立體幾何中的向量方法

1、立體幾何中的向量方法適用學(xué)科高中數(shù)學(xué)適用年級(jí)高中二年級(jí)適用區(qū)域通用課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）90知識(shí)點(diǎn)用空間向量處理平行垂直問(wèn)題；用空間向量處理夾角問(wèn)題.教學(xué)目標(biāo)1. 理解直線的方向向量與平面的法向量；2. 能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系；3. 能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）4. 能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，體會(huì)向量方法的作用教學(xué)重點(diǎn)用向量方法解決立體幾何中的有關(guān)問(wèn)題教學(xué)難點(diǎn)用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題教學(xué)過(guò)程一、課堂導(dǎo)入空間平行垂直問(wèn)題1兩條直線平行與垂直；直線與平面平行與垂直；兩個(gè)平面平行與垂直；空間夾角問(wèn)題1

2、兩直線所成角；直線和平面所成角；二面角的概念；空間距離問(wèn)題二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)（）空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：設(shè)，則， ， （2）若，則一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)（3）模長(zhǎng)公式：若， 則（4）夾角公式：（5）兩點(diǎn)間的距離公式：若，則三、知識(shí)講解考點(diǎn)1 平面法向量的求法在空間平面法向量的算法中，普遍采用的算法是設(shè)，它和平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量垂直，數(shù)量積為0，建立兩個(gè)關(guān)于x,y,z的方程，再對(duì)其中一個(gè)變量根據(jù)需要取特殊值，即可得到法向量還有幾種求平面法向量的辦法也比較簡(jiǎn)便求法一：先來(lái)看一個(gè)引理：若平面ABC與空間直角坐標(biāo)系x軸、y軸、z軸的交點(diǎn)分別為A

3、(a，0，0)、B(0，b，0)、C(0，0，c)，定義三點(diǎn)分別在x軸、y軸、z軸上的坐標(biāo)值xA a， yB b， zC c（a,b,c均不為0），則平面ABC的法向量為參數(shù)l 的值可根據(jù)實(shí)際需要選取證明： (a, b, 0), (a, 0, c), ,是平面ABC的法向量這種方法非常簡(jiǎn)便，但要注意幾個(gè)問(wèn)題：（1）若平面和某個(gè)坐標(biāo)軸平行，則可看作是平面和該坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值為¥，法向量對(duì)應(yīng)于該軸的坐標(biāo)為0比如若和x軸平行（交點(diǎn)坐標(biāo)值為¥），和y軸、z軸交點(diǎn)坐標(biāo)值分別為b、c，則平面法向量為；若平面和x,y軸平行，和z軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值為c，則平面法向量為（2）若平面過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O

4、，則可適當(dāng)平移平面求法二：求出平面方程，得到法向量我們先求過(guò)點(diǎn)及以n為法向量的平面的方程設(shè)是平面上的動(dòng)點(diǎn)，于是有n0，即整理得 令，有 這就是平面的一般方程.平面的方程可用三元一次方程來(lái)表示且的系數(shù)組成該平面的法向量注意：(1)有了平面的方程，就能得到平面的法向量，可用平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)求出平面的方程(2)一些特殊情形的平面，方程會(huì)更簡(jiǎn)捷：通過(guò)原點(diǎn)的平面，方程為；平行于軸的平面，方程為；通過(guò)軸的平面，方程為；既平行于軸又平行于軸的平面,也就是一個(gè)平行于坐標(biāo)面的平面，方程為；類似地，可討論其它特殊情形(3)兩平面：與平行的充要條件是求法三：用行列式求得法向量若，是平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，計(jì)算行列式

5、 ，則平面的法向量為考點(diǎn)2 用空間向量求解二面角（一）用法向量解二面角用法向量求解二面角時(shí)遇到一個(gè)難題：二面角的取值范圍是0, p ，而兩個(gè)向量的夾角取值范圍也是0, p ，那用向量法算出的角是二面角的平面角呢還是它的補(bǔ)角？如果是求解異面直線所成的角或直線與平面所成的角，只要取不超過(guò) 的那個(gè)角即可，但對(duì)二面角卻是個(gè)難題. 筆者經(jīng)過(guò)思考，總結(jié)出一個(gè)簡(jiǎn)單可行的方法，供讀者參考.q 圖一用法向量解二面角首先要解決的問(wèn)題就是：兩個(gè)法向量所夾的角在什么情況下與二面角大小一致？其次，如何去判斷得到的法向量是否是我們需要的那個(gè)方向？對(duì)第一個(gè)問(wèn)題，我們用一個(gè)垂直于二面角棱的平面去截二面角（如圖一），兩個(gè)平面的

