最新人教a版必修5學(xué)案：1.2應(yīng)用舉例含答案

1、最新人教版數(shù)學(xué)精品教學(xué)資料1.2應(yīng)用舉例材拓展1常見(jiàn)的有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ)名詞、術(shù)語(yǔ)意義仰角與俯角與目標(biāo)視線同在一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角；目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角如圖1方位角一般是指北方向線順時(shí)針到目標(biāo)方向線的水平角如方位角60°是指北偏東60°坡角坡面與水平面的夾角坡比坡面的鉛直高度與水平寬度之比，即itan (i為坡比，為坡角)，如圖22測(cè)量距離的基本類(lèi)型及方案類(lèi)別兩點(diǎn)間不可通或不可視兩點(diǎn)間可視但點(diǎn)不可達(dá)兩點(diǎn)都不可達(dá)圖形方法用余弦定理用正弦定理在acd中用正弦定理求ac在bcd中用正弦定理求bc在abc中用余弦定理求ab結(jié)論

2、ababacbc；3.測(cè)量高度的基本類(lèi)型及方案類(lèi)別點(diǎn)b與點(diǎn)c、d共線點(diǎn)b與c、d不共線圖形方法先用余弦定理求出ac或ad，再解直角三角形求出ab在bcd中先用正弦定理求出bc，在abc中a可知，再用正弦定理求出ab結(jié)論abaab4.解三角形應(yīng)用題的一般步驟(1)讀懂題意，理解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確已知與所求，理清量與量之間的關(guān)系；(2)根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形模型；(3)正確選擇正、余弦定理求解；(4)將三角形的解還原為實(shí)際問(wèn)題，注意實(shí)際問(wèn)題中的單位、近似計(jì)算的要求可用下圖描述：法突破一、測(cè)量距離問(wèn)題方法鏈接：測(cè)量平面距離時(shí)，往往把要測(cè)量的距離化為某一個(gè)三角形的一條邊，再運(yùn)用

3、正弦定理或余弦定理加以求解當(dāng)涉及的三角形較多時(shí)，應(yīng)尋求最優(yōu)解法例1如圖所示，某炮兵陣地位于a點(diǎn)，兩觀察所分別位于c，d兩點(diǎn)已知acd為正三角形，且dc km，當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)在b時(shí)，測(cè)得cdb45°，bcd75°，求炮兵陣地與目標(biāo)的距離是多少？(結(jié)果保留根號(hào))分析要求ab的長(zhǎng)，可轉(zhuǎn)化為解abc或abd，不管在哪個(gè)三角形中，ab邊所對(duì)的角acb或adb都是確定的，acadcd，所需要的是bc邊(或bd邊)，所以需先求bc邊(或bd邊)，可在bcd中，結(jié)合余弦定理求解解在bcd中，cdb45°，bcd75°，cbd180°bcdcdb60°.由

4、正弦定理，得bd()在abd中，adb45°60°105°，由余弦定理，得ab2ad2bd22ad·bdcos 105°3()22××()×()52.ab (km)炮兵陣地與目標(biāo)的距離是 km.二、測(cè)量高度問(wèn)題方法鏈接：1.與測(cè)量高度有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題主要有兩類(lèi)：一類(lèi)是與鉛垂線有關(guān)的問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是勾畫(huà)出平面圖形，再分析有關(guān)三角形中哪些邊與角已知，要求高度，需要知道哪些邊與角，其次要注意正弦定理、余弦定理以及解直角三角形的應(yīng)用；另一類(lèi)是立體問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是依據(jù)題意畫(huà)好立體圖形2與測(cè)量高度有關(guān)的問(wèn)題

5、多數(shù)會(huì)涉及到直角三角形中線段的計(jì)算，注意直角三角形中邊角關(guān)系的運(yùn)用3解決測(cè)量高度應(yīng)用題易錯(cuò)的地方是：對(duì)有關(guān)術(shù)語(yǔ)沒(méi)有正確理解，從而無(wú)法畫(huà)出有關(guān)圖形例2(1)如圖所示，在山底測(cè)得山頂仰角cab45°，沿傾斜角為30°的斜坡走1 000米至s點(diǎn)，又測(cè)得山頂仰角dsb75°，求山高bc；(2)某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進(jìn)40米以后，望見(jiàn)塔在東北方向，若沿途測(cè)得塔的最大仰角為30°，求塔高解(1)sabcabcas45°30°15°，sbaabcsbc45°15°30°，asb180

