線性代數(shù)ppt課件

1、用消元法解二元線性方程組用消元法解二元線性方程組 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得兩式相減消去兩式相減消去2x一、二階行列式的引入一、二階行列式的引入;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得類似地，消去類似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（時，時，當當021122211 aaaa方程組的解為方程組的解為，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112

2、112aaaaabbax 由方程組的四個系數(shù)確定由方程組的四個系數(shù)確定. 由四個數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排由四個數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表稱列）的數(shù)表)4(22211211aaaa)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并記記作作）所所確確定定的的二二階階稱稱為為數(shù)數(shù)表表（表表達達式式 即即.2112221122211211aaaaaaaad 數(shù)數(shù)aij(i=1, 2; j=1, 2)稱為行列式（稱為行列式（5）的元素或元。元素）的元素或元。元素aij的第一個下標的第一個下標i稱為行標，表明該元素位于第稱為行標，表明該元素位于第i行第二個下標

3、行第二個下標j稱為列標，表明該元素位于第稱為列標，表明該元素位于第j列。位于第列。位于第i行第行第j行列的元素行列的元素稱為行列式（稱為行列式（4）的（）的（i，j）元。）元。11a12a22a21a主對角線主對角線副對角線副對角線2211aa .2112aa 二階行列式的計算二階行列式的計算若記若記,22211211aaaad .,22221211212111bxaxabxaxa對于二元線性方程組對于二元線性方程組系數(shù)行列式系數(shù)行列式 .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaad .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211abab

4、d .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaad .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababd .,22221211212111bxaxabxaxa.2211112babad 則二元線性方程組的解為則二元線性方程組的解為,2221121122212111aaaaababddx 注意注意 分母都為原方程組的系數(shù)行列式分母都為原方程組的系數(shù)行列式.2221121122111122aaaababaddx . 12,12232121xxxx求解二元線性方程組求解二元線性方程組解解1223 d)4(3 , 07 112121 d,14

5、 121232 d,21 ddx11 , 2714 ddx22 . 3721 二、三階行列式二、三階行列式333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的數(shù)表列的數(shù)表行行個數(shù)排成個數(shù)排成設有設有,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa（6 6）式稱為數(shù)表（）式稱為數(shù)表（5 5）所確定的）所確定的. .323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)沙路法沙路法三階行列式的計算三階行列

6、式的計算322113312312332211aaaaaaaaa d333231232221131211aaaaaaaaad . .列標列標行標行標333231232221131211aaaaaaaaad 333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三元素的乘積冠以負號元素的乘積冠以負號說明說明1 對角線法則只適用于二階與三階行列式對角線法則只適用于二階與三階行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 2 2. . 三階行列

7、式包括三階行列式包括3!3!項項, ,每一項都是位于不同行每一項都是位于不同行, ,不同列的三個元素的乘積不同列的三個元素的乘積, ,其中三項為正其中三項為正, ,三項為三項為負負. .2-43-122-4-21d 計算三階行列式計算三階行列式按對角線法則，有按對角線法則，有 d4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 . 094321112 xx求解方程求解方程方程左端方程左端1229184322 xxxxd, 652 xx解得由0652 xx3.2 xx或或一、概念的引入一、概念的引入引例引例用用1、2、3三個數(shù)字，可以組成多少個沒三

8、個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？有重復數(shù)字的三位數(shù)？解解1 2 3123百位百位3種放法種放法十位十位1231個位個位12 32種放法種放法1種放法種放法種放法種放法.共有共有6123 利用了乘法原理（講課時加以解釋）利用了乘法原理（講課時加以解釋）.二、全排列及其逆序數(shù)二、全排列及其逆序數(shù)同的排法？同的排法？，共有幾種不，共有幾種不個不同的元素排成一列個不同的元素排成一列把把 n問題問題定義定義把把 個不同的元素排成一列，叫做這個不同的元素排成一列，叫做這 個個元素的全排列（或排列）元素的全排列（或排列）.nn 個不同的元素的所有排列的種數(shù)，通常個不同的元素的所有排列的種數(shù)，通常

