隨機(jī)振動(dòng)地震分析

1、隨機(jī)結(jié)構(gòu)激勵(lì)模型及隨機(jī)振動(dòng)反應(yīng)分析結(jié)構(gòu)在服役期間，必將受到各種荷載的作用。對于建筑結(jié)構(gòu)，在服役期間不可避免的會(huì)受到風(fēng)力的作用，而且甚至?xí)艿降卣鸬淖饔?；海洋上的結(jié)構(gòu)，如海上風(fēng)力發(fā)電高塔，海洋平臺(tái)等，會(huì)受到海洋波浪的作用；行駛在路面上的車輛，由于路面的不平順使得車輛受到動(dòng)力作用；飛機(jī)在飛行中由于大氣的自由流動(dòng)也會(huì)受到擾動(dòng)。這些作用在結(jié)構(gòu)上的荷載，不僅隨著時(shí)間發(fā)生變化，而且具有明顯的隨機(jī)性。而對于隨機(jī)動(dòng)力荷載下結(jié)構(gòu)響應(yīng)的問題，確定性的動(dòng)力分析無法考慮隨機(jī)性，隨機(jī)振動(dòng)理論應(yīng)運(yùn)而生。隨機(jī)振動(dòng)的物理數(shù)學(xué)基礎(chǔ)早在30年代已基本奠定。1827年Brown對懸浮在水中微小花粉粒子雜亂運(yùn)動(dòng)的觀察，為最早的系統(tǒng)對

2、隨機(jī)激勵(lì)響應(yīng)的實(shí)驗(yàn)研究。19世紀(jì)后期Maxwell和Boltzmann用統(tǒng)計(jì)方法描述系統(tǒng)可能狀態(tài)和達(dá)到的概率，但沒有考慮統(tǒng)計(jì)隨時(shí)間的演化。1919年Rayleigh用“隨機(jī)振動(dòng)”一詞描述一等價(jià)于平面隨機(jī)行走的聲學(xué)問題。用隨機(jī)方法研究動(dòng)力學(xué)行為始于1905年，Ein stein從理論上解釋了Brown運(yùn)動(dòng)，1915年Smoluchowski擴(kuò)展了Einstein的結(jié)果并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。1908年Langevin導(dǎo)出含有隨機(jī)項(xiàng)的微分方程，成為隨機(jī)微分方程的第一個(gè)例子，F(xiàn)okker于1915年、Plank于1917年、于1931年、伊藤于1946年都對隨機(jī)微分方程的研究作出貢獻(xiàn)。1933年等應(yīng)用隨機(jī)微

3、分方程討論隨機(jī)擾動(dòng)下一般動(dòng)力系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)。1920年Taylor引入相關(guān)函數(shù)概念，Wiener于1930年和于1934年分別建立了譜的理論，這些數(shù)學(xué)工具首先應(yīng)用于通訊和控制系統(tǒng)而不是結(jié)構(gòu)和機(jī)械的強(qiáng)度分析，因?yàn)楣こ碳夹g(shù)尚無此要求。隨機(jī)振動(dòng)的研究始于50年代中期。由于噴氣和火箭技術(shù)的發(fā)展在航空和航天工程中提出一系列問題，如大氣湍流引起的飛機(jī)顫振，噴氣噪音導(dǎo)致的飛行器表面結(jié)構(gòu)聲疲勞，傳動(dòng)系統(tǒng)中滾動(dòng)件不光滑而嚙合不完善的損傷積累，火箭推進(jìn)中運(yùn)載工具有效負(fù)載可靠性等，都促使研究者運(yùn)用已有數(shù)學(xué)工具，并借鑒這些工具在通訊等學(xué)科中的應(yīng)用以解決面臨的工程問題。Miles于1954年和Powell于1955年分別研

4、究了飛行器結(jié)構(gòu)顫振損傷積累的時(shí)間無規(guī)和空間漲落。1955年Morrow和Muchmore把譜分析引進(jìn)隨機(jī)振動(dòng)并建立了結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)等基本概念。1957年Erigen研究了連續(xù)體的隨機(jī)振動(dòng)并討論振型相關(guān)性。1958年Crandall主編隨機(jī)振動(dòng)的出版標(biāo)志著隨機(jī)振動(dòng)這一振動(dòng)力學(xué)分支的誕生。60年代以來，隨機(jī)振動(dòng)在應(yīng)用和理論方面都發(fā)展迅速。振動(dòng)測試技術(shù)是隨機(jī)振動(dòng)應(yīng)用的前提。在70年代之前基本采用模擬式儀器。由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展及1965年Cooley和Tukky發(fā)明快速Fourier變換算法，70年代以來數(shù)字式測試設(shè)備廣泛采用。在此基礎(chǔ)上系統(tǒng)的識(shí)別與診斷及隨機(jī)振動(dòng)實(shí)驗(yàn)技術(shù)有很大發(fā)展，應(yīng)用范圍也愈來

