高等數(shù)學(xué)課件：5-5 定積分在幾何上的應(yīng)用

1、回顧回顧 曲邊梯形求面積的問題曲邊梯形求面積的問題 badxxfA)(曲曲 邊邊 梯梯 形形 由由 連連 續(xù)續(xù) 曲曲 線線)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成。ab xyo)(xfy 5.5.1 建立定積分?jǐn)?shù)學(xué)模型的微元法建立定積分?jǐn)?shù)學(xué)模型的微元法5.5 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用面積表示為定積分的步驟如下面積表示為定積分的步驟如下（1）把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個(gè)個(gè)長長度度為為ix 的的小小區(qū)區(qū)間間，相相應(yīng)應(yīng)的的曲曲邊邊梯梯形形被被分分為為n個(gè)個(gè)小小窄窄曲曲邊邊梯梯形形， 第第i 小小窄窄曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積為為iA ，則則

2、 niiAA1.（2）計(jì)算）計(jì)算iA 的近似值的近似值iiixfA )( iix （3） 求和，得求和，得A的近似值的近似值.)(1iinixfA ab xyo)(xfy （4） 求極限，得求極限，得A的精確值的精確值iinixfA )(lim10 badxxf)(提示提示 若用若用A 表示任一小區(qū)間表示任一小區(qū)間,xxx 上的窄曲邊梯形的面積，上的窄曲邊梯形的面積，則則 AA，并取，并取dxxfA)( ，于是于是 dxxfA)( dxxfA)(lim.)( badxxfxdxx dA面積微元面積微元當(dāng)所求量當(dāng)所求量U符合下列條件：符合下列條件：（1）U是是與與一一個(gè)個(gè)變變量量x的的變變化化區(qū)

3、區(qū)間間 ba,有有關(guān)關(guān)的的量量；（2）U對對于于區(qū)區(qū)間間 ba,具具有有可可加加性性，就就是是說說，如如果果把把區(qū)區(qū)間間 ba,分分成成許許多多部部分分區(qū)區(qū)間間，則則U相相應(yīng)應(yīng)地地分分成成許許多多部部分分量量，而而U等等于于所所有有部部分分量量之之和和；（3）部分量）部分量iU 的近似值可表示為的近似值可表示為iixf )( ；就可以考慮用定積分來表達(dá)這個(gè)量就可以考慮用定積分來表達(dá)這個(gè)量U元素法的一般步驟：元素法的一般步驟：1）根根據(jù)據(jù)問問題題的的具具體體情情況況，選選取取一一個(gè)個(gè)變變量量例例如如x為為積積分分變變量量，并并確確定定它它的的變變化化區(qū)區(qū)間間,ba；2）設(shè)設(shè)想想把把區(qū)區(qū)間間,ba

4、分分成成n個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間，取取其其中中任任一一小小區(qū)區(qū)間間并并記記為為,dxxx ，求求出出相相應(yīng)應(yīng)于于這這小小區(qū)區(qū)間間的的部部分分量量U 的的近近似似值值.如如果果U 能能近近似似地地表表示示為為,ba上上的的一一個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在x處處的的值值)(xf與與dx的的乘乘積積，就就把把dxxf)(稱稱為為量量U的的元元素素且且記記作作dU，即即dxxfdU)( ；3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(為為被被積積表表達(dá)達(dá)式式，在在區(qū)區(qū)間間,ba上上作作定定積積分分，得得 badxxfU)(，即即為為所所求求量量U的的積積分分表表達(dá)達(dá)式式.這個(gè)方法通常叫做這個(gè)方法通常叫做微元法微

5、元法或者或者元素法元素法應(yīng)用方向應(yīng)用方向：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；功；水壓力；引力和平均值等功；水壓力；引力和平均值等dxxfdUSept)(:1 babadxxfdUUStep)(:2：微微元元法法的的過過程程可可表表示示為為,)(baxxQQ 待待求求的的量量化化整整為為零零積積零零為為整整 babadxxfdQQ)(得到所求量得到所求量dxxfdQQ)( 的的微微分分局局部部量量,dxxx 任任取取xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfA)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 b

