復(fù)變函數(shù)第六講

1、第六講解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 在在3.63.6我們證明了在我們證明了在d內(nèi)的解析函數(shù)內(nèi)的解析函數(shù),其導(dǎo)數(shù)其導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)仍為解析函數(shù),所以解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)。本節(jié)所以解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)。本節(jié)利用這一重要結(jié)論研究解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)之間利用這一重要結(jié)論研究解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)之間的關(guān)系。的關(guān)系。內(nèi)內(nèi) 容容 簡簡 介介3.7 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系.),()00:),(2222內(nèi)內(nèi)的的調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)為為則則稱稱即即（方方程程續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)且且滿滿足足內(nèi)內(nèi)具具有有二二階階連連在在若若二二元元實實變變函函數(shù)數(shù)dyxyxlaplacedyx 定義

2、定義內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。是是，內(nèi)解析內(nèi)解析在區(qū)域在區(qū)域若若dyxvvyxuudyxivyxuzf),(),(),(),()( 定理定理證明：證明：設(shè)設(shè)f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在區(qū)域在區(qū)域d內(nèi)解析，則內(nèi)解析，則xvyuyvxurc 方方程程由由yxvyuxyvxu 222222從從而而有有xyvyxvyxvyxu 22.),(),(具具有有任任意意階階的的連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)理理由由解解析析函函數(shù)數(shù)高高階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)定定, 0 d2222 yuxu內(nèi)有內(nèi)有故在故在0 2222 yvxv同理有同理有0, 0 vu2222yx 其其中中即即u及及v 在在d內(nèi)滿足拉普拉斯內(nèi)滿足拉普

3、拉斯(laplace)方程方程:內(nèi)內(nèi)的的調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)。是是，dyxvvyxuu),(),( .),(),(d,),(的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)為為函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)構(gòu)構(gòu)成成解解析析函函數(shù)數(shù)的的調(diào)調(diào)和和在在稱稱使使得得內(nèi)內(nèi)的的調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)yxuyxvivudyxu 定義定義上面定理說明：上面定理說明：.部部的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)解解析析函函數(shù)數(shù)的的虛虛部部是是實實d.),(),(),(),()(,的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)必必為為內(nèi)內(nèi)在在內(nèi)內(nèi)解解析析在在即即yxuuyxvddyxivyxuzf 由解析的概念得：由解析的概念得：.,:的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)必必為為調(diào)調(diào)

4、和和函函數(shù)數(shù)的的兩兩個個方方程程內(nèi)內(nèi)滿滿足足在在uvvuvuvurcdxyyx ., 一一定定解解析析內(nèi)內(nèi)就就不不在在則則內(nèi)內(nèi)的的兩兩個個調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)區(qū)區(qū)域域是是任任意意選選取取的的在在若若divudvu 現(xiàn)在研究反過來的問題：現(xiàn)在研究反過來的問題：.的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)不不是是yxuyxv 如如)11)()()(xyyxvuvuzyxiyxivuzf 處處不解析處處不解析平面上平面上在在（由由此此，的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)必必須須是是方方程程，即即還還必必須須滿滿足足及及內(nèi)內(nèi)解解析析在在要要想想使使.,uvrcvudivu .),(),(ivuyxvrcyxu 從從而而構(gòu)構(gòu)成

5、成解解析析函函數(shù)數(shù)程程可可求求得得它它的的虛虛部部方方利利用用部部已已知知一一個個解解析析函函數(shù)數(shù)的的實實),(yxv虛虛部部),(yxu實實部部0,),(,2222 yuxudyxud則則函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)的的調(diào)調(diào)和和是是區(qū)區(qū)域域一一單單連連通通區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)內(nèi)內(nèi)有有連連續(xù)續(xù)一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在、即即dxuyu ,dyxudxyudyyvdxxvxuxyuy )()(且且),(yxdvv )(),(),(),(00 cdyxudxyuyxvyxyx.內(nèi)內(nèi)解解析析在在方方程程滿滿足足divurcxuyvyuxv .)(),()(,),( 內(nèi)解析內(nèi)解析在在使得使得式所確定的式所確定的則則內(nèi)調(diào)和函數(shù)內(nèi)