5、愈廣泛，由飛機(jī)和火箭擴(kuò)展到汽車、船舶及高層建筑、海洋工程結(jié)構(gòu)等。在理論研究中，非線性隨機(jī)振動(dòng)備受重視。1959年Caughey研究提出隨機(jī)等效線性化方法，而該方法在1954年便被Booton應(yīng)用于控制系統(tǒng)。1961年Crandall建立隨機(jī)攝動(dòng)法。1966年以后，Stratonovich、Khasminskii、Papanicolaou與Kohler等發(fā)展了隨機(jī)平均法。結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)分析，一方面要研究隨機(jī)激勵(lì)模型，地震、海浪、風(fēng)等荷載形式都是極為復(fù)雜的，模擬這些隨機(jī)動(dòng)力荷載，即要掌握大量的數(shù)據(jù)資料，也要把握其內(nèi)在的物理機(jī)制，這些工作都不是輕而易舉能夠解決的；另一方面研究隨機(jī)振動(dòng)分析方法。對于線性

6、的結(jié)構(gòu)，由于服從疊加原理，能夠較為容易的解決。而非線性結(jié)構(gòu)，對于實(shí)際的結(jié)構(gòu)，即使是確定性的動(dòng)力問題，都是難以求解的，隨機(jī)振動(dòng)更是困難。1. 隨機(jī)結(jié)構(gòu)激勵(lì)的一般模型隨機(jī)激勵(lì)的一般模型可分為平穩(wěn)模型和非平穩(wěn)模型兩種。平穩(wěn)模型就是平穩(wěn)隨機(jī)過程。結(jié)構(gòu)隨機(jī)激勵(lì)的平穩(wěn)模型記為，則的均值是常數(shù)、相關(guān)函數(shù)只依賴于時(shí)間差，即當(dāng)時(shí)，的相關(guān)函數(shù)與其譜密度之間有如下關(guān)系：即和構(gòu)成Fourier變化對。當(dāng)時(shí)，的協(xié)方差函數(shù)與其之間有上述關(guān)系式。對于結(jié)構(gòu)隨機(jī)激勵(lì)的平穩(wěn)模型，我們只要知道它的均值和相關(guān)函數(shù)、或者均值和譜密度就可完全確定這個(gè)模型的統(tǒng)計(jì)特性。在確定具體的結(jié)構(gòu)隨機(jī)激勵(lì)平穩(wěn)模型時(shí)，我們總是根據(jù)大量的實(shí)測時(shí)程曲線去統(tǒng)計(jì)

7、確定均值和相關(guān)函數(shù)的具體表達(dá)形式、或者均值和譜密度的具體表達(dá)形式，二者只要知道其中一個(gè)，即可由關(guān)系式求得另一個(gè)。不同的平穩(wěn)隨機(jī)模型主要反映在相關(guān)函數(shù)或譜密度的具體表達(dá)形式上的不向。結(jié)構(gòu)隨機(jī)激勵(lì)的平穩(wěn)模型就是非平穩(wěn)隨機(jī)過程，可以分為兩類：均勻調(diào)制非平穩(wěn)模型和調(diào)制非平穩(wěn)模型。(1) 均勻調(diào)制非平穩(wěn)隨機(jī)模型：這種隨機(jī)模型又稱為可分離式非平穩(wěn)隨機(jī)模型，它可以表示為確定性函數(shù)與平穩(wěn)隨機(jī)過程的乘積，即式中是表示隨機(jī)激勵(lì)非平穩(wěn)特性的確定性函數(shù)；是平穩(wěn)隨機(jī)過程。假定模型中的均值因此，平穩(wěn)隨機(jī)過程的均值。對于均值不為零的非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)，我們?nèi)。瑥亩心Ｐ偷男问?。?dāng)已知的相關(guān)函數(shù)或者譜密度時(shí)，非平穩(wěn)隨機(jī)干擾的相關(guān)