9、用用 表示表示.nnp由引例由引例1233 p. 6 npn )1( n)2( n123 !.n 同理同理 在一個排列在一個排列 中，若數(shù)中，若數(shù) 則稱這兩個數(shù)組成一個逆序則稱這兩個數(shù)組成一個逆序. nstiiiii21stii 例如例如 排列排列32514 中，中， 定義定義 我們規(guī)定各元素之間有一個標準次序我們規(guī)定各元素之間有一個標準次序, n 個個不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標準次序標準次序.排列的逆序數(shù)排列的逆序數(shù)3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序定義定義 一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)逆序數(shù).例如例如

10、 排列排列32514 中，中， 3 2 5 1 4逆序數(shù)為逆序數(shù)為31010故此排列的故此排列的逆序數(shù)為逆序數(shù)為3+1+0+1+0=5.計算排列逆序數(shù)的方法計算排列逆序數(shù)的方法逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列偶排列.排列的奇偶性排列的奇偶性分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼個數(shù)之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)，個數(shù)之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)，這每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆這每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)序數(shù).例例4 4 求排列求排列32514

11、的逆序數(shù)的逆序數(shù).解解在排列在排列32514中中,3排在首位排在首位,逆序數(shù)為逆序數(shù)為0;2的前面比的前面比2大的數(shù)只有一個大的數(shù)只有一個3,故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為1; 5的前面沒有比的前面沒有比5大的數(shù)大的數(shù),其逆序數(shù)為其逆序數(shù)為0;1的前面比的前面比1大的數(shù)有大的數(shù)有3個個,故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為3;4的前面比的前面比4大的數(shù)有大的數(shù)有1個個,故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為1;3 2 5 1 40 1 0 3 1于是排列于是排列32514的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為13010 t. 5 （補充例題）例（補充例題）例1 1 計算下列排列的逆序數(shù)，并計算下列排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇偶性討論它們的奇偶性. 217

12、9863541解解453689712544310010 t18 此排列為此排列為偶排列偶排列.54 0100134 321212 nnn解解12 ,21 nn當當 時為偶排列；時為偶排列；14 ,4 kkn當當 時為奇排列時為奇排列.34 , 24 kkn 1 nt 2 n 32121 nnn1 n 2 n kkkkkk132322212123 解解0 t kkk 21112,2k 當當 為偶數(shù)時，排列為偶排列，為偶數(shù)時，排列為偶排列，k當當 為奇數(shù)時，排列為奇排列為奇數(shù)時，排列為奇排列.k1 1 2 kkk 112 kkkkk0 1 1 2 2 k2 2 排列具有奇

13、偶性排列具有奇偶性.1 1 個不同的元素的所有排列種數(shù)為個不同的元素的所有排列種數(shù)為n!.n三、小結三、小結一、概念的引入一、概念的引入三階行列式三階行列式333231232221131211aaaaaaaaad 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 說明說明（1）三階行列式共有）三階行列式共有 項，即項，即 項項6!3（2）每項都是位于不同行不同列的三個元素的）每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積乘積（3）每項的正負號都取決于位于不同行不同列）每項的正負號都取決于位于不同行不同列 的三個元素的下標排列的三個元素的下

14、標排列例如例如322113aaa列標排列的逆序數(shù)為列標排列的逆序數(shù)為 , 211312 t322311aaa列標排列的逆序數(shù)為列標排列的逆序數(shù)為 , 101132 t偶排列偶排列奇排列奇排列正號正號 ,負號負號 .)1(321321333231232221131211 ppptaaaaaaaaaaaa二、二、n階行列式的定義階行列式的定義nnnnnnnppptaaaaaaaaadaaannnn212222111211212.)1(21 記記作作的的代代數(shù)數(shù)和和個個元元素素的的乘乘積積取取自自不不同同行行不不同同列列的的階階行行列列式式等等于于所所有有個個數(shù)數(shù)組組成成的的由由定義定義).det(

