65,66二階常系數(shù)線性方程

1、一、線性微分方程的解法一、線性微分方程的解法(一一) 線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題問(wèn)題: :一一定定是是通通解解嗎嗎？2211ycycy )1(0)()( yxqyxpy1.二階齊次方程解的結(jié)構(gòu)二階齊次方程解的結(jié)構(gòu):例如例如xx22sin,cos1，xxxeee2, ，線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)線性相關(guān)線性相關(guān)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)),( x 1).函數(shù)的線性相關(guān)性函數(shù)的線性相關(guān)性例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常數(shù)常數(shù)且且 xyy.sincos21xcxcy 2) 2)二階齊次線性方程的通解二階齊次線性方程的通解2.二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)二階非齊次線性方程

2、的解的結(jié)構(gòu) 1)通解的構(gòu)成通解的構(gòu)成 2) 特解的疊加原理特解的疊加原理(二二) 降階法與常數(shù)變易法降階法與常數(shù)變易法1.齊次線性方程求線性無(wú)關(guān)特解齊次線性方程求線性無(wú)關(guān)特解-降階法降階法的一個(gè)非零特解，的一個(gè)非零特解，是方程是方程設(shè)設(shè))1(1y12)(yxuy 令令代入代入(1)式式, 得得, 0)()()(2(111111 uyxqyxpyuyxpyuy,uv 令令則有則有, 0)(2(111 vyxpyvy, 0)(2(111 uyxpyuy即即解得解得,1)(21 dxxpeyvdxeyudxxp )(211,1)(2112dxeyyydxxp 劉維爾公式劉維爾公式齊次方程通解為齊次方

3、程通解為.1)(211211dxeyycycydxxp 0)(2(111 vyxpyvy降階法降階法的一階方程的一階方程 v設(shè)對(duì)應(yīng)齊次方程通解為設(shè)對(duì)應(yīng)齊次方程通解為2211ycycy (3)設(shè)非齊次方程通解為設(shè)非齊次方程通解為2211)()(yxcyxcy 22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 設(shè)設(shè)0)()(2211 yxcyxc22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy (4)2.非齊次線性方程通解求法非齊次線性方程通解求法-常數(shù)變易法常數(shù)變易法得得代入方程代入方程將將),2(,yyy )()()()()()()()()(222211112211xfyx

4、qyxpyxcyxqyxpyxcyxcyxc )()()(2211xfyxcyxc (5)(4),(5)聯(lián)立方程組聯(lián)立方程組 )()()(0)()(22112211xfyxcyxcyxcyxc, 0)(2121 yyyyxw系數(shù)行列式系數(shù)行列式,)()()(21xwxfyxc ,)()()(12xwxfyxc 積分可得積分可得,)()()(211 dxxwxfycxc,)()()(122 dxxwxfycxc非齊次方程通解為非齊次方程通解為.)()()()(12212211 dxxwxfyydxxwxfyyycycy.1111的通解的通解求方程求方程 xyxyxxy解解, 01111 xxx對(duì)

5、應(yīng)齊方一特解為對(duì)應(yīng)齊方一特解為,1xey 由劉維爾公式由劉維爾公式 dxeeeydxxxxx1221,x 對(duì)應(yīng)齊方通解為對(duì)應(yīng)齊方通解為.21xecxcy 例例,)()(21xexcxxcy 設(shè)原方程的通解為設(shè)原方程的通解為應(yīng)滿足方程組應(yīng)滿足方程組，)()(21xcxc 1)()(0)()(2121xxcexcxcexcxxx解得解得 xxexcxc)(1)(2122)(cexexcxx ，11)(cxxc 原方程的通解為原方程的通解為. 1221 xxecxcyx 小結(jié)小結(jié)主要內(nèi)容主要內(nèi)容線性方程解的結(jié)構(gòu)；線性方程解的結(jié)構(gòu)；線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)；線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)；降階法與常數(shù)變易法；降階法與常

6、數(shù)變易法；補(bǔ)充內(nèi)容補(bǔ)充內(nèi)容可觀察出可觀察出一個(gè)特解一個(gè)特解0)()( yxqyxpy, 0)()()1( xxqxp若若;xy 特解特解, 0)()(1)2( xqxp若若;xey 特特解解, 0)()(1)3( xqxp若若.xey 特特解解(三）三） 齊次線性方程齊次線性方程 1.定義定義 2. 解法解法)(xfqyypy 1,2jr xjjye由此得特解：1,2,2pr 特征根：.20rxy erpr q 20rprq特征方程：1 1、由對(duì)結(jié)果的猜想得：、由對(duì)結(jié)果的猜想得：2 2、對(duì)判別式的討論、對(duì)判別式的討論齊次線性方程齊次線性方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)根有兩個(gè)不相等的實(shí)根,2421qpp