8、函數(shù)和譜密度可容易地求得為與平穩(wěn)隨機(jī)模型類似，非平穩(wěn)隨機(jī)模型的統(tǒng)計(jì)特性也完全由其均值和相關(guān)函數(shù)或者是均值和譜密度所確定。在工程實(shí)際中，為了建立起這種隨機(jī)激勵(lì)的非平穩(wěn)模型，在大量實(shí)測記錄統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)上，首先合理確定平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性相關(guān)函數(shù)或者譜密度，其次合理確定反映該隨機(jī)干擾非平穩(wěn)待性的確定性函數(shù)。(2)調(diào)制非平穩(wěn)隨機(jī)模型：這種非平穩(wěn)隨機(jī)模型可以表示為式中是時(shí)間和頻率的確定性函數(shù)，稱為調(diào)制函數(shù)；是均值為零的正交增量過程，它通過下式與某個(gè)平穩(wěn)過程聯(lián)系起來：式中是的譜密度。這里假定模型中的均值。對于均值不為零的非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)，總可以取，從而有模型的形式。調(diào)制非平穩(wěn)隨機(jī)模型的相關(guān)函數(shù)和譜密度可

9、分別表示為式中*表示復(fù)共軛。因此，調(diào)制非平穩(wěn)隨機(jī)模型的統(tǒng)計(jì)特性完全由調(diào)制函數(shù)和平穩(wěn)過程的統(tǒng)計(jì)特性相關(guān)函數(shù)或譜密度完全確定。1.1. 脈動(dòng)風(fēng)速隨機(jī)模型風(fēng)荷載是高聳結(jié)構(gòu)(如煙囪、電視塔、輸電線塔和桅桿等)、高層建筑、大跨和橋梁結(jié)構(gòu)等的主要荷載。作用于結(jié)構(gòu)的風(fēng)力主要與風(fēng)速有關(guān)。脈動(dòng)風(fēng)速的隨機(jī)模型：實(shí)測資料表明，在一次大風(fēng)過程中，在風(fēng)速最強(qiáng)的時(shí)段內(nèi)，任意固定高度處的風(fēng)速總是圍繞其平均值平穩(wěn)地變化，因此，風(fēng)速可以分解為兩部分：平均風(fēng)速和脈動(dòng)風(fēng)速，即風(fēng)速可以表示為平均風(fēng)速沿高度的變化規(guī)律一般符合指數(shù)律或?qū)?shù)律。(1) 指數(shù)律：根據(jù)實(shí)測結(jié)果的分析，Davenport等人提出的指數(shù)律可以表示為式中和分別是標(biāo)準(zhǔn)

10、高度及標(biāo)準(zhǔn)高度處的平均風(fēng)速；是地面粗糙度（指數(shù)律用）。地面粗糙的程度愈大，亦愈大。(2) 對數(shù)律：根據(jù)近地風(fēng)速摩擦層的理論研究和實(shí)測結(jié)果的分析，a等人提出的對數(shù)律可以表示為式中是風(fēng)速等于零的高度，隨地面粗糙程度而變化，因而也稱為地面粗糙度（對數(shù)律用）。地面粗糙的程度愈大、愈大。脈動(dòng)風(fēng)速是隨機(jī)的，可以用隨機(jī)過程來表示，而且大量的實(shí)測分析結(jié)果表明，它是平穩(wěn)隨機(jī)過程，且由知，脈動(dòng)風(fēng)速的均值是零。利用風(fēng)速實(shí)測記錄統(tǒng)計(jì)確定脈動(dòng)風(fēng)速的相關(guān)函數(shù)或譜密度的方法通常有兩種：一種是將強(qiáng)風(fēng)記錄進(jìn)行相關(guān)分析直接得到相關(guān)曲線，然后通過曲線擬合求得相關(guān)函數(shù)的具體表達(dá)形式；另一種是將強(qiáng)風(fēng)記錄通過超低頻濾波器直接得到譜曲線，

11、然后通過曲線擬合求得譜密度的具體表達(dá)形式。1.2. 地震地面運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)模型由于地震發(fā)生、震源機(jī)制、傳播途徑與場地條件等因素的隨機(jī)性，使觀測地震動(dòng)加速度時(shí)程具有顯著的隨機(jī)性。地震動(dòng)的隨機(jī)性包括兩個(gè)層面：一是地震活動(dòng)的隨機(jī)性，地震活動(dòng)性指的是地震活動(dòng)的時(shí)、空、強(qiáng)度和頻度的規(guī)律；另一層面是地震動(dòng)過程的隨機(jī)性?；陔S機(jī)過程理論研究地震動(dòng)源于真實(shí)強(qiáng)震記錄的獲得，1947年Housner針對強(qiáng)震記錄所表現(xiàn)出的強(qiáng)烈不規(guī)則性，提出用隨機(jī)過程理論解釋和描述地震動(dòng)的加速度時(shí)程。至今，已有多種隨機(jī)地震動(dòng)模型提出。按所提出的隨機(jī)地震動(dòng)模型平穩(wěn)與否，可以將現(xiàn)有的描述地震動(dòng)隨機(jī)性的方法歸納為平穩(wěn)地震動(dòng)隨機(jī)模型和非平穩(wěn)地震