6、調(diào)和函數(shù)在單連通在單連通設(shè)設(shè)divuzfyxvdyxu 定理定理a 公式不用強記！可如下推出：公式不用強記！可如下推出：dyxvdxyvdyyvdxxvdurc 方方程程由由然然后后兩兩端端積積分分。由由求求其其共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)已已知知：方方程程dyudxudyyvdxxvdvyxvyxuxyrc :),(),(類似地，類似地， 然后兩端積分得，然后兩端積分得，)(),(),(),(00 cdyvdxvyxuyxyxxya 調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場理論等實際調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場理論等實際問題中都有重要應(yīng)用。本節(jié)介紹了調(diào)和函數(shù)與解問題中都有重要應(yīng)用。本節(jié)介紹了調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)的

7、關(guān)系。析函數(shù)的關(guān)系。iifyxyxuivuzf 1)()(22由由下下列列條條件件求求解解析析函函數(shù)數(shù)例例1dyyxdxxydyyvdxxvdvxyyuxvyxxuyv)2()2(22 解解cyxyxcdyyxxdxcdyyxdxxyyxvyxoyx 222)2()2()2(),(220),()0,0(曲線積分法曲線積分法icziiciyxiiyxcyxyxixyyxzf 2222222)211()(2)()21221()()(故故2)21()(211)21(1)(22izizfciiciiiif 代代入入上上式式得得，a )(21),(21zziyzzx )22(22222yxddxyydy

8、xdxxdyydx dyyxdxxydyyvdxxvdv)2()2( 又解又解cyxyxyxv 222),(22)21221()()(2222cyxyxixyyxzf 湊湊全全微微分分法法)(2222xyxyvyxyv )21221()()(2222cyxyxixyyxzf 又解又解偏偏積積分分法法xyxyxvxv 2)( 2 cxx 2)(2 cxyxyyxv 222),(22xx )( )2()2()( yxiyxiuuivuzfyxxx )21221()()(2222cyxyxixyyxzf 又解又解不不定定積積分分法法)(2()()(2iyxiiyxiiyx zi 2iczizf 22

9、2)(& 1. 復(fù)數(shù)列的極限復(fù)數(shù)列的極限& 2. 級數(shù)的概念級數(shù)的概念第第 四四 章章 級級 數(shù)數(shù)ch44.1 復(fù)數(shù)項級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù) 1. 復(fù)數(shù)列的極限復(fù)數(shù)列的極限定義定義,), 2 , 1(nnnniban 其其中中設(shè)設(shè)復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列： ，iba 又設(shè)復(fù)常數(shù)：又設(shè)復(fù)常數(shù)：時時的的極極限限，當(dāng)當(dāng)稱稱為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列那那么么，恒恒有有若若 nnnnnn, 0, 0 定理定理1.lim,limlimbbaannnnnn 證明證明 nnnnnn恒恒有有即即，”已已知知“, 0, 0lim.,lim 收收斂斂于于此此時時，也也稱稱復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列時時，或或當(dāng)當(dāng)記記作作nnnnn .lim,l

10、im)()()()(22bbaabbaabbaabbiaannnnnnnnnnnnn 故故又又 .lim)()(22, 0, 0lim,lim nnnnnnnnnnnnnbbaabbiaabbaannnbbaa故故又又，恒恒有有即即，”已已知知“2. 級數(shù)的概念級數(shù)的概念 nnn 211 niinns121 級數(shù)的前面級數(shù)的前面n項的和項的和-級數(shù)的部分和級數(shù)的部分和稱為級數(shù)的和稱為級數(shù)的和ssnn lim稱稱為為收收斂斂級級數(shù)數(shù) 1nn 不收斂不收斂稱稱為為發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù) 1nn -無窮級數(shù)無窮級數(shù)定義定義), 2 , 1( nibannn 設(shè)復(fù)數(shù)列：設(shè)復(fù)數(shù)列： 收收斂斂若若部部分分和和數(shù)

