高中數(shù)學(xué)人教A版必修四教學(xué)案：2.1 平面向量的實際背景及基本概念 含答案

1、起核心必知1預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材p74p76的內(nèi)容，回答下列問題(1)我們在物理中學(xué)習(xí)了位移、速度、力等，這些量與我們?nèi)粘Ｉ钪械哪挲g、身高、體重、面積、體積等有什么區(qū)別？提示：位移、速度、力是既有大小又有方向的量，而年齡、身高、體重、面積、體積等只有大小，沒有方向(2)對既有大小，又有方向的量，如何形象、直觀地表示出來？提示：用有向線段(3)若向量a與向量b相等，則它們應(yīng)具備什么條件？提示：長度相等且方向相同2歸納總結(jié)，核心必記(1)向量的概念數(shù)學(xué)中，我們把像力、位移等這種既有大小，又有方向的量叫做向量(2)有向線段帶有方向的線段叫做有向線段，它包含三個要素：起點、方向、

2、長度(3)向量的表示方法向量可以用有向線段表示向量的大小，也就是向量的長度(或稱模)，記作|用字母表示向量：通常在印刷時，用黑體小寫字母a，b，c，表示向量，在手寫時用帶箭頭的小寫字母，表示向量也可用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示，例如，.(4)幾種特殊的向量零向量：長度為0的向量，叫做零向量，記作0.單位向量：長度等于1個單位的向量叫做單位向量相等向量：長度相等且方向相同的向量，叫做相等向量平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，如果向量a和b平行，記作ab；規(guī)定：零向量與任一向量平行，即對于任意向量a，都有0a問題思考(1)兩個向量能比較大小嗎？提示：不能因為向量是具有方向

3、的量(2)向量就是有向線段，這種說法對嗎？提示：不對，向量與有向線段是兩個不同的概念，可以用有向線段表示向量(3)“若ab，且bc，則ac”這個說法對嗎？提示：不對，若b0，則a、c均可以是任意向量，所以a、c不一定平行平面幾何中平行的傳遞性：ab，且bc，則ac，在向量的平行中并不適用解題時我們也要充分考慮0的特殊性課前反思(1)向量的概念：；(2)有向線段：；(3)向量的表示方法：；(4)零向量：；(5)單位向量：；(6)相等向量：；(7)平行向量(共線向量)：講一講1下列說法正確的有_(填序號)若|a|b|，則a與b的長度相等且方向相同或相反；若|a|b|，且a與b的方向相同，則ab；由

4、于0方向不確定，故0不能與任意向量平行；向量a與向量b平行，則向量a與b方向相同或相反；起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量嘗試解答不正確由|a|b|只能判斷兩向量長度相等，不能確定它們方向的關(guān)系正確因為|a|b|，且a與b同向，由兩向量相等的條件，可得ab.不正確依據(jù)規(guī)定：0與任一向量平行不正確因為向量a與向量b若有一個是零向量，則其方向不定正確對于一個向量只要不改變其大小與方向，是可以任意移動的答案：解決與向量概念有關(guān)問題的方法解決與向量概念有關(guān)題目的關(guān)鍵是突出向量的核心方向和長度，如：共線向量的核心是方向相同或相反，長度沒有限制；相等向量的核心是方向相同且長度相等；單位向量的核心

5、是方向沒有限制，但長度都是一個單位長度；零向量的核心是方向沒有限制，長度是0；規(guī)定零向量與任一向量共線只有緊緊抓住概念的核心才能順利解決與向量概念有關(guān)的問題練一練1下列說法錯誤的有_(填上你認(rèn)為所有符合的序號)(1)兩個單位向量不可能平行；(2)兩個非零向量平行，則它們所在直線平行；(3)當(dāng)兩個向量a，b共線且方向相同時，若|a|b|，則ab.解析：(1)錯誤，單位向量也可以平行；(2)錯誤，兩個非零向量平行，則它們所在直線還可能重合；(3)錯誤，兩個向量是不能比較大小的，只有模可以比較大小答案：(1)(2)(3)講一講2(1)如圖，b，c是線段ad的三等分點，分別以圖中各點為起點和終點，可以

