極坐標(biāo)與參數(shù)方程知識(shí)講解

1、參數(shù)方程和極坐標(biāo)系一、知識(shí)要點(diǎn)（一）曲線的參數(shù)方程的定義：在取定的坐標(biāo)系中， 如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x、y 都是某個(gè)變數(shù) t 的函數(shù)，即xf (t)yf (t )并且對(duì)于 t 每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)M（ x，y）都在這條曲線上，那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x、 y 之間關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)（二）常見曲線的參數(shù)方程如下：1過定點(diǎn)（ x，y ），傾角為的直線：00xx0 t cos（ t 為參數(shù)）yy0t sin其中參數(shù)t 是以定點(diǎn) P（x0，y0）為起點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于t 點(diǎn) M（ x，y）為終點(diǎn)的有向線段PM 的數(shù)量，又稱為點(diǎn)P 與點(diǎn) M 間的有向距離根據(jù) t 的幾何

2、意義，有以下結(jié)論設(shè)A、 B 是直線上任意兩點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA 和 tB，則 AB tBtA1(t Bt A )24t A t B t At B 線段 AB 的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值等于222中心在（ x0，y0），半徑等于r 的圓：xx0r cos為參數(shù)）yy0（r sin3中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸（或 y 軸）上的橢圓：xa cos（ 為參數(shù)）（或xb cosyb siny）a sin中 心 在 點(diǎn) （ x0,y0）焦點(diǎn)在平行于x軸的直線上的橢圓的參數(shù)方程xx0a cos ,為參數(shù)）yy0(b sin .4中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸（或 y 軸）上的雙曲線：xa sec為參數(shù)）（或xbt

3、gy（y）btgasec5頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸正半軸上的拋物線：x2 pt 2y2 pt直線的參數(shù)方程和參數(shù)的幾何意義（ t 為參數(shù)， p 0）過定點(diǎn) P（ x0 ，y0 ），傾斜角為的直線的參數(shù)方程是xx0t cos（ t 為參數(shù)）yy0t sinJ3.2 極坐標(biāo)系1、定義：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)，引一條射線Ox，叫做極軸，再選一個(gè)長度單位和角度的正方向（通常取逆時(shí)針方向） 。對(duì)于平面內(nèi)的任意一點(diǎn)M，用表示線段 OM的長度，表示從 Ox 到 OM的角， 叫做點(diǎn) M的極徑， 叫做點(diǎn) M的極角， 有序數(shù)對(duì) ( , ) 就叫做點(diǎn) M的極坐標(biāo)。這樣建立的坐標(biāo)系叫做極坐標(biāo)系。MOx圖12、

4、極坐標(biāo)有四個(gè)要素：極點(diǎn)；極軸；長度單位；角度單位及它的方向極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)都是一對(duì)有序?qū)崝?shù)確定平面上一個(gè)點(diǎn)，在極坐標(biāo)系下，一對(duì)有序?qū)崝?shù)、對(duì)應(yīng)惟一點(diǎn) P(，)，但平面內(nèi)任一個(gè)點(diǎn)P 的極坐標(biāo)不惟一一個(gè)點(diǎn)可以有無數(shù)個(gè)坐標(biāo)，這些坐標(biāo)又有規(guī)律可循的，P(，)（極點(diǎn)除外）的全部坐標(biāo)為(, 2k)或（， (2k1)），( kZ)極點(diǎn)的極徑為0，而極角任意取若對(duì)、的取值范圍加以限制則除極點(diǎn)外，平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)就惟一了，如限定>0，02或<0，等極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的不同是，直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)的，而極坐標(biāo)系中，點(diǎn)與坐標(biāo)是一多對(duì)應(yīng)的即一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)是不惟一的3、直線相對(duì)于極坐標(biāo)系的幾種不同的