6、法向量則應(yīng)分別垂直于該平面角的兩邊. 易知，當(dāng)同為逆時(shí)針?lè)较蚧蛲瑸轫槙r(shí)針?lè)较驎r(shí)，它們所夾的解即為q . 所以，我們只需要沿著二面角棱的方向觀察，選取旋轉(zhuǎn)方向相同的兩個(gè)法向量即可. 或者可以通俗地理解，起點(diǎn)在半平面上的法向量，如果指向另一個(gè)半平面，則稱為“向內(nèi)”的方向；否則稱為“向外”的方向. 兩個(gè)法向量所夾的角與二面角大小相等當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)法向量方向一個(gè)“向內(nèi)”，而另一個(gè)“向外”.xyzO圖二對(duì)第二個(gè)問(wèn)題，我們需要選取一個(gè)參照物. 在空間直角坐標(biāo)系中，我們可以選擇其中一個(gè)坐標(biāo)軸（如z軸），通過(guò)前面的辦法，可以確定法向量的方向，再觀察該法向量與xOy平面的關(guān)系，是自下而上穿過(guò)xOy平面呢，還是自

7、上而下穿過(guò)xOy平面？若是第一種情形，則與所夾的角是銳角，只需取法向量的z坐標(biāo)為正即可；若是第二種情形，則與所夾的角是鈍角，只需取法向量的z坐標(biāo)為負(fù)即可若法向量與xOy平面平行，則可以選取其它如yOz平面、zOx平面觀察（二）用半平面內(nèi)的向量解二面角由二面角的平面角定義，由棱上一點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，這樣構(gòu)成的角即為二面角的平面角如果分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作兩個(gè)向量（如圖），起點(diǎn)在棱上且均垂直于棱，可以看出，這兩個(gè)向量所夾的角，與二面角的大小是相等的這種方法與用法向量解二面角相比，其優(yōu)點(diǎn)是向量的方向已經(jīng)固定，不必考慮向量的不同方向給二面角大小帶來(lái)的影響考點(diǎn)3 空間直線與空間平面的向量形式

8、在平面解析幾何中，曲線上的動(dòng)點(diǎn)可以用坐標(biāo)表示，通過(guò)對(duì)變量的運(yùn)算達(dá)到求值、證明的目的在立體幾何中借用向量，直線、平面上的點(diǎn)也可以用參數(shù)來(lái)表示，通過(guò)對(duì)參數(shù)的運(yùn)算，同樣可以達(dá)到求值、證明的目的1空間直線：如果 l為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且方向向量為的直線，那么點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，滿足等式，或?qū)θ我稽c(diǎn)O（通常取坐標(biāo)原點(diǎn)），有 這是空間直線的向量形式2空間平面：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)s、t，使 或?qū)臻g任一定點(diǎn)O（通常取坐標(biāo)原點(diǎn)），有這是空間平面的向量形式四、例題精析【例題】如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD底面ABCD，E、F分別

9、是AB、SC的中點(diǎn)。 ()求證：EF平面SAD；()設(shè)SD2CD，求二面角AEFD的大小；ABCDSEF 【解析】（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，取的中點(diǎn)，則平面平面，所以平面（2）不妨設(shè)，則平面AEFG與x軸、z軸的交點(diǎn)分別為A(1,0,0)、G(0,0,1)，與y軸無(wú)交點(diǎn)，則法向量，在CD延長(zhǎng)線上取點(diǎn)H，使DHAE，則DH AE，所以AHED，由（1）可知AGEF，所以平面AHG平面EFD，平面AHG與x軸、y軸、z軸的交點(diǎn)分別為A(1,0,0)、H(0, ,0)、G(0,0,1)，則法向量，設(shè)二面角AEFD的大小為a ，則，即二面角AEFD的大小為【例題】 已知四棱錐P-ABCD的