6、adxxfxfA)()(12xxxx x 5.5.2 平面圖形的面積平面圖形的面積1、直角坐標(biāo)系情形、直角坐標(biāo)系情形 0)( xfy：之間的各部分面積和為之間的各部分面積和為直線直線的圖形及兩條的圖形及兩條軸、函數(shù)軸、函數(shù)介于介于bxaxxfx ,)( badxxfA)( xyo)(xfy )(xgy xxd xab平面圖形的面積平面圖形的面積 badxxgxfA)()(xyo)(xgy )(xfy abxx oxy平面圖形：平面圖形： 由有限條光滑曲線所圍成的平面封閉由有限條光滑曲線所圍成的平面封閉（一）邊界曲線用直角坐標(biāo)方程表示的情形（一）邊界曲線用直角坐標(biāo)方程表示的情形1：兩種曲邊梯形的

7、面積：兩種曲邊梯形的面積。 badxxfA)(X型曲邊梯形型曲邊梯形Y型曲邊梯形型曲邊梯形)(xfy oxycdA)(yx 。 dcdyyA)(abA區(qū)域。區(qū)域。aboxy)(xfy11 )(xfy22 AabAO xy)(xfy11 )(xfy22 xxx基本圖形（一）基本圖形（一）oxy)(xfy11 )(xfy22 baA共同特點(diǎn)：共同特點(diǎn)：；bxa 。)()(xfyxf21 軸軸的的內(nèi)內(nèi)每每一一條條平平行行于于 yba,一一點(diǎn)點(diǎn)。于于直直線線與與上上下下邊邊界界各各只只交交面積面積A。dxxfxfba )()( 12oxycd)(yx11 )(yx22 dyc A面積面積基本圖形（二）

8、基本圖形（二）cdoxy)(yx11 )(yx22 oxycd)(yx11 )(yx22 共同特點(diǎn)：共同特點(diǎn)：軸軸的的內(nèi)內(nèi)每每一一條條平平行行于于 xdc,于于直直線線與與左左右右邊邊界界各各只只交交。 dcdyyy)()(12一點(diǎn)。一點(diǎn)。)()(yxy21 如果平面圖形為：如果平面圖形為：,dyc ).()(yxy cd)(yx )(yx D dcdyyyA)()( )(yx )( yx cdydyy 20sinsinxdxxdx.,20,sin圍成的圖形的面積圍成的圖形的面積軸所軸所與與例：計(jì)算例：計(jì)算xxxy dxxA 20sin解解：面面積積411112cos0cos xxxyo 2例

9、例 1 1 計(jì)計(jì)算算由由兩兩條條拋拋物物線線xy 2和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn))1 , 1()0 , 0(面積元素面積元素dxxxdA)(2 選選 為積分變量為積分變量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx xyo2xy 2 xyD21 4AB12)322(d)2(32212 xxxxxx.22圖形的面積圖形的面積所圍成的所圍成的和直線和直線例：計(jì)算由曲線例：計(jì)算由曲線 xyxy解：解：).4 , 2(),1 , 1(BA 從而得圖中交點(diǎn)從而得圖中交點(diǎn) , 4, 2, 1, 12211yxyx得，得

10、，由方程組由方程組 , 22xyxy badxxgxfA)()(.293)1()1(22)1()322222(3232 例例 2 2 計(jì)計(jì)算算由由曲曲線線xxy63 和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解 兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy選選 為積分變量為積分變量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxdA)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdA)6(322 2xy xxy63 于是所求面積于是所求面積21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 說明：注意各積分區(qū)間上被積

11、函數(shù)的形式說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式問題：問題：積分變量只能選積分變量只能選 嗎？嗎？x解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).4 , 8(),2, 2( 422xyxy選選 為積分變量為積分變量y4, 2 ydyyydA 242 4224224dyyydAxy22 4 xy.422圖形的面積圖形的面積所圍成的所圍成的和直線和直線例：計(jì)算由曲線例：計(jì)算由曲線 xyxy dcdyyyA)()( .18 24)3242(32 yyy4 yx22yx 如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積.)()( dtttdxyAba（其其中中1