5、位置方程的形式分別為：aa0coscosaasinsinM（，）0Ox圖10Macos(MOa圖2acos)Ma O圖3acosM（，）aOaaN (a ,)O圖4asinM圖5asinOp圖6acos()4、圓相對(duì)于極坐標(biāo)系的幾種不同的位置方程的形式分別為(a0) ：a2a cos2a cos2a sin2a sin2a cos()MMMaaOxOxOax圖3圖1圖22acosa2 a cosMOxMaMa( a, )aOx圖5Ox圖4圖62asin2a sin2a cos()5 、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式：y( , )NxMyxOx2 y22Hcosysintany( x 0)x（直極互化

6、圖）例題（ j3.1 參數(shù)方程）例 1.討論下列問題：1、已知一條直線上兩點(diǎn)M 1 x1 , y1 、 M 2 x2 , y2 ，以分點(diǎn)M（ x， y）分 M 1M 2 所成的比為參數(shù)，寫出參數(shù)方程。3x3t2、直線2(t 為參數(shù) )的傾斜角是y11 t2A B 5D263C363、方程x1t cos（ t 為非零常數(shù)，為參數(shù)）表示的曲線是()y3t sinA 直線B圓C橢圓D雙曲線x5cosP(5， 23 )的離心角可4、已知橢圓的參數(shù)方程是（為參數(shù)），則橢圓上一點(diǎn)y4sin2以是AB 245C3D333例 2 把彈道曲線的參數(shù)方程xv0 cost,(1)1 gt 2 ,yv0 sint化成

7、普通方程(2)2例 3. 將下列數(shù)方程化成普通方程 x2t 2x2x1t 2xa(t1) ，xmy1，1t 2，1t 2，ty2ty2ty2tyb(t1)ymx11t 21t 2t6xa cos,( 為參數(shù) , a b0)7xcos2yb sin .ysin例 4. 直線 3x 2y6=0，令 y = tx 6（ t 為參數(shù)）求直線的參數(shù)方程例 5.已知圓錐曲線方程是x3t 5cos1y6t 24 sin5（1）若 t 為參數(shù)，為常數(shù)，求該曲線的普通方程，并求出焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；（2）若 為參數(shù)， t 為常數(shù)，求這圓錐曲線的普通方程并求它的離心率。例 6. 在圓 x2 2x y2=0 上求一點(diǎn)

8、，使它到直線2x 3y5=0 的距離最大例 7. 在橢圓 4x2 9y2=36 上求一點(diǎn)P，使它到直線x 2y 18=0 的距離最短（或最長） 例 8.已知直線； l：x13t與雙曲線 （ y-2）2-x2= 1 相交于 A 、 B 兩點(diǎn)， P 點(diǎn)坐標(biāo) P(-1， 2)。y24t求：（ 1） |PA|.|PB|的值；（ 2）弦長 |AB|;弦 AB 中點(diǎn) M 與點(diǎn) P的距離。例 9.已知 A（ 2,0）,點(diǎn) B,C 在圓 x2+y 2=4 上移動(dòng)，且有 BAC2求ABC 重心 G 的軌跡方程。3例 10.已知橢圓 x 2y 21和圓 x22在橢圓上求一點(diǎn)12,12328+(y-6) =5,P

9、,在圓上求一點(diǎn)P 使|P P |達(dá)到最大值，并求出此最大值。例 11.已知直線 l 過定點(diǎn) P(-2,0),與拋物線 C: x2+ y-8=0 相交于 A 、 B 兩點(diǎn)。（ 1）若 P 為線段 AB 的中點(diǎn)，求直線 l 的方程；（ 2）若 l 繞 P 點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，求 AB 的中點(diǎn) M 的方程 .例 12.橢圓 x2y 21( a b 0) 上是否存在點(diǎn) P，使得由 P 點(diǎn)向圓 x2+y 2=b 2 所引的兩條切線a2b2互相垂直？若存在，求出P 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。例題（ J3.2 極坐標(biāo)系）例 1 討論下列問題：1在同一極坐標(biāo)系中與極坐標(biāo)M（ 2, 40°）表示同一點(diǎn)的極坐標(biāo)

