第十三章 期權的定價(金融市場學,武漢大學)

1、一、內(nèi)在價值和時間價值l期權價格等于期權的內(nèi)在價值加上時間價值。（一）期權的內(nèi)在價值l期權的內(nèi)在價值（intrinsicvalue）是指多方行使期權時可以獲得的收益的現(xiàn)值。l歐式看漲期權的內(nèi)在價值為(st-x)的現(xiàn)值。無收益資產(chǎn)歐式看漲期權的內(nèi)在價值等于s-xe-r(t-t),而有收益資產(chǎn)歐式看漲期權的內(nèi)在價值等于s-d-xe-r(t-t)。l無收益資產(chǎn)美式看漲期權價格等于歐式看漲期權價格,其內(nèi)在價值也就等于s-xe-r(t-t)。有收益資產(chǎn)美式看漲期權的內(nèi)在價值也等于s-d-xe-r(t-t)。l無收益資產(chǎn)歐式看跌期權的內(nèi)在價值為xe-r(t-t)-s，有收益資產(chǎn)歐式看跌期權的內(nèi)在價值為xe

2、-r(t-t)+d-s。無收益資產(chǎn)美式期權的內(nèi)在價值等于x-s，有收益資產(chǎn)美式期權的內(nèi)在價值等于x+d-s。l當然，當標的資產(chǎn)市價低于協(xié)議價格時，期權多方是不會行使期權的，因此期權的內(nèi)在價值應大于等于0。（二）期權的時間價值l期權的時間價值（timevalue）是指在期權有效期內(nèi)標的資產(chǎn)價格波動為期權持有者帶來收益的可能性所隱含的價值。顯然，標的資產(chǎn)價格的波動率越高，期權的時間價值就越大。l此外，期權的時間價值還受期權內(nèi)在價值的影響。以無收益資產(chǎn)看漲期權為例，當s=xe-r(t-t)時，期權的時間價值最大。當s-xe-r(t-t)的絕對值增大時，期權的時間價值是遞減的，如圖13.1所示。二、期

3、權價格的影響因素（一）標的資產(chǎn)的市場價格與期權的協(xié)議價格（二）期權的有效期（三）標的資產(chǎn)價格的波動率（四）無風險利率（五）標的資產(chǎn)的收益三、期權價格的上、下限（一）期權價格的上限1看漲期權價格的上限l在任何情況下，期權的價值都不會超過標的資產(chǎn)的價格。因此，對于對于美式和歐式看跌期權來說，標的資產(chǎn)價格都是看漲期權價格的上限：（13.1）l其中，c代表歐式看漲期權價格，c代表美式看漲期權價格，s代表標的資產(chǎn)價格。cscs和2看跌期權價格的上限l由于美式看跌期權多頭執(zhí)行期權的最高價值為協(xié)議價格（x），因此，美式看跌期權價格（p）的上限為x：（13.2）l由于歐式看跌期權只能在到期日（t時刻）執(zhí)行，在

4、t時刻，其最高價值為x，因此，歐式看跌期權價格（p）不能超過x的現(xiàn)值：（13.3）其中，r代表t時刻到期的無風險利率，t代表現(xiàn)在時刻。px()r t tpxe1歐式看漲期權價格的下限（1）無收益資產(chǎn)歐式看漲期權價格的下限l為了推導出期權價格下限，我們考慮如下兩個組合：組合a：一份歐式看漲期權加上金額為的現(xiàn)金；組合b：一單位標的資產(chǎn)lt時刻，組合a的價值為：而組合b的價值為st。max(,)tsx()r t txel由于，因此，在t時刻組合a的價值也應大于等于組合b，即:c+xe-r(t-t)s所以cs-xe-r(t-t)l由于期權的價值一定為正，因此無收益資產(chǎn)歐式看漲期權價格下限為（13.4）

5、（2）有收益資產(chǎn)歐式看漲期權價格的下限l我們只要將上述組合a的現(xiàn)金改為+d，并經(jīng)過類似的推導，就可得出有收益資產(chǎn)歐式看漲期權價格的下限為：（13.5）()max,0r t tcsxemax(,)ttsxs()max,0r t tcsdxe()r t txe2歐式看跌期權價格的下限（1）無收益資產(chǎn)歐式看跌期權價格的下限l考慮以下兩種組合：組合c：一份歐式看跌期權加上一單位標的資產(chǎn)組合d：金額為的現(xiàn)金l在t時刻，組合c的價值為：max（st，x）l假定組合d的現(xiàn)金以無風險利率投資，則在t時刻組合d的價值為x。由于組合c的價值在t時刻大于等于組合d，因此組合c的價值在t時刻也應大于等于組合d，即：(

