初一(七年級(jí))下冊(cè)數(shù)學(xué)相交線與平行線的知識(shí)點(diǎn)

1、七下數(shù)學(xué) “相交線與平行線”的知識(shí)點(diǎn)開學(xué)已經(jīng)有幾天了，新的第一章知識(shí)掌握的怎么樣了呢？這一單元主要是概念和性質(zhì)定理一定要理解清楚，可以在這篇文章梳理一下，一定能幫到你！ 一、相交線1.鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角兩直線相交所成的四個(gè)角中存在幾種不同關(guān)系的角，它們的概念及性質(zhì)如下表：注意點(diǎn)：對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角；如果與是對(duì)頂角，那么一定有=；反之如果=，那么與不一定是對(duì)頂角如果與互為鄰補(bǔ)角，則一定有+=180°；反之如果+=180°， 則與不一定是鄰補(bǔ)角。兩直線相交形成的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對(duì)頂角只有一個(gè)。2.垂線定義：當(dāng)兩條直線相

2、交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直， 其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。符號(hào)語(yǔ)言記作：如圖所示：ABCD，垂足為 O垂線性質(zhì) 1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 (與平行公理相比較記)垂線性質(zhì) 2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。簡(jiǎn)稱：垂線段最短。3.垂線的畫法：過(guò)直線上一點(diǎn)畫已知直線的垂線；過(guò)直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線。 注意：畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線；過(guò)一點(diǎn)作線段的垂線，垂足可在線段上，也可以在線段的延長(zhǎng)線上。畫法：一靠：用三角尺一條直角邊靠在已知直線上，二移：移動(dòng)三角尺使一點(diǎn)落在它的

3、 另一邊直角邊上，三畫：沿著這條直角邊畫線，不要畫成給人的印象是線段的線。4.點(diǎn)到直線的距離直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離。應(yīng)該結(jié)合圖形進(jìn)行記憶。如圖，POAB，同 P 到直線 AB 的距離是 PO 的長(zhǎng)。PO 是垂線段。PO 是點(diǎn) P 到直線 AB所有線段中最短的一條。 現(xiàn)實(shí)生活中開溝引水，牽牛喝水都是“垂線段最短”性質(zhì)的應(yīng)用。5.如何理解“垂線”、“垂線段”、“兩點(diǎn)間距離”、“點(diǎn)到直線的距離”這些相近而又相異的概念。分析它們的聯(lián)系與區(qū)別。垂線與垂線段區(qū)別：垂線是一條直線，不可度量長(zhǎng)度；垂線段是一條線段，可以度量 長(zhǎng)度。聯(lián)系：具有垂直于已知直線的共同特征。(垂直的性質(zhì)

4、)兩點(diǎn)間距離與點(diǎn)到直線的距離區(qū)別：兩點(diǎn)間的距離是點(diǎn)與點(diǎn)之間，點(diǎn)到直線的距離 是點(diǎn)與直線之間。聯(lián)系：都是線段的長(zhǎng)度；點(diǎn)到直線的距離是特殊的兩點(diǎn)(即已知點(diǎn)與 垂足)間距離。線段與距離距離是線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)量；線段是一種圖形，它們之間不能等同。二、平行線1.平行線的概念：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，直線 a 與直線b 互相平行，記作 a b 。2.兩條直線的位置關(guān)系在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交；平行。因此當(dāng)我們得知在同一平面內(nèi)兩直線不相交時(shí)，就可以肯定它們平行；反過(guò)來(lái)也一樣（這里，我們把重合的兩直線看成一條直線） 判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)它們的公共

5、點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)確定：有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩直線相交；無(wú)公共點(diǎn)，則兩直線平行；兩個(gè)或兩個(gè)以上公共點(diǎn)，則兩直線重合（因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線）3.平行公理平行線的存在性與惟一性 經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。4.平行公理的推論 如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。如左圖所示，b a ， c a                       b c注意符號(hào)語(yǔ)言書寫，前提條件是兩直線都平行于第三條直線，才能得出結(jié)論，這兩條直線都平行。5.三線八

6、角兩條直線被第三條直線所截形成八個(gè)角，它們構(gòu)成了同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁內(nèi)角。如圖，直線 a, b 被直線 l 所截。1 與5 在截線l 的同側(cè)，同在被截直線 a, b 的上方， 叫做同位角（位置相同）5 與3 在截線l 的兩旁（交錯(cuò)），在被截直線 a, b 之間（內(nèi)），叫做內(nèi)錯(cuò)角（位置在內(nèi)且交錯(cuò)）5 與4 在截線l 的同側(cè)，在被截直線 a, b 之間（內(nèi)），叫做同旁內(nèi)角。 三線八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型；內(nèi)錯(cuò)角是“Z”型；同旁內(nèi)角是“U” 型。6.如何判別三線八角判別同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)鍵是找到構(gòu)成這兩個(gè)角的“三線”，有時(shí)需要將有關(guān)的部分“抽出”或把無(wú)關(guān)的線略去不

