初中數(shù)學(xué)九上課本變式題

1、1九年級上冊九年級上冊課本亮題拾貝課本亮題拾貝課本中的例、習(xí)題是經(jīng)過編者反復(fù)琢磨，認真篩選后精心設(shè)置的，具有一定的探究性在教學(xué)的過程中要立足課本，充分發(fā)揮課本例、習(xí)題的教學(xué)功能，可以有效地避免題海戰(zhàn)術(shù)，不但有利于鞏固基礎(chǔ)知識，而且還能增強同學(xué)們的應(yīng)變能力，發(fā)展創(chuàng)新思維，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)211 二次根式題目題目 計算： （人教課本 P8 2（4）題）2)32(解解 原式=32)32()32(22點評點評 大家知道，當 a0 時，有意義，且而當 a0 時，也有意2aaa22a義，此時，進一步的，則等于a（a0） 為了預(yù)防解題粗心出錯（如|2aa） ，通常是根據(jù)平方（或立方）的意義，先處理掉（好）符號，

2、再按有關(guān)順序32)32(2和規(guī)定運算演變演變變式 1 填空：（1）= ；（2）= （答案：（1） （2）944123223變式 2 當 x 時，式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？ （答案：）231x32變式 3 若是整數(shù)，求正整數(shù) n 的值（至少寫出 3 個） 23 n（答案：n = 1，2，9，17 等 ）變式 4 是否存在正整數(shù) n，使得是有理數(shù)？若存在，求出一個 n 的值；若不231n存在，請說明理由解 假設(shè)存在正整數(shù) n，使是有理數(shù)，則因為 3n + 2 是正整數(shù)，所以 3n + 2 應(yīng)231n該是一個完全平方數(shù)假設(shè) 3n + 2 等于 k（k3，k 是正整數(shù)）的平方，則 k = 3p 或者 3

3、p + 1 或者 3p + 2，也就是說 k 除以 3 余 0 或者 1 或者 2，而（3p）2 除以 3 余 0， （3p + 1）2 = 9p2 + 6p + 1， （3p + 2）2 = 9p2 + 12p + 4 除以 3 都余 1，所以沒有數(shù)的平方除以 3 余 2表明 3n + 2 不是完全平方數(shù)，從而假設(shè)不成立，因此，不存在正整數(shù) n，使是有理數(shù)231n212 二次根式的乘除題目題目 計算： （人教課本 P15 6（4）題）65027解解 原式= 156)23(15625336253322另法另法 原式=1525965027點評點評 進行二次根式的乘除運算時，根據(jù)乘法、除法規(guī)定（a

4、、b0） ，abba2（a0，b0） ） ，可以從左往右正向使用（如另法） ，也可以從右往左逆向使用baba（法一） ，往往可視其具體題目的數(shù)字特點和結(jié)構(gòu)特征，靈活選用一般情況是盡可能先把根式化簡，大數(shù)化小，遇到字母開平方時，必須注意字母的正、負性（或討論） 演變演變變式 1 填空：（1）= ；50276（2）= （答案：（1） （2）6502731059因為原式=，2 + 3 = 5，)32(25323所以設(shè) 2 = a，3 = b，則 5 = a + b，題目可演變成如下形式：變式 2 化簡：abbaab23)(解 原式= b（a + b）= ab + b2)()(baababb若賦予 a

5、 一些不同的值（相應(yīng)的可得到 b 的值） ，則可得到一組二次根式的乘法除法試題變式 3 甲、乙兩同學(xué)在化簡 時，采用了不同的方法：xyxyx5253甲： 因為 x，y 是二次根式的被開方數(shù)，且在分母上，所以 x0，y0，于是令 x = 1，y = 1，代入可得，原式=55125乙： 原式=xyyxxyxx55)5(522從而得出了不同的結(jié)果請指出甲、乙同學(xué)的做法是否正確？說明理由解 甲，乙兩同學(xué)的做法都不正確甲同學(xué)犯了以特殊代替一般的錯誤，雖然最終結(jié)果是5乙同學(xué)對題目形式上的意義理解錯誤，通常是一個整體，是被除式xyy 5正確解法是：原式=5)5()5()5(522yxxyxxxyxyxx21

