14數(shù)值分析512二元函數(shù)插值

1、 xyo o第一種（網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)）：第一種（網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)）：第二種（散亂節(jié)點(diǎn)）：第二種（散亂節(jié)點(diǎn)）： yx0 0 注意：注意：最鄰近插值一般不連續(xù)。具有連續(xù)性的最簡單的插值是分片線性插值。最最 鄰鄰 近近 插插 值值x y(x1, y1)(x1, y2)(x2, y1)(x2, y2)o o 二維或高維情形的最鄰近插值，與被插值點(diǎn)最鄰近的節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值即為所求。分分 片片 線線 性性 插插 值值 xy (xi, yj)(xi, yj+1)(xi+1, yj)(xi+1, yj+1)o o二元函數(shù)插值：二元函數(shù)插值： 設(shè)實(shí)值函數(shù)設(shè)實(shí)值函數(shù) f (x, y) 定義在矩形區(qū)域定義在矩形區(qū)域 d =a x b,

2、 c y d , z =(xi, yj)| a x0 x1 xn b, c y0 y1 ym d .取在取在 z 上線性無關(guān)的函數(shù)組上線性無關(guān)的函數(shù)組 kr x, y | k=0,1, , n; r=0,1, , m . 其中，其中， kr x, y 是次數(shù)關(guān)于是次數(shù)關(guān)于 x 不高于不高于 n 次、次、 關(guān)于關(guān)于 y 不高于不高于 m 次的次的二元二元多項(xiàng)式。多項(xiàng)式。 在函數(shù)空間在函數(shù)空間 d d span 00, , 0m, , n0, , nm 上尋找二元插值多項(xiàng)式上尋找二元插值多項(xiàng)式 使其滿足插值條件使其滿足插值條件此問題就是二元函數(shù)的代數(shù)插值問題。此問題就是二元函數(shù)的代數(shù)插值問題。 如

3、同一元的情況如同一元的情況, 滿足插值條件滿足插值條件(5.11)的二元的二元插值函數(shù)是插值函數(shù)是唯一唯一存在存在的。的。,00( , )( , )(5.10)nmnmk rk rkrpx ycx y( ,)( ,),0,1,., ;0,1,., . (5.11)nmijijpx yf x yin jmlagrange 插值曲面插值曲面取插值基函數(shù)取插值基函數(shù)( , )( ) ( ),0,1,., ;0,1,.,.krkrx ylx lykn rm其中其中0,0,( ),( ).(5.12)nnttkrtt ktt rktrtxxyylxlyxxyy這樣的這樣的 kr x, y 滿足滿足 1,

4、 ( , )( , )( ,)0, ( , )( , )kriji jk rx yi jk r 因此因此, kr x, y 在點(diǎn)集在點(diǎn)集(xi, yj)上線性無關(guān)上線性無關(guān), 且易且易知知, 滿足插值條件滿足插值條件(5.11) 的插值多項(xiàng)式為的插值多項(xiàng)式為 式式(5.13)叫做叫做 lagrange 形式的插值曲面形式的插值曲面.近似式近似式 (x, y) pnm(x, y) (5.14)叫做二元函數(shù)的叫做二元函數(shù)的lagrange插值公式插值公式. 式式 (5.14) 的的余項(xiàng)余項(xiàng) 或或 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差為為rnm(x, y) (x, y) pnm(x, y)00( , )( ) ( )

5、(,)(5.13)nmnmkrkrkrpx ylx ly f xy11(1)(1)110( )( )( , )( , )( )(, )(5.15)(1)!(1)!nmnnmnmnmkkxykxyrx yfylx fxnm11(1)(1)110( )( )( , )( , )( )(, )(5.15)(1)!(1)!nmnnmnmnmkkxykxyrx yfylx fxnm證明證明：rnm(x, y) (x, y) pnm(x, y).()()!1()(),()!1()()()()()()()()()()()1(01)1(1000011,xfxl myy fnx ,yxfxlyl ,yxfxl,

6、yxfxlx,yfx,yrkmynkkmnxnmrnkrkkrnkkknkkknmmn(5.15)()()!1()(),()!1()()()()()()()()()()()1(01)1(1000011rnxmrrnmymnkmrrkrkmrrrmrrrnm,yfyl nxx fmy ,yxfylxl x,yfylx,yfylx,yfx,yrnm(5.16)證明證明：rnm(x, y) (x, y) pnm(x, y)例例2 試?yán)迷嚴(yán)胒 (x,y)的函數(shù)表的函數(shù)表 建立建立x為二次、為二次、y為一次的二元插值多項(xiàng)式為一次的二元插值多項(xiàng)式p21(x,y)，用以計(jì)算用以計(jì)算f (0.3,0.8)的近似值。的近似值。 f x y-1010.50.250.5110.430.871.73解：解：由由n=2，m=1的二元插值多項(xiàng)式的二元插值多項(xiàng)式(5.13)可得可得89984. 0)8 . 0 , 3 . 0()8 . 0 , 3 . 0(13. 074. 01 . 004. 055. 017. 0)73. 15 . 015 . 0115 . 01)(1(21)87. 05 . 015 . 05 . 015 . 01)(1)(1()43. 05 . 015 . 025. 015 . 01)(1(21),()()(),(212220102