7、看，有時(shí)又需要把圖形補(bǔ)全。例如：如圖，判斷下列各對(duì)角的位置關(guān)系：1 與2；1 與7；1 與BAD；2與6；5 與8。 我們將各對(duì)角從圖形中抽出來(lái)（或者說(shuō)略去與有關(guān)角無(wú)關(guān)的線），得到下列各圖。 如圖所示，不難看出1 與2 是同旁內(nèi)角；1 與7 是同位角；1 與BAD 是同旁內(nèi)角；2 與6 是內(nèi)錯(cuò)角；5 與8 對(duì)頂角。7.兩直線平行的判定方法方法一    兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行簡(jiǎn)稱：同位角相等，兩直線平行方法二    兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行簡(jiǎn)稱：內(nèi)錯(cuò)角相

8、等，兩直線平行方法三    兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行簡(jiǎn)稱：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行幾何符號(hào)語(yǔ)言：  32  ABCD（同位角相等，兩直線平行）  12  ABCD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）  42180°  ABCD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）請(qǐng)注意書寫的順序以及前因后果，平行線的判定是由角相等，然后得出平行。平行線的判定是寫角相等，然后寫平行。注意：幾何中，圖形之間的“位置關(guān)系”一般都與某種“數(shù)量關(guān)系”有著內(nèi)在的聯(lián)系，常由“位置關(guān)系”決定其“數(shù)量關(guān)系”，反

9、之也可從“數(shù)量關(guān)系”去確定“位置關(guān)系”。上述平行線的判定方法就是根據(jù)同位角或內(nèi)錯(cuò)角“相等”或同旁內(nèi)角“互補(bǔ)”這種“數(shù)量關(guān)系”， 判定兩直線“平行”這種“位置關(guān)系”。根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有兩種：如果兩條直線 沒有交點(diǎn)（不相交），那么兩直線平行。如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條 直線平行。典型例題：判斷下列說(shuō)法是否正確，如果不正確，請(qǐng)給予改正：不相交的兩條直線必定平行線。在同一平面內(nèi)不相重合的兩條直線，如果它們不平行，那么這兩條直線一定相交。過(guò)一點(diǎn)可以且只可以畫一條直線與已知直線平行解答：錯(cuò)誤，平行線是“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線”?！霸谕黄矫鎯?nèi)”是一

10、項(xiàng)重要 條件，不能遺漏。正確不正確，正確的說(shuō)法是“過(guò)直線外一點(diǎn)”而不是“過(guò)一點(diǎn)”。因?yàn)槿绻@一點(diǎn)不在 已知直線上，是作不出這條直線的平行線的。 典型例題：如圖，根據(jù)下列條件，可以判定哪兩條直線平行，并說(shuō)明判定的根據(jù)是什么？解答：由2B 可判定 ABDE，根據(jù)是同位角相等，兩直線平行；由1D 可判定 ACDF，根據(jù)是內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；由3F180°可判定 ACDF，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。三、平行線的性質(zhì)1.平行線的性質(zhì)：性質(zhì) 1：兩直線平行，同位角相等； 性質(zhì) 2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等； 性質(zhì) 3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。幾何符號(hào)語(yǔ)言：A

11、BCD12（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）ABCD32（兩直線平行，同位角相等）ABCD42180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）2.兩條平行線的距離如圖，直線 ABCD，EFAB 于 E，EFCD 于 F，則稱線段 EF 的長(zhǎng)度為兩平行線 AB與 CD 間的距離。注意：直線 ABCD，在直線 AB 上任取一點(diǎn) G，過(guò)點(diǎn) G 作 CD 的垂線段 GH，則垂線段GH 的長(zhǎng)度也就是直線 AB 與 CD 間的距離。3.命題：命題的概念： 判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題。命題的組成：每個(gè)命題都是題設(shè)、結(jié)論兩部分組成。題設(shè)是已知事項(xiàng)；結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)。 命題常寫成“如果，那么”的形式

12、。具有這種形式的命題中，用“如果”開始的部分是題設(shè)，用“那么”開始的部分是結(jié)論。有些命題，沒有寫成“如果，那么”的形式，題設(shè)和結(jié)論不明顯。對(duì)于這樣的命題，要經(jīng)過(guò)分析才能找出題設(shè)和結(jié)論，也可以將它們改寫成“如果，那么”的形式。 注意：命題的題設(shè)（條件）部分，有時(shí)也可用“已知”或者“若”等形式表述；命 題的結(jié)論部分，有時(shí)也可用“求證”或“則”等形式表述。4.平行線的性質(zhì)與判定平行線的性質(zhì)與判定是互逆的關(guān)系兩直線平行=同位角相等；兩直線平行=內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行=同旁內(nèi)角互補(bǔ)。其中，由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到

13、有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)。典型例題：已知1B，求證：2C證明：1B（已知）DEBC（同位角相等， 兩直線平行） D2C（兩直線平行 同位角相等）注意，在了 DEBC，不需要再寫一次了，得到了 DEBC，這可以把它當(dāng)作條件來(lái)用了。典型例題：如圖，ABDF，DEBC，165° 求2、3 的度數(shù)。解答：DEBC（已知）2165°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）ABDF（已知）ABDF（已知）32180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）3180°2180°65°115°四、平移1.平移變換把一個(gè)圖形整體沿某一方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小 完全相同。新圖形的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等2.平移的特征：經(jīng)過(guò)平移之后的圖形與原來(lái)的圖形的對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等，對(duì)應(yīng)角 相等，圖形的形狀與大