12、t和和2t對對應(yīng)應(yīng)曲曲線線起起點(diǎn)點(diǎn)與與終終點(diǎn)點(diǎn)的的參參數(shù)數(shù)值值） badxxfA)(abxy )()(tytx t t在在 , （或（或 , ）上）上)(tx 具有連續(xù)導(dǎo)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，數(shù)，)(ty 連續(xù)連續(xù). 例例 4 4 求橢圓求橢圓12222 byax的面積的面積.解解橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程 tbytaxsincos由對稱性知總面積等于由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積倍第一象限部分面積 adxyA04 02)cos(sin4 tadtbdttab 202sin4 .ab dtttab 02sinsin4 解法解法2橢圓的方程橢圓的方程由對稱性知總面積等于由對稱性知總面積等于4

13、倍第一象限部分面積倍第一象限部分面積 aydxA04.ab 22xaaby dxxaabSa2204 ,42022adxxaa adxxaab0224taxsin 令令 2022 cossin4 dttataaab 2022 cos4 dttaab例例6求星形線求星形線taytax33sincos )( 20t所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積。oxy1A解：解： 由對稱性知，所求面積由對稱性知，所求面積A是是 adxyAA0144，taxtay33 cos,sin tdttadxsincos23 。時(shí)，時(shí)，；時(shí)，時(shí)，且且020 taxtxtdttaA2024234 cossin 20642

14、12dttta)sin(sin264253124231122 a83 aa 第一象限內(nèi)面積第一象限內(nèi)面積A1的的4倍倍例例3.2,ln的面積的面積軸圍成的平面圖形軸圍成的平面圖形及及求曲線求曲線xxxy 21d0ln,2 , 1 ,:xxAxx則所求面積則所求面積為為的變化范圍的變化范圍為積分變量為積分變量若取若取如圖所示如圖所示解解,2ln, 0,的的變變化化范范圍圍為為為為積積分分變變量量若若取取yyoxyxyln 2 x12 2121dlnlnxxxx. 12ln2 2ln0e2y ln20d)e2(yyA所求面積所求面積; 12ln2 .)20 , 0(),cos1(),sin(:軸軸

15、所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積的的一一拱拱與與求求擺擺線線例例xtatayttax .d:20 axyA所所求求面面積積為為解解代入代入將將)cos1(),sin(tayttax oa 2a2xy分分法法并并應(yīng)應(yīng)用用定定積積分分的的換換元元積積上上述述積積分分式式, 20d)cos1()cos1(ttata得得時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)換限換限.2,2; 0,0, taxtx分分法法并并應(yīng)應(yīng)用用定定積積分分的的換換元元積積上上述述積積分分式式,.d20 axyA.32a 2022d)coscos21(tttaoa 2a2xy)sin( ttax 令令二、極坐標(biāo)系二、極坐標(biāo)系的關(guān)系：的關(guān)系：極坐標(biāo)系

16、與直角坐標(biāo)系極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系 xxyy o),( r),(yxM稱為稱為點(diǎn)點(diǎn) O.極點(diǎn)極點(diǎn)稱為稱為軸軸xO.極軸極軸r的距離，稱為的距離，稱為到原點(diǎn)到原點(diǎn)表示點(diǎn)表示點(diǎn)OM.極徑極徑 的夾角，稱為的夾角，稱為到到轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)表示極軸沿逆時(shí)針方向表示極軸沿逆時(shí)針方向MO.極角極角的坐標(biāo)表示式為：的坐標(biāo)表示式為：點(diǎn)點(diǎn)M).,( rM.sin,cos ryrx ，xyyxr tan,22).(軸上軸上不在不在 yMr 222222sincos , sin,cosarrayxryrx 圓的方程圓的方程222ayx xyo ,222ayax ,222aayx sin,cosryrx ,22 ,cos2 ar,

