極坐標與參數方程知識講解

1、參數方程和極坐標系一、知識要點（一）曲線的參數方程的定義：在取定的坐標系中， 如果曲線上任意一點的坐標x、y 都是某個變數 t 的函數，即xf (t)yf (t )并且對于 t 每一個允許值，由方程組所確定的點M（ x，y）都在這條曲線上，那么方程組就叫做這條曲線的參數方程，聯系x、 y 之間關系的變數叫做參變數，簡稱參數（二）常見曲線的參數方程如下：1過定點（ x，y ），傾角為的直線：00xx0 t cos（ t 為參數）yy0t sin其中參數t 是以定點 P（x0，y0）為起點，對應于t 點 M（ x，y）為終點的有向線段PM 的數量，又稱為點P 與點 M 間的有向距離根據 t 的幾何

2、意義，有以下結論設A、 B 是直線上任意兩點，它們對應的參數分別為tA 和 tB，則 AB tBtA1(t Bt A )24t A t B t At B 線段 AB 的中點所對應的參數值等于222中心在（ x0，y0），半徑等于r 的圓：xx0r cos為參數）yy0（r sin3中心在原點，焦點在x 軸（或 y 軸）上的橢圓：xa cos（ 為參數）（或xb cosyb siny）a sin中 心 在 點 （ x0,y0）焦點在平行于x軸的直線上的橢圓的參數方程xx0a cos ,為參數）yy0(b sin .4中心在原點，焦點在x 軸（或 y 軸）上的雙曲線：xa sec為參數）（或xbt

3、gy（y）btgasec5頂點在原點，焦點在x 軸正半軸上的拋物線：x2 pt 2y2 pt直線的參數方程和參數的幾何意義（ t 為參數， p 0）過定點 P（ x0 ，y0 ），傾斜角為的直線的參數方程是xx0t cos（ t 為參數）yy0t sinJ3.2 極坐標系1、定義：在平面內取一個定點O，叫做極點，引一條射線Ox，叫做極軸，再選一個長度單位和角度的正方向（通常取逆時針方向） 。對于平面內的任意一點M，用表示線段 OM的長度，表示從 Ox 到 OM的角， 叫做點 M的極徑， 叫做點 M的極角， 有序數對 ( , ) 就叫做點 M的極坐標。這樣建立的坐標系叫做極坐標系。MOx圖12、

4、極坐標有四個要素：極點；極軸；長度單位；角度單位及它的方向極坐標與直角坐標都是一對有序實數確定平面上一個點，在極坐標系下，一對有序實數、對應惟一點 P(，)，但平面內任一個點P 的極坐標不惟一一個點可以有無數個坐標，這些坐標又有規(guī)律可循的，P(，)（極點除外）的全部坐標為(, 2k)或（， (2k1)），( kZ)極點的極徑為0，而極角任意取若對、的取值范圍加以限制則除極點外，平面上點的極坐標就惟一了，如限定>0，02或<0，等極坐標與直角坐標的不同是，直角坐標系中，點與坐標是一一對應的，而極坐標系中，點與坐標是一多對應的即一個點的極坐標是不惟一的3、直線相對于極坐標系的幾種不同的

5、位置方程的形式分別為：aa0coscosaasinsinM（，）0Ox圖10Macos(MOa圖2acos)Ma O圖3acosM（，）aOaaN (a ,)O圖4asinM圖5asinOp圖6acos()4、圓相對于極坐標系的幾種不同的位置方程的形式分別為(a0) ：a2a cos2a cos2a sin2a sin2a cos()MMMaaOxOxOax圖3圖1圖22acosa2 a cosMOxMaMa( a, )aOx圖5Ox圖4圖62asin2a sin2a cos()5 、極坐標與直角坐標互化公式：y( , )NxMyxOx2 y22Hcosysintany( x 0)x（直極互化

6、圖）例題（ j3.1 參數方程）例 1.討論下列問題：1、已知一條直線上兩點M 1 x1 , y1 、 M 2 x2 , y2 ，以分點M（ x， y）分 M 1M 2 所成的比為參數，寫出參數方程。3x3t2、直線2(t 為參數 )的傾斜角是y11 t2A B 5D263C363、方程x1t cos（ t 為非零常數，為參數）表示的曲線是()y3t sinA 直線B圓C橢圓D雙曲線x5cosP(5， 23 )的離心角可4、已知橢圓的參數方程是（為參數），則橢圓上一點y4sin2以是AB 245C3D333例 2 把彈道曲線的參數方程xv0 cost,(1)1 gt 2 ,yv0 sint化成

7、普通方程(2)2例 3. 將下列數方程化成普通方程 x2t 2x2x1t 2xa(t1) ，xmy1，1t 2，1t 2，ty2ty2ty2tyb(t1)ymx11t 21t 2t6xa cos,( 為參數 , a b0)7xcos2yb sin .ysin例 4. 直線 3x 2y6=0，令 y = tx 6（ t 為參數）求直線的參數方程例 5.已知圓錐曲線方程是x3t 5cos1y6t 24 sin5（1）若 t 為參數，為常數，求該曲線的普通方程，并求出焦點到準線的距離；（2）若 為參數， t 為常數，求這圓錐曲線的普通方程并求它的離心率。例 6. 在圓 x2 2x y2=0 上求一點

