《復(fù)變函數(shù)論》試題庫

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載復(fù)變函數(shù)考試試題（一）一、判斷題 .（正確者在括號內(nèi)打，錯誤者在括號內(nèi)打×，每題2 分）1當(dāng)復(fù)數(shù) z 0 時，其模為零，輻角也為零. （）若z0是多項式 P( z) aznan 1zn 1a0)的根，則z0也P(z)是的根 （）2n0 (an.3如果函數(shù) f ( z) 為整函數(shù)，且存在實(shí)數(shù)M ，使得 Re f ( z)M ，則f ( z) 為一常數(shù) .（）4設(shè)函數(shù) f1( z) 與 f2 (z) 在區(qū)域內(nèi) D 解析，且在 D 內(nèi)的一小段弧上相等，則對任意的 zD ，有 f1 (z) f2 (z) . （ ）5若 z是函數(shù) f ( z) 的可去奇點(diǎn)，則Re s f

2、( z)0 . （）z二、填空題 .（每題2 分）1 i 2i 3 i 4i 5i 6_.2 設(shè) zxiy0 ， 且arg z,y， 當(dāng) x0, y 0 時 ，2arctanarctan yx2arg_.x3w1將 z 平面上的曲線( x 1)y1變成 w 平面上的曲線_.函數(shù)22z4方程 z4a40( a0) 的不同的根為 _.5 (1i )i_.6級數(shù)2(1)n z2 的收斂半徑為 _.n0 cosnz在zn（ n為正整數(shù)）內(nèi)零點(diǎn)的個數(shù)為_.78函數(shù) f ( z)6sin z3z3 ( z66) 的零點(diǎn) z0 的階數(shù)為 _.9 設(shè) a 為 函 數(shù) f (z)( z)的 一 階 極 點(diǎn) ，

3、且 (a) 0,(a) 0,(a) 0 ， 則( z)f ( z)_.Re sf ( z)z a設(shè) a 為函數(shù)f ( z)的m 階極點(diǎn)，則Re sf( z)_.10f ( z)za三、計算題（50 分）優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載1設(shè)滿足u( x, y)1ln( x2y2 ) 。求 v( x, y) ，使得 f (z)u( x, y)iv ( x, y) 為解析函數(shù)，且2f (1 i )1.（ 15分）ln 2 .其中 z D （ D 為復(fù)平面內(nèi)的區(qū)域）22求下列函數(shù)的奇點(diǎn)，并確定其類型（對于極點(diǎn)要指出它們的階）.（ 10 分）1（ 1） tan2z ；（ 5分）ez1（ 2）. （5分）ez13計算

4、下列積分 .（ 15 分）（ 1）z193 dz（8分），2442)z 4 ( z1) ( zd（ 2）（7分）.0 1 cos24敘述儒歇定理并討論方程z75z4z220在 z1內(nèi)根的個數(shù) .（ 10 分）四、證明題1設(shè)函數(shù) f (z) 在 zR 內(nèi)解析，令 M (r )max f (z) ,(0 r R) 。證明： M (r ) 在區(qū)zr間 0, R) 上是一個上升函數(shù)，且若存在r1 及 r2 （ 0r1r2R ），使 M (r1) M ( r2 ) ，則f ( z) 常數(shù) .（ 10 分）復(fù)變函數(shù)考試試題（二）二、判斷題。（正確者在括號內(nèi)打，錯誤者在括號內(nèi)打×，每題2 分）1設(shè)

5、復(fù)數(shù) z1x1iy1 及 z2x2iy 2 ，若 x1x2 或 y1y2 ，則稱 z1 與 z2 是相等的復(fù)數(shù)。（）2函數(shù) f ( z)Re z 在復(fù)平面上處處可微。（）3 sin 2 zcos2 z1且 sin z1, cos z 1 。（）4設(shè)函數(shù) f ( z) 是有界區(qū)域 D內(nèi)的非常數(shù)的解析函數(shù)， 且在閉域 DDD 上連續(xù)， 則存在 M0 ，使得對任意的 zD ，有 f ( z)M 。（）5若函數(shù) f (z) 是非常的整函數(shù)，則f ( z) 必是有界函數(shù)。 （）二、填空題。 （每題 2 分）1 i 2i 3 i 4i 5i 6_ 。2 設(shè) zxiy0 ， 且arg z ,y， 當(dāng) x0,

6、 y 0 時 ，2arctan2x優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載yargarctanx_。3若已知 f ( z)x(11)iy (112 ) ，則其關(guān)于變量z 的表達(dá)式為 _ 。x2y2x2y nz以 z_為支點(diǎn)。45若 ln zi ，則 z_。26dz_ 。z 1z7級數(shù) 1 z2z4z6的收斂半徑為 _ 。8 cosnz 在 zn （ n 為正整數(shù)）內(nèi)零點(diǎn)的個數(shù)為_ 。若 za 為函數(shù) f (z) 的一個本質(zhì)奇點(diǎn)，且在點(diǎn)a 的充分小的鄰域內(nèi)不為零，則z a 是91的 _ 奇點(diǎn)。f (z)設(shè) a為函數(shù)f ( z)的 n 階極點(diǎn)，則Re sf ( z)_。10f (z)z a三、計算題（50 分）1D是