6、3 二次根式的加減題目題目 已知，求下列各式的值：13 x13 y（1）x2 + 2xy + y2； （2）x2y2 （人教課本 P21 6 題）解解 ，13 x13 y ，xy = 2，xy = 232 yx于是 x2 + 2xy + y2 =（x + y）2 =，12)32(2x2y2 =（x + y） （xy）=34232點評點評 本題屬于“給值求值”類型，一般不宜直接代入算值通常的思路是：先把已知式和待求式進行適當?shù)牡葍r變形化簡，充分挖掘出已知式和待求式之間的內(nèi)在聯(lián)系，然后再看情況靈活地代入，往往能簡捷而巧妙地求值演變演變變式 1 已知，求：（1）， （2）的值21a21b22222b

7、ababaabba解 由已知可得 a + b = 2，ab =122ba（1）原式=22222)()(2bababababa3（2）原式=241222)(22abbabaabba變式 2 如果實數(shù) a，b 滿足 a2 + 2ab + b2 = 12，求的值3422babba 解 顯然 b0，于是由已知，得，33412)()(222222babababababababa ，即 ，)(3bababa) 13() 13(有，因此32) 13)(13() 13(13132ba311)32(1babba說明 上述解法，既抓住了已知式的特征（兩個等式的左邊有公因式，約后能降次，但要注意是否為 0 啰?。?

8、，又避免了解方程組的難點本題還可以進一步求出 a、b 的值 ，（x1）2 = 3，得 x22x = 2，結(jié)合 x0，兩邊除以 x，13 x得，注意到，則=，22xxxy22222)2()2(22xxxxyxyx4222xx，得22224xxyx變式 3 若實數(shù) x 滿足，試求：（1）；（2）；（3）的22xx224xx xx2224xx 值（答案 （1）8 （2） （3）3214222.2 降次 解一元二次方程題目題目 無論 p 取何值時，方程（x3） （x2）p2 = 0 總有兩個不等的實數(shù)根嗎？給出答案并說明理由 （人教課本 P4612 題）解解 原方程可化為 x25x + 6p2 = 0

9、方程根的判別式為 =（5）24（6p2）= 1 + 4p2，對任何實數(shù)值 p，有 1 + 4p20， 方程有兩個實數(shù)根 x1 =，x2 =，且兩個根不相等24152p24152p另法另法 由 p2 =（x3） （x2）= x25x + 6 =，41)25()25(6)25(52222xxx得 ，無論 p 取何值，因此41)25(22px412p4141252px點評點評 解一元二次方程有配方法，公式法或因式分解法一般來說，公式法對于解任何一元二次方程都適用，是解一元二次方程的主要方法，但在具體解題時，應(yīng)具體分析方程的特點，選擇適當?shù)姆椒ǎ?）要判定某個二次方程是否有實數(shù)解及有幾個解時，常常只須

10、考查方程根的判別式（2）見到含字母系數(shù)的二次方程，在實數(shù)范圍內(nèi)，首先應(yīng)有0；若字母在二次項系數(shù)中，則還應(yīng)考慮其是否為 0（3）關(guān)于一元二次方程有實數(shù)根問題，一般有三種處理方式（何時選擇那種方式要根據(jù)具體題目的特點來確定）： 利用求根公式求出根來； 利用根與系數(shù)的關(guān)系將這兩個4根的和與積表達出來：x1 + x2 = x1x2 =，以便后繼作整體代換； 將根代入方程中進ab2ac行整體處理演變演變變式 1 分別對 p 賦值 0，2，等，可得如下確定的方程：23解方程：（1）x25x + 6 = 0；（2）x25x + 1 = 0；（3）4x220 x + 21 = 0變式 2 當 x 取什么范圍內(nèi)

11、的值時，由方程（x3） （x2）p2 = 0 確定的實數(shù) p 存在？請說明理由解 對任意實數(shù) p，有 p20，所以只需 p2 =（x3） （x2）0，利用同號相乘得正的原理，得 x 應(yīng)滿足 或 解得 x3 或 x2 , 02, 03xx, 02, 03xx表明，當 x 取 x2 或 x3 范圍內(nèi)的實數(shù)時，由方程（x3） （x2）p2 = 0 確定的實數(shù) p 存在變式 3 指出方程（x3） （x2）p2 = 0 的實數(shù)根所在的范圍？解 方程有兩個不相等的實數(shù)根 x1 =，x2 =，2412125p2412125p且對任意實數(shù) p，有 1 + 4p21， 有 x1，x2，3212522125即方程