12、動(dòng)模型。鑒于非平穩(wěn)模型的不成熟性，在此只討論平穩(wěn)模型。(1) 時(shí)域平穩(wěn)模型1947年，Housner提出用平穩(wěn)脈沖序列模擬真實(shí)地震動(dòng)，假定地震動(dòng)加速度可以簡化成一系列集中脈沖的集合，每個(gè)脈沖的大小一定，但到達(dá)時(shí)刻是隨機(jī)的，其分布是均勻的。加速度的表達(dá)式為：式中，為t時(shí)刻的加速度，V表示集中速度脈沖，為Dirac函數(shù)，表示第個(gè)脈沖的到達(dá)時(shí)刻。盡管這個(gè)模型存在著一些問題，但作為一個(gè)開創(chuàng)性工作是值得充分肯定的。Goodman等推廣了Housner的概念，仍然假定地震動(dòng)加速度為一系列集中脈沖，但不僅每個(gè)脈沖的到達(dá)時(shí)刻是隨機(jī)的，而且大小也是隨機(jī)的。彼此獨(dú)立，有相同的分布。時(shí)域平穩(wěn)模型只能在現(xiàn)象上獲得和真

13、實(shí)地震動(dòng)相似的時(shí)間序列，但是真實(shí)地震動(dòng)的特征，如能量在頻域的分布等，無法通過這種方法體現(xiàn)。因此，在工程上時(shí)域平穩(wěn)模型沒有得到廣泛的應(yīng)用。(2) 頻域平穩(wěn)模型和時(shí)域上模擬相比，在頻域上進(jìn)行地震動(dòng)模擬的研究更為活躍。針對地震動(dòng)加速度時(shí)程功率譜并不是常數(shù)這一特點(diǎn)，Kanai提出了過濾白噪聲模型。他假定基巖傳來的地震波是白噪聲，基巖上的土層為單自由度體系，求這個(gè)單自由度體系的絕對加速度功率譜，并用這個(gè)譜來模擬地表加速度功率譜。譜的表達(dá)式為：式中，分別為場地土卓越頻率和阻尼比，為白譜強(qiáng)度，這個(gè)譜具有單峰形狀。后來Tajimi用上式求解了建筑物結(jié)構(gòu)的最大反應(yīng)。1964年，Housner 和Jennings

14、根據(jù)美國若干地震動(dòng)記錄確定了Kanai公式中的參數(shù)，并證明了無阻尼速度反應(yīng)譜和功率譜有近似關(guān)系。由Kanai-Tajimi模型可容易地得到地面運(yùn)動(dòng)速度和位移的功率譜函數(shù)但是，當(dāng)時(shí)，和出現(xiàn)明顯的奇異點(diǎn)，它使地面速度和位移無界，這顯然是與實(shí)際不符合的。為了克服這一缺點(diǎn)，胡聿賢和周錫元引入一低頻減量，提出一種修正模型：式中，為白噪聲功率譜密度；為地基過濾器阻尼比；為地基過濾器圓頻率；為低頻減量；為參數(shù)，取46。為了保持Kanai-Tajimi譜的原有特征，Ruiz和Penzien建議了另外一種削減低頻的模型：其中，頻率參數(shù)和阻尼參數(shù)是為了給出所需要的過濾特征而選擇的。針對過濾白噪聲模型無法反映基巖加

15、速度頻率特性的問題，松島豐在過濾白噪聲模型的基礎(chǔ)上，將基巖地震動(dòng)的譜密度由白噪聲過程修正為馬爾柯夫有色譜：式中，是反映基巖特性的譜參數(shù)，可取為，這一模型仍然有Kanai譜同樣的缺點(diǎn)，即地面速度和位移的方差無界。由上述隨機(jī)地震動(dòng)模型可以看出，以平穩(wěn)過程功率譜密度函數(shù)描述的隨機(jī)地震動(dòng)模型的發(fā)展，實(shí)際上是一個(gè)基于白噪聲模型或過濾白噪聲的改進(jìn)過程。同時(shí)應(yīng)該指出，過于復(fù)雜的模型形式并沒有在本質(zhì)上改善模型精度，反而是形式最簡單的Kanai-Tajimi模型應(yīng)用最廣泛。雖然，該模型積分將使地面速度和位移功率譜無界，但是由于現(xiàn)在更多的將隨機(jī)振動(dòng)問題轉(zhuǎn)化到時(shí)域處理，該缺點(diǎn)已經(jīng)顯得無足輕重。但是，當(dāng)時(shí)，和出現(xiàn)明顯