17、0,sin2 arxoy cos2ar yox sin2ar , ar 圓：圓： , ar 曲線方程：曲線方程：).( rr 設(shè)由曲線設(shè)由曲線)( r及射線及射線 、 圍成一曲邊扇圍成一曲邊扇形，求其面積這里，形，求其面積這里，)( 在在, 上連續(xù)，且上連續(xù)，且0)( xo d d 面積元素面積元素 ddA2)(21 曲邊扇形的面積曲邊扇形的面積.)(212 dA 二、極坐標(biāo)系情形二、極坐標(biāo)系情形)( r例例 5 5 求求雙雙紐紐線線 2cos22a 所所圍圍平平面面圖圖形形的的面面積積. 解解由對稱性知總面積由對稱性知總面積=4倍第倍第一象限部分面積一象限部分面積14AA daA2cos21

18、4402 .2a xy 2cos22a 1A解解:由對稱性知總面積由對稱性知總面積 A=4倍第一象限部分面積。倍第一象限部分面積。14AA da2cos214402 .2a 2cos22ar 1A1A o4 43 45 47 a.)(212 dA 求雙紐線求雙紐線例：例：.所圍平面圖形的面積所圍平面圖形的面積 2cos22ar 例例 6 6 求心形線求心形線)cos1( ar所圍平面圖形的所圍平面圖形的面積面積)0( a.解解 dadA22)cos1(21 利用對稱性知利用對稱性知.232a d d2)cos1 ( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a

19、 0.)(212 dA 例例7.20)0(圖圖形形面面積積的的一一段段弧弧與與極極軸軸圍圍成成的的到到從從相相應(yīng)應(yīng)與與上上計(jì)計(jì)算算阿阿基基米米德德螺螺線線 aar則則它它的的變變化化區(qū)區(qū)間間為為作作為為積積分分變變量量取取解解,2 , 0,: 202d)(21a dA2)(21 .3432322032 aa 2022d21a.cos3cos1:所所圍圍成成的的圖圖形形面面積積與與圓圓求求由由心心形形線線例例 rr .cos3,cos1,: rr解解方方程程組組求求兩兩條條曲曲線線的的交交點(diǎn)點(diǎn)解解o cos3 r cos1 r)3,23( A得所求面積得所求面積由圖形的對稱性由圖形的對稱性得兩條

20、曲線的交點(diǎn)為得兩條曲線的交點(diǎn)為,3,23,3,23 BA321cos 232302d)cos3(212d)cos1(212 A23302sin21292sin41cos223 .45 o cos3 r cos1 r)3,23( A 232302dcos292dcoscos21212 . 3),(, 0)(),(,)( 21SSbaxfbabaxf ，使，使內(nèi)存在唯一的點(diǎn)內(nèi)存在唯一的點(diǎn)證明在證明在內(nèi)內(nèi)連續(xù)，且在連續(xù)，且在在在例：如圖所示，設(shè)函數(shù)例：如圖所示，設(shè)函數(shù) xy)(xfy ab o1S2S xtfxfxxftftFbttad )()(3d )()()( 證證：設(shè)設(shè)t , 0d)()(3)

21、( xafxfaFba , 0d)()()( xxfbfbFba, 0)(,)()( xfbatFxf又又連續(xù)連續(xù)在在連續(xù)，連續(xù)，嚴(yán)格單調(diào)遞增，嚴(yán)格單調(diào)遞增，)(xf)()(afxf )()(xfbf ,3 , 0)(),(21SSFba 即即，使，使至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn)內(nèi)內(nèi)由零點(diǎn)定理，在由零點(diǎn)定理，在 存在性得證存在性得證xy)(xfy ab o1S2St )(d )(3d )()(tbtfxxfxxfattfbtta下面再證唯一性，下面再證唯一性， xtfxfxxftftFbttad )()(3d )()()( )()()(3 )()()()(tftbtftftftfattftF .