12、的實數(shù)根所在的范圍是 x2 或 x3變式 4 試求 y =（x3） （x2）的最小值解 由 y =（x3） （x2）= x25x + 6 =，41)25()25(6)25(52222xxx得 y 的最小值為，當時取得4125x22.3 實際問題與一元二次方程題目題目 如圖，要設(shè)計一幅寬 20 cm，長 30 cm 的圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為 3:2，如果要使彩條所占面積是圖案面積的四分之一，應(yīng)如何設(shè)計彩條的寬度（精確到 0.1 cm）？（人教課本 P5310 題）分析分析 結(jié)合圖形，閱讀理解題意（數(shù)形結(jié)合） 矩形圖案中，長 30 cm，寬 20 cm現(xiàn)設(shè)計了橫、豎彩條各

13、 2 條，且其寬度比為 3:2，于是設(shè)橫彩條寬為 3x cm，則豎彩條的寬就為 2x cm，其長與矩形圖案的長寬相關(guān)等量關(guān)系式為“使彩條所占面積是圖案面積的四分之一” 解解 根據(jù)題意，設(shè)橫向彩條的寬為 3x，則豎向彩條的寬為 2x，于是，建立方程，得 ，20304123422023302xxxx化簡，得 12x2130 x + 75 = 0解得 611. 012133565x因此橫向彩條寬 1.8 cm，豎向彩條寬 1.2 cm另法另法 如圖，建立方程，得 203041)620(4630 xxx法三法三 如圖，建立方程，得 203043)620)(430(xx2x 2x3x3x30205點評點

14、評 列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟為：（1）設(shè)：即設(shè)好未知數(shù)（直接設(shè)未知數(shù)，間接設(shè)未知數(shù)） ，不要漏寫單位；（2）列：根據(jù)題意，列出含有未知數(shù)的等式，注意等號兩邊量的單位必須一致；（3）解：解所列方程；（4）驗：一是檢驗是否為方程的解，二是檢驗是否為應(yīng)用題的解；（5）答：即答題，怎么問就怎么答，注意不要漏寫單位演變演變變式 1 矩形圖案的長、寬不變，但設(shè)計的兩橫兩豎彩條的寬度相同，如果彩條的面積是圖案面積的四分之一，求彩條的寬 （答案：）219525變式 2 矩形圖案的長、寬不變，現(xiàn)設(shè)計一個正中央是與整個矩形長寬比例相同的矩形，其面積是整個矩形面積的四分之三，上下邊等寬，左右等寬，應(yīng)如何設(shè)計

15、四周的寬度？解 因為矩形圖案的長、寬比為 30: 20 = 3:2，所以中央矩形的長、寬之比也應(yīng)為3:2，設(shè)其長為 3x，則寬為 2x，所以 ，得 ，從而上、下邊寬為20304332 xx35x，左、右寬為 )32(5105 . 0)220(xx2)32(155 . 0)330( x變式 3 如圖，一邊長為 30 cm，寬 20 cm 的長方形鐵皮，四角各截去一個大小相同的正方形，將四邊折起，可以做成一個無蓋長方體容器求所得容器的容積 V 關(guān)于截去的小正方形的邊長 x 的函數(shù)關(guān)系式，并指出 x 的取值范圍解 根據(jù)題意可得，V 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式為：V =（302x） （202x）x即 V

16、= 4x3100 x2 + 600 x，x 的取值范圍是 0 x10變式 4 在一塊長 30 m、寬 20 m 的矩形荒地上，要建造一個花園，并使花園所占的面積為荒地面積的一半小明的設(shè)計方案如圖甲所示，其中花園四周小路的寬度都相等小明通過列方程，并解方程，得到小路的寬為 2.5 m 或 22.5 m小亮的設(shè)計方案如圖乙所示，其中花園每個角上的扇形（四分之一圓?。┒枷嗤獯鹣铝袉栴}：（1）小明的結(jié)果對嗎？為什么？（2）請你幫小亮求出圖乙中的 x ？（3）你還有其他設(shè)計方案嗎？甲 乙解 （1）小明的設(shè)計方案：由于花園四周小路的寬度相等，設(shè)其寬為 x 米則根據(jù)題意，列出方程，得 ，即 x225x +