6、)()r t tr t tpsxepxes()r t txel由于期權價值一定為正，因此無收益資產(chǎn)歐式看跌期權價格下限為：（13.6）（2）有收益資產(chǎn)歐式看跌期權價格的下限l我們只要將上述組合d的現(xiàn)金改為+d就可得到有收益資產(chǎn)歐式看跌期權價格的下限為：（13.7）l從以上分析可以看出，歐式期權的下限實際上就是其內(nèi)在價值。()max,0r t tpxes()max,0r t tpdxes()r ttxe四、提前執(zhí)行美式期權的合理性（一）提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式期權的合理性1看漲期權l(xiāng)由于現(xiàn)金會產(chǎn)生收益，而提前執(zhí)行看漲期權得到的標的資產(chǎn)無收益，再加上美式期權的時間價值總是為正的，因此我們可以直觀地判

7、斷提前執(zhí)行是不明智的。l為了精確地推導這個結論，我們考慮如下兩個組合：組合a：一份美式看漲期權加上金額為的現(xiàn)金組合b：一單位標的資產(chǎn)lt時刻組合a的價值為max（st，x），而組合b的價值為st，可見組合a在t時刻的價值一定大于等于組合b。即如果不提前執(zhí)行，組合a的價值一定大于等于組合b。()r t txel若在時刻提前執(zhí)行，則此時組合a的價值為：，而組合b的價值為。由于因此即：若提前執(zhí)行美式期權，組合a的價值將小于組合b。l比較兩種情況可得：提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看漲期權是不明智的。因此，同一種無收益標的資產(chǎn)的美式看漲期權和歐式看漲期權的價值是相同的，即：c=c（13.8）l根據(jù)（13.4）

8、，我們可以得到無收益資產(chǎn)美式看漲期權價格的下限：（13.9）()r tsxxes,0tr()r t txex()max,0r t tcsxe2看跌期權l(xiāng)為考察提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看跌期權是否合理，我們考察如下兩種組合：組合a：一份美式看跌期權加上一單位標的資產(chǎn)組合b：金額為的現(xiàn)金l若不提前執(zhí)行，則到t時刻，組合a的價值為max（x，st），組合b的價值為x，組合a的價值大于等于組合b。l若在t時刻提前執(zhí)行，則組合a的價值為x，組合b的價值為xe-(t-)，因此組合a的價值也高于組合b。()r t txel故：是否提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)的美式看跌期權，主要取決于期權的實值額（x-s）、無風險利率水

9、平等因素。一般來說，只有當s相對于x來說較低，或者r較高時，提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看跌期權才可能是有利的。l由于美式期權可提前執(zhí)行，因此其下限比（13.6）更嚴格：（13.10）pxs（二）提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)美式期權的合理性1看漲期權l(xiāng)由于在無收益的情況下，不應提前執(zhí)行美式看漲期權，據(jù)此可知：在有收益情況下，只有在除權前的瞬時時刻提前執(zhí)行美式看漲期權方有可能是最優(yōu)的。l我們先來考察在最后一個除權日（tn）提前執(zhí)行的條件。如果在tn時刻提前執(zhí)行，則期權多方獲得sn-x的收益。若不提前執(zhí)行，則標的資產(chǎn)價格將由于除權降到sn-dn。l根據(jù)式（13.5），在tn時刻期權的價值（cn）()max,0nr

10、 t tnnnnccsdxel因此，如果：即：（13.11）則在tn提前執(zhí)行是不明智的。l相反，如果（13.12）l則在tn提前執(zhí)行有可能是合理的。實際上，只有當tn時刻標的資產(chǎn)價格足夠大時，提前執(zhí)行美式看漲期權才是合理的。l同樣，在ti時刻不能提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看漲期權條件是：（13.13）l由于存在提前執(zhí)行更有利的可能性，有收益資產(chǎn)的美式看漲期權價值大于等于歐式看漲期權，其下限為：l（13.14）()nr t tnnnsdxesx()1nr t tndxe()1nr t tndxe1()1iir ttidxe()max,0r t tccsdxe2看跌期權l(xiāng)由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式

