第四章線性系統(tǒng)的可控性和可觀性1

1、第四章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀性§4-1 問(wèn)題的提出經(jīng)典控制理論中用傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的輸入輸出特性，輸出量即被控量，只要系統(tǒng)是因果系統(tǒng)并且是穩(wěn)定的，輸出量便可以受控，且輸出量總是可以被測(cè)量的，因而不需要提出可控性和可觀性的概念。 現(xiàn)代控制理論是建立在用狀態(tài)空間法描述系統(tǒng)的基礎(chǔ)上的。狀態(tài)方程描述輸入引起狀態(tài)的變化過(guò)程；輸出方程描述由狀態(tài)變化所引起的輸出的變化?？煽匦院涂捎^性正是定性地分別描述輸入對(duì)狀態(tài)的控制能力，輸出對(duì)狀態(tài)的反映能力。它們分別回答： “輸入能否控制狀態(tài)的變化”可控性 “狀態(tài)的變化能否由輸出反映出來(lái)”可觀性可控性和可觀性是卡爾曼（Kalman）在1960年首先提出來(lái)的?？?/p>

2、控性和可觀性的概念在現(xiàn)代控制理論中無(wú)論是理論上還是實(shí)踐上都是非常重要的。例如：在最優(yōu)控制問(wèn)題中，其任務(wù)是尋找輸入，使?fàn)顟B(tài)達(dá)到預(yù)期的軌線。就定常系統(tǒng)而言，如果系統(tǒng)的狀態(tài)不受控于輸入，當(dāng)然就無(wú)法實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制。另外，為了改善系統(tǒng)的品質(zhì)，在工程上常用狀態(tài)變量作為反饋信息?？墒菭顟B(tài)的值通常是難以測(cè)取的，往往需要從測(cè)量到的中估計(jì)出狀態(tài)；如果輸出不能完全反映系統(tǒng)的狀態(tài)，那么就無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)狀態(tài)的估計(jì)。狀態(tài)空間表達(dá)式是對(duì)系統(tǒng)的一種完全的描述。判別系統(tǒng)的可控性和可觀性的主要依據(jù)就是狀態(tài)空間表達(dá)式。【例如】（1） 分析：上述動(dòng)態(tài)方程寫(xiě)成方程組形式：從狀態(tài)方程來(lái)看，輸入u不能控制狀態(tài)變量，所以狀態(tài)變量是不可控的；從輸出

3、方程看，輸出y不能反映狀態(tài)變量，所以狀態(tài)變量是不能觀測(cè)的。即狀態(tài)變量不可控、可觀測(cè)；狀態(tài)變量可控、不可觀測(cè)。22u（2） 分析：上述動(dòng)態(tài)方程寫(xiě)成方程組形式：由于狀態(tài)變量、都受控于輸入u，所以系統(tǒng)是可控的；輸出y能反映狀態(tài)變量，又能反映狀態(tài)變量的變化，所以系統(tǒng)是可觀測(cè)的。即狀態(tài)變量可控、可觀測(cè)；狀態(tài)變量可控、可觀測(cè)。2u（3） 分析：上述動(dòng)態(tài)方程寫(xiě)成方程組形式：從狀態(tài)方程看，輸入u能對(duì)狀態(tài)變量、施加影響，似乎該系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量都是可控的；從輸出方程看，輸出y能反映狀態(tài)變量，的變化，似乎系統(tǒng)是可觀測(cè)的。實(shí)際上，這個(gè)系統(tǒng)的兩個(gè)狀態(tài)變量既不是完全可控的，也不是完全可觀測(cè)的。要解釋和說(shuō)明這一情況，就必

4、須首先弄清楚可控性和可觀性的嚴(yán)格定義及判別方法。§4-2 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性一、線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)可控性的定義定義4.1（狀態(tài)可控性定義）：對(duì)于線性定常系統(tǒng)，如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入，能在有限時(shí)間間隔內(nèi)，使得系統(tǒng)從某一初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到指定的任一終端狀態(tài)，則稱此狀態(tài)是可控的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是可控的，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)是可控的。關(guān)于可控性定義的說(shuō)明： （1）上述定義可以在二階系統(tǒng)的相平面上來(lái)說(shuō)明。假如相平面中的P點(diǎn)能在輸入的作用下轉(zhuǎn)移到任一指定狀態(tài)，那么相平面上的P點(diǎn)是可控狀態(tài)。假如可控狀態(tài)“充滿”整個(gè)狀態(tài)空間，即對(duì)于任意初始狀態(tài)都能找到相應(yīng)的控制輸入，使得