22、,)(是唯一的是唯一的知知嚴(yán)格單調(diào)遞增嚴(yán)格單調(diào)遞增 tF btatbattf , 0)(3)()(5.5.3 體積體積xoab1、平行截面面積為已知的立體的體積、平行截面面積為已知的立體的體積xdxx 如果一個(gè)立體介于垂直于如果一個(gè)立體介于垂直于x軸的兩個(gè)平面軸的兩個(gè)平面x=a,x=b之間，他在之間，他在x處（處（axb）被垂直于）被垂直于x軸的軸的平面所截的截面面積平面所截的截面面積A(x)是是x的已知的連續(xù)函數(shù)，的已知的連續(xù)函數(shù)，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來計(jì)算那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來計(jì)算.)(xA表表示示過過點(diǎn)點(diǎn)x且且垂垂直直于于x軸軸的的截截面面面面積積，)(xA為為x

23、的的已已知知連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù),)(dxxAdV .)( badxxAV立體體積立體體積 babasdxxBdxxAsxBxA21)()()()(abA(x)B(x)x祖暅原理：緣冪勢相同，則積不容異祖暅原理：緣冪勢相同，則積不容異祖沖之祖沖之例例 1 1 一平面經(jīng)過半徑為一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心，的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角并與底面交成角 ，計(jì)算這平面截圓柱體所得立體，計(jì)算這平面截圓柱體所得立體的體積的體積. 解解取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為222Ryx 垂直于垂直于x軸的截面為直角三角形軸的截面為直角三角形截面面積截面面積,tan)(2122 xR 立體體積

24、立體體積dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R xxRRd tan)(221220 RR xyo x),(yxP QMPQMPxA 21)( tan21yy tan212222xRxR 例例 2 2 求求以以半半徑徑為為R的的圓圓為為底底、平平行行且且等等于于底底圓圓直直徑徑的的線線段段為為頂頂、高高為為h的的正正劈劈錐錐體體的的體體積積. 解解取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為,222Ryx xyoRx垂直于垂直于x軸的截面為等腰三角形軸的截面為等腰三角形截面面積截面面積22)(xRhyhxA 立體體積立體體積dxxRhVRR 22.212hR dxxRhR 022

25、2tRxsin 令令 旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺圓臺2、旋轉(zhuǎn)體的體積、旋轉(zhuǎn)體的體積一一般般地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy 、直直線線ax 、bx 及及x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為多多少少？取取積積分分變變量量為為x，,bax 在在,ba上任取小區(qū)上任取小區(qū)間間,dxxx ，取取以以dx為為底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的薄薄片片的

26、的體體積積為為體體積積元元素素，dxxfdV2)( xdxx xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為dxxfVba2)( )(xfy Oxyx)(xfy abbxaxxfy ，由由)(軸軸圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞和和x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)x體體體體積積。處處旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體橫橫截截面面在在x)()(xfyxA22 體體積積微微元元為為dxxfdV)(2 dxx 旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積為為 badxxfV)(2的的面面積積為為y例例 3 3 連連接接坐坐標(biāo)標(biāo)原原點(diǎn)點(diǎn)O及及點(diǎn)點(diǎn)),(rhP的的直直線線、直直線線hx 及及x軸軸圍圍成成一一個(gè)個(gè)直直角角三三角角形形將將它它繞繞

27、x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成一一個(gè)個(gè)底底半半徑徑為為 r、 高高為為 h的的圓圓錐錐體體，計(jì)計(jì)算算圓圓錐錐體體的的體體積積 r解解hPxhry 取取積積分分變變量量為為x，, 0hx 在在, 0h上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間,dxxx ，xo直線直線 方程為方程為OP以以dx為為底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的薄薄片片的的體體積積為為dxxhrdV2 圓圓錐錐體體的的體體積積dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxoa aoyx例例 4 4 求求星星形形線線323232ayx )0( a繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積. 解解,323232

28、xay 332322 xay,aax 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積dxxaVaa33232 .105323a taytax33sincos 類類似似地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(yx 、直直線線cy 、dy 及及y軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為xyo)(yx cddyy2)( dcVxyo)(yx cddyy2)( dcV軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，yydycy 軸所圍成的曲邊梯形繞軸所圍成的曲邊梯形繞及及、直線直線 則其體積為則其體積為 . ),0( ,222的體積的體積軸旋轉(zhuǎn)一周產(chǎn)生的環(huán)體