16、的奇異點(diǎn)，它使地面速度和位移無界，這顯然是與實(shí)際不符合的。2. 線性體系隨機(jī)振動(dòng)的反應(yīng)分析2.1. 單自由度體系的隨機(jī)振動(dòng)時(shí)域分析單自由度體系的運(yùn)動(dòng)微分方程為：式中為質(zhì)量，為阻尼，為剛度，為外力，為質(zhì)點(diǎn)位移響應(yīng)。將上式兩邊同除以，可寫成常用的標(biāo)準(zhǔn)形式，式中：，單自由度體系的自振頻率； ，阻尼比；，單位質(zhì)量的外激勵(lì)。對于大多數(shù)工程結(jié)構(gòu)而言，此時(shí)方程的解為：式中：數(shù)學(xué)期望：自相關(guān)函數(shù)：由以上兩式，只要輸入已知，通過脈沖響應(yīng)函數(shù)，即可求出有關(guān)的值。如果為平穩(wěn)隨機(jī)過程，則與無關(guān)，通過積分后，仍然與無關(guān)，即輸入是平穩(wěn)的，輸出亦是平穩(wěn)的。同理，輸入如是各態(tài)歷經(jīng)的，則輸出亦是各態(tài)歷經(jīng)的。頻域分析在時(shí)間域計(jì)算

17、統(tǒng)計(jì)值一般比較復(fù)雜，常涉及繁瑣的積分運(yùn)算，因而常把它變換到頻域中去，可有一定的簡化。利用維納辛欽關(guān)系式可得頻域的功率譜密度為：式中：的傅立葉變換。是系統(tǒng)對于單位脈沖函數(shù)（即函數(shù)）的響應(yīng)，稱為脈沖響應(yīng)。因此亦有相應(yīng)的意義。實(shí)質(zhì)上，因?yàn)槭羌磿r(shí)、系統(tǒng)的位移響應(yīng)，因此，如設(shè)輸入時(shí)，系統(tǒng)的平穩(wěn)響應(yīng)為：是系統(tǒng)對于單位脈沖函數(shù)的響應(yīng)，稱為脈沖響應(yīng)，表征著時(shí)域內(nèi)的響應(yīng)特性，如果取時(shí)的系統(tǒng)的位移響應(yīng)，表征著頻域內(nèi)的響應(yīng)特性，一般我們稱它為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（或頻率響應(yīng)函數(shù)）。因此線性系統(tǒng)的特性可以用脈沖響應(yīng)或者頻率響應(yīng)來表示。當(dāng)系統(tǒng)輸入時(shí)，通過的傳遞可得出輸出的響應(yīng)，對于位移響應(yīng)來說，它表示了振幅的放大率，因此頻率

18、響應(yīng)函數(shù)也常稱為傳遞函數(shù)。對于單自由度體系：傳遞函數(shù)可表示為：輸入為白噪聲時(shí)的響應(yīng)當(dāng)輸入為白噪聲時(shí)，其功率譜密度應(yīng)為：由于很多物理現(xiàn)象如地震等，可以用白噪聲近似地來表達(dá)，它具有很簡單的功率譜，即功率譜密度為常數(shù)，如公式所示，所以是理論分析經(jīng)常利用的平穩(wěn)隨機(jī)過程的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)模型。位移響應(yīng)的功率譜密度可以表示為：由于，所以方差值等于均方值，即：2.2. 多自由度體系的隨機(jī)振動(dòng)多自由度體系的振動(dòng)方程應(yīng)為：最常用的解法是振型分解法，由于它具有正交性，因而根據(jù)需要，用很少幾項(xiàng)，就能有效的描述所求的位移響應(yīng)。設(shè)位移按振型分解為：式中為振星，為廣義坐標(biāo)。將上式代入，并利用正交性，可以得到：式中：上式中依