7、r ,2422qppr 由定理由定理2得通解：得通解：;2121xrxrececy )0( 特征根為特征根為 有兩個(gè)相等的實(shí)根有兩個(gè)相等的實(shí)根12,rxyye特解:)0( 特征根為特征根為12,2prrr 問(wèn)：如何求通解？問(wèn)：如何求通解？通解顯然不是通解顯然不是1122y = c y + c y.21yy原因：常數(shù)。2r xxe1r再回顧：常數(shù)e122r xr xeey1（此時(shí)稱y與線性無(wú)關(guān)）。于是須尋找新函數(shù)于是須尋找新函數(shù)313331:rxyyeyyyy1 與 有關(guān)常數(shù)（即y 與 線性無(wú)關(guān)）331,rxyxyyxe由簡(jiǎn)單性原則猜得：（常數(shù)變易法），即由此得通解：由此得通解：12rxycc

8、xe注注:也可由降階法也可由降階法(劉維爾公式劉維爾公式)得得y3 有一對(duì)共軛復(fù)根有一對(duì)共軛復(fù)根,1 jr ,2 jr ,)(1xjey ,)(2xjey )0( 特征根為特征根為12(ixixyc ec e得通解：復(fù)數(shù)形式）如何得實(shí)數(shù)解？如何得實(shí)數(shù)解？由歐拉公式由歐拉公式cossin1iyieyiye注：cossinx iyiyxxee eey iy121122coscossin2,cossinsin2xxxxyyexyexixyyyexixexi12122122,22yyyyyi 1y1,y2 是齊次線性方程的解，則是齊次線性方程的解，則:由此得由此得:1212cos,sin22xxyyy

9、yexexi也是原方程的解也是原方程的解.由定理由定理1:也是原方程的解也是原方程的解.12,c cx12y=ec cos x+c sin x由此得通解：可任取。綜上得特征方程法：綜上得特征方程法： 12122.rxrrrycc x e二階常系數(shù)齊次線性方程解法小結(jié)二階常系數(shù)齊次線性方程解法小結(jié)2120,rprqr r解解特特征征方方程程：得得：； 1212121;r xr xrryc ec e 12cossin.:(0)axyecxcxri 。特特例例12,c c以以上上可可任任取取。例例.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0442 rr解得解得,221 rr故

10、所求通解為故所求通解為.)(221xexccy 例例1 1.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0522 rr解得解得,2121jr ，故所求通解為故所求通解為).2sin2cos(21xcxceyx 例例2 2一一、 求求下下列列微微分分方方程程的的通通解解: : 1 1、04 yy； 2 2、02520422 xdtdxdtxd； 3 3、0136 yyy； 4 4、0365)4( yyy. .二、二、 下列微分方程滿足所給初始條件的特解下列微分方程滿足所給初始條件的特解: : 1 1、0,2,04400 xxyyyyy； 2 2、3,0,013400 xxyy

11、yyy. .三、三、 求作一個(gè)二 階常系數(shù) 齊次線性微分方程求作一個(gè)二 階常系數(shù) 齊次線性微分方程, ,使使3,2,1 xxxeee都是它的解都是它的解 . .四、四、 設(shè)圓柱形浮筒設(shè)圓柱形浮筒, ,直徑為直徑為m5 . 0, ,鉛直放在水中鉛直放在水中, ,當(dāng)稍當(dāng)稍向下壓后突 然放開(kāi)向下壓后突 然放開(kāi), ,浮筒 在水中上 下振動(dòng)的浮筒 在水中上 下振動(dòng)的s2周期為周期為, ,求浮筒的質(zhì)量求浮筒的質(zhì)量 . .練練 習(xí)習(xí) 題題練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、xeccy421 ； 2 2、tetccx2521)( ； 3 3、)2sin2cos(213xcxceyx ； 4 4、xcxcece

12、cyxx3sin3cos432221 . .二、二、1 1、)2(2xeyx ； 2 2、xeyx3sin2 . .三、三、0 yy. (. (提示提示: :為兩個(gè)為兩個(gè)xe, 1線性無(wú)關(guān)的解線性無(wú)關(guān)的解) )四、四、195 mkg.kg.（四）非齊次線性方程（四）非齊次線性方程)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程對(duì)應(yīng)齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程, 0 qyypy通解結(jié)構(gòu)通解結(jié)構(gòu)*yyy ,( )( )cos,( )sinmxxmmf xxpx epx ex px ex常見(jiàn)類型：難點(diǎn)難點(diǎn)：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系數(shù)法（待定系數(shù)法（同型化！同型化?。?猜測(cè)

13、：猜測(cè)：*( )xyq x e 代入原方程代入原方程)()()()()2()(2xpxqqpxqpxqm 1 ( ) 若若 是是特特征征方方程程的的零零重重根根 即即不不是是根根, 02 qp ( )mq xpx比比較較不不含含微微分分的的項(xiàng)項(xiàng)，猜猜測(cè)測(cè)與與同同型型，故故：2( ) 若若 是是特特征征方方程程的的一一重重根根 即即單單根根, 02 qp , 02 p ( )mpxq x同同猜猜測(cè)測(cè)與與：型型，故故 *( );xmmq xqxyqx e 1 1、指數(shù)式乘多項(xiàng)式型指數(shù)式乘多項(xiàng)式型: :)()(xpexfmx ().mpxm為為次次 多多 項(xiàng)項(xiàng) 式式 *( ),( );xmmq xx