17、 75 = 0，解得203021)220)(230(xxx =或 x =由于矩形荒地的寬是 20 m，故舍去 x =，得花園四213525213525213525周小路寬為m，所以小明的結(jié)果不213525對xxx20 m30 mx20 m30 m20 m30 m6（2）小亮的設(shè)計方案：由于其中花園的四個角上均為相同的扇形，所以設(shè)扇形的半徑為 x 米，列方程得 ，所以m （3）略2030212x310310 x23.1 圖形的旋轉(zhuǎn)題目題目 如圖，ABD，AEC 都是等邊三角形BE 與 DC 有什么關(guān)系？你能用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說明上述關(guān)系成立的理由嗎？（人教課本 P679 題）解解 ABD 是等邊三角形

18、， AB = AD，BAD = 60同理 AE = AC，EAC = 60 以點 A 為旋轉(zhuǎn)中心將ABE 順時針旋轉(zhuǎn) 60 就得到CAD， ABEADC，從而 BE = DC另法另法 ABD，AEC 都是等邊三角形， AB = AD，AE = AC，BAD =EAC = 60，于是 CAD =CAB +BAD =CAB +EAC =EAB從而有 CADEAB， DC = BE點評點評 由于旋轉(zhuǎn)是剛體運動，旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等，所以藉此可以在較復(fù)雜的圖形中發(fā)現(xiàn)等量（或全等）關(guān)系，或通過旋轉(zhuǎn)（割補）圖形，把分散的已知量聚合起來，便于打通解題思路，疏通解題突破口演變演變變式 1 如圖，ABC 和EC

19、D 都是等邊三角形，EBC 可以看作是DAC 經(jīng)過什么圖形變換得到的？說明理由 （人教課本 P805 題）說明：如上題圖，去掉 BC，把 D，A，E 放在一直線上即得本題經(jīng)過下列各種演變，原來的結(jié)論仍保持不變（1）ABC 與CDE 在 BC 的異側(cè)（2）點 C 在 BD 的延長線上（3）C 點在 BD 外（4）ACD 與BDE 在 BD 的異側(cè)，且 D 點在 BC 的延長線上（5）ABC 與CDE 都改為頂角相等的等腰三角形，即 AB = AC，CE = DE，BAC =CED變式 2 如圖，四邊形 ABCD，ACFG 都是正方形，則 BG與 CE 有什么關(guān)系？說明理由變式 3 如圖，ABD，

20、AEC 都是等腰直角三角形，則BE 與 DC 有什么關(guān)系？24.1 圓題目題目 如圖，O 的直徑 AB 為 10 cm，弦 AC 為 6 cm，BCDAEDEBCAOCBAEDACBEDCABEDCBAEDACBEDCBAEDBCDAFEGBCAED7ACB 的平分線交O 于 D，求 BC，AD，BD 的長（人教課本 P93例 2）解解 AB 是直徑， ACB =ADB = 90在 RtABC 中，BC2 = AB2AC2 = 10262 = 82，即 BC = 8 CD 平分ACB， =，于是 AD = BDAD BD 又在 RtABD 中，AD2 + BD2 = AB2， 25102222

21、ABBDAD點評點評 在涉及圓中的有關(guān)弧，弦（直徑） ，角（圓心角，圓周角）等問題中，垂徑定理，同圓中的關(guān)系（在同圓或等圓中，圓心角相等 弧相等 弦相等 弦心距相等 圓周角相等）是轉(zhuǎn)化已知，溝通結(jié)論的紐帶其中半圓（或直徑）所對的圓周角是直角還聯(lián)結(jié)了勾股定理（將出現(xiàn)代數(shù)等式） 演變演變 變式 1 在現(xiàn)有已知條件下，可進一步的，求四邊形 ACBD 的面積等于多少？解 由例題及解答可知，ACB，ADB 都是直角三角形，于是四邊形 ACBD 的面積等于cm24925252186212121BDADBCACSSADBACB變式 2 求內(nèi)角平分線 CE 的長？抽取出圖形中的基本圖 RtABC，因為 AC:

22、BC:AB = 3:4:5，于是，斜邊上的高，外接圓半徑 R = 5（也即斜邊上的中線） 524ABBCACCD設(shè)ACB 的平分線為 CE，過 E 向兩直角邊作垂線，則其長相等，設(shè)為 x，于是，由 ，得xCE2BCACBCxACx212121， 7248686BCACBCACx7224CE變式 3 如圖，AD 是ABC 外角EAC 的平分線，AD 與三角形的外接圓交于點 D，求證：BD = CD解 因為圓內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角，所以有DAE =DCB，而DAC =DBC（同所對的圓周角相等） ，結(jié)合題設(shè) AD 是EAC 的平分線，CD 則有DCB =DBC，所以