6、°30°15°135°.在abs中，ab1 000(米)bcab·sin 45°1 000×1 000(米)答山高bc為1 000米(2)依題意畫(huà)出圖，某人在c處，ab為塔高，沿cd前進(jìn)，cd40米，此時(shí)dbf45°，從c到d測(cè)塔的仰角，只有b到cd最短時(shí)，仰角才最大，這是因?yàn)閠anaeb，ab為定值，要求出塔高ab，必須先求be，而要求be，須先求bd(或bc)在bdc中，cd40(米)，bcd30°，dbc135°.由正弦定理得，bd20(米)在rtbed中，bde180°135&

7、#176;30°15°.bedbsin 15°20×10(1) (米)在rtabe中，aeb30°，abbetan 30°(3)(米)故所求的塔高為(3)米三、測(cè)量角度問(wèn)題方法鏈接：對(duì)于有些與角度有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，我們無(wú)法直接測(cè)量其角度，則需要在實(shí)際問(wèn)題中構(gòu)造相關(guān)三角形，通過(guò)解三角形，求出相關(guān)角度例3一緝私艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向且距離12 n mile的海面上有一走私船正以10 n mile/h的速度沿東偏南15°方向逃竄緝私艇的速度為14 n mile/h，若要在最短的時(shí)間內(nèi)追上該走私船，緝私艇應(yīng)沿北偏東45&#

8、176;的方向去追，求追及所需的時(shí)間和角的正弦值解設(shè)a，c分別表示緝私艇，走私船的位置，設(shè)經(jīng)過(guò)x小時(shí)后在b處追上，則有ab14x，bc10x，acb120°.(14x)2122(10x)2240xcos 120°，x2，ab28，bc20，sin .所需時(shí)間為2小時(shí)，sin .四、三角形中的求值問(wèn)題方法鏈接：涉及三角形中的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，一些基本關(guān)系式經(jīng)常用到，這些關(guān)系式是：(1)abc，a(bc)；(2)，；(3)sin csin (ab)，cos(ab)cos c；(4)tan(ab)tan c，tan atan btan ctan atan btan c；(5)sin c

9、os，cos sin ，tan·tan 1；(6)a>b>csin a>sin b>sin c.例4(2009·北京昌平區(qū)期末)在abc中，a，b，c分別是角a，b，c的對(duì)邊，且滿(mǎn)足(2ac)cos bbcos c.(1)求角b的大??；(2)若b，ac4，求abc的面積解(1)在abc中，由正弦定理得a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c，代入(2ac)cos bbcos c，整理得2sin acos bsin bcos csin ccos b，即2sin acos bsin(bc)sin a，在三角形中，sin a>0，2cos

10、 b1，b是三角形的內(nèi)角，b60°.(2)在abc中，由余弦定理得b2a2c22ac·cos b(ac)22ac2ac·cos b，將b，ac4，代入整理，得ac3.故sabcacsin bsin 60°.五、證明平面幾何問(wèn)題方法鏈接：正弦定理和余弦定理是研究三角形的重要工具，在處理平面幾何問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用一些三角形中重要線段的求解和著名定理的證明都離不開(kāi)正、余弦定理的綜合運(yùn)用例5已知凸四邊形的邊長(zhǎng)分別為a、b、c、d，對(duì)角線相交成45°角，若s為四邊形的面積，求證：s(a2b2c2d2)證明設(shè)凸四邊形abcd的對(duì)角線相交于點(diǎn)o，設(shè)ao、c

11、o、bo、do分別為m、n、p、q，則由面積公式得：s(mppnnqqm)sin 45°由余弦定理得a2m2p22mpcos 45°b2n2p22npcos 45°c2n2q22nqcos 45°d2q2m22qmcos 45°由得：a2b2c2d22(mppnnqqm)cos 45°(mppnnqqm)sin 45°2s.a2b2c2d24s，即s(a2b2c2d2)區(qū)突破1忽略角的隱含范圍而致錯(cuò)例1在abc中，b3a，求的取值范圍錯(cuò)解由正弦定理得cos 2a2cos2a4cos2a1.0cos2a1，14cos2a13，

12、>0，0<3.點(diǎn)撥忽略了三角形內(nèi)角和為180°，及角a、b的取值范圍，從而導(dǎo)致取值范圍求錯(cuò)正解由正弦定理得cos 2a2cos2a4cos2a1abc180°，b3a.ab4a<180°，0°<a<45°.<cos a<1，1<4cos2 a1<3，1<<3.溫馨點(diǎn)評(píng)解三角問(wèn)題，角的取值范圍至關(guān)重要一些問(wèn)題，角的取值范圍隱含在題目的條件中，若不仔細(xì)審題，深入挖掘，往往疏漏而導(dǎo)致解題失敗2忽略角的大小隱含關(guān)系而致錯(cuò)例2在abc中，已知cos a，sin b，則cos c的值為()a

