，f(x)0對(duì)x(1,1)都成立f(x)x2(a2)xaexx2(a2)xaex0對(duì)x(1,1)都成立ex>0，x2(a2)xa0對(duì)x(1,1)都成立，即x2(a2)xa0對(duì)x(1,1)恒成立設(shè)h(x)x2(a2)xa只須滿(mǎn)足，解得a.(3)若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，則f(x)0對(duì)xR都成立，即x2(a2)xaex0對(duì)xR都成立ex>0，x2(a2)xa0對(duì)xR都成立(a2)24a0，即a240，這是不可能的故函數(shù)f(x)不可

17、能在R上單調(diào)遞減若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，則f(x)0對(duì)xR都成立，即x2(a2)xaex0對(duì)xR都成立ex>0，x2(a2)xa0對(duì)xR都成立而x2(a2)xa0不可能恒成立，故函數(shù)f(x)不可能在R上單調(diào)遞增綜上可知函數(shù)f(x)不可能是R上的單調(diào)函數(shù)變式遷移1解(1)由題意得f(x)3x22(1a)xa(a2)，又，解得b0，a3或a1.(2)由f(x)0，得x1a，x2.又f(x)在(1,1)上不單調(diào)，即或解得或所以a的取值范圍為(5，)(，1)例2解題導(dǎo)引本題研究函數(shù)的極值問(wèn)題利用待定系數(shù)法，由極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0，以及極大值、極小值，建立方程組求解判斷函數(shù)極值時(shí)要注意導(dǎo)數(shù)為0

18、的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，所以求極值時(shí)一定要判斷導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)左側(cè)與右側(cè)的單調(diào)性，然后根據(jù)極值的定義判斷是極大值還是極小值解(1)由題意可知f(x)3ax2b.于是，解得故所求的函數(shù)解析式為f(x)x34x4.(2)由(1)可知f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0得x2或x2，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表所示：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增因此，當(dāng)x2時(shí)，f(x)有極大值，當(dāng)x2時(shí)，f(x)有極小值，所以函數(shù)的大致圖象如圖，故實(shí)數(shù)k的取值范圍為(，)變式遷移2解(1)f(x)2bx1，.解得a，b.(2)f(x)()1.

19、函數(shù)定義域?yàn)?0，)，列表x(0,1)1(1,2)2(2，)f(x)00f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減x1是f(x)的極小值點(diǎn)，x2是f(x)的極大值點(diǎn)例3解題導(dǎo)引設(shè)函數(shù)f(x)在a，b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步驟：(1)求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值(2)將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb，當(dāng)x1時(shí)，切線(xiàn)l的斜率為3，可得2ab0；當(dāng)x時(shí)，yf(x)有極值，則f0，可得4a3b40.由解得a2，b4，

20、又切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，f(1)4.1abc4.c5.(2)由(1)，得f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令f(x)0，得x2或x，f(x)<0的解集為，即為f(x)的減區(qū)間3，2)、是函數(shù)的增區(qū)間又f(3)8，f(2)13，f，f(1)4，yf(x)在3,1上的最大值為13，最小值為.變式遷移3解(1)由題意得f(x)3ax22xb.因此g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb.因?yàn)楹瘮?shù)g(x)是奇函數(shù)，所以g(x)g(x)，即對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)bax3(3a1)x2(b2)xb，從而3a10，b0，解得a，b0，因此

21、f(x)的表達(dá)式為f(x)x3x2.(2)由(1)知g(x)x32x，所以g(x)x22，令g(x)0，解得x1，x2，則當(dāng)x<或x>時(shí)，g(x)<0，從而g(x)在區(qū)間(，)，(，)上是減函數(shù)；當(dāng)<x<時(shí)，g(x)>0，從而g(x)在區(qū)間(，)上是增函數(shù)由前面討論知，g(x)在區(qū)間1,2上的最大值與最小值只能在x1，2時(shí)取得，而g(1)，g()，g(2).因此g(x)在區(qū)間1,2上的最大值為g()，最小值為g(2).課后練習(xí)區(qū)1C2.A3.A4.A5.B63解析f(x)()，又x1為函數(shù)的極值，f(1)0.12×1a0，即a3.7解析觀察函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象，由單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)值的關(guān)系直接判斷8(，3)(6，)解析f(x)3x22mxm60有兩個(gè)不等實(shí)根，則4m212×(m6)>0，m>6或m<3.9解f(x)()，由f(x)0得x2,1.(4分)當(dāng)x(，2)時(shí)f(x)<0，當(dāng)x(2,1)時(shí)f(x)>0，故x2是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故f(x)的極小值為f(2)；(8分)當(dāng)x(2,1)時(shí)f(x)>0，當(dāng)x(1，)時(shí)