23、 BD = CD變式 4 如圖，點 A、B、C、D 在同一個圓上，四邊形 ABCD 的對角線把 4 個內(nèi)角分成 8 個角，這些角中哪些是相等的角？（課本 P93練習(xí)第 1 題）解 1 =4，2 =7，3 =6，5 =8變式 5 如圖，A、P、B、C 是O 上的四點，APC =CPB = 60，判斷ABC 的形狀并證明你的結(jié)論 （課本 P95第 11 題）D EBCAACDBE5432178ACDB6OPCABODBCAE8解 BAC =BPC = 60， ABC =APC = 60，因而ABC 是等邊三角形變式 6 （托勒密定理）AC BD = AB CD + AD BC（見上圖） 24.2

24、與圓有關(guān)的位置關(guān)系題目題目 如圖，ABC 中，ABC = 50，ACB = 75，點 O 是內(nèi)心，求BOC 的度數(shù) （人教課本 P1061 題）解解 O 是ABC 內(nèi)切圓的圓心（內(nèi)心） ， OB，OC 分別是ABC 和ACB 的平分線 ABC = 50，ACB = 75， OBC = 25，OCB = 37.5，因此 BOC = 1802537.5 = 117.5點評點評 抓住“內(nèi)心與各頂點連線平分每一個內(nèi)角，且到三條邊的距離相等”這些事實，很容易促進角或線段的轉(zhuǎn)化，突破關(guān)鍵，解決問題演變演變變式 1 已知周長為 l 的ABC 的內(nèi)切圓半徑等于 r，求ABC 的面積解 設(shè)內(nèi)心為 O，連接 OA

25、，OB，OC，則 OA、OB、OC 把ABC 分割成三個易求的小三角形，其面積的和為：=rCArBCrABSSSSACOBCOABOABC212121lrCABCAB21)(21變式 2 如圖，點 O 是ABC 的內(nèi)心，則ABOC2190解 CBBOC2121180=，)180(21180)(21180ACB ABOC2190說明 變式 2 有多種不同的解法，如連結(jié) AO 并延長，或延長 BO 交 AC 于 D 等等，請讀者探究，收獲定當不少變式 3 如圖，ABC 中，BC，O 在A 的平分線上，求證：AB + OCAC + OB證明 BC， ABAC，于是在 AB 上取點 D，使 AD =

26、AC，連結(jié) OD，則由已知和作圖，可得AOCAOD，進而 OC = OD在OBD 中，有 BD + ODOB，（AB + OC）（AC + OB）=（ABAD）+ ODOB = BD + ODOB0，故 AB + OCAC + OB變式 4 如圖，ABC 中，B，C 的平分線相交于點 O，過 O 的直線 DEBC，DE 分別交 AB、AC 于 D、E，求證：DE = BD + CE解 由已知 DEBC，BD、CO 分別平分B、C，可以發(fā)現(xiàn)BDO 和CEO 是等腰三角形，于是有 BD = DO，CE = OE，因此 BD + CE = DO + OE = DE變式 5 如圖，B、C 在射線 AD

27、、AE 上，BO、CO 分別是DBC 和ECB 的角平分線（1）若A = 60，則O 為多少度？BCOABCOADBCOADBCOAEABDOEC43219（2）若A = 90，120 時，O 分別是多少度？（3）求A 與O 的關(guān)系式解 BO、CO 是DBC 和ECB 的平分線， DBC = 22，ECB = 23， ABC = 18022，ACB = 18023在ABC 中，A +ABC +ACB = 180， A + 18022 + 18023 = 180，即2 +3 = 90 + A12在BOC 中，2 +3 +O = 180， O = 90A12（1）當A = 60 時，O = 90

28、60 = 6012（2）當A = 90 時，O = 90 90 = 45當A = 120 時，O = 90 1212120 = 30（3）A 與O 的關(guān)系式為O +A = 901224.3 正多邊形與圓題目題目 畫一個正五邊形，再作出它的對角線，得到如圖所示的五角星 （人教課本 P1172 題）解解 先畫一個圓，將圓五等分，分點依次為 A，B，C，D，E，順次連結(jié)這些點，得正五邊形 ABCDE，再作出正五邊形的對角線 AC，AD，BD，BE，CE，即得如圖所示的五角星點評點評 正多邊形與圓的關(guān)系非常密切，只要把一個圓分成相等的一些?。ɑ虬褕A心角分成一些相等的角） ，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊

29、形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓，如上所示作出的是一個正五角星演變演變 變式 1 求五角星中五個角的和解 AMN =B +D，ANM =C +E， A +B +C +D +E =A +AMN +ANM = 180表明正五角星中五個角的和為 180另法 連結(jié) CD，則在AEF 和CDF 中，有 B +E = 180BFE = 180CFD =CDF +DCF在ACD 中，A +ACD +ADC = 180，即 A +ACE +DCF +ADB +CDF = 180 A +B +C +D +E = 180說明 正五角星中每個角都是 36變式 2 如變式 1 的圖，在正五角星中存在黃金分割數(shù)，可以

30、證明（參見人教版課本 46 頁“閱讀與思考 黃金分割數(shù)”215 BEBMBMBNNBMN） ，此結(jié)論待同學(xué)們學(xué)習(xí)了相似形的有關(guān)知識后即可證明變式 3 如圖，是將不規(guī)則的五角星改為退化的五角星，則其五個角的和等于多少？解 如圖，將其轉(zhuǎn)化為不規(guī)則的五角星，問題立即獲解，五個角的和等于 180，或連結(jié)兩個頂點后利用三角形內(nèi)角和CBADEFCBADECBADEMNCBADE10定理即可解決變式 4 六角星，七角星，甚至 n 角星的各個頂角之和等于多少？解 都等于 180說明 解答星型 n 邊形頂角和的問題關(guān)鍵是根據(jù)“三角形的內(nèi)角和為 180及其推論” ，設(shè)法將分散的角歸結(jié)到某個三角形或四邊形中，這是解

31、答此類題目的金鑰匙244 弧長和扇形面積題目題目 如圖，從一個直徑是 1 m 的圓形鐵皮中剪出一個圓心角為 90 的扇形，求被剪掉的部分的面積；如果將剪下來的扇形圍成一個圓錐，圓錐的底面圓的半徑是多少？（人教課本 P1259 題）解解 連結(jié) BC，因為扇形的圓心角為 90，所以 BC 過圓心 O（即 BC 是直徑） ，于是在等腰直角三角形 ABC 中，扇形的面積為，2222BCAB8412 AB扇形的弧長為 ，因此被剪掉的部分的面積為42241AB（m2） 88)21(2BC將剪下來的扇形圍成一個圓錐，圓錐的底面圓的半徑 r 滿足 ，得422r（m） 82r點評點評 求解圖形（陰影部分）的面積

32、時，通常是利用等積變換，分割、重疊等，把求圖形（陰影部分）的面積轉(zhuǎn)化為求圓，扇形，弓形，三角形或多邊形等基本圖形的面積演變演變變式 1 求所圍成的圓錐的高 h 和體積 V解 ，830)82()22(2222rABh76830830)82(313122hrV變式 2 如圖，AC，BD 是O 中兩條互相垂直的直徑，以 A 為圓心 AB 為半徑畫弧，BD 求證：月牙形陰影部分的面積等于ABD 的面積解 設(shè)圓的半徑為 R，則2221RRRSABD以 A 為圓心，AD 為半徑畫出的扇形 ABED 的面積，弓形2221360290RRS）（扇形BED 的面積為，所以月牙形陰影部分的面積等于，即與2221R

33、R 2222)21(21RRRRABD 的面積相等變式 3 如圖，從一個半徑是 r 的圓形鐵皮中剪出一個圓心角為 的扇形，求扇形的面積；如果將剪下來的扇形圍成一個圓錐，求圓錐底面圓的半徑解 連結(jié) OA，OB，OC，則 OA = OB = OC = r，BOC = 2BAC，OA 平分BAC，即，BOC = 2過 O 作 ODAB 于 D，則 OD 平分 AB，于是 AB = 2AD2OABlrhCABOCDABOE11在 RtADO 中， 2coscosrOABOAAD2cos2rAB 因此，扇形 ABC 的面積為，2cos90360222rABS扇形BC 弧長為9023602rr 所對的圓心