11、數(shù)列列ns例例1解解的斂散性。的斂散性。判別判別 123nniisiisnnnnjjn3lim),211(3231 又又.3,i且且和和為為級級數(shù)數(shù)收收斂斂定理定理2都都收收斂斂。和和收收斂斂級級數(shù)數(shù) 111nnnnnnba 都收斂。都收斂。和和由定理，由定理， 111111lim,limlim)(nnnnnnnnnnnnnkknkkknkknkknbabaibasibiaibas 證明證明a 由定理由定理2，復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂問題可歸之為，復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂問題可歸之為 兩個實數(shù)項級數(shù)的收斂問題。兩個實數(shù)項級數(shù)的收斂問題。. 0lim: nn 收收斂斂的的必必要要條條件件級級數(shù)數(shù) 1nn 性質(zhì)性

12、質(zhì)定理定理3.1111 nnnnnnnn 收收斂斂，且且收收斂斂若若證明證明222222,nnnnnnnnnnnbabbaabaiba 收斂。收斂。得得由定理由定理均絕對收斂，均絕對收斂，和和由比較判定法由比較判定法 1112nnnnnnba 1111,nnnnnkknkk a 收斂.收斂.收斂收斂若若 11nnnn ?)1(:(1 nnni例例如如定義定義.11111條條件件收收斂斂為為收收斂斂，則則稱稱發(fā)發(fā)散散，而而若若為為絕絕對對收收斂斂；收收斂斂，則則稱稱若若 nnnnnnnnnn 由定理由定理3的證明過程，及不等式的證明過程，及不等式:22有有nnnnbaba 定理定理4都都收收斂斂

13、。和和收收斂斂級級數(shù)數(shù) 111nnnnnnba 解解.)1(111)1(1121發(fā)發(fā)散散收收斂斂，發(fā)發(fā)散散， nnnninnn絕絕對對收收斂斂。收收斂斂， 000!)8(!8!8)2(nnnnnnninni.)2)1(21)1()3(111收收斂斂收收斂斂，收收斂斂， nnnnnnninn例例2否否絕絕對對收收斂斂？下下列列級級數(shù)數(shù)是是否否收收斂斂？是是 011)2)1()3(!)8()2()1(1)1(nnnnnninninin.)1(1原原級級數(shù)數(shù)非非絕絕對對收收斂斂收收斂斂，條條件件又又 nnn例例3的斂散性。的斂散性。討論討論 0!nnnz解解斂。斂。在復(fù)平面上處處絕對收在復(fù)平面上處處

14、絕對收令令 000!,nnrnnnnnzenrnzrz練習(xí)：練習(xí)：的斂散性。的斂散性。討論討論 011nnien 的斂散性。的斂散性。討論討論 02cosnnin2cosnneein & 1. 冪級數(shù)的概念冪級數(shù)的概念& 2. 收斂定理收斂定理& 3. 收斂圓與收斂半徑收斂圓與收斂半徑& 4. 收斂半徑的求法收斂半徑的求法& 5. 冪級數(shù)的運算和性質(zhì)冪級數(shù)的運算和性質(zhì)4.2 冪級數(shù)冪級數(shù)1. 冪級數(shù)的概念冪級數(shù)的概念定義定義設(shè)復(fù)變函數(shù)列：設(shè)復(fù)變函數(shù)列：)1()()()()(211 zfzfzfzfnnn, 2 , 1,)( ndzzfn-稱為復(fù)變函數(shù)項級

15、數(shù)稱為復(fù)變函數(shù)項級數(shù)級數(shù)的最前面級數(shù)的最前面n項的和項的和 nkknnzfzfzfzfzs121)()()()()(-級數(shù)的部分和級數(shù)的部分和,)1()(lim),(,)1(),()(lim000000發(fā)發(fā)散散不不存存在在，稱稱級級數(shù)數(shù)其其和和為為收收斂斂在在稱稱級級數(shù)數(shù)若若zszszzszsdznnnn 若級數(shù)若級數(shù)(1)在在d內(nèi)處處收斂，其和為內(nèi)處處收斂，其和為z的函數(shù)的函數(shù))()()()(21zfzfzfzsn -級數(shù)級數(shù)(1)的和函數(shù)的和函數(shù)特殊情況，在級數(shù)特殊情況，在級數(shù)(1)中中得得nnnzzczf)()(0 ) 2()(00 nnnzzc)3(000 nnnzcz當(dāng)當(dāng)稱為冪級數(shù)稱