6、寫出_個向量(2)在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個小方格邊長為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：，使|4，點a在點o北偏東45°；，使|4，點b在點a正東；，使|6，點c在點b北偏東30°.嘗試解答(1)由向量的幾何表示可知，可以寫出12個向量，它們分別是 (2)由于點a在點o北偏東45°處，所以在坐標(biāo)紙上點a距點o的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等又|4，小方格邊長為1，所以點a距點o的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，于是點a位置可以確定，畫出向量如圖所示由于點b在點a正東方向處，且|4，所以在坐標(biāo)紙上點b距點a的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，于是點b位置可以確定

7、，畫出向量如圖所示由于點c在點b北偏東30°處，且|6，依據(jù)勾股定理可得：在坐標(biāo)紙上點c距點b的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為35.2，于是點c位置可以確定，畫出向量如圖所示答案：(1)12用有向線段表示向量的方法用有向線段表示向量時，先確定起點，再確定方向，最后依據(jù)向量模的大小確定向量的終點必要時，需依據(jù)直角三角形知識求出向量的方向(即夾角)或長度(即模)，選擇合適的比例關(guān)系作出向量練一練2一輛汽車從a出發(fā)向西行駛了100 km到達(dá)b點，然后改變方向向西偏北50°走了200 km到達(dá)c點，又改變方向，向東行駛了100 km到達(dá)d點(1)作出向量；(2)求|.解：(1)向

8、量如圖所示(2)由題意，易知方向相反，故共線所以在四邊形abcd中，ab綊cd，所以四邊形abcd為平行四邊形，思考1兩個向量相等的條件是什么？提示：方向相同，模相等思考2兩個向量共線的條件是什么？名師指津：兩個非零向量的方向相同或相反，則這兩個向量為平行向量，也叫做共線向量.0與任意向量共線講一講3如圖所示，四邊形abcd與abde是平行四邊形(1)找出與向量共線的向量；(2)找出與向量相等的向量嘗試解答(1)依據(jù)圖形可知方向相同，方向相反，所以與向量共線的向量為(2)由四邊形abcd與abde是平行四邊形，知與長度相等且方向相同，所以與向量相等的向量為尋找共線向量或相等向量的方法(1)尋找

9、共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量(2)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是與已知向量方向相同的向量練一練3如圖，abc和abc是在各邊的處相交的兩個全等的等邊三角形，設(shè)abc的邊長為a，圖中列出了長度均為的若干個向量，則(1)與向量相等的向量有_；(2)與向量共線，且模相等的向量有_；(3)與向量共線，且模相等的向量有_解析：向量相等向量方向相同且模相等向量共線表示有向線段所在的直線平行或重合課堂歸納·感悟提升1本節(jié)課的重點是向量的概念、

10、向量的表示方法及幾種特殊的向量，難點是幾種特殊向量的概念及應(yīng)用2要重點掌握向量的三個問題(1)向量有關(guān)概念的辨析，見講1；(2)向量的表示，見講2；(3)相等向量與共線向量的應(yīng)用，見講3.3本節(jié)課要注意兩個區(qū)別(1)向量與數(shù)量數(shù)量只有大小沒有方向，向量既有大小又有方向數(shù)量可以比較大小，向量不能比較大小(2)向量與有向線段區(qū)別：從定義上看，向量有大小和方向兩個要素，而有向線段有起點、方向和長度三個要素，因此它們是兩個不同的量在空間中，有向線段是固定的，而向量是可以自由移動的聯(lián)系：向量可以用有向線段表示，但并不能說向量就是有向線段課下能力提升(十三)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練題組1向量的有關(guān)概念1有下列物理量

11、：質(zhì)量；速度；力；加速度；路程；功其中，不是向量的個數(shù)是()a1 b2 c3 d4解析：選c因為速度、力和加速度既有大小，又有方向，所以它們是向量；而質(zhì)量、路程和功只有大小，沒有方向，所以它們不是向量，故不是向量的個數(shù)是3.2給出下列四個命題：時間、速度、距離都是向量；向量的模是一個正實數(shù)；所有的單位向量都相等；共線向量一定在同一直線上其中正確的命題有()a3個 b2個 c1個 d0個解析：選d時間、距離不是向量；向量的?？梢允?；單位向量的模相等，方向不一定相同；平行向量也叫做共線向量，可以不在同一直線上所以四個命題都不正確3下列說法中，不正確的是()a零向量沒有方向b零向量只與零向量相等c