15、ija簡記作簡記作的元素的元素稱為行列式稱為行列式數(shù)數(shù))det(ijijaa為這個排列的逆序數(shù)為這個排列的逆序數(shù)的一個排列，的一個排列，為自然數(shù)為自然數(shù)其中其中tnpppn2121 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaad212121212122221112111 說明說明1、行列式是一種特定的算式、行列式是一種特定的算式;2、 階行列式是階行列式是 項的代數(shù)和項的代數(shù)和;n!n3、 階行列式的每項都是位于不同行、不同階行列式的每項都是位于不同行、不同列列 個元素的乘積個元素的乘積;nn5、 一階行列式一階行列式 不要與絕對值記號相混淆不要與絕對值記號相混淆;aa 4

16、、 的符號為的符號為nnpppaaa2121 .1t （補充例題）例（補充例題）例1 1計算對角行列式計算對角行列式0004003002001000分析分析展開式中項的一般形式是展開式中項的一般形式是43214321ppppaaaa41 p若若, 011 pa所以所以 只能等于只能等于 , 1p4同理可得同理可得1, 2, 3432 ppp解解0004003002001000 432114321 t.24 即行列式中不為零的項為即行列式中不為零的項為.aaaa41322314例例2 2（類似第（類似第7 7頁例頁例6 6） 計算上計算上三角行列式三角行列式nnnnaaaaaa000222112

17、11分析分析展開式中項的一般形式是展開式中項的一般形式是.2121nnpppaaa,npn , 11 npn, 1, 2, 3123 ppnpn所以不為零的項只有所以不為零的項只有.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211 nnntaaa2211121 .2211nnaaa 解解nnnnaaaaaa00022211211（補充例題）（補充例題）例例3?8000650012404321 d443322118000650012404321aaaad .1608541 （注：第（注：第7頁例頁例6）同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式nnnnnaaaaaaa321222111

18、00000.2211nnaaa n 21 .12121nnn ;21n n 21例例4 4（第（第7 7頁例頁例5 5） 證明證明對角行列式對角行列式n 21 11,212111nnnnntaaa .12121nnn 證明證明第一式是顯然的第一式是顯然的,下面證第二式下面證第二式.若記若記,1, iniia 則依行列式定義則依行列式定義11,21nnnaaa 證畢證畢n 211 、行列式是一種特定的算式、行列式是一種特定的算式.2、 階行列式共有階行列式共有 項，每項都是位于不同項，每項都是位于不同行、不同列行、不同列 的的 個元素的乘積個元素的乘積,正負號由下標排正負號由下標排列的逆序數(shù)決定

19、列的逆序數(shù)決定.nn!n三、小結三、小結已知已知 1211123111211xxxxxf .3的系數(shù)的系數(shù)求求 x思考題解答思考題解答解解含含 的項有兩項的項有兩項,即即3x 1211123111211xxxxxf 對應于對應于 4334221112341aaaat 443322111aaaat ,1344332211xaaaat 343342211123421xaaaat . 13 的系數(shù)為的系數(shù)為故故 x一、對換的定義一、對換的定義定義定義在排列中，將任意兩個元素對調，其余在排列中，將任意兩個元素對調，其余元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換對換將相鄰兩

20、個元素對調，叫做將相鄰兩個元素對調，叫做相鄰對換相鄰對換mlbbbaaa11例如例如bamlbbabaa11abnmlccbbbaaa111nmlccabbbaa111baab二、對換與排列的奇偶性的關系二、對換與排列的奇偶性的關系定理定理1 1一個排列中的任意兩個元素對換，排列一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性改變奇偶性推論推論奇排列調成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，奇排列調成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù)偶排列調成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù). . 由定理由定理1知對換的次數(shù)就是排列奇偶性的知對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù)變化次數(shù),知推論成立知推論成立.