13、.b.c.和 d錯(cuò)解cos a，0<a<，sin a.sin b，0<b<，cos b±.當(dāng)cos b時(shí)，cos ccos(ab)sin asin bcos acos b××.當(dāng)cos b時(shí)，cos ccos(ab)sin asin bcos acos b××，選c.點(diǎn)撥本題解答中關(guān)鍵一步是sin a>sin ba>b.從而確定cos b而不是cos b±，否則會(huì)錯(cuò)選c.事實(shí)上，在abc中，我們可以由正弦定理可證得sin a>sin b的充要條件是a>b.正解cos a，0<a&l

14、t;，sin a.sin a>sin b，從而a>b，故a>b，cos b，cos ccos(ab)sin asin bcos acos b，選a.3忽略審題環(huán)節(jié)，畫(huà)圖不準(zhǔn)而致錯(cuò)例3在湖面上高h(yuǎn) m處，測(cè)得云c的仰角為，而湖中云之影(即云在湖中的像)的俯角為，試證：云高為h· m.點(diǎn)撥本題常因?qū)忣}不準(zhǔn)，題意不清畫(huà)不出合乎題意圖形而放棄或因畫(huà)錯(cuò)圖形而致錯(cuò)正解分析因湖面相當(dāng)于一平面鏡，故云c與它在湖中的影d關(guān)于湖面對(duì)稱(chēng)設(shè)云高為cmx，則由ade可建立含x的方程，解出x即可解如圖所示，設(shè)在湖面上高為h m處的a，測(cè)得c的仰角為，而c在湖中的像d的俯角為，cd與湖面交于m，

15、過(guò)a的水平線交cd于e，設(shè)云高cmx，則cexh，dexh，ae(xh)cot .又ae(xh)cot ，所以(xh)cot (xh)cot .解得x·hh· (m)題多解例在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測(cè)，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市o(如圖1所示)的東偏南 (cos )方向300 km的海面p處，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移動(dòng)臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60 km，并以10 km/h的速度不斷增大問(wèn)幾小時(shí)后該城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲？解方法一(構(gòu)建三角形，解三角形)設(shè)在時(shí)刻t(h)臺(tái)風(fēng)中心為q，此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑為10t60 (km)

16、，如圖2所示若在時(shí)刻t城市o受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，則oq10t60.由余弦定理知oq2pq2po22·pq·po·cosopq.由于po300，pq20t，cosopqcos(45°)cos cos 45°sin sin 45°× ×，故oq2(20t)230022×20t×300×202t29 600t3002.因此202t29 600t3002(10t60)2，即t236t2880，解得12t24.答12小時(shí)后該城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲方法二(構(gòu)建動(dòng)圓，利用點(diǎn)圓關(guān)系)如圖3所示，建立坐標(biāo)系

17、，以o為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸正向在時(shí)刻t(h)臺(tái)風(fēng)中心p(xt，yt)的坐標(biāo)為此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的區(qū)域是(xxt)2(yyt)2r(t)2，其中r(t)10t60.若在t時(shí)刻城市o受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，則有(0xt)2(0yt)2(10t60)2，即22(10t60)2，即t236t2880，解得12t24.答12小時(shí)后該城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲題賞析1(2009·寧夏，海南)如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的a、b、c三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量已知ab50 m，bc120 m，于a處測(cè)得水深ad80 m，于b處測(cè)得水深be200 m，于c處測(cè)得水深cf110 m，求def的余弦值分析為求def

18、的余弦值，應(yīng)先求出線段de、df、ef的長(zhǎng)，求這三條線段的長(zhǎng)時(shí)要充分構(gòu)造直角三角形解作dmac交be于點(diǎn)n，交cf于點(diǎn)m.df10(m)，de130(m)ef150(m)在def中，由余弦定理的變形公式，得cosdef.賞析本題是2009年寧夏、海南高考試題，有一定計(jì)算量，但難度不大，涉及到的三條線段de、df、ef均可以借助直角三角形計(jì)算2(2009·福建)如圖，某市擬在長(zhǎng)為8 km的道路op的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道，賽道的前一部分為曲線段osm，該曲線段為函數(shù)yasin x(a>0，>0)，x0，4的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為s(3，2)；賽道的后一部分為折線段mnp，為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全，限定mnp120°.(1)求a，的值和m，p兩點(diǎn)間的距離；(2)應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道m(xù)np最長(zhǎng)？解(1)依題意，有a2，3，又t，.y2sinx.當(dāng)x4時(shí)，y2sin3，m(4,3)