16、為冪級數(shù)并并不不失失一一般般性性。研研究究級級數(shù)數(shù)中中令令在在)3()2()2(00 kknczz 2. 收斂定理收斂定理同實變函數(shù)一樣，復(fù)變冪級數(shù)也有所謂的收斂定理：同實變函數(shù)一樣，復(fù)變冪級數(shù)也有所謂的收斂定理：定理定理1 (阿貝爾阿貝爾(able)定理）定理）.,)0(000級級數(shù)數(shù)必必絕絕對對收收斂斂的的則則對對滿滿足足收收斂斂在在若若級級數(shù)數(shù)zzzzzzcnnn .,00級級數(shù)數(shù)必必發(fā)發(fā)散散的的則則對對滿滿足足發(fā)發(fā)散散若若級級數(shù)數(shù)在在zzzzz ,2,1 ,0,max00202010 nmzczczczccmnnnn故故取取 證明證明，即即則則收收斂斂0lim,)1(000 nnnnn

17、nzczc nnzcnnn000，恒恒有有，1,00 qzzzz則則若若,00nnnnnnmqzzzczc ,0收收斂斂由由于于 nnmq,0收收斂斂由由比比較較判判別別法法得得 nnnzc絕對收斂。絕對收斂。 0nnnzc(2)用反證法，用反證法，3. 收斂圓與收斂半徑收斂圓與收斂半徑收斂，收斂，有，有設(shè)設(shè) 01011,nnnzczzz由由able定理，冪級數(shù)的收斂范圍不外乎下述定理，冪級數(shù)的收斂范圍不外乎下述三種情況：三種情況：(i)若對所有正實數(shù)都收斂，級數(shù)若對所有正實數(shù)都收斂，級數(shù)(3)在復(fù)平面上處在復(fù)平面上處處收斂。處收斂。！收收斂斂與與假假設(shè)設(shè)矛矛盾盾，得得證證知知由由 00)1(

18、nnnzc(ii )除除z=0外，對所有的正實數(shù)都是發(fā)散的，這時，外，對所有的正實數(shù)都是發(fā)散的，這時， 級數(shù)級數(shù)(3)在復(fù)平面上除在復(fù)平面上除z=0外處處發(fā)散。外處處發(fā)散。.)3(:)3(:發(fā)發(fā)散散數(shù)數(shù)外外，級級在在圓圓周周收收斂斂；內(nèi)內(nèi)，級級數(shù)數(shù)定定理理，在在圓圓周周由由 zczcable., 0, 0)(00發(fā)發(fā)散散使使得得收收斂斂使使得得 nnnnnncciii 顯然，顯然， 否則，級數(shù)否則，級數(shù)(3)將在將在 處發(fā)散。處發(fā)散。將收斂部分染成紅色，發(fā)散將收斂部分染成紅色，發(fā)散部分染成藍(lán)色，部分染成藍(lán)色， 逐漸變大，逐漸變大，在在c c 內(nèi)部都是紅色內(nèi)部都是紅色, , 逐漸變逐漸變小，在小

19、，在c c 外部都是藍(lán)色，外部都是藍(lán)色，紅、藍(lán)色不會交錯。紅、藍(lán)色不會交錯。故故藍(lán)兩色的分界線。藍(lán)兩色的分界線。為紅、為紅、一定一定,rzcr ： 播放播放rrca ( (i) )冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)部收斂，在收斂圓外冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)部收斂，在收斂圓外部發(fā)散，在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問題部發(fā)散，在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問題要具體分析。要具體分析。定義定義這個紅藍(lán)兩色的分界圓周這個紅藍(lán)兩色的分界圓周cr叫做冪級數(shù)的叫做冪級數(shù)的收斂圓；這個圓的半徑收斂圓；這個圓的半徑r叫做冪級數(shù)的收斂半徑。叫做冪級數(shù)的收斂半徑。(ii)冪級數(shù)冪級數(shù)(3)的收斂范圍是以的收斂范圍是以0為中心，半徑為為中心，