29、軸旋轉(zhuǎn)一周產(chǎn)生的環(huán)體繞繞例：求曲線例：求曲線xbaabyx xya a22xaby 22xaby 222221)(, )(,xabyxfxabyxf ：下半圓的方程下半圓的方程：解：上半圓的方程解：上半圓的方程 aaaaxxfxxfVd)(d)(2221 aaxxabd222 aaxxabxabd222222 aaxxabd222 aaxxabxabd222222 aaxxabd422 axxab022d8 taxsin 令令 2022d cos8 ttab 2022d cos8 ttba. 22218222baba xya a22xaby 22xaby . ,ln體積體積旋轉(zhuǎn)一周產(chǎn)生的立體的

30、旋轉(zhuǎn)一周產(chǎn)生的立體的軸圍成的圖形繞軸圍成的圖形繞例：求例：求exxexxy xyln ex )1 ,(exyoydyex d,yyyy 間間為積分變量，任取小區(qū)為積分變量，任取小區(qū)解：取解：取 102dyeeVy 1022d2yeeeeyy 0121222 yyeeeye 212122222eeee 212122ee 例例9.)1 , 0(2222軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積圖形繞圖形繞的的包含點(diǎn)包含點(diǎn)圍成圍成與與求由曲線求由曲線xxyyx ),1 , 1()1 , 1( , 2,:222 及及得得交交點(diǎn)點(diǎn)解解方方程程組組如如右右圖圖所所示示解解xyyx即即體體積積的的差差體體軸軸旋旋

31、轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的兩兩個(gè)個(gè)旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞為為曲曲邊邊的的兩兩個(gè)個(gè)曲曲邊邊梯梯形形,x22,2xyxy 拋物線拋物線上的圓弧上的圓弧分分別別以以底底邊邊為為底底邊邊上上的的區(qū)區(qū)間間,1 , 1 軸軸可可以以看看作作以以該該旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積xV21), 1( )1 , 1(o22xy xy 1122112121ddxyxyVVV 114112d)d-2(xxxx .1544 11221122dd-2xxxx 01520132)11(253 xx 21), 1( )1 , 1(o22xy xy 求求曲曲線線4 xy，1 y，0 x所所圍圍成成的的圖圖形形繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的

32、體體積積.例：例：xyo 14yxy交點(diǎn)交點(diǎn)),1 , 4(立體體積立體體積dyxVy 12dyy 1216 116y.16 1 y解：解：例例8.12222的體積的體積旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)橢球體旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)橢球體軸軸圍成的圖形繞圍成的圖形繞求由橢圓求由橢圓ybyax .:22軸旋轉(zhuǎn)而成的軸旋轉(zhuǎn)而成的軸圍成的圖形繞軸圍成的圖形繞及及可看作右半橢圓可看作右半橢圓如右圖所示如右圖所示解解yyybbax yxoba bbyyybbaVd222 .)(343 球體積球體積aVba .342ba byybba02222)d(2 解解繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積dxxyVax)(220 2022

33、)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a )(xy繞繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積可可看看作作平平面面圖圖OABC與與OBC分分別別繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積之之差差.dyyxVay)(2202 dyyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a )cos1(),sin(tayttax 補(bǔ)充補(bǔ)充 如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線)(xfy

34、 、直線直線ax 、bx 及及x軸所圍成的曲邊梯形繞軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為dxxfxVbay| )(|2 dxx xyox)(xfy xydxoxy2a)cos(),sin(tayttax 1.,0,sin體體積積旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周產(chǎn)產(chǎn)生生的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體軸軸圍圍成成的的平平面面圖圖形形繞繞軸軸所所與與例例：計(jì)計(jì)算算yxxxy xyo dxxxdxxfxVy|sin|2| )(|200 解：解： .2sin220 x xdxdxxxcos2sin200 dxxxx 00coscos2補(bǔ)充補(bǔ)充 如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線)(