10、底面為直角梯形，ABDC，DAB90°，PA底面ABCD，且PAADDC1，M是PB的中點(diǎn).（1）求二面角C-AM-B的大?。唬?）求二面角A-MC-B的大小.【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則對(duì)二面角C-AM-B而言，是平面AMB的法向量（向內(nèi)），易知平面ACM符合“向外”方向的法向量是自下而上穿過(guò)xOy平面，所以與所夾的角是銳角. 對(duì)二面角A-MC-B而言，平面ACM選取上述法向量，則為“向外”的方向，平面BCM就應(yīng)選取“向內(nèi)”的方向，此時(shí)是自上而下穿過(guò)xOy平面，與z軸正向所夾的角是鈍角.xyz（1）如圖，以AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則平面AMB的法

11、向量為(1,0,0), 設(shè)平面ACM的法向量為(x,y,z). 由已知C（1, 1, 0), P(0, 0, 1), B(0, 2, 0)，則M(0, 1, ),(1, 1, 0), (0, 1, ).由 取y -1，則x1, z2， (1, -1, 2). （滿足·>0）.設(shè)二面角C-AM-B的大小為q ，則cosq ,所求二面角的大小為arccos.（2）選?。?）中平面ACM的法向量(1, -1, 2)，設(shè)平面BCM的法向量為 (x,y,z). (1, -1, 0), (0, -1, ),由取z 2，則y 1, x 1， (1, 1, 2)，則，所夾的角大小即為二面角AM

12、CB的大小，設(shè)為j ， cosj，所求二面角的大小為p arccos.【例題】 如圖，已知長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA12，E是BB1的中點(diǎn)（1）求二面角EAC1B的大?。唬?）求二面角C1AEB的大小【解析】在第（1）題中，只需在AC1上找到兩點(diǎn)G、H，使得、均與垂直，則、的夾角即為所求二面角的大小如何確定G、H的位置呢？可設(shè)，這樣向量就用參數(shù)l 表示出來(lái)了，再由· 0求出l 的值，則向量即可確定，同理可定出H點(diǎn)第（2）題方法類似以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,0), A(0,1,0), C(1,0,0), B1(0,0

13、,2), C1(1,0,2), E(0,0,1) (1, 1, 2), (0, 1, 0).xyzGH（1）設(shè)，則由· 0 Þ l (l 1)4l 0，解得：， ().圖六同理可得： ()，· 0、的夾角等于二面角EAC1B的平面角cos<,> ,xyzMN圖七 二面角EAC1B的大小為arccos.（2） (0, 1, 1), 在AE上取點(diǎn)M、N，設(shè)，則, 由· 0得：g 1g 0，解得：g ， . 同理可求得： ( 1, , ), · 0.、的夾角等于二面角C1AEB的平面角cos<, > ,二面角C1AEB的大小為

14、arccos().五、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】. 在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(1，1，)若S1，S2，S3分別是三棱錐D ­ ABC在xOy，yOz，zOx坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則()AS1S2S3 BS2S1且S2S3CS3S1且S3S2 DS3S2且S3S1【解析】設(shè)頂點(diǎn)D在三個(gè)坐標(biāo)平面xOy、yOz、zOx上的正投影分別為D1、D2、D3，則AD1BD1，AB2，S1×2×22，S2SOCD2×2×，S3SOAD3×2×選D【答案】D.求過(guò)點(diǎn),的平面的法向量

15、【解析】方法一：由給定平面上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可知平面上的兩個(gè)向量，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，得平面的一個(gè)法向量 方法二：設(shè)過(guò)點(diǎn),的平面的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，得，解之，即，所以平面的方程為，所以平面的一個(gè)法向量 方法三：由給定平面上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可知平面上的兩個(gè)向量，因?yàn)檫@兩個(gè)向量不平行，計(jì)算故所求平面的一個(gè)法向量 已知正方體的棱長(zhǎng)為，是的中點(diǎn)，是對(duì)角線的中點(diǎn)，（1）求證：是異面直線和的公垂線；（2）求異面直線和的距離【解析】（1）解法一：延長(zhǎng)交于，則為的中點(diǎn)，連結(jié)，則，又是的中點(diǎn)，是異面直線和的公垂線解法二：以為原點(diǎn)，分別以為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 于是有，所以是異面直線