20、半徑為r的圓域；冪級數(shù)的圓域；冪級數(shù)(2)的收斂范圍是以的收斂范圍是以z0為中心為中心,半徑半徑為為r的圓域的圓域.4. 收斂半徑的求法收斂半徑的求法的的收收斂斂半半徑徑求求法法，有有關(guān)關(guān)于于冪冪級級數(shù)數(shù))3(0 nnnzc 定理定理2(比值法比值法) 000/1lim1rccnnn，則，則若若zzcczczcinnnnnnnn 111limlim, 0)(證明證明發(fā)發(fā)散散，時時時時，即即當(dāng)當(dāng)絕絕對對收收斂斂；時時即即時時當(dāng)當(dāng) 00,11,1,1nnnnnnzczzzczz !,01矛矛盾盾收收斂斂 nnnzc.1:0也也發(fā)發(fā)散散時時，當(dāng)當(dāng)以以下下證證 nnnzcz ,1,000收收，外外有有

21、一一點點設(shè)設(shè)在在用用反反證證法法 nnnzczz :1,011定理得定理得，由，由滿足滿足再取一點再取一點ablezzz .1,10 rzcznnn故故發(fā)散發(fā)散時，時，當(dāng)當(dāng)即即發(fā)發(fā)散散 ,00 nnnzc收收斂斂都都有有時時，對對若若 00)(nnnzczii ;0 rzcnnn故故在復(fù)平面上處處收斂，在復(fù)平面上處處收斂，.,0)(00也也發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散，從從而而有有外外，對對一一切切時時，除除當(dāng)當(dāng) nnnnnnzczczziii . 0!0,001101000 rzczzzzcznnnnnn故故收收斂斂，矛矛盾盾，滿滿足足則則收收斂斂否否則則，如如果果有有一一點點 定理定理3(根值法根值法

22、) 000/1limrcnnn，則，則若若 定理定理3(根值法根值法) 000/1limrcnnn，則，則若若 定理定理2(比值法比值法) 000/1lim1rccnnn，則，則若若例例1的收斂范圍及和函數(shù)。的收斂范圍及和函數(shù)。求冪級數(shù)求冪級數(shù) nnnzzzz201121 nnzzzs又又zzn 11解解11lim1 rccnnn.11lim, 0lim1zszznnnn 時，時，當(dāng)當(dāng)., 0lim1級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散時時，當(dāng)當(dāng) nnzz 綜上綜上 .1;111,0時時當(dāng)當(dāng)發(fā)散發(fā)散時時當(dāng)當(dāng)且和函數(shù)為且和函數(shù)為收斂收斂zzzznn例例2 求下列冪級數(shù)的收斂半徑并討論收斂圓周上的情形求下列冪級數(shù)的收

23、斂半徑并討論收斂圓周上的情形:解解 (1); )0() 1 (1 npnpnz;)1)(ch)2(1 nnzni.)ln()3(1nninz nnncc1lim 1)1(lim pnnn1 r,1時時當(dāng)當(dāng) z,1時時當(dāng)當(dāng) z,)1(1 nnn級級數(shù)數(shù)為為,11 nn級級數(shù)數(shù)為為該級數(shù)收斂該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散該級數(shù)發(fā)散p=1p=2,1上上在在圓圓周周 z 1122,1nnnnnz是是收收斂斂的的該級數(shù)在收斂圓上是該級數(shù)在收斂圓上是處處處處收斂的。收斂的。nninnineenicninin1cos1sin1cos1sin1cos21)(21ch)2( nnncc1lim 11cos11coslim nnn1 r,11上上在在圓圓周周 z 11)1(cos)1)(ch(nninnenzni 1)1)(ch(, 0)1(coslimnninnznien發(fā)發(fā)散散。 綜上綜上該級數(shù)發(fā)散。該級數(shù)發(fā)散。該級數(shù)收斂，該級數(shù)收斂，時時，當(dāng)當(dāng)11 z時時，當(dāng)當(dāng)11 z;)1)(ch)2(1 nnzni222)2(ln1ln1nnnninc r222lnln2ln)arg(ln)ln()3( ninininiinin其其中中：nnnnnnnc222)2(ln1limlim 故故0)2(ln1lim2122 nn.)ln()3(1nninz 故該級數(shù)在復(fù)平面上是處處收斂的故該級數(shù)在復(fù)平面上是處處收斂