21、證明證明而標準排列是偶排列而標準排列是偶排列(逆序數(shù)為逆序數(shù)為0),因此因此 nppptnaaad21211 定理定理2 2 階行列式也可定義為階行列式也可定義為n其中其中 為行標排列為行標排列 的逆序數(shù)的逆序數(shù). .tnppp21定理定理3 3 階行列式也可定義為階行列式也可定義為n nnqpqpqptaaad22111 其中其中 是兩個是兩個 級排列，級排列， 為行為行標排列逆序數(shù)與列標排列逆序數(shù)的和標排列逆序數(shù)與列標排列逆序數(shù)的和. .nnqqq,ppp2121nt例例1 1 在六階行列式中，下列兩項各應帶什么符號在六階行列式中，下列兩項各應帶什么符號.;)1(651456423123a

22、aaaaa.)2(256651144332aaaaaa解解651456423123)1(aaaaaa431265的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為012201 t, 6 所以所以 前邊應帶正號前邊應帶正號.651456423123aaaaaa,655642312314aaaaaa行標排列行標排列341562的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為列標排列列標排列234165的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為400301 t所以所以 前邊應帶正號前邊應帶正號.256651144332aaaaaa256651144332)2(aaaaaa6400200 t 1. 1. 一個排列中的任意兩個元素對換，排列改一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇

23、偶性變奇偶性2.2.行列式的三種表示方法行列式的三種表示方法 nppptnaaad21211 nnqqqtaaad21211 nnqpqpqptaaad22111 三、小結三、小結其中其中 是兩個是兩個 級排列，級排列， 為行為行標排列逆序數(shù)與列標排列逆序數(shù)的和標排列逆序數(shù)與列標排列逆序數(shù)的和. .nnqqq,ppp2121nt思考題思考題證明證明 在全部在全部 級排列中級排列中 , ,奇偶排列各占奇偶排列各占一半一半. . n 2 n思考題解答思考題解答證證 設在全部設在全部 階排列中有階排列中有 個奇排列個奇排列, , 個偶個偶排列排列, ,現(xiàn)來證現(xiàn)來證 . . nstts 將將 個奇排列

24、的前兩個數(shù)對換個奇排列的前兩個數(shù)對換, ,則這則這 個奇排個奇排列全變成偶排列列全變成偶排列, ,并且它們彼此不同并且它們彼此不同, ,所以所以ss. ts 若將若將 個偶排列的前兩個數(shù)對換個偶排列的前兩個數(shù)對換, ,則這則這 個偶排列個偶排列全變成奇排列全變成奇排列, ,并且它們彼此不同并且它們彼此不同, ,于是有于是有tt. st 故必有故必有. ts 一、行列式的性質一、行列式的性質 行列式與它的轉置行列式相等行列式與它的轉置行列式相等. .行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 的轉置行列式的轉置行列式. tdd記記nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa d2121nnaa

25、annaaa2112 tdnnaaa2211證明證明 的轉置行列式的轉置行列式記記ijaddet ,212222111211nnnnnntbbbbbbbbbd , 2 , 1,njiabjiij 即即按定義按定義 .1121212121 nppptnpppttnnaaabbbd 又因為行列式又因為行列式d可表示為可表示為 .12121 nppptnaaad故故.tdd 證畢證畢 互換行列式的兩行（列）互換行列式的兩行（列）, ,行列式變號行列式變號. .設行列式設行列式,2122221112111nnnnnnbbbbbbbbbd 說明說明 行列式中行與列具有同等的地位行列式中行與列具有同等的地