34、角為 2，BC 將扇形圍成圓錐，則圓錐底面圓的半徑 r1 滿足 2r1 =，得BC 90r1801rr251 概率題目題目 已知地球表面陸地面積與海洋面積的比約為 3:7如果宇宙中飛來一塊隕石落在地球上， “落在海洋里”與“落在陸地上”哪個可能性更大？（人教課本 P1391 題）解解 落在海洋里的可能性更大點評點評 可能性是指能成為事實的屬性然而世界上有很多事情具有偶然性，人們不能事先判斷這些事情是否會發(fā)生概率就是從數(shù)量上用來描述（刻畫）隨機事件發(fā)生的可能性的大小對這一問題，需要充分把隕石抽象成隨機地散落，地球也是必須抽象成平輔的面，與生活中通常所看到的質(zhì)點只能正面地落在面上（不可能彎曲行進而

35、落在背面上） 我們生活的地球，腳下大地的形狀并不是無邊無際的遼闊平面，而是大致接近于球面演變演變變式 1 已知地球表面陸地面積與海洋面積的比約為 3:7如果宇宙中飛來一塊隕石落在地球上，則“落在海洋里”與“落在陸地上”的概率各是多大？解 落在海洋里的概率為，落在陸地上的概率為107737103733變式 2 小明隨機地在如圖所示的正三角形及其內(nèi)部區(qū)域投針，則針扎到正三角形的內(nèi)切圓（即陰影部分）區(qū)域的概率為（ ） A B C D21639333解 設(shè)正三角形的邊長為單位 1，則正三角形的面積為，正三角形的內(nèi)切圓半徑43，內(nèi)切圓的面積為，針扎到正三角形的內(nèi)切圓（即陰影6330tan21r12)63

36、(2部分）區(qū)域的概率為，選 C934312變式 3 甲、乙兩人約定在 6 時到 7 時之間在某處會面，并約定先到者應(yīng)等候另一個人一刻鐘，過時即可離去，求兩人能會面的概率解 以 x 和 y 分別表示甲、乙兩人到達約會地點的時間，則兩人能夠會面的條件是xy15在平面直角坐標系中，點（x，y）的所有可能結(jié)果是邊長為 60 的正方形，而可能會面的時間由圖中的陰影部分所表示，所以兩人能會面的概率為167604560222P說明 把上述問題抽象成如下模型是：設(shè)在面積為 S 的區(qū)域中有任意一個小區(qū)域 A，小區(qū)域的面積為 SA，則任意投點，點落入 A 中的可能性大小與 SA成正比，而與 A 的位置及OCABD

37、60 xyO60151512形狀無關(guān)，為SSPA注意，如果是在一個線段上投點，那么面積則改為長度；如果是一個立方體內(nèi)投點，則面積就改為體積25.2 用列舉法求概率題目題目 在 6 張卡片上分別寫有 16 的整數(shù)隨機地抽取一張放回，再隨機地抽取一張，那么第二次取出的數(shù)字能夠整除第一次取出的數(shù)字的概率是多少？（P154練習(xí)第 1 題）解解 設(shè)第一次隨機地取出的數(shù)字為 a，第二次隨機地取出的數(shù)字為 b，則（b，a）共有36 種情況ab1234561（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3（3，1）（3，2）（3，3）

38、（3，4）（3，5）（3，6）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）從上表可知，b 能夠整除 a 的情況有（1，1） ， （2，1） ， （3，1） ， （4，1） ， （5，1） ，（6，1） ， （2，2） ， （4，2） ， （6，2） ， （3，3） ， （6，3） ， （4，4） ， （5，5） ， （6，6） ，共 14種因此，所求的概率為1873614點評點評 用列表或畫樹狀圖的方法，可以不重不漏的列舉事件發(fā)生的所有結(jié)果，我們把這兩種方法統(tǒng)稱為列舉法；列舉法只適用于等可能事件；等可能事件的特點是：出現(xiàn)的結(jié)果是有限多個，各結(jié)果發(fā)生的可能性相等用列舉法求概率的一般步驟是：（1）用列表或畫樹狀圖的方法，列舉出事件所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，并判斷每個結(jié)果發(fā)生的可能性是否相等；（2）如果都相等，再確定所有可能出現(xiàn)的結(jié)果個數(shù) n 及所求事件出現(xiàn)的結(jié)果個數(shù) m；（3）利用公式計算所求事件 A 的概率，即nmAP)(列表或畫樹狀圖都可以清晰地、不重不漏的表示出某個事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，從而很方便地求出某些事件發(fā)生的概率當試驗包含