偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用ppt課件

1、小結(jié)小結(jié) 思索題思索題 作業(yè)作業(yè) 空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面曲面的切平面與法線(xiàn)曲面的切平面與法線(xiàn)第九節(jié)第九節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用運(yùn)用第八章第八章 多元函數(shù)微分法及其運(yùn)用多元函數(shù)微分法及其運(yùn)用一、空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面一、空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面 1. 空間曲線(xiàn)的方程為參數(shù)方程設(shè)空間曲線(xiàn)的方程設(shè)空間曲線(xiàn)的方程( )( )( )( ) ,rr tt it jt kt物理意義:( )r t表示物體的即時(shí)速度.幾何意義:( )r t表示曲線(xiàn)的切向量.偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用設(shè)空間曲線(xiàn)的方程設(shè)空間曲線(xiàn)的方程)1()()()( tzztyytxx(1)式中

2、的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo)式中的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo).M.),(0000tttzzyyxxM 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于;),(0000ttzyxM 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于設(shè)設(shè)M Oxyz闡明幾何意義偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用調(diào)查割線(xiàn)趨近于極限位置調(diào)查割線(xiàn)趨近于極限位置 xxx0t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t MM 割線(xiàn)割線(xiàn) 的方程為的方程為MM ,000zzzyyyxxx yyy0zzz 0切線(xiàn)的過(guò)程切線(xiàn)的過(guò)程O(píng)xyz偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用,0,時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng) tMM曲線(xiàn)在曲線(xiàn)在M處的切線(xiàn)方程處的切線(xiàn)方程)()()(000000tzzztyyytxxx 切向量切向量法平面法平面0)()

3、()(000000 zztzyytyxxtx切線(xiàn)的方向向量稱(chēng)為曲線(xiàn)的切向量切線(xiàn)的方向向量稱(chēng)為曲線(xiàn)的切向量.過(guò)過(guò)M點(diǎn)且與切線(xiàn)垂直的平面點(diǎn)且與切線(xiàn)垂直的平面.MM Oxyz000(),(),()Txtytzt偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用設(shè)曲線(xiàn)直角坐標(biāo)方程為設(shè)曲線(xiàn)直角坐標(biāo)方程為,)()(100000 xzzzxyyyxx . 0)()()(100000 zzxzyyxyxx法平面方程為法平面方程為2. 空間曲線(xiàn)的方程為空間曲線(xiàn)的方程為曲線(xiàn)的參數(shù)方程是曲線(xiàn)的參數(shù)方程是由前面得到的結(jié)果由前面得到的結(jié)果,在在M(x0, y0, z0)處處,令令)(),(xzzxyy )()(xzzxyyxx切

4、線(xiàn)方程為切線(xiàn)方程為x為參數(shù)為參數(shù),兩個(gè)柱面兩個(gè)柱面的交線(xiàn)的交線(xiàn))()()(000000tzzztyyytxxx 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用.0處的切線(xiàn)與法平面方程處的切線(xiàn)與法平面方程在在 t: 求曲線(xiàn)求曲線(xiàn) ttuezttyuuex301cossin2dcos解解2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty tez33 , 1)0( x, 2)0( y3)0( z切線(xiàn)方程切線(xiàn)方程322110 zyx法平面方程法平面方程0)2(3)1(2 zyx0832 zyx)()()(000000tzzztyyytxxx 0)()()(000000 zztzyytyxxtx例

5、例1即即,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) t偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用例例2 在拋物柱面在拋物柱面 與與 的交線(xiàn)上的交線(xiàn)上, 求對(duì)應(yīng)求對(duì)應(yīng) 的點(diǎn)處的切向量的點(diǎn)處的切向量.x為參數(shù)為參數(shù),于是于是 , 1 x,12xy xz24 212xz 26xy 21 x解解 22126xzxyxx所以交線(xiàn)上與所以交線(xiàn)上與21 x對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切向量為對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切向量為: T1, 6,12.交線(xiàn)的參數(shù)方程為交線(xiàn)的參數(shù)方程為取取偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用設(shè)空間曲線(xiàn)方程為設(shè)空間曲線(xiàn)方程為,0),(0),( zyxGzyxF3.空間曲線(xiàn)的方程為空間曲線(xiàn)的方程為確定了隱函數(shù)確定了隱函數(shù)(此曲線(xiàn)方程仍可用方程組此曲線(xiàn)