26、位,因此行列因此行列式的性質凡是對行成立的對列也同樣成立式的性質凡是對行成立的對列也同樣成立.是由行列式是由行列式 變換變換 兩行得到的兩行得到的, ijaddet ji,于是于是 njinpjpipptbbbbd1111 njinpipjpptaaaa111 ,111nijnpjpipptaaaa ,1為為自自然然排排列列其其中中nji.1的逆序數(shù)的逆序數(shù)為排列為排列njippppt,11tppppnij的的逆逆序序數(shù)數(shù)為為設設排排列列則有則有即當即當 時時,jik, ;kpkpab 當當 時時,jik, ,ipjpjpipabab 例如例如推論推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則如果行

27、列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零此行列式為零. .證明證明互換相同的兩行，有互換相同的兩行，有 . 0 d,dd ,111tt 故故 .11111daaaadnijnpjpippt 證畢證畢,571571 266853.825825 361567567361266853 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)乘以同一數(shù) ，等于用數(shù)，等于用數(shù) 乘此行列式乘此行列式. .kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所

28、有元素的公因子可以提到行列式符號的外面子可以提到行列式符號的外面性質性質行列式中如果有兩行（列）元素成比行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零例，則此行列式為零證明證明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 性質性質5 5若行列式的某一列（行）的元素都是兩若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和數(shù)之和. .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaad)()()(2122222211111211 則則d等于下列兩個行列式之和：等于下列兩個行列式之和

29、：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaad 122211111122211111例如例如性質性質把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列同一數(shù)然后加到另一列(行行)對應的元素上去，行對應的元素上去，行列式不變列式不變njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakcc)()()(1222221111111 k例如例如 例例（類似第（類似第12頁例頁例7）2101044614753124025973313211 d二

30、、應用舉例二、應用舉例計算行列式常用方法：利用運算把行列式計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值化為上三角形行列式，從而算得行列式的值jikrr 3 2101044614753124025973313211 d3 解解2101044614753124022010013211312 rr2101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 132rr 4 42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr

31、133rr 2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 例例2 2 計算計算 階行列式階行列式（第（第12頁例頁例8的推廣）的推廣）nabbbbabbbbabbbbad 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 d將第將第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 23111131111311113 d abbbabbbabbbbna1111)

32、 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna例例3 3（第（第1313頁例頁例9 9）dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbad 3610363234232計算計算解解 從第4行開始，后行減前行：cbabaacbabaacbabaadcbarrrrrrd 363023200122334cbabaacbabaacbabaadcbarrrrrrd 363023200122334baabaacbabaadcbarrrr 300200023344340002000aabaacbabaadcbarr 注注1：當把幾個運算寫在一起時，運算次序

33、一定不能顛倒，這是因為后一次運算是作用在前一次運算結果上的緣故。;1221badbcarrdcdbcarrdcba 例如例如;2112bdacdbcarrbdacbarrdcba bdacdbcarrrrdcba 1221再例如再例如這樣的運算結果是這樣的運算結果是錯誤的。錯誤的。注注2：運算運算ri+rj與運算與運算rj+ri是有區(qū)別的，同樣不能把是有區(qū)別的，同樣不能把記號記號ri+krj寫作寫作krj+ri 。例例4 4（第（第1414頁例頁例1010）nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaad1111111111110 設設,)det(11111kkkkijaaaaad ,)de

34、t(11112nnnnijbbbbbd .21ddd 證明證明證明證明;0111111kkkkkpppppd 設為設為化為下三角形行列式化為下三角形行列式，把，把作運算作運算對對11dkrrdji 化為下三角形行列式化為下三角形行列式把把作運算作運算對對22,dkccdji .0111112nnnknqqpqqd 設為設為,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppd 化為下三角形行列式化為下三角形行列式把把算算列作運列作運，再對后，再對后行作運算行作運算的前的前對對dkccnkrrkdjiji, nnkkqqppd1111 故故.21dd ,2ddccbbaadn 例例5