19、次表示廣義質(zhì)量、廣義阻尼（設(shè)為瑞雷阻尼）、廣義剛度、廣義荷載，除外其它矩陣均為對角矩陣。根據(jù)對角矩陣的特點(diǎn)，上式可以變成若干個(gè)振型計(jì)算結(jié)果的疊加。對于第個(gè)振型，上式為：或：對于個(gè)自由度的體系，這樣的獨(dú)立方程共有個(gè)。對于位移響應(yīng)，由式，可得：為了表示廣泛起見，對于某處任何響應(yīng)量可表示為：式中為第個(gè)振型，的響應(yīng)函數(shù)，它等于第個(gè)振型上的慣性力所引起響應(yīng)量。經(jīng)簡化可得到：因此，自相關(guān)函數(shù)可表示為：相應(yīng)的譜密度公式為：對于小阻尼體系，由振型產(chǎn)生的響應(yīng)同振型產(chǎn)生的響應(yīng)幾乎是獨(dú)立的。這樣，上式中各交叉項(xiàng)都相對地小，可以略去。這樣就只保留腳標(biāo)相同的各項(xiàng)，得：式中。根據(jù)的定義可求得：式中：得到功率譜密度，根方差

20、就可以容易的寫出了，其值為各個(gè)振型影響的疊加，即：當(dāng)系統(tǒng)受到多個(gè)集中力或分布力輸入同時(shí)激振時(shí)，除了給出各個(gè)輸入的功率譜密度或相關(guān)函數(shù)外，還必須給出各個(gè)輸入之間的互譜密度或互相關(guān)函數(shù)。只有各個(gè)輸入毫不相關(guān)而獨(dú)立時(shí)，才可按各個(gè)輸入分別求出響應(yīng)，然后疊加。3. 非線性體系隨機(jī)振動(dòng)的反應(yīng)分析嚴(yán)格地說，結(jié)構(gòu)體系的振動(dòng)總不同程度地具有某種非線性，只是在小變形的微幅振動(dòng)下大多數(shù)體系的非線性特征不明顯，我們可以較好地用線性的模型來撈述。但是，對于大變形振動(dòng)或本身含有非線性元件的體系振動(dòng)，我們必須用非線性的模型來描述，并探討非線性反應(yīng)分析的相應(yīng)方法。結(jié)構(gòu)非線性振動(dòng)的反應(yīng)分析比線性的情況要復(fù)雜和困難得多根本的原因

21、是疊加原理對非線性振動(dòng)不適用。由于這個(gè)原因，致使對線性振動(dòng)反應(yīng)分析非常有效的Duhamel積分法和振型分解法對非線性振動(dòng)都不適用。此外，非線性隨機(jī)振動(dòng)還有一大困難，就是體系在正態(tài)型隨機(jī)下，由于非線性的影響，反應(yīng)也不一定是正態(tài)型的。這就使得我們不能由反應(yīng)的二階統(tǒng)計(jì)量來直接得到反應(yīng)的概率分布。理淪上，對于非線性隨機(jī)振動(dòng)，當(dāng)體系的狀態(tài)反應(yīng)是過程矢量時(shí)，出于反應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率密度滿足FPK方程，因此，在一定的初始條件下，我們可以通過求解FPK方程來得到反應(yīng)的概率密度，這種方法稱為FPK方程法。但是，F(xiàn)PK方程的解析解只對很少一類問題才能求得，此外，也只有在體系的干擾是白噪聲或過濾白噪聲的情況下，狀態(tài)反應(yīng)才

22、是過程矢量，因此，人們?yōu)榱私沂疽话愕姆蔷€性隨機(jī)振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律而不得不尋求其它的近似方法。非線性隨機(jī)振動(dòng)分析的基本方法主要有FPK方程法、統(tǒng)計(jì)矩截?cái)喾?、隨機(jī)攝動(dòng)法和隨機(jī)等價(jià)線性化法。3.1. FPK方程法由于單自由度和多自由度非線性體系在白噪聲或過濾白噪聲激勵(lì)下隨機(jī)振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程都可以化成型狀態(tài)微分方程：所以體系的狀態(tài)反應(yīng)是矢量過程。因此，的轉(zhuǎn)移概率密度滿足FPK方程?？紤]非線性隨機(jī)振動(dòng)的一般狀態(tài)方程，令體系狀態(tài)反應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率密度為，滿足如下FPK向前方程：式中導(dǎo)出矩和與體系的狀態(tài)方程有關(guān)，其具體表達(dá)式為：其中是矢量函數(shù)的第個(gè)分量；，是矢量白噪聲的譜密度矩陣；是矩陣的第行、第列的元素。FPK方程