11、期權意味著自己放棄收益權，因此收益使美式看跌期權提前執(zhí)行的可能性變小，但還不能排除提前執(zhí)行的可能性。l通過同樣的分析，我們可以得出美式看跌期權不能提前執(zhí)行的條件是：l由于美式看跌期權有提前執(zhí)行的可能性，因此其下限為：（13.15）1()()11iinr ttir t tndxedxemax(,0)pdxs五、期權價格曲線的形狀（一）看漲期權價格曲線l無收益資產(chǎn)看漲期權價格曲線如圖13-2所示。l有收益資產(chǎn)看漲期權價格曲線與圖13.2類似，只是把xe-r(t-t)換成xe-r(t-t)+d。（二）看跌期權價格曲線1歐式看跌期權價格曲線l無收益資產(chǎn)歐式看跌期權價格曲線如圖13-3所示。圖13.3無

12、收益資產(chǎn)歐式看跌期權價格曲線l有收益資產(chǎn)期權價格曲線與圖13.3相似，只是把換為()r t txe()r t tdxe2美式看跌期權價格曲線l無收益資產(chǎn)美式看跌期權價格曲線如圖13-4所示。l有收益美式看跌期權價格曲線與圖13.4相似，只是把x換成d+x。六、看漲期權與看跌期權之間的平價關系（一）歐式看漲期權與看跌期權之間的平價關系1無收益資產(chǎn)的歐式期權考慮如下兩個組合：組合a：一份歐式看漲期權加上金額為的現(xiàn)金組合b：一份有效期和協(xié)議價格與看漲期權相同的歐式看跌期權加上一單位標的資產(chǎn)l在期權到期時，兩個組合的價值均為max(st,x)。由于歐式期權不能提前執(zhí)行，因此兩組合在時刻t必須具有相等的

13、價值，即：（13.16）l這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權與看跌期權之間的平價關系。它表明歐式看漲期權的價值可根據(jù)相同協(xié)議價格和到期日的歐式看跌期權的價值推導出來，反之亦然。l如果式（13.16）不成立，則存在無風險套利機會。套利活動將最終促使式（13.16）成立。()r t txe()r t tcxepsl在標的資產(chǎn)有收益的情況下，我們只要把前面的組合a中的現(xiàn)金改為+d，我們就可推導有收益資產(chǎn)歐式看漲期權和看跌期權的平價關系：（13.17）()r t tcdxeps()r t txe（二）美式看漲期權和看跌期權之間的關系1無收益資產(chǎn)美式期權。l由于pp,從式（13.16）中我們可得：l對于無收益

14、資產(chǎn)看漲期權來說，由于c=c，因此：（13.18）l為了推出c和p更嚴密的關系，我們考慮以下兩個組合：組合a：一份歐式看漲期權加上金額為x的現(xiàn)金組合b：一份美式看跌期權加上一單位標的資產(chǎn)l如果美式期權沒有提前執(zhí)行，則在t時刻組合b的價值為max(st,x)，而此時組合a的價值為。因此組合a的價值大于組合b。l如果美式期權在時刻提前執(zhí)行，則在時刻，組合b的價值為x，而此時組合a的價值大于等于x。因此組合a的價值也大于組合b。()r t tpcxes()r t tpcxes()r t tcpsxel這就是說，無論美式組合是否提前執(zhí)行，組合a的價值都高于組合b，因此在t時刻，組合a的價值也應高于組合

15、b，即：c+xp+sl由于c=c，因此，c+xp+sc-ps-xl結合式（13.18），我們可得：（13.19）l由于美式期權可能提前執(zhí)行，因此我們得不到美式看漲期權和看跌期權的精確平價關系，但我們可以得出結論：無收益美式期權必須符合式（13.19）的不等式。()r t tsxcpsxel同樣，我們只要把組合a的現(xiàn)金改為d+x，就可得到有收益資產(chǎn)美式期權必須遵守的不等式：s-d-xc-ps-d-xe-r（t-t）（13.20）l期權交易的精妙之處在于可以通過不同的期權品種構成眾多具有不同盈虧分布特征的組合。l投資者可以根據(jù)各自對未來標的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格概率分布的預期，以及各自的風險-收益偏好，選擇

16、最適合自己的期權組合。l在以下的分析中同組合中的期權標的資產(chǎn)均相同。 一、標的資產(chǎn)與期權組合一、標的資產(chǎn)與期權組合l通過組建標的資產(chǎn)與各種期權頭寸的組合，我們可以得到與各種期權頭寸本身的盈虧圖形狀相似但位置不同的盈虧圖，如圖13.5表示。l圖13.5（a）反映了標的資產(chǎn)多頭與看漲期權空頭組合的盈虧圖，該組合稱為有擔保的看漲期權（coveredcall）空頭。標的資產(chǎn)空頭與看漲期權多頭組合的盈虧圖，與有擔保的看漲期權空頭剛好相反。l圖13.5（b）反映了標的資產(chǎn)多頭與看跌期權多頭組合的盈虧圖，標的資產(chǎn)空頭與看跌期權空頭組合的盈虧圖剛好相反。從圖13.5可以看出,組合的盈虧曲線可以直接由構成這個組