35、 5（第（第1515頁例頁例1111）計算計算2n階行列式階行列式其中未寫出的元素均為其中未寫出的元素均為0。dcdcdcbababa0000000000000000dcdcbabadcbadcdcbabadcba0000000022 n22 n,00000000)1()22(22ddcbacbadcbadnn 由上例的結果，可得由上例的結果，可得解解 把把d2n中的第中的第2n行一次與第行一次與第2n-1行、第行、第2n-2行、行、第、第2行對調行對調（共做（共做2n-2次相鄰對換）次相鄰對換），再把第，再把第2n列一次與第列一次與第2n-1列、第列、第2n-2列、列、第、第2列對調列對調（

36、共做（共做2n-2次相鄰對次相鄰對換）換） ，得，得)1(2)1(222)( nnndbcadddd依次作遞推公式，即得依次作遞推公式，即得nnnnnbcaddbcaddbcaddbcadd)()()()(21)3(23)2(222 (行列式中行與列具有同行列式中行與列具有同等的地位等的地位,行列式的性質凡是對行成立的對列也行列式的性質凡是對行成立的對列也同樣成立同樣成立). 計算行列式常用方法：計算行列式常用方法：(1)利用定義利用定義;(2)利用利用性質把行列式化為上三角形行列式，從而算得行性質把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值列式的值三、小結三、小結行列式的行列式的6個性質個

37、性質,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa例如例如 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 333123211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 一、余子式與代數(shù)余子式一、余子式與代數(shù)余子式在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃去后，留下來的列劃去后，留下來的 階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，記作，記作nijaij

38、1 nija.mij ，記記ijjiijma 1叫做元素叫做元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaad 44424134323114121123aaaaaaaaam 2332231ma .23m .個個代代數(shù)數(shù)余余子子式式對對應應著著一一個個余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每個個元元素素分分別別引理引理 一個一個 階行列式，如果其中第階行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都為零，那末這行列式等于外都為零，那末這行列式等于 與它的與它的代數(shù)余子式的乘積，即代數(shù)余子式的乘積，即 i

39、jijaad niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaad .14442412422211412113333aaaaaaaaaa 例如例如證證當當 位于第一行第一列時位于第一行第一列時,ijannnnnaaaaaaad21222211100 根據(jù)第根據(jù)第14頁例頁例10，即有即有.1111mad 又又 1111111ma ,11m 從而從而.1111aad 再證一般情形再證一般情形, 此時此時nnnjnijnjaaaaaaad1111100 ,1,2,1行對調行對調第第行行第第行行行依次與第行依次與第的第的第把把 iiid得得 nnnj

40、nnijiiijiaaaaaaad1, 1, 11 , 11001 ijaija,1,2,1對對調調列列第第列列第第列列列列依依次次與與第第的的第第再再把把 jjjd得得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaad1, 11, 1, 1110011 ija nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 12001 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 1001 ijaija中的余子式在行列式元素nnnjnjnnjnijijiijinijijiijinjjjijijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa11111111111111111

41、11111111110000,ijaijannnjnjnjnnijijijiiijnijijijiinjjjaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa11111, 1, 1111 , 111, 11111 , 1111111110000 中的余子式中的余子式ijm相同相同故得故得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaad1, 11, 1, 1001 .1ijijijijjiaama 于是有于是有nnjnnjnijijiijaaaaaaa1, 11, 1, 100 ,ijijma ijaija定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式

42、乘積之和，即素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即ininiiiiaaaaaad 2211 ni, 2 , 1 證證nnnniniinaaaaaaaaad212111211000000 二、行列式按行（列）展開法則二、行列式按行（列）展開法則nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiaaaaaa 2211 ni, 2 , 1 例例1（第（第18頁中間的計算）頁中間的計算）3351110243152113 d03550100131111115 312 cc 34cc 05511111

43、15)1(33 055026115 5526)1(31 .40 12rr 證證用數(shù)學歸納法用數(shù)學歸納法21211xxd 12xx , )(12 jijixx）式成立）式成立時（時（當當12 n例例2 （第（第18頁例頁例12）證明范德蒙德證明范德蒙德(vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxd)1(，階范德蒙德行列式成立階范德蒙德行列式成立）對于）對于假設（假設（11 n)()()(0)()()(001111121323122211331221131211221111xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