10、是（）（ A）（ 2, 220°）（ B）( 2, 140° )（ C） (2, 140° )（ D） (2, 40°)2已知 ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A(4， 0° ), B( 4, 120° ), C(23 2, 30°)，則ABC 為( )。（ A）正三角形（B）等腰直角三角形（ C）直角非等腰三角形（ D）等腰非直角三角形3在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)M( 2， 1)，以原點(diǎn) O 為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，當(dāng)極角在 ( ， 內(nèi)時(shí)， M 點(diǎn)的極坐標(biāo)為（）（ A）（5 ， argtg( 1)）2（ B）

11、（ 5 ， argtg( 1)（ C）（5 ， argtg1 ）（ D）（5 ， argtg 1 ）222例 2.把點(diǎn) A( 5,), B(3,4) 的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)。6例 3.把點(diǎn) M(3,1), N(0,3), P(2,0) 的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)。例 4.已知正三角形ABC 中，頂點(diǎn) A 、B 的極坐標(biāo)分別為A(1,0), B(3,) ，試求頂點(diǎn) C 的極坐標(biāo)。2例 5.化圓的直角方程x2+y 2-2ax=0 為極坐標(biāo)方程。例 6.化圓錐曲線的極坐標(biāo)方程ep為直角坐標(biāo)方程。iecos例 7.討論下列問題：1在極坐標(biāo)系里，過點(diǎn) M（ 4， 30°）而平行于極軸的直線的方程是（）

12、（ A） sin2 （B）sin 2（ C）cos2（ D）cos22在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)112( 6， arccos(2212M (4 ，arcsin)， M3)，則線段M M3的中點(diǎn)極坐標(biāo)為（）（ A） ( 1， arccos 22)（ B） (1, arcsin1)33（ C） ( 1， arccos( 2 2)（ D） (1,arcsin1)333. 已知 P 點(diǎn)的極坐標(biāo)是(1,)，則過點(diǎn)P 且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是（）。（ A） =1（ B） cos（C） cos = 1（ D） cos =14. 若 >0, 則下列極坐標(biāo)方程中，表示直線的是（）。3（ A） =（ B

13、）cos =(0 )（ C） tg =1（D ）sin =1(0 32 )5.若點(diǎn) A( 4,7 ) 與 B 關(guān)于直線 =對(duì)稱，在 >0, <條件下， B 的極坐標(biāo)63是。6.直線 cos()=1 與極軸所成的角是。47.直線 cos( )=1 與直線 sin( )=1 的位置關(guān)系是。8.直線 y=kx 1 (k<0 且 k12sin sin2 0 的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）。)與曲線2（ A）0 （B）1 （C）2 （D）3例 8.討論下列問題；1.圓的半徑是 1，圓心的極坐標(biāo)是 (1,0)，則這個(gè)圓的極坐標(biāo)方程是（）。（ A） cos （ B） sin（ C） 2cos （ D

14、 ） 2sin2.極坐標(biāo)方程分別是 cos和 sin的兩個(gè)圓的圓心距是（）。（ A）2 （B） 22（C）1 （D）23. 在極坐標(biāo)系中和圓=4sin相切的一條直線方程是（）（ A） sin =2 （ B） cos =2 （ C） sin=4（ D） cos=44圓 D cos Esin與極軸相切的充分必要條件是（）（ A）D·E0 （B）D2E20 （C）D0，E0 （D）D0，E05圓2 3 sin 2cos的圓心的極坐標(biāo)為。6.若圓的極坐標(biāo)方程為=6cos，則這個(gè)圓的面積是。7.若圓的極坐標(biāo)方程為=4sin ，則這個(gè)圓的直角坐標(biāo)方程為。8.設(shè)有半徑為 4 的圓，它在極坐標(biāo)系內(nèi)的圓心的極坐標(biāo)為( 4, 0)，則這個(gè)圓的極坐標(biāo)方程為。例9.當(dāng) a、 b、 c 滿足什么條件時(shí)，直線1與圓2c cos 相切？a cosb sin例 10.試把極坐標(biāo)方程23 sin26cos 0 化為直角坐標(biāo)方程，并就m 值的變化m cos討論曲線的形狀。例 11.過拋物線 y2=