6、方程仍可用方程組 兩邊分別對(duì).)()( xzzxyy )()(xzzxyyxx,0)(),(,(0)(),(,( xzxyxGxzxyxF表示表示.)x求全導(dǎo)數(shù)求全導(dǎo)數(shù):兩個(gè)曲面兩個(gè)曲面的交線(xiàn)的交線(xiàn)偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用 xydd 利用利用2.結(jié)果結(jié)果, 0dddd xzGxyGGzyxzyzyGGFFxzxzGGFFzyzyGGFFyxyxGGFF)()(100000 xzzzxyyyxx 兩邊分別對(duì),0)(),(,(0)(),(,( xzxyxGxzxyxFx求全導(dǎo)數(shù)求全導(dǎo)數(shù) 0dddd xzFxyFFzyx)()(100000 xzzzxyyyxx ddzx偏導(dǎo)數(shù)在幾何

7、上的運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用. 0)()()(000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy法平面方程為法平面方程為,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 切線(xiàn)方程為切線(xiàn)方程為,0),(0),( zyxGzyxF在點(diǎn)在點(diǎn) M(x0, y0, z0)處的處的偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用解解的的在在點(diǎn)點(diǎn)求求曲曲線(xiàn)線(xiàn))2 , 3, 1(80222222Pzyxzyx 例例3 切線(xiàn)方程和法平面方程.法一法一 直接用公式;8),(222 zyxzyxF令令222),(zyxzyxG ,2xFx ,2yFy ;2zFz ,2xGx

8、 ,2yGy .2zGz 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用. 0)()()(000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy法平面方程法平面方程,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 切線(xiàn)方程切線(xiàn)方程偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用切線(xiàn)方程切線(xiàn)方程 1x0dd2dd22 xzzxyyx33dd0 Pxy0dd0 Pxz 法二法二 將所給方程的兩邊對(duì)x求導(dǎo)的的在在點(diǎn)點(diǎn)求求曲曲線(xiàn)線(xiàn))2 , 3, 1(80222222Pzyxzyx 切線(xiàn)方程和法平面方程.法平面方程法平面方程0)2(0)3(33)1(1 zyx. 0633

9、 yx xzzxyyxdd2dd22 3 y2 z133 0偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用設(shè)曲線(xiàn)設(shè)曲線(xiàn))(),(),(tzztyytxx 證證)()(txXtx 因原點(diǎn))0 , 0 , 0(0)()()()()()( tztztytytxtx即即0 于是于是 )()()(222tztytx證明此曲線(xiàn)必在以原點(diǎn)為證明此曲線(xiàn)必在以原點(diǎn)為的法平面都過(guò)原點(diǎn)的法平面都過(guò)原點(diǎn),在任一點(diǎn)在任一點(diǎn)中心的某球面上中心的某球面上.曲線(xiàn)過(guò)該點(diǎn)的法平面方程為曲線(xiàn)過(guò)該點(diǎn)的法平面方程為),(),(),(tztytx故有故有)()(tyYty )()(tzZtz 0 C)()()(222tztytx 在法平面上,

10、任取曲線(xiàn)上一點(diǎn)任取曲線(xiàn)上一點(diǎn)0)()()(000000 zztzyytyxxtx偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用二、曲面的切平面與法線(xiàn)二、曲面的切平面與法線(xiàn)回想二元函數(shù)的部分線(xiàn)性化:設(shè)函數(shù)00( , )(,),f x yxy在點(diǎn)可微00000000,( , )(,)(,)(,)xyf x yf xyfxyxxfxyyy則表示一個(gè)平面進(jìn)一步調(diào)查曲面( , )zf x y與平面00000000(,)(,)(,)xyzf xyfxyxxfxyyy的關(guān)系.偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用引見(jiàn)用間隔來(lái)定義曲線(xiàn)的切線(xiàn)的概念.從而引出用間隔來(lái)定義的切平面的概念.本人看書(shū).偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用

11、偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用yxzO 0),( zyxF 今在曲面今在曲面上任取一條上任取一條1. 設(shè)曲面設(shè)曲面的方程為的方程為0),( zyxF的情形的情形隱式方程隱式方程),(000zyxM ,),(000 zyxM 函數(shù)函數(shù)),(zyxF的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)延續(xù)且不同的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)延續(xù)且不同 時(shí)為零時(shí)為零. ,0tt )(),(),(000tztytx 且且點(diǎn)點(diǎn)M 對(duì)應(yīng)于參數(shù)對(duì)應(yīng)于參數(shù) 不全為零不全為零.過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M 的曲線(xiàn)的曲線(xiàn),設(shè)其參數(shù)設(shè)其參數(shù)方程為方程為),(),(),(tzztyytxx 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用000 ( ),( ),( ),Tx ty tz tyxzO 0),