35、xfy 、直線直線ax 、bx 及及x軸所圍成的曲邊梯形繞軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為dxxfxVbay| )(|2 利用這個(gè)公式，可知上例中利用這個(gè)公式，可知上例中dxxfxVay| )(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx )cos1(),sin(tayttax 例例8.12222的體積的體積旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)橢球體旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)橢球體軸軸圍成的圖形繞圍成的圖形繞求由橢圓求由橢圓ybyax .:22軸旋轉(zhuǎn)而成的

36、軸旋轉(zhuǎn)而成的軸圍成的圖形繞軸圍成的圖形繞及及可看作右半橢圓可看作右半橢圓如右圖所示如右圖所示解解yyybbax yxoba bbyyybbaVd222 .)(343 球體積球體積aVba .342ba bbyybba)d(22222 例例 6 6 求由曲線求由曲線24xy 及及0 y所圍成的圖形所圍成的圖形繞直線繞直線3 x旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積. 解解取取積積分分變變量量為為y,4 , 0 y體積元素為體積元素為dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQM解解:取取積積分分變變量量為為y,4 , 0 y體積元素

37、為體積元素為dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412。 64 oxy繞直線繞直線3 x旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積。旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積。3 xPMQ4dyxoy0MA nMB 1M2M1 nM設(shè)設(shè)A、B是是曲曲線線弧弧上上的的兩兩個(gè)個(gè)端端點(diǎn)點(diǎn)，在在弧弧上上插插入入分分點(diǎn)點(diǎn)BMMMMMAnni ,110并依次連接相鄰分點(diǎn)得一內(nèi)接折線，當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目并依次連接相鄰分點(diǎn)得一內(nèi)接折線，當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目無限增加且每個(gè)小弧段都縮向一點(diǎn)時(shí)，無限增加且每個(gè)小弧段都縮向一點(diǎn)時(shí)，此折線的長此折線的長|11 niiiMM的極限存在，則稱此極限為的極限存在，則稱此極限為曲線

38、弧曲線弧AB的弧長的弧長.5.5.4 平面曲線弧長平面曲線弧長定理：光滑曲線弧是可求長的定理：光滑曲線弧是可求長的 設(shè)設(shè)曲曲線線弧弧為為)(xfy )(bxa ，其其中中)(xf在在,ba上上有有一一階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xoyabxdxx 取取積積分分變變量量為為x，在在,ba上上任任取取小小區(qū)區(qū)間間,dxxx ，以對應(yīng)小切線段的長代替小弧段的長以對應(yīng)小切線段的長代替小弧段的長 dy小小切切線線段段的的長長22)()(dydx dxy21 弧長元素弧長元素dxyds21 弧長弧長.12dxysba 1、直角坐標(biāo)情形、直角坐標(biāo)情形. dd12dxxysba 解解,233221123xxy dxx

39、ds2)(121 ,1dxx 所求弧長為所求弧長為dxxsba 1.)1()1(322323ab ab.32:123弧的長度弧的長度的一段的一段到到從從上相應(yīng)于上相應(yīng)于計(jì)算曲線計(jì)算曲線例例baxxy . dd12dxxysba 解解所求弧長為所求弧長為dxxxe 2121 . 4144121422 ee1e.,1 ,ln2141 2這這一一段段的的長長例例：計(jì)計(jì)算算曲曲線線exxxy xxxy212dd . dd112dxxyse . 212 21211212dxxxdxxxee 1ln21412exx 例例 2 2 計(jì)算曲線計(jì)算曲線 dnynx 0sin的弧長的弧長)0( nx. 解解nnx

40、ny1sin ,sinnx dxysba 21dxnxn 0sin1ntx ndtt 0sin1dtttttn 0222cos2sin22cos2sindtttn 02cos2sin.4n 曲線弧為曲線弧為,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧長弧長.)()(22dttts 2、參數(shù)方程情形、參數(shù)方程情形 .)()(22dttytxs 例例 3 3 求求星星形形線線323232ayx )0( a的的全全長長.解解 星形線的參數(shù)方程為星形線的參數(shù)方程為 taytax33

