多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用偏導(dǎo),微分,切平面,極值ppt課件

1、東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)及其運用及其運用習(xí)題課習(xí)題課東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu1. 微分定義:),(yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2. 重要關(guān)系重要關(guān)系:)( o函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)延續(xù)函數(shù)延續(xù)函數(shù)延續(xù)方導(dǎo)方導(dǎo)游數(shù)游數(shù)存在存在內(nèi)容小結(jié)：內(nèi)容小結(jié)：東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu3. 隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理4. 隱函數(shù)隱函數(shù) ( 組組) 求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法方法方法1. 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么直接計利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么直接計算算 ;方法方法2. 代

2、公式代公式 00),(yFyxF 00),(zFzyxF，zyzxFFyzFFxz，且且 yxFFxyxy）且）且（dd ），（yxzz 東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu5. 方導(dǎo)游數(shù)方導(dǎo)游數(shù) 三元函數(shù) ),(zyxf在點),(zyxP沿方向 l (方向角),為的方導(dǎo)游數(shù)為coscoscoszfyfxflf 二元函數(shù) ),(yxf在點),(yxP),的方導(dǎo)游數(shù)為coscosyfxflf沿方向 l (方向角為yfxfcossin東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu6. 梯度梯度 三元函數(shù) ),(zyxf在點),(zyxP處的梯度為zfyfxff,grad 二元函數(shù) ),(yxf在點),(yxP處

3、的梯度為),(, ),(gradyxfyxffyx 函數(shù)在某點處方導(dǎo)游數(shù)的最大，最小值問題 東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu1. 空間曲線的切線與法平面 切線方程 000zzyyxx法平面方程)(00 xxt1) 參數(shù)式情況.)()()(:tztytx空間光滑曲線切向量)(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt)(, )(, )(000tttT7.幾何運用：東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu空間光滑曲面空間光滑曲面0),(:zyxF曲面曲面 在點在點法線方程法線方程),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)( ),()( ),(0

4、0000000yyzyxFxxzyxFyx1) 隱式情況隱式情況 .的法向量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx2 2. . 曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu空間光滑曲面空間光滑曲面),(:yxfz )( ),()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平面方程法線方程法線方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法向量法向量) 1 ,(yxffn 2) 2) 顯式情況：顯式情況：. .東南大學(xué)東南大學(xué)h

5、echuanfu1.1.在幾何中的運用在幾何中的運用求曲線在切線及法平面求曲線在切線及法平面 (關(guān)鍵關(guān)鍵: 抓住切向量抓住切向量) 求曲面的切平面及法線求曲面的切平面及法線 (關(guān)鍵關(guān)鍵: 抓住法向量抓住法向量) 2. 極值與最值問題極值與最值問題 極值的必要條件與充分條件 求條件極值的方法 (消元法, 拉格朗日乘數(shù)法) 求解最值問題(求區(qū)域內(nèi)部的駐點和邊境上能夠的極值點)多元函數(shù)微分法的運用多元函數(shù)微分法的運用東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu:),(),(. 1處處可可微微的的方方法法是是在在證證明明yxyxf存存在在偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)yxffA,)(0)(,0, 0)( yfxfzyxByx時時

6、當(dāng)當(dāng)0)()()(,0, 0)(22 yxyfxfzyxCyx時時當(dāng)當(dāng)否否則則不不可可微微連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),)(yxffD東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu處處不不連連續(xù)續(xù)，則則在在若若),(),(. 200yxyxf必必不不存存在在),().(lim),(),(00yxfAyxyx必必不不存存在在),().(00yxfB必必不不可可微微在在),(),().(00yxyxfC必必不不存存在在),(,),().(0000yxfyxfDyx東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu處處的的二二個個偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在),(),(. 300yxyxf存存在在),().(),(),(00yxfAlimyxyx