12、零向量的模為0d零向量與任何向量都共線解析：選a零向量的方向是任意的題組2向量的表示4一個人先向東行進(jìn)了5千米，而后又向西行進(jìn)了3千米，那么這個人總共()a向東行進(jìn)了8千米 b向東行進(jìn)了2千米c向東行進(jìn)了5千米 d向西行進(jìn)了3千米解析：選b記向東方向為正，則向東行進(jìn)了5千米為5千米，向西行進(jìn)了3千米為3千米，則5(3)2，表示向東行進(jìn)了2千米5如圖，在矩形abcd中，可以用一條有向線段表示的向量是()解析：選b方向相同且大小相等，是相等向量，故可以用一條有向線段表示6在如圖的方格紙中，畫出下列向量(1)| |3，點a在點o的正西方向；(2)| |3，點b在點o北偏西45°方向；(3)

13、求出|的值解：取每個方格的單位長為1，依題意，結(jié)合向量的表示可知，(1)(2)的向量如圖所示(3)由圖知，aob是等腰直角三角形，所以|題組3相等向量與共線向量7在abc中，點d、e分別為邊ab、ac的中點，則如圖所示的向量中，相等向量有()a一組 b二組 c三組 d四組解析：選a由向量相等的定義可知，只有一組向量相等，即8如圖，點o是正六邊形abcdef的中心，則以圖中點a，b，c，d，e，f，o中的任意一點為起點，與起點不同的另一點為終點的所有向量中，與向量共線的向量共有()a2個 b3個 c6個 d9個解析：選d與向量共線的向量有共9個9已知a，b，c是不共線的三點，向量m與向量是平行向

14、量，與是共線向量，則m_解析：a，b，c不共線，與不共線，又m與，都共線，m0.答案：010如圖，o為正方形abcd對角線的交點，四邊形oaed、ocfb都是正方形在圖中所示的向量中，(1)分別寫出與相等的向量；(2)寫出與共線的向量；(3)寫出與模相等的向量 能力提升綜合練1如圖所示，在正三角形abc中，p、q、r分別是ab、bc、ac的中點，則與向量相等的向量是()解析：選b向量相等要求模相等，方向相同，因此與都是和相等的向量2設(shè)四邊形abcd中，有則這個四邊形是()a平行四邊形b矩形c等腰梯形 d菱形解析：選c則dcab，且dc與ab不相等，所以四邊形abcd是梯形，又則梯形的兩腰相等3

15、如圖所示，梯形abcd中，對角線ac與bd交于點p，點e，f分別在兩腰ad，bc上，ef過點p，且efab，則下列等式成立的是()解析：選d根據(jù)相等向量的定義，分析可得：4給出下列命題：若|a|0，則 a0；若|a|b|，則ab或ab；若ab，則|a|b|.其中，正確的命題有()a0個 b1個c2個 d3個解析：選a忽略了0與0的區(qū)別，a0；混淆了兩個向量的模相等和兩個實數(shù)相等，兩個向量的模相等，只能說明它們的長度相等，它們的方向并不確定；兩個向量平行，可以得出它們的方向相同或相反，未必得到它們的模相等5設(shè)a0，b0分別是a，b的單位向量，則下列結(jié)論中正確的是_(填序號)a0b0；a0b0；|

16、a0|b0|2；a0b0.解析：因為a0，b0是單位向量，|a0|1，|b0|1，所以|a0|b0|2.答案：6已知在邊長為2的菱形abcd中，abc60°，則|_解析：易知acbd，且abd30°，設(shè)ac與bd交于點o，則aoab1.在rtabo中，易得|，則|2|2.答案：27有下列說法：若ab，則a一定不與b共線；若則a，b，c，d四點是平行四邊形的四個頂點；在abcd中，一定有若ab，bc，則ac；共線向量是在一條直線上的向量其中，正確的說法是_解析：對于，兩個向量不相等，可能是長度不相等，方向相同或相反，所以a與b有共線的可能，故不正確；對于，a，b，c，d四點可能在同一條直線上，故不正確；對于，在abcd中，平行且方向相同，所以，故正確；對于，ab，則|a|b|