5、在有限時(shí)間間隔內(nèi)，將此狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間中的任一指定狀態(tài)，則該系統(tǒng)稱為狀態(tài)完全可控。PP3P1P2PnP40x1x2可控狀態(tài)的圖形說(shuō)明（2）在可控性定義中，把系統(tǒng)的初始狀態(tài)取為狀態(tài)空間中的任意有限點(diǎn)，而終端狀態(tài)也規(guī)定為狀態(tài)空間中的任意點(diǎn)，這種定義方式不便于寫(xiě)成解析形式。為了便于數(shù)學(xué)處理，而又不失一般性，我們把上面的可控性定義分兩種情況敘述：把系統(tǒng)的初始狀態(tài)規(guī)定為狀態(tài)空間中的任意非零點(diǎn)，而終端目標(biāo)規(guī)定為狀態(tài)空間中的原點(diǎn)。于是原可控性定義可表述為：對(duì)于給定的線性定常系統(tǒng)，如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入，能在有限時(shí)間間隔內(nèi)，將系統(tǒng)由任意非零初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)是可控

6、的。把系統(tǒng)的初始狀態(tài)規(guī)定為狀態(tài)空間的原點(diǎn)，即，終端狀態(tài)規(guī)定為任意非零有限點(diǎn)，則可達(dá)定義表述如下：對(duì)于給定的線性定常系統(tǒng)，如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入，能在有限時(shí)間間隔內(nèi)，將系統(tǒng)由零初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任一指定的非零終端狀態(tài)，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全可達(dá)的，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)是可達(dá)的（能達(dá)的）。對(duì)于線性定常系統(tǒng)，可控性和可達(dá)性是等價(jià)的；在以后對(duì)可控性的討論中，均規(guī)定目標(biāo)狀態(tài)為狀態(tài)空間中的原點(diǎn)，并且我們所關(guān)心的，只是是否存在某個(gè)分段連續(xù)的輸入，能否把任意初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，并不要求算出具體的輸入和狀態(tài)軌線。二、可控性的判別準(zhǔn)則定理4.1：（可控性秩判據(jù)） 對(duì)于n階線性定常系統(tǒng)，其系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充分必要條件是：由A

7、、B構(gòu)成的可控性判別矩陣 滿秩，即 其中，n為該系統(tǒng)的維數(shù)?！纠?.2.1】判別下列狀態(tài)方程的可控性。（1） （2）（3） （4）解：（1），系統(tǒng)不可控。 （2），系統(tǒng)不可控。 （3），系統(tǒng)可控。（4）， 系統(tǒng)不可控。定理4.2： 設(shè)線性定常系統(tǒng)，具有互不相同的實(shí)特征值，則其狀態(tài)完全可控的充分必要條件是：系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型 中，陣不存在全零行。非奇異線性變換的不變特性：（1） 線性變換后，可控性不變；（2） 線性變換后，可觀性不變?！纠?.2.2】判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)可控性。（1） （2）（3） （4）解：（1）狀態(tài)方程為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型，B陣中不含有元素全為零的行，故系統(tǒng)是可控的。（2）

8、狀態(tài)方程為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型，B陣中含有元素全為零的行，故系統(tǒng)是不可控的。（3）系統(tǒng)可控。（4）系統(tǒng)不可控?！纠?.2.3】判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)可控性。 解：在應(yīng)用定理4.2這個(gè)判別準(zhǔn)則時(shí)，應(yīng)注意到“特征值互不相同”這個(gè)條件，如果特征值不是互不相同的，即對(duì)角陣中含有相同元素時(shí)，上述判據(jù)不適用。應(yīng)根據(jù)定理4.1的秩判據(jù)來(lái)判斷。對(duì)于本題： ，即系統(tǒng)是不可控的。定理4.3： 若線性定常系統(tǒng)，具有重實(shí)特征值，且每一個(gè)重特征值只對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立特征向量，則系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充分必要條件是：系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型 中，每個(gè)約當(dāng)小塊（）最后一行所對(duì)應(yīng)的陣中的各行元素不全為零?！纠?.2.4】判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)可控

9、性。（1） （2）（3）（4）（5） （6）解：（1）系統(tǒng)是可控的。 （2）系統(tǒng)是不可控的。 （3）系統(tǒng)是可控的。 （4）系統(tǒng)是不可控的。 （5）系統(tǒng)是不可控的。 （6）系統(tǒng)不可控（注意定理4 .3中“且每一個(gè)重特征值只對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立特征向量”這一關(guān)鍵點(diǎn)）。當(dāng)不滿足定理4.3中的條件時(shí)，應(yīng)使用秩判據(jù)。 ，即系統(tǒng)是不可控的。關(guān)于定理4 .3的小結(jié)：（1）輸入矩陣中與約當(dāng)塊最后一行所對(duì)應(yīng)的行不存在全零行。（2）陣中與互異特征值所對(duì)應(yīng)的行不存在全零行。（3）當(dāng)A陣的相同特征值分布在陣的兩個(gè)或更多的約當(dāng)塊時(shí)，如，以上判據(jù)不適用，可根據(jù)定理4.1秩判據(jù)來(lái)判別。§4-3 線性定常離散系統(tǒng)的可控性定