7、的的任任何何方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)存存在在),().(yxfC連連續(xù)續(xù)),().(yxfB以以上上結(jié)結(jié)論論都都不不成成立立).(D則則在在該該點點處處：都都存存在在,),(),(0000yxfyxfyx東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu4.東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu5.東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu6.東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu，）（）（，（，（）（），（，（）（設(shè)設(shè)）（ 00000.122,x,y,x,yyxyxx,yf）（），），（求求0000,f,fyx7.7.求以下函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：求以下函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：dzzzxyzyxx，求，求）（）（24.2，設(shè)設(shè)）（zyeyxz.3yx

8、zyzxz 2，求求東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu）（可微，則可微，則），），（設(shè)設(shè)dzfyxfz23. 9yxzfxyyxfz 228.求求具有二階連續(xù)偏導(dǎo)，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)，），），（設(shè)設(shè)東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu10.11.東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu確定，確定，由由，設(shè)設(shè)012.22xyzzyxzyzefx），（求求110 xf）（ 1東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu222,xzyxz 確確定定。）由由方方程程，（函函數(shù)數(shù)1013.32xzyzyxzz,yzxz ，求求東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu，利利用用變變換換ayxvayxu ,. 41022222 xz

9、ayz變變換換方方程程的函數(shù)的函數(shù)只是只是證明：函數(shù)證明：函數(shù)byaxyxfz ),(. 51yzaxzb 的的充充要要條條件件是是東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu）處的切線）處的切線，在（，在（求曲線求曲線71,2,1216.222 xyxz東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu17.東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu切線和法平面方程。切線和法平面方程。）處的）處的在（在（求曲線求曲線3,2,181418.32222 zyxzyx東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu19.東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu20.東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu）處沿錐面）處沿錐

10、面（在點在點求函數(shù)求函數(shù)3,4,521.Mxyzu。的的法法線線方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)22yxz東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu23422.yxz求求上上的的最最值值。在在圓圓域域122 yx2223.yxz求求上上的的最最值值。）（）在在圓圓域域（92222 yx），最最小小值值為為（最最大大值值為為025東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu，、別別為為、設(shè)設(shè)三三角角形形的的三三邊邊長長分分32124到到，試試求求該該三三角角形形內(nèi)內(nèi)一一點點面面積積為為3值值。三三邊邊距距離離之之乘乘積積的的最最大大32133232S3232 且且提提示示：abczyxzyxxyzu東南大學(xué)東南大學(xué)h

11、echuanfu）的的所所有有平平面面中中，、，、經(jīng)經(jīng)過過（311225），（136cba面面所所圍圍成成的的哪哪一一個個平平面面與與三三個個坐坐標(biāo)標(biāo)立立體體的的體體積積最最小小。東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu形形中中面面積積最最大大者者、求求內(nèi)內(nèi)接接于于定定圓圓的的三三角角26所所為為成成與與平平面面、在在圓圓錐錐面面32722zyxz）（32 坐坐標(biāo)標(biāo)面面的的長長方方體體，于于的的錐錐體體內(nèi)內(nèi)作作出出底底面面平平行行xoy大大值值。求求此此長長方方體體的的體體積積的的最最）（8V東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu，、求求內(nèi)內(nèi)接接于于橢橢圓圓1232822yx大大的的其其底底邊邊平平行行

12、于于長長軸軸的的最最等等腰腰三三角角形形的的面面積積，（不不合合題題意意，舍舍去去） 1320yxyx東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu121229.222和和求求兩兩曲曲面面zyxyx。的交線距原點最近的點的交線距原點最近的點的的長長半半軸軸和和短短半半軸軸求求中中心心在在原原點點的的橢橢圓圓184530.22yxyx），短短半半軸軸（長長半半軸軸31b21a東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu），（證證明明不不等等式式010ln31. yxxyxxxey 。上有最小值上有最小值，）（）在區(qū)域）在區(qū)域（只須證明函數(shù)只須證明函數(shù)，）（令令證：證：001ln yxx,yDx,yfxyxxxex,yfy東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu東南大學(xué)東南大學(xué)hechuanfu東南大學(xué)東南大學(xué)h