41、sincos)20( t根據(jù)對稱性根據(jù)對稱性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a a aoyx例例 4 4 證證明明正正弦弦線線xaysin )20( x的的弧弧長長等等于于橢橢圓圓 taytxsin1cos2 )20( t的的周周長長.證證設(shè)正弦線的弧長等于設(shè)正弦線的弧長等于1sdxys 20211dxxa 2022cos1設(shè)橢圓的周長為設(shè)橢圓的周長為2s,cos12022dxxa ,20222dtyxs 根據(jù)橢圓的對稱性知根據(jù)橢圓的對稱性知 dttats 02222cos1sin2dxxa 022cos12,1s 故原結(jié)論成立故原結(jié)論成立.dtta 022c

42、os12。符符合合精精度度要要求求的的近近似似值值可可用用近近似似計(jì)計(jì)算算方方法法求求其其（橢橢圓圓積積分分）屬屬于于積積不不出出來來的的定定積積分分但但是是橢橢圓圓的的周周長長所所圍圍圖圖形形的的面面積積我我們們知知道道，由由橢橢圓圓),(sin1cossin.sin,cos222022202222bbakbadttkbdttbtasabAtbytax dtttsba 2022cos9sin164, 3, 4 例例如如，曲線弧為曲線弧為)( )( rr 其中其中)( 在在, 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù). sin)(cos)(ryrx)( 22)()(dydxds ,)()(22 drr 弧

43、長弧長.)()(22 drrs 3、極坐標(biāo)情形、極坐標(biāo)情形 .)()(22 drrs 例例 5 5 求求極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下曲曲線線33sin ar的的長長. .)0( a解解 drrs )()(22313cos3sin32 ar,3cos3sin2 a.23a daa242623cos3sin3sin 30 d23sin 30a 0()3 例例 6 6 求求阿阿基基米米德德螺螺線線 ar )0( a上上相相應(yīng)應(yīng)于于 從從0到到 2的的弧弧長長.解解,ar drrs )()(22 .)412ln(412222 a 20 daa222 20a d12 5.5.5*旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積一一

44、般般地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy 、直直線線ax 、bx 及及x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，其其側(cè)側(cè)面面積積為為多多少少？ xyoxdxx dxxfxfdydxxfdsxfdA222)(1)(2)()()(2)(2 badxxfxfA2)(1)(2 小小 結(jié)結(jié)求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程形式求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程形式下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積.（注意恰當(dāng)?shù)模ㄗ⒁馇‘?dāng)?shù)倪x擇積分變量選擇積分變量有助于簡化有助于簡化積分運(yùn)算）積分運(yùn)算）旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積平行截面面積為已知的立

45、體的體積平行截面面積為已知的立體的體積 繞繞 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周x繞繞 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周y繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周平面曲線弧長的概念平面曲線弧長的概念直角坐標(biāo)系下直角坐標(biāo)系下參數(shù)方程情形下參數(shù)方程情形下極坐標(biāo)系下極坐標(biāo)系下弧微分的概念弧微分的概念求弧長的公式求弧長的公式 思考題思考題2 求求曲曲線線4 xy，1 y，0 x所所圍圍成成的的圖圖形形繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積.思考題解答思考題解答xyo 14yxy交點(diǎn)交點(diǎn)),1 , 4(立體體積立體體積dyxVy 12dyy 1216 116y.16 1 y思考題思考題3 閉區(qū)間閉區(qū)間,ba上的連續(xù)曲線上的連續(xù)曲線)(xfy 是否一定可求長？是否一定可求長？思考題解答思考題解答不一定僅僅有曲線連續(xù)還不夠，必須保證不一定僅僅有曲線連續(xù)還不夠，必須保證曲線光滑才可求長曲線光滑才可求長一、一、 填空題：填空題：1 1、 連續(xù)曲線連續(xù)曲線,)(xfy 直線直線ax ，bx 軸軸及及 x所所圍圖形圍圖形軸軸繞繞 x旋 轉(zhuǎn) 一周 而成的 立體的