44、xrxrrxrrxrdnnnnnnnnnnnnn 就就有有提提出出，因因子子列列展展開開，并并把把每每列列的的公公按按第第)(11xxi )()()(211312jjininnxxxxxxxxd ).(1jjinixx 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1階范德蒙德行列式階范德蒙德行列式推論推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即. ji,aaaaaajninjiji 02211,11111111nnnjnjininjnjnj

45、jaaaaaaaaaaaa 證證行展開，有行展開，有按第按第把行列式把行列式jadij)det( ,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaaaaa 可得可得換成換成把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,時時當當ji ).(,02211jiaaaaaajninjiji 同理同理).(, 02211jiaaaaaanjnijiji 相同相同關于代數(shù)余子式的重要性質關于代數(shù)余子式的重要性質 ;,0,22111jijiddaaaaaaaaijnjnijijinkkjki當當當當 ;,jijiddaaaaaaaaijjninjijinkjkik當當02211

46、1 .,0,1jijiij當當，當當其中其中為了更好的利用代數(shù)余子式的性質，下面給出兩個公式：為了更好的利用代數(shù)余子式的性質，下面給出兩個公式：inniinnnniinniinabababaaaabbaaaa 22111,11 ,11,11 ,1111njnjjnnjnnjnnnjjabababaabaaaabaa 22111,1,111,111,111（1）（2）例例3 （第（第21頁的例頁的例13） 設設3142313150111253 d解解 按（按（1）式可知）式可知a11+a12+a13+ a14等于用等于用1,1,1,1代代替替d的第的第1行所得的行列式，即行所得的行列式，即d的的

47、(i,j)元的余子式和代數(shù)余子式依次記作元的余子式和代數(shù)余子式依次記作mij和和aij，求求a11+a12+a13+ a14及及m11+m21+m31+ m41。314231315011111114131211 aaaa01122251100112022501111111334 rrrr4205200120252112 cc4131211141312111aaaammmm 0010313150111251314131315011125134 rr03115015012311501121)1(31 rr按（按（2）式可知）式可知 1. 行列式按行（列）展開法則是把高階行列行列式按行（列）展開法則

48、是把高階行列式的計算化為低階行列式計算的重要工具式的計算化為低階行列式計算的重要工具. ;,0,. 21jijiddaaijnkkjki當當當當 ;,0,1jijiddaaijnkjkik當當當當 .,0,1jijiij當當，當當其中其中三、小結三、小結 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111設線性方程組設線性方程組,21不全為零不全為零若常數(shù)項若常數(shù)項nbbb則稱此方程組為則稱此方程組為非非 齊次線性方程組齊次線性方程組;,21全為零全為零若常數(shù)項若常數(shù)項nbbb此時稱方程組為此時稱方程組為齊次線性方程組齊次線性方程組.非齊次與

49、齊次線性方程組的概念非齊次與齊次線性方程組的概念一、克拉默法則一、克拉默法則如果線性方程組如果線性方程組)1(22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系數(shù)行列式不等于零，即的系數(shù)行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaad212222111211 0 .ddx,ddx,ddx,ddxnn 232211其中其中 是把系數(shù)行列式是把系數(shù)行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的組右端的常數(shù)項代替后所得到的 階行列式，即階行列式，即jddjnnnj ,nnj ,nnnj ,j ,jaabaaaabaad11111111111 那么線性方程組那么線性方程組 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表為可以表為 1二、重要定理二、重要定理定理定理1 1 （注：第（注：第24頁定理頁定理4） 如果線性方程組如果線性方程組 的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式 則則 一定有解一定有解, ,且解是唯且解是唯一的一的 . . 1 1, 0 d定理定理2 2 （注：第（注：第24頁定理頁定理4）如果線性方程組如果線性方程組無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零. . 1齊次線性方程