16、和的公垂線（2）由（1）知，為異面直線和的距離 所以【鞏固】已知正方體的棱長(zhǎng)為，求與間的距離【解析】解法一：（轉(zhuǎn)化為到過(guò)且與平行的平面的距離）連結(jié)，則/，/平面，連，可證得，平面，平面平面，且兩平面的交線為，過(guò)作，垂足為，則即為與平面的距離，也即與間的距離，在中，故與間的距離解法二：以為原點(diǎn)，分別以所在的直線分別為軸，軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，由（解法一）求點(diǎn)到平面的距離，設(shè)，在平面上，即，解得：，解法三：直接求與間的距離設(shè)與的公垂線為，且，設(shè)，設(shè)，則，同理，解得：，如圖所示，三棱柱ABC ­ A1B1C1中，點(diǎn)A1在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上，ACB90°，BC1，

17、ACCC12.(1)證明：AC1A1B; (2)設(shè)直線AA1與平面BCC1B1的距離為，求二面角A1 ­ AB ­ C的大小【解析】方法一：(1)證明：因?yàn)锳1D平面ABC，A1D平面AA1C1C，故平面AA1C1C平面ABC. 又BCAC，所以BC平面AA1C1C連接A1C，因?yàn)閭?cè)面AA1C1C為菱形，故AC1A1C由三垂線定理得AC1A1B(2)BC平面AA1C1C，BC平面BCC1B1，故平面AA1C1C平面BCC1B1.作A1ECC1，E為垂足，則A1E平面BCC1B1.又直線AA1平面BCC1B1，因而A1E為直線AA1與平面BCC1B1的距離，即A1E.因?yàn)锳1

18、C為ACC1的平分線，所以A1DA1E作DFAB，F(xiàn)為垂足，連接A1F由三垂線定理得A1FAB，故A1FD為二面角A1 ­ AB ­ C的平面角由AD1，得D為AC中點(diǎn)，DF，tanA1FD，所以cosA1FD所以二面角A1 ­ AB ­ C的大小為arccos方法二：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CA為x軸的正半軸，以CB的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C ­ xyz.由題設(shè)知A1D與z軸平行，z軸在平面AA1C1C內(nèi)(1)證明：設(shè)A1(a，0，c)由題設(shè)有a2，A(2，0，0)，B(0，1，0)，則(2，1，0)，(2，0，0)，(a2，0

19、，c)，(a4，0，c)，(a，1，c)由|2，得2，即a24ac20.又·a24ac20，所以AC1A1B(2)設(shè)平面BCC1B1的法向量m(x，y，z)，則m，m，即m·0，m·0.因?yàn)?0，1，0)，(a2，0，c)，所以y0且(a2)xcz0令xc，則z2a，所以m(c，0，2a)，故點(diǎn)A到平面BCC1B1的距離為|·|cosm，|c又依題設(shè)，A到平面BCC1B1的距離為，所以c，代入，解得a3(舍去)或a1，于是(1，0，)設(shè)平面ABA1的法向量n(p，q，r)，則n，n，即n·0，n·0，pr0，且2pq0.令p，則q2

20、，r1，所以n(，2 ，1)又p(0，0，1)為平面ABC的法向量，故cosn，p所以二面角A1 ­ AB ­ C的大小為arccos【拔高】 如圖，已知ABCD為邊長(zhǎng)是4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC，求點(diǎn)B到平面EFG的距離xyz【解析】分別以、為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則E(2,4,0), F(4,2,0), G(0,0,2),B(0,4,0). (2,2,0), (2,4,2),設(shè)P是平面EFG上的動(dòng)點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)s,t，使得 s t (2,4,0) s(2,2,0) t(2,4,2) (2s2t2, 42s4t, 2t),P(2s2t2, 42s4t, 2t), (2s2t2, 2s4t, 2t).當(dāng)且僅當(dāng)BPEF且BPEG時(shí)，BP平面EFG，BP即為所求的點(diǎn)B到平面EFG的距離由 Þ ，解得： ( , , ),點(diǎn)B到平面EFG的距離即為 | .解法二：因?yàn)槠矫鍱FG的豎截距為2，可設(shè)平面EFG的方程為，將E(2,4,0), F(4,2,0)的坐標(biāo)分別代入，得，解之， 所以平面EFG的方程為 即點(diǎn)B(0,4,0) 到平面EFG的距離為 如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1中點(diǎn)。