12、( zyxF),(000zyxM T 由于曲線(xiàn)由于曲線(xiàn)在曲面在曲面上上, 所以所以, 0)(),(),( tztytxF 在恒等式兩端對(duì)在恒等式兩端對(duì)t 求全導(dǎo)數(shù)求全導(dǎo)數(shù), 并令并令,0tt 那么那么得得 )(),(0000txzyxFx 假設(shè)記向假設(shè)記向量量000000000 ( , , ), ( , , ), ( , , ),xyznF x y z F x y z F x y z 曲線(xiàn)曲線(xiàn)在點(diǎn)在點(diǎn)M處切線(xiàn)的方向向量記為處切線(xiàn)的方向向量記為 那么那么式可改寫(xiě)式可改寫(xiě)成成, 0 Tn即向量即向量 Tn與與垂直垂直. . 0)(),()(),(00000000 tzzyxFtyzyxFzyn偏導(dǎo)

13、數(shù)在幾何上的運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用 由于曲線(xiàn)由于曲線(xiàn)是曲面是曲面上過(guò)點(diǎn)上過(guò)點(diǎn)M的恣意一條的恣意一條曲線(xiàn)曲線(xiàn),一切這些曲線(xiàn)在點(diǎn)一切這些曲線(xiàn)在點(diǎn)M的切線(xiàn)都與同一向量的切線(xiàn)都與同一向量垂直垂直, 因此這些切線(xiàn)必共面因此這些切線(xiàn)必共面,稱(chēng)為曲面稱(chēng)為曲面在點(diǎn)在點(diǎn)M的的nyxzO 0),( zyxF),(000zyxM n過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M且垂直于切且垂直于切法線(xiàn)法線(xiàn), ,又是法線(xiàn)的方向向量又是法線(xiàn)的方向向量.向量向量n稱(chēng)為曲稱(chēng)為曲法向量法向量. .切平面切平面,由切線(xiàn)構(gòu)成的這一由切線(xiàn)構(gòu)成的這一平面平面,平面的直線(xiàn)稱(chēng)為曲面平面的直線(xiàn)稱(chēng)為曲面在在點(diǎn)點(diǎn)M的的面面在點(diǎn)在點(diǎn)M的的n偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)

14、用000000000 ( , , ),( , , ),( , , )xyznF x y zF x y zF x y z曲面在曲面在M(x0, y0 , z0)處的法向量處的法向量:切平面方程為切平面方程為0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法線(xiàn)方程為法線(xiàn)方程為),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 所以曲面所以曲面上在點(diǎn)上在點(diǎn)M的的偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用例4. 證明曲面(,)0f xaz ybz上恣意一點(diǎn)處的切平面都與直線(xiàn)xyzab平行,其中f具有延續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且, a b為

15、常數(shù).偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用2. 曲面方程形為曲面方程形為 的情形的情形),(yxfz 曲面在曲面在M處的切平面方程為處的切平面方程為, 0)()(,()(,(0000000 zzyyyxfxxyxfyx曲面在曲面在M處的法線(xiàn)方程為處的法線(xiàn)方程為.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令,xxfF . 1 zF,yyfF 或或,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx , 1xynff顯式方程顯式方程000000000 ( , , ), ( , , ), ( , , )xyznF x y z F x y

16、z F x y z偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用 例例5過(guò)過(guò)上所有點(diǎn)處的切平面都上所有點(diǎn)處的切平面都證明曲面證明曲面xyxez .一定點(diǎn)一定點(diǎn) 證證,),(000是曲面上任一點(diǎn)是曲面上任一點(diǎn)設(shè)設(shè)zyx0000 xyexz 那么法向量那么法向量為為切平面方程為切平面方程為0)()()()1(000000000 zzyyexxexyxyxy),(yxfz , , 1 xynf f,)1(0000 xyexy n,00 xye1 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用0)1()1(000000000000000 zyexexyzyexexyxyxyxyxy0 0)()()()1(0000

