高中數(shù)學立體幾何講義(二)

1、空間中的垂直關系I、直線與平面垂直1、線面垂直定義：如果一條直線和一個平面相交，并且和這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂 直，我們就說這條直線和這個平面互相垂直.其中直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面。交點叫做垂足。直線與平面垂直簡稱線面垂直，記作：a± a o2、直線與平面垂直的判定方法：利用定義。判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。其它方法：(I)、如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面。(n)、如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，那么也垂直于另一個面。(出)、如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)

2、垂直于他們交線的直線垂直于另一個平面。(IV)、如果兩個相交平面都和第三個平面垂直，那么相交平面的交線也垂直于第三個方面。3、直線和平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。4、三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線P 的投影垂直，那么它也和這條斜線垂直。，說明：(1)定理的實質(zhì)是判定平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線的垂OAa直關系；PO ,0 PAI A a PA a , a OA5、三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它 也和這條斜線的投影垂直。PO ,O PAI A a AOa , a AP練習：1 .

3、若a,b,c表示直線，表示平面，下列條件中，能使 a 的是 (D )(A) a b, a c,b, c(B) a b,b(C) al b A,b ,a b(D) a/b,b2 .已知l與m是兩條不同的直線，若直線 l平面 ，若直線 m l ,則m；若m ,則m/l ；若 m ，則m l ；ml ,則m 。上述判斷正確的是 (B )(A)(B)(C)(D)3 .設三棱錐P ABC的頂點P在平面ABC上的射影是H ,給出以下命題：若PA BC , PB AC ,則H是 ABC的垂心若PA, PB,PC兩兩互相垂直，則 H是 ABC的垂心若 ABC 90°, H是AC的中點，則PA PB

4、PC若PA PB PC ,則H是 ABC的外心其中正確命題的命題是例1、 已知PAa O O所在的平面，AB是O。的直徑，C是。O上任意一點，過 A點作A已PC于點E,求證：A已平面PBC證明： PAL平面 ABC 1 PAI BG 又 AB是。的直徑，BOX AG而 PCA AC=CBCL平面 PAC 又 AE在平面 PAC內(nèi)，BC! AE= PCX AE,且 PCn BC=C AE!平面 PBG反思歸納證明直線與平面垂直的常用方法有：利用線面垂直的定義；利用線面垂直的判定定理；利用“若直線a/直線b,直線a,平面”，則直線 b,平面”例 2、在直三棱柱 ABC-ABC 中，BG=AG, A

5、B±AC,求證：AiBXBiCo證明：取 AiB 的中點 D,連結 Ci DioBCi=AiC,，CD，ABBA。連結AD,則AD是AC在平面ABBAi內(nèi)的射影，; AiBXAC,-.AiB± AD。取 AB 的中點 D,連結 CD BD,則BiD/ AD,且BiD是BC在平面 ABBAi內(nèi)的射影。. BiD)± AiB,AiB± BiCo反思歸納證明異面直線垂直的常用方法有：證明其中一直線垂直Jac2另外一直線所在的平面；利用三垂線定理及其逆定理。例3.四面體ABCD中，AC BD,E,F分別為AD,BC的中點，且EFBDC 900,求證：BD 平面

6、ACD證明：取CD的中點G,連結EG,FG，; E,F分別為AD,BC的中點，i EG / AC 2FG”BD,又 AC BD, . FG AC,.在 EFG 中，EG2 FG2 -AC2 EF2222 EG FGBD AC,又 BDC 90°,即 BD CD , ACI CD CBD 平面ACD例4.如圖P是 ABC所在平面外一點，PA PB,CB 平面PAB , M是PC的中點，N是AB上的點，AN 3NB(i)求證：MN AB; (2)當 APB 90°, AB 2BC 4時，求 MN 的長。M是PC的中點,(1)證明：取PA的中點Q ,連結MQ, NQ ,. MQ

7、/ BC，: CB 平面 PAB ,， MQ 平面 PAB QN是MN在平面PAB內(nèi)的射影 ，取 AB的中點D ,連結PD，: PA PB,，PD AB ,又 AN 3NB ,BN NDQN / PD , QN AB ,由三垂線定理得 MN AB1(2) . APB 90°, PA PB, . PD -AB 2, . QN 1, 2. MQ 平面 PAB1 MQ NQ ,且 MQ BC 1 , MN &2例5.如圖，直三棱柱 ABC AB1cl中,ACB 90°, AC 1,CB V2,側棱 AA1 1,側面AA1B1B的兩條對角線交于點 D, B1C1的中點為M，