14、qxyxqx e 3( ) 若若 是是特特征征方方程程的的二二重重根根，, 02 qp , 02 p 綜上討論知可設(shè)特解：綜上討論知可設(shè)特解：( )(kxmyx eqkx 是是特特征征方方程程的的）. .重重根根注意注意上述結(jié)論可推廣到上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程階常系數(shù)非齊次線性微分方程 22*( );xmmq xx qxyx qx e .232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr212,xxyc ec e是單根，是單根，2 2*(),xyx axb e設(shè)設(shè)代入方程代入方程,

15、得得xabax 22,121 baxexxy2)121( 于是于是原方程通解為原方程通解為.)121(2221xxxexxececy 例例1 12、指數(shù)式乘三角式型：、指數(shù)式乘三角式型：( )( )cos( )sinxlnf xep xxp xx 12( )( )( )cos( )sin,kxmmyx erxxrxx 次多項(xiàng)式，次多項(xiàng)式，是是其中其中mxrxrmm)(),()2()1(max,ml n設(shè)：，則有結(jié)論（不證明）：ik 是是特特征征方方程程的的 重重根根。上述結(jié)論可推廣到上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程階常系數(shù)非齊次線性微分方程. ( )( )cossinixkkxmm

16、mg xx epxx epxpx cosxemg xrg xepxxfx 的的實(shí)實(shí)部部：； sinxmmg xig xepxxfx 的的虛虛部部：。注注:實(shí)際計(jì)算中實(shí)際計(jì)算中,常有常有: cossinxxmmfxepxfxepx或或 +iw xkmg x = x epx 此此時(shí)時(shí)可可令令或或.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解對(duì)應(yīng)齊方通解對(duì)應(yīng)齊方通解12cossin ,ycxcx作輔助方程作輔助方程4,ixyye ,i 是是單單根根*,ixyaxe 故故代入上式代入上式24,ai 2 ,ai 222sin(cos ),ixg xixexxixx 所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為2

17、*cosyxx 原方程通解為原方程通解為.cos2sincos21xxxcxcy （取虛部）（取虛部）例例2 2.2cos的通解的通解求方程求方程xxyy 解解對(duì)應(yīng)齊方通解對(duì)應(yīng)齊方通解,sincos21xcxcy 作輔助方程作輔助方程2,ixyyxe 2,i 不不是是特特征征方方程程的的根根 2(),ixg xaxb e 設(shè)設(shè)代入輔助方程代入輔助方程43031aiba 1439,abi ， 21439(),ixg xxj e 例例3 3142239()(cossin)xixjx 所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為 142239*cossin,yxxx g x 的的實(shí)實(shí)部部原方程通解為原方程通

18、解為.2sin942cos31sincos21xxxxcxcy 144122223993cossin( cossin) ,xxxxxx i 注意注意xaexaexx sin,cos().ixae 分分別別是是的的實(shí)實(shí)部部和和虛虛部部.tan的通解的通解求方程求方程xyy 解解對(duì)應(yīng)齊方通解對(duì)應(yīng)齊方通解,sincos21xcxcy 用常數(shù)變易法求非齊方程通解用常數(shù)變易法求非齊方程通解,sin)(cos)(21xxcxxcy 設(shè)設(shè), 1)( xw,cos)(tanseclnsin)(2211 cxxccxxxxc原方程通解為原方程通解為.tanseclncossincos21xxxxcxcy 例例4

19、 4三、小結(jié)三、小結(jié)( )( )xf xep x *kxy = x e q(x); (待定系數(shù)法待定系數(shù)法)只含上式一項(xiàng)解法只含上式一項(xiàng)解法：作輔助方程作輔助方程,求特解求特解, 取特解的實(shí)部或虛部取特解的實(shí)部或虛部, 得得原非齊方程特解原非齊方程特解. kq xp x 其其中中， 為為特特征征方方程程得得 重重與與根根，同同型型。 kxxg= x e q(x) 當(dāng)當(dāng) 是是復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)有有: :思考題思考題寫(xiě)出微分方程寫(xiě)出微分方程xexyyy228644 的待定特解的形式的待定特解的形式. 思考題解答思考題解答設(shè)設(shè) 的特解為的特解為設(shè)設(shè) 的特解為的特解為則所求特解為則所求特解為0442 rr特征根特征根cbxaxy 2*1xedxy22*2 （重根）（重根）cbxax 2.22xedx *2y *1*yy 22, 1 r*2y *1*yy xeyyy2844 *2y2644xyyy *1y一、一、 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解: :1 1、xeyay 2；2 2、xxeyyy 323；3 3、xxyycos4 ；4 4、xyy2sin . .二、二、 求下列各微分方程滿足已給初始條件的特解