17、00000 zzyyexxexyxyxy, 0)1(000000 zyexexyxyxy所以這些平面都過(guò)所以這些平面都過(guò)00 0 xyxez 原點(diǎn)原點(diǎn).過(guò)過(guò)上所有點(diǎn)處的切平面都上所有點(diǎn)處的切平面都證明曲面證明曲面xyxez .一定點(diǎn)一定點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用04222 zyxyxz與與平平面面曲曲面面平行的切平面的方程是平行的切平面的方程是( ).542 zyx偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用 例例6 證證, 0)().( aufczbyfaxz可可微微證證明明曲曲面面)均均為為常常數(shù)數(shù)、cb的一切切平面都與一常向量的一切切平面都與一常向量平行平行.那么曲面在任一點(diǎn)

18、處的法向量那么曲面在任一點(diǎn)處的法向量:,azczbyfaxzyxF )(),(令令那那么么,A nAbczbyfbcczbyfbcb )()(, 0 即即nA 所以所以,一切的切平面均與一切的切平面均與),(bcab 常向量常向量平行平行.0),(: zyxF曲曲面面方方程程MzyxFFFn),(, 曲面在曲面在M處的法向量處的法向量:1)( czbyf c n),(czbyfb ,ab取取, c b偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用 例例7 0523zyxzyx8522222 zyx 證證85222),(22 zyxzyxF令令過(guò)直線(xiàn)過(guò)直線(xiàn)L的平面束方程為的平面束方程為523 zyx即

19、即05)1()2()3( zyx 其法向量為其法向量為)1, 2,3( ,4xFx 2 zF,4yFy 0)( zyx 求過(guò)直線(xiàn)求過(guò)直線(xiàn)L且與曲面且與曲面相切之切平面方程相切之切平面方程.偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用設(shè)曲面與切平面的切點(diǎn)為設(shè)曲面與切平面的切點(diǎn)為),(000zyx那那么么過(guò)直線(xiàn)過(guò)直線(xiàn)L的平面束方程其法向量為的平面束方程其法向量為,4xFx 2 zF,4yFy ,85222),(22 zyxzyxF tyx 21424300 05)1()2()3(000 zyx 8522202020 zyx, 3, 121 tt因此因此7, 321 )1, 2,3( 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)

20、用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用過(guò)直線(xiàn)過(guò)直線(xiàn)L的平面束方程為的平面束方程為523 zyx0)( zyx 故故所求切平面方程為所求切平面方程為7, 321 523 zyx0)(3 zyx或或523 zyx0)(7 zyx即即526 zyx或或56510 zyx偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 的全微分的全微分在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)),(),(00yxyxfz 由于曲面在由于曲面在M處的切平面方程處的切平面方程:全微分的幾何意義全微分的幾何意義,),(),(00的全微分的全微分在點(diǎn)在點(diǎn)yxyxfz 表示表示處處的的在在點(diǎn)點(diǎn)曲曲面面),(),(000

21、zyxyxfz 切平面上的點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量切平面上的點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量.切平面切平面上點(diǎn)的上點(diǎn)的豎坐標(biāo)豎坐標(biāo)的增量的增量偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff 或或)1,( yxff法向量法向量 ,若若表示曲面的法向量的方向角表示曲面的法向量的方向角,并假定法向量的方向是向上的并假定法向量的方向是向上的,即使得它與即使得它與z 軸的正向所成的角軸的正向所成的角 是銳角是銳角, 那么法向量那么法向量的的方向余弦為方向余弦為nn) 1 ,(yxff 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上

22、的運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用由于由于(第三個(gè)分量為負(fù)第三個(gè)分量為負(fù)), 求旋轉(zhuǎn)拋物面求旋轉(zhuǎn)拋物面 在恣意點(diǎn)在恣意點(diǎn)P(x, y, z)處向上的法向量處向上的法向量(即與即與z軸夾角為銳角軸夾角為銳角的法向量的法向量).122 yxz解解, 1),(22 yxyxf而而Pyxff)1,( )1,2 ,2( yx).1 ,2,2(yx 為向下的法向量為向下的法向量故向上的法向量應(yīng)為故向上的法向量應(yīng)為:偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周繞繞由曲線(xiàn)由曲線(xiàn)yzyx 0122322)2, 3, 0(解解12233222 yzx令令12323),(222 zyxzyxF)2,3,0(),(zyxFFF )26, 34, 0( )3, 2, 0(51 )2,3,0()6 ,4 ,6(zyx )3, 2, 0(51n|0nnn 得到的旋轉(zhuǎn)面在點(diǎn)得到的旋轉(zhuǎn)面在點(diǎn)處的指向外側(cè)的處的指向外側(cè)的單位法向量為單位法向量為( ).旋轉(zhuǎn)面方程為旋轉(zhuǎn)面方程為偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運(yùn)用空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面曲面的切平面與法