7、沿正實(shí)軸割開的z平面，求函數(shù)w5z在D內(nèi)滿足條件 511的單值設(shè)區(qū)域連續(xù)解析分支在z1i 處之值。（10 分）2求下列函數(shù)的奇點(diǎn)， 并確定其類型 （對于極點(diǎn)要指出它們的階），并求它們留數(shù)。（ 15 分）（ 1） f ( z)L n z 的各解析分支在 z1各有怎樣的孤立奇點(diǎn)，并求這些點(diǎn)的留數(shù)（ 10z21分）（ 2）求 Res ez。（5 分）z0zn 13計算下列積分。 （ 15 分）（ 1）z7dz（8 分），z 2 ( z21)3 ( z22)（ 2）x2 dx(a0)（ 7分）。( x2a2 )24敘述儒歇定理并討論方程z66z100 在 z1內(nèi)根的個數(shù)。 （ 10 分）四、證明題（2

8、0 分）優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載1討論函數(shù)f (z)ez 在復(fù)平面上的解析性。（10 分）21zn ezd(zn2， 此處C是圍繞原點(diǎn)的一條簡單曲線。（10 分）2 i C n! nn!)證明：復(fù)變函數(shù)考試試題（三）一、填空題 （每題分）設(shè) zr (cosi sin)，則 1_ z設(shè)函數(shù)f ( z)u(x, y)iv (x, y) ， Au0 iv 0 ， z0 x0 iy 0 ，則 lim f ( z)A 的充z z0要條件是 _ 設(shè)函數(shù)f ( z) 在單連通區(qū)域 D 內(nèi)解析，則f (z) 在 D 內(nèi)沿任意一條簡單閉曲線C 的積分f ( z)dz_ C設(shè) za 為 f ( z) 的極點(diǎn)，則 li

9、mf (z)_ z a設(shè) f (z)z sin z，則 z 0 是 f (z) 的 _階零點(diǎn)設(shè) f ( z)1，則 f ( z) 在 z0 的鄰域內(nèi)的泰勒展式為 _1 z2設(shè) zaza b ，其中 a,b 為正常數(shù)，則點(diǎn) z 的軌跡曲線是 _ 設(shè) zsini cos，則 z 的三角表示為 _ 66 4 z cos zdz_ 0e z，則f ( z) 在 z0 處的留數(shù)為 _ 設(shè) f ( z)2z二、計算題計算下列各題 （分）(1)cosi ；(2) ln( 2 3i) ;(3) 33 i2求解方程 z380 （分） 設(shè) ux2y2xy ， 驗(yàn) 證 u 是 調(diào) 和 函 數(shù) ， 并 求 解 析 函

10、 數(shù) f (z)u iv ， 使 之f (i )1i （分）計算積分 （ 10 分）(1)(x2iy) dz，其中 C 是沿 yx2 由原點(diǎn)到點(diǎn) z1 i 的曲線C優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載1iy)ix2 dz ，積分路徑為自原點(diǎn)沿虛線軸到i ，再由 i 沿水平方向向右到 1 i (2)( x0試將函數(shù)f (z)1分別在圓環(huán)域 0z 1 和 1z 2 內(nèi)展開為洛朗級(z 1)(z2)數(shù)（分）計算下列積分 （分）(1)5z2dz ；(2)sin 2 zdz z 2 z(z 1)2z 4 z2 (z 1)計算積分x24 dx （分）1x求下列冪級數(shù)的收斂半徑（分）(1)nzn 1 ；(2)( 1)n z

11、n n 1n 1n!2討論f ( z)z 的可導(dǎo)性和解析性 （分）三、證明題設(shè)函數(shù)f ( z)在區(qū)域D 內(nèi)解析，f ( z)為常數(shù)，證明f (z) 必為常數(shù)（分）試證明azazb0 的軌跡是一直線，其中a 為復(fù)常數(shù)，b 為實(shí)常數(shù)（分）復(fù)變函數(shù)考試試題（四）一、填空題 （每題分）設(shè) zr (cosi sin) ，則 zn_ 設(shè)函數(shù)f ( z)u(x, y)iv (x, y) ， Au0 iv 0 ， z0 x0 iy 0 ，則 lim f ( z)A 的充z z0要條件 _設(shè)函數(shù)f ( z) 在單連通區(qū)域 D 內(nèi)解析，則f (z) 在 D 內(nèi)沿任意一條簡單閉曲線C 的積分f ( z)dz_ C設(shè)

12、 za 為 f ( z) 的可去奇點(diǎn)， lim f ( z)_ za設(shè) f ( z)z2 (ez21) ，則 z 0是 f (z) 的 _階零點(diǎn)設(shè) f ( z)1，則 f ( z) 在 z0 的鄰域內(nèi)的泰勒展式為 _1z2設(shè) zazab ，其中 a,b 為正常數(shù)，則點(diǎn) z 的軌跡曲線是 _ 設(shè) zsini cos ，則 z 的三角表示為 _ 優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載1i_ zezdz0設(shè) f ( z)z2 sin1，則 f ( z) 在 z0 處的留數(shù)為 _ z二、計算題計算下列各題 （分）i(1) Ln ( 3 4i ) ；(2)e1(3) (1 i )1 i6 ;2求解方程 z320 （分）設(shè) u 2( x1) y ，驗(yàn)證 u 是調(diào)和函數(shù)， 并求解析函數(shù) f (z) uiv ，使之 f (2)i （分）1iy)ix 2 dz ，其中路徑為（）自原點(diǎn)到點(diǎn)1 i 的直線段；計算積分0( x(2) 自原點(diǎn)沿虛軸到i ，再由 i 沿水平方向向右到 1 i （ 10 分）試將函數(shù)f ( z)1在 z1的鄰域內(nèi)的泰勒展開式 （分）( z2)計算下列積分 （分）(1)sin zdz ；(2)z22dz z 2) 2z 423)(zz (z2計算積分2d（分）053c