23、的初始條件有兩種情況：1)當(dāng)狀態(tài)方程的初始條件是矢量隨機(jī)變量時(shí)，則FPK方程的初始條件是式中是矢量隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度。2)當(dāng)狀態(tài)方程的初始條件是矢量常量時(shí)，則FPK方程的初始條件是FPK方程的邊界條件由分布在整個(gè)實(shí)軸上的概率密度的基本性質(zhì)確定，即由于狀態(tài)矢量)的轉(zhuǎn)移概率密度是從體系運(yùn)動(dòng)的初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到的概率密度，因此1)當(dāng)狀態(tài)方程是式那樣的確定性初始條件時(shí)，就是體系狀態(tài)欠量的概率密度。2)當(dāng)狀態(tài)方程是式那樣的隨機(jī)初始條件時(shí)，則體系狀態(tài)矢量的概率密度可由全概率公式求得為特別地，當(dāng)體系的狀態(tài)方程中，不顯含時(shí)(如通常的非線性隨機(jī)振動(dòng)那樣)，則由式知，導(dǎo)出矩與無關(guān)。在這種情況下，當(dāng)變大時(shí)反應(yīng)趨于平

24、穩(wěn)。平穩(wěn)狀態(tài)反應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率密度與初始條件和時(shí)間都無關(guān)，并滿足如下穩(wěn)態(tài)的FPK方程：因此，穩(wěn)態(tài)的FPK方程的求解只需要邊界條件.平穩(wěn)狀態(tài)反應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率密度與初始條件無關(guān)，顯然，就是的平穩(wěn)概率密度；此外，由于與時(shí)間無關(guān)，因此。還是嚴(yán)格平穩(wěn)的。狀態(tài)矢量的概率密度能完整地反映體系狀態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的隨機(jī)信息，由它可以求得的各階統(tǒng)計(jì)矩。非線性隨機(jī)振動(dòng)的FPK方程法就是要通過求解體系的狀態(tài)矢量或擴(kuò)充了的狀態(tài)矢量(在過濾白噪聲激勵(lì)下)的FPK方程來得到狀態(tài)矢量或擴(kuò)充了的狀態(tài)矢量的聯(lián)合概率密度。因此，從理論上來說，F(xiàn)PK方程法是非線性隨機(jī)振動(dòng)分析最嚴(yán)密、最完美的方法。然而，遺憾的是，PPK方程的精確解對于非線性體系

25、的非平穩(wěn)反應(yīng)只是在少數(shù)一階體系的情況下才能得到；即使對于平穩(wěn)反應(yīng)的情況，也只有少數(shù)幾類特殊的單自由度和多自由度體系才能得到。因此，對于比較一般的非線性隨機(jī)振動(dòng)問題，還只能用近似的分析方法。3.2. 隨機(jī)等價(jià)線性化方法隨機(jī)等價(jià)線性化法是非線性確定性振動(dòng)的等價(jià)線性化法對隨機(jī)問題的推廣。它的基本思想是把受隨機(jī)激勵(lì)的非線性體系的運(yùn)動(dòng)方程用一個(gè)等價(jià)的線性方程來近似，然后使兩個(gè)方程之差的誤差項(xiàng)的某種量度最小的原則來確定等價(jià)線性方程中的參數(shù)。這種方法既適用于弱非線性體系，也適用于強(qiáng)非線性體系，在工程實(shí)際中應(yīng)用較廣，是目前解決工程結(jié)構(gòu)非線性隨機(jī)振動(dòng)問題最有效的方法?？紤]如下單自由度非線性體系式中激勵(lì)是任意的隨

26、機(jī)過程。設(shè)與方程等價(jià)的線性方程為其中的參數(shù)和稱為等價(jià)線性阻尼和等效線性剛度，它們要選擇得使構(gòu)造的等價(jià)線性方程“最優(yōu)”地逼近原來的非線性方程的解。因此，現(xiàn)在的中心問題就是要在某種準(zhǔn)則下“最優(yōu)”地確定參數(shù)和。一旦這些參數(shù)確定，我們就可以用線性隨機(jī)振動(dòng)的理論通過求等價(jià)線件體系的反應(yīng)來作為原非線性體系的近似反應(yīng)。令表示原方程和等價(jià)的線性方程之差的誤差項(xiàng)，即誤差項(xiàng)是一個(gè)隨機(jī)過程。為了使誤差最小，等價(jià)線性化通常的準(zhǔn)則是使誤差過程的平方的期望最小，并按此準(zhǔn)則來確定參數(shù)和。由式，得根據(jù)多元函數(shù)求極值的方法，可以證明使取極小的充分必要條件是利用這個(gè)條件并注意期望與導(dǎo)數(shù)的可交換性，得以上方程聯(lián)立求解，可得所要求的