17、合的各種資產(chǎn)的盈虧曲線疊加而來。二、二、 差價組合差價組合差價（spreads）組合是指持有相同期限、不同協(xié)議價格的兩個或多個同種期權頭寸組合（即同是看漲期權，或者同是看跌期權），其主要類型有牛市差價組合、熊市差價組合、蝶式差價組合等。1牛市差價（bullspreads）組合。牛市差價組合是由一份看漲期權多頭與一份同一期限較高協(xié)議價格的看漲期權空頭組成。由于協(xié)議價格越高，期權價格越低，因此構建這個組合需要初始投資。l牛市差價組合在不同情況下的盈虧可用表13.2表示。 表表13.2 13.2 牛市差價期權的盈虧狀況牛市差價期權的盈虧狀況l表13.2結果可用圖13.6表示，從圖可看出，到期日現(xiàn)貨價

18、格升高對組合持有者較有利，故稱牛市差價組合。標的資產(chǎn)價格范圍看漲期權多頭的盈虧看漲期權空頭的盈虧總盈虧stx2stx1c1x2st+c2x2x1+c2c1x1stx2stx1c1c2stx1+c2c1stx1-c1c2c2c1l通過比較標的資產(chǎn)現(xiàn)價與協(xié)議價格的關系，我們可以把牛市差價期權分為三類：兩虛值期權組合，指兩個協(xié)議價格均比現(xiàn)貨價格高；多頭實值期權加空頭虛值期權組合，指多頭期權的協(xié)議價格比現(xiàn)貨價格低，而空頭期權的協(xié)議價格比現(xiàn)貨價格高；兩實值期權組合，指兩個協(xié)議價格均比現(xiàn)貨價格低。l此外，一份看跌期權多頭與一份同一期限、較高協(xié)議價格的看跌期權空頭組合也是牛市差價組合，如圖13.7所示。l比

19、較看漲期權的牛市差價與看跌期權的牛市差價組合可以看，前者期初現(xiàn)金流為負，后者為正，但前者的最終收益可能大于后者。2熊市差價組合l熊市差價（bearspreads）組合剛好跟牛市差價組合相反，它可以由一份看漲期權多頭和一份相同期限、協(xié)議價格較低的看漲期權空頭組成（如圖13.8所示）也可以由一份看跌期權多頭和一份相同期限、協(xié)議價格較低的看跌期權空頭組成（如圖13.9所示）。l看漲期權的熊市差價組合和看跌期權的熊市差價組合的差別在于，前者在期初有正的現(xiàn)金流，后者在期初則有負的現(xiàn)金流，但后者的最終收益可能大于前者。l通過比較牛市和熊市差價組合可以看出，對于同類期權而言，凡“買低賣高”的即為牛市差價策略

20、，而“買高賣低”的即為熊市差價策略，這里的“低”和“高”是指協(xié)議價格。兩者的圖形剛好與x軸對稱。 3 蝶式差價組合蝶式差價組合蝶式差價（butterflyspreads）組合是由四份具有相同期限、不同協(xié)議價格的同種期權頭寸組成。l若x1x2x3，且x2=（x1+x3）/2，則蝶式差價組合有如下四種：看漲期權的正向蝶式差價組合，它由協(xié)議價格分別為x1和x3的看漲期權多頭和兩份協(xié)議價格為x2的看漲期權空頭組成，其盈虧分布圖如圖13.10所示；看漲期權的反向蝶式差價組合，它由協(xié)議價格分別為x1和x3的看漲期權空頭和兩份協(xié)議價格為x2的看漲期權多頭組成，其盈虧圖剛好與圖13.10相反；看跌期權的正向蝶式差價組合，它由協(xié)議價格分別為x1和x3的看跌期權多頭和兩份協(xié)議價格為x2的看跌期權空頭組成，其盈虧圖如圖13.11所示?？吹跈嗟姆聪虻讲顑r組合，它由協(xié)議價格分別為x1和x3的看跌期權空頭和兩份協(xié)議價格為x2的看跌期權多頭組成，其盈虧圖與圖13.11剛好相反。 三、三、 差期組合差期組合l差期（calendarspreads）組合是由兩份相同協(xié)議價格、不同期限的同種期權的不同頭寸組成的組合。它有四種類型：一份看漲期權多頭與一份期限較短的看漲期權空頭的組合，稱看漲期權的正向差期組合。一份看漲期權多