8、，使它到直線2x 3y5=0 的距離最大例 7. 在橢圓 4x2 9y2=36 上求一點P，使它到直線x 2y 18=0 的距離最短（或最長） 例 8.已知直線； l：x13t與雙曲線 （ y-2）2-x2= 1 相交于 A 、 B 兩點， P 點坐標 P(-1， 2)。y24t求：（ 1） |PA|.|PB|的值；（ 2）弦長 |AB|;弦 AB 中點 M 與點 P的距離。例 9.已知 A（ 2,0）,點 B,C 在圓 x2+y 2=4 上移動，且有 BAC2求ABC 重心 G 的軌跡方程。3例 10.已知橢圓 x 2y 21和圓 x22在橢圓上求一點12,12328+(y-6) =5,P

9、,在圓上求一點P 使|P P |達到最大值，并求出此最大值。例 11.已知直線 l 過定點 P(-2,0),與拋物線 C: x2+ y-8=0 相交于 A 、 B 兩點。（ 1）若 P 為線段 AB 的中點，求直線 l 的方程；（ 2）若 l 繞 P 點轉動，求 AB 的中點 M 的方程 .例 12.橢圓 x2y 21( a b 0) 上是否存在點 P，使得由 P 點向圓 x2+y 2=b 2 所引的兩條切線a2b2互相垂直？若存在，求出P 點的坐標；若不存在，說明理由。例題（ J3.2 極坐標系）例 1 討論下列問題：1在同一極坐標系中與極坐標M（ 2, 40°）表示同一點的極坐標

10、是（）（ A）（ 2, 220°）（ B）( 2, 140° )（ C） (2, 140° )（ D） (2, 40°)2已知 ABC 的三個頂點的極坐標分別為A(4， 0° ), B( 4, 120° ), C(23 2, 30°)，則ABC 為( )。（ A）正三角形（B）等腰直角三角形（ C）直角非等腰三角形（ D）等腰非直角三角形3在直角坐標系中，已知點M( 2， 1)，以原點 O 為極點， x 軸正半軸為極軸建立極坐標系，當極角在 ( ， 內時， M 點的極坐標為（）（ A）（5 ， argtg( 1)）2（ B）

11、（ 5 ， argtg( 1)（ C）（5 ， argtg1 ）（ D）（5 ， argtg 1 ）222例 2.把點 A( 5,), B(3,4) 的極坐標化為直角坐標。6例 3.把點 M(3,1), N(0,3), P(2,0) 的直角坐標化為極坐標。例 4.已知正三角形ABC 中，頂點 A 、B 的極坐標分別為A(1,0), B(3,) ，試求頂點 C 的極坐標。2例 5.化圓的直角方程x2+y 2-2ax=0 為極坐標方程。例 6.化圓錐曲線的極坐標方程ep為直角坐標方程。iecos例 7.討論下列問題：1在極坐標系里，過點 M（ 4， 30°）而平行于極軸的直線的方程是（）

12、（ A） sin2 （B）sin 2（ C）cos2（ D）cos22在極坐標系中，已知兩點112( 6， arccos(2212M (4 ，arcsin)， M3)，則線段M M3的中點極坐標為（）（ A） ( 1， arccos 22)（ B） (1, arcsin1)33（ C） ( 1， arccos( 2 2)（ D） (1,arcsin1)333. 已知 P 點的極坐標是(1,)，則過點P 且垂直于極軸的直線的極坐標方程是（）。（ A） =1（ B） cos（C） cos = 1（ D） cos =14. 若 >0, 則下列極坐標方程中，表示直線的是（）。3（ A） =（ B

13、）cos =(0 )（ C） tg =1（D ）sin =1(0 32 )5.若點 A( 4,7 ) 與 B 關于直線 =對稱，在 >0, <條件下， B 的極坐標63是。6.直線 cos()=1 與極軸所成的角是。47.直線 cos( )=1 與直線 sin( )=1 的位置關系是。8.直線 y=kx 1 (k<0 且 k12sin sin2 0 的公共點的個數是（）。)與曲線2（ A）0 （B）1 （C）2 （D）3例 8.討論下列問題；1.圓的半徑是 1，圓心的極坐標是 (1,0)，則這個圓的極坐標方程是（）。（ A） cos （ B） sin（ C） 2cos （ D

14、 ） 2sin2.極坐標方程分別是 cos和 sin的兩個圓的圓心距是（）。（ A）2 （B） 22（C）1 （D）23. 在極坐標系中和圓=4sin相切的一條直線方程是（）（ A） sin =2 （ B） cos =2 （ C） sin=4（ D） cos=44圓 D cos Esin與極軸相切的充分必要條件是（）（ A）D·E0 （B）D2E20 （C）D0，E0 （D）D0，E05圓2 3 sin 2cos的圓心的極坐標為。6.若圓的極坐標方程為=6cos，則這個圓的面積是。7.若圓的極坐標方程為=4sin ，則這個圓的直角坐標方程為。8.設有半徑為 4 的圓，它在極坐標系內的圓心的極坐標為( 4, 0)，則這個圓的極坐標方程為。例9.當 a、 b、 c 滿足什么條件時，直線1與圓2c cos 相切？a cosb sin例 10.試把極坐標方程23 sin26cos 0 化為直角坐標方程，并就m 值的變化m cos討論曲線的形狀。例 11.過拋物線 y2=