27、參數(shù)用式確定參數(shù)和時(shí)，需要知道等式右邊的那些期望值。在不作任何假設(shè)的情況下，這些期望值是很難求得的，因?yàn)樗鼈儼阋笾篮偷穆?lián)合概率密度，這是未知的。當(dāng)激勵(lì)是平穩(wěn)過程時(shí)，般在平穩(wěn)反應(yīng)的狀態(tài)下來確定等價(jià)線性體系的阻尼和。在這種情況下，由于平穩(wěn)位移和速度反應(yīng)互不相關(guān)，即，于是式變成在隨機(jī)等價(jià)線性化中，通常用等價(jià)線性體系反應(yīng)的聯(lián)合概率密度代替原非線性體系反應(yīng)的聯(lián)合概率密度來確定式或(中的那些期望。因此，當(dāng)激勵(lì)是正態(tài)非平穩(wěn)或乎穩(wěn)過程時(shí)，由等價(jià)線性方程可容易地確定反應(yīng)和的聯(lián)合概率密度，然后將其代人式或求期望，即可求得等價(jià)阻尼和。當(dāng)是零均值的正態(tài)過程(可以是嚴(yán)穩(wěn)或非平穩(wěn)的)時(shí)，假定滿足正態(tài)截?cái)喾ǖ臈l件，令則

28、式可以寫成可求得將式代人式，兩邊右乘，得即式右端的期望可以重復(fù)利用正態(tài)截?cái)喾ń惦A，直到表示為和的一階矩、二階矩和二階聯(lián)合矩的函數(shù)。由于激勵(lì)的均值是零，因此，和的一階矩(均值)也為零，而它們的二階矩和二階聯(lián)合矩可容易地由等價(jià)線性方程求得。由于式、和右端的那些期望是由等價(jià)線性方程求得的因此，這些期望表達(dá)式個(gè)總含有和。為了求得和的具體值，一般需用選代法求解。 對于非平穩(wěn)隨機(jī)干擾的情況，由式或可明顯地看出，由于和，直接與反應(yīng)的統(tǒng)計(jì)矩有關(guān)，而非平穩(wěn)反應(yīng)的統(tǒng)計(jì)矩是時(shí)間的函數(shù)，因此，體系的等價(jià)阻尼和剛度和是隨時(shí)間變化的。這時(shí)等價(jià)阻尼和剛度以及體系反應(yīng)統(tǒng)計(jì)矩，需要從的離散時(shí)刻起驟迭代求解，直算到所需要的時(shí)刻。

29、由單自由體系就可以清楚了解隨機(jī)等價(jià)線性化方法，多自由體系求解不再贅述。3.3. 隨機(jī)攝動(dòng)法隨機(jī)攝動(dòng)法是非線性確定性振動(dòng)的攝動(dòng)方法對隨機(jī)問題的直接推廣，它可用來確定弱非線性體系受隨機(jī)激勵(lì)的近似反應(yīng)的統(tǒng)計(jì)矩?？紤]如下單自由度非線性體系式中，是正態(tài)平穩(wěn)隨機(jī)過程。按照攝動(dòng)法的基本思想，假設(shè)方程的解可以展開成參數(shù)的冪級(jí)數(shù)：將在和附近展成Talyor級(jí)數(shù)后，把式代入方程，令的同冪次項(xiàng)相等，則得如下一系列線性方程：令是線性微分算子的單位脈沖反應(yīng)，則方程的解可以按順序依次求得，其平穩(wěn)解可以表示為于是，體系反應(yīng)的統(tǒng)計(jì)矩可由式和求得。由式，得反應(yīng)均值式中其中可按正態(tài)截?cái)喾ń惦A后由和的前二階矩表示出來，也可按如下求期望的公式計(jì)算：由于假定激勵(lì)是正態(tài)過程，所以反應(yīng)和也是正態(tài)過程，因此它們的平穩(wěn)聯(lián)合概率密度由它們的階和二階矩唯一確定。這些一階和二階矩可由式的第一式容易地求出。由式得反應(yīng)的相關(guān)函數(shù)為或?qū)懗善渲械诙€(gè)等式利用了性質(zhì)。由式，可得式中可按正態(tài)截?cái)喾ń到鈦砬蟮?也可用、的三維聯(lián)合高斯概率密度按求期望的方法來確定。式兩邊做Fourier變換，可得反應(yīng)的功率譜密度為式中表示對取實(shí)部。這里利用了的Fourier變換，“*”表示負(fù)共軛，是由的Fourier變換得到的互譜密度。用攝動(dòng)法求