10、義4.2（離散系統(tǒng)的可控性定義）：對(duì)于n階線性定常離散系統(tǒng)，若存在控制作用序列，在有限時(shí)間間隔內(nèi)，能使系統(tǒng)從任意非零初始狀態(tài)經(jīng)有限步轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，即，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)是可控的?！纠?.3.1】設(shè)離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 試分析能否找到控制作用，將初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)。解：利用遞推法： 為檢驗(yàn)該系統(tǒng)能否在第一步由轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，對(duì)上式令，若能夠解出，則表示在第一步上就可以把給定初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，且控制作用為。為此，令，則有，即 表明對(duì)該系統(tǒng)若取，能將在第一步上轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)?！纠?.3.2】設(shè)離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 試分析能否找到控制作用，將初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)。解：利用遞推，有

11、顯然，若令，該方程解不出，這說(shuō)明對(duì)于該系統(tǒng)不能在第一步由初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，須再遞推一步。 若令，該線性方程解對(duì)、無(wú)解，說(shuō)明該系統(tǒng)不能在第二步由初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，還須遞推一步。 若令，上式便是一個(gè)含有三個(gè)未知量的齊次方程 解此齊次方程，有 就是說(shuō)，該系統(tǒng)在的控制作用下，能在第三步上由初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)。定理4.4：（線性定常離散系統(tǒng)可控性秩判據(jù)） 線性定常離散系統(tǒng)，其狀態(tài)完全可控的充分必要條件是：由G、H構(gòu)成的可控性判別矩陣 滿秩，即 【例4.3.3】設(shè)離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 試判別其可控性。解： 所以離散系統(tǒng)是不可控的?！纠?.3.4】設(shè)離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 試判別其可控性。解： 所以

12、離散系統(tǒng)是可控的?！纠?.3.5】設(shè)離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 試判別其可控性；若初始狀態(tài)，確定使的控制序列；研究使的可能性。解： ，所以離散系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的。 令，即 解此齊次方程，有 若令，即解如下方程組： 此方程組無(wú)解。也就是說(shuō)不能在第二個(gè)采樣周期內(nèi)使給定狀態(tài)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)。§4-4 可控標(biāo)準(zhǔn)型及輸出可控性一、可控標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題1、可控標(biāo)準(zhǔn)型 我們稱如下SISO系統(tǒng)或MIMO系統(tǒng)的狀態(tài)方程為可控標(biāo)準(zhǔn)型。 原因是與此狀態(tài)方程相對(duì)應(yīng)的可控性判別矩陣 ，所以系統(tǒng)是可控的。%Example for MATLAB A=sym('0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1;-a0,-a1

13、,-a2,-a3');b=sym('0;0;0;1');Qc=simplify(b,A*b,A2*b,A3*b)運(yùn)行結(jié)果：0, 0, 0, 10, 0, 1, -a30, 1, -a3, -a2+a321, -a3, -a2+a32, -a1+2*a3*a2-a332、如何將可控系統(tǒng)的狀態(tài)方程化為可控標(biāo)準(zhǔn)型 一個(gè)可控系統(tǒng)，當(dāng)A，b不具有可控標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，可以選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q化為可控標(biāo)準(zhǔn)型。設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為： 進(jìn)行非奇異變換：，變換為： 其中：， 可控標(biāo)準(zhǔn)型變換陣P的確定方法：（1）計(jì)算可控性判別矩陣：（2）計(jì)算，并設(shè)的一般形式為： （3）取的最后一行，構(gòu)成 （4）按下列方式構(gòu)

14、造陣 （5），便是化可控標(biāo)準(zhǔn)型的非奇異變換陣。【例4.4.1】已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 試判別狀態(tài)可控性，如可控將狀態(tài)方程化為可控標(biāo)準(zhǔn)型。解：（1）首先判別可控性 ，故系統(tǒng)是可控的。（2）化可控標(biāo)準(zhǔn)型 即有可控標(biāo)準(zhǔn)型 %Example 4.4.1 for MATLAB programA=1,0;0,2;b=1;1;Qc=b,A*bx=rank(Qc);if x=2 '該系統(tǒng)狀態(tài)完全可控' invQc=inv(Qc); invp1=invQc(length(Qc),:); invp=invp1;invp1*A; p=inv(invp) AA=invp*A*p bb=invp*belse '該系統(tǒng)狀態(tài)不可控'end二、輸出可控性定義4.3（輸出可控性定義）：對(duì)于線性定常系統(tǒng)，如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入，能在有限時(shí)間間隔內(nèi)，使得系統(tǒng)從任意初始輸出轉(zhuǎn)移到指定的任意最終輸出，則稱該系統(tǒng)是輸出完全可控的，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)輸出可控。定理4.5：（系統(tǒng)輸出可控性判據(jù)） 設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)，其輸出可控的充分必要條件是：由A、B、C、D構(gòu)成的輸出可控性判別矩陣 的秩等于輸出變量的維數(shù)q，即 說(shuō)明： 一