8、求證：CD 平面BDM證明：連結 A1C , ACB 90°, BC AC ,在直三棱柱 ABC ABG 中 CC1 AC , AC 平面 CB1,aA1AA 1 , AC 1 AC 72, . . AC BC , / D是側面AA1B1B的兩條對角線的交點，. D是AB與AB1 / / CM的中點，CD BD ,連結B1C ,取B1C的中點。，連 B七Vb1結 DO ,則 DO / AC,AC 平面 CB1，. DO 平面 CB1，. CO 是 CD 在平面B1C內(nèi)的射影。在 BB1C中，tan BB1C J2在 BB1M 中，tan BMB1 72, . . BB1CBMB1B1

9、c BM，.二 CD BM , BM I BD B , . CD 平面 BDM平面與平面垂直1、兩個平面垂直的定義：兩個相交成直二面角的兩個平面互相垂直；相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面。2、兩平面垂直的判定方法：利用定義。判定定理： 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。推理模式:a? a193、兩平面垂直的性質(zhì)定理：若兩個平面互相垂直， 那么在一個平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面。推理模式:I l, a ? , a l a4、向量法證明直線與平面、平面與平面垂直的方法：證明直線與平面垂直的方法：直線 的方向向量與平面的法向量平行；證明平面與平面

10、垂直的方法：兩平面的法向量垂直。練習1、（ 2009廣東卷理）給定下列四個命題：若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；垂直于同一直線的兩條直線相互平行；若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.其中，為真命題的是（）。 【解析】選D.A.和B.和C.和D.和PAB1平面PAE所2、（2009四川卷）如圖，已知六棱錐P ABCDEF的底面是正六邊形,PA 平面ABC,PA 2AB則下列結論正確的是（）。A. PB AD B. 平面 PAB 平面 PBCC.直線BC /平面PAE

11、D.直線PD與平面ABC所成的角為45?！窘馕觥? AD與PB在平面白射影 AB不垂直，所以A不成立，又，平面以平面PAB 平面PBC也不成立；BC/ AD/平面 PAD, .直線BC /平面PAE也不成立。在 Rt PAD 中，PA= AD= 2AB,/ PDA= 45° . . . D正確。例1、如圖，已知AB是圓。的直徑，PA垂直于e O所在的平面，C是圓周上不同于 A, B的任一點，求證：平面 PAC 平面PBC。相垂直,即可。分析：根據(jù)“面面垂直”的判定定理，要證明兩平面互 只要在其中一個平面中尋找一條與另一平面垂直的直線 解：: AB是圓。的直徑，AC BC ,又 PA垂

12、直于e O所在的平面，. PA BC ,BC 平面PAC ,又BC在平面PBC中，所以，平面PAC 平面PBC。反思歸納由于平面PAC與平面PBC相交于PC ,所以如果平面 PAC 平面PBC ,則 在平面PBC中，垂直于PC的直線一定垂直于平面 PAC,這是尋找兩個平面的垂線的常 用方法。例2 （2009江蘇卷） 如圖，在直三棱柱 ABC ABG中E、F分別是AB、AiC的中點，點D在BiCi上,A1D B1C求證：（1） EF/平面 ABCO（2）平面 AiFD 平面 BBlCiC。證明；C1）因為E, F分別是,AC的中場，所以£尸/,又內(nèi)尸江面ABC , BC U面ABC,所

13、以EF"平面JIEC； 因為直三棱柱,所以3片1面4片6，1. 又由所以 4。，面B與6燈，又 4。仁市4用 ，所 以 平制馮*_L平百例 3 如圖，直三棱柱 ABC-ABC 中，AC = BC =1, / ACB = 90, AA = J2 , D 是 A1B1 中 點。(1)求證CD，平面AiB ;(2)當點F在BB上什么位置時，會使得AB，平面CDF ?并證明 你的結論。(1)證明：如圖，.ABC-A1B1G是直三棱柱，AC =BG =1,且/ACB =90°。又 D 是 AB 的中點， GDXAiBi。: AA，平面 ABC , GD 平面 ABC ,AA LCD,

14、 . GD，平面 AABBo(2)解：作DE ±AB交AB于E ,延長DE交BB于F ,連結CF ,則AB，平面GDF ,點F即為所求。事實上,GD，平面 AABB , AB 平面 AABB , . GD XAB ,又補充題：在正方體ABCD-A 1B1C1D1中，E、F分別是BB1, CD的中點。(1)求證：AD ±D1F; (2)求AE與D1F所成的角；(3)證明平面 AED，平面A1FD1證明：建立空間直角坐標系如圖，并設 AB=2 ,則 A(0,0,0),D(0,2,0), A1(0,0,2) D1(0,2,2), E(2,0,1), F(1,2,0)uuuruuu

15、r(1)AD(0,2,0), D1F(1,0, 2)uuur uuuuAD D1F =0M+2M+0X-2)=0,AD ±D1Fouuruuuruuruuuu(2) AE=(2, 0, 1) D1F= (1, 0, -2), |AE| 展,|DF |設AE與D1F的夾角為0 ,則cos 0 =AE D1F|Ae |D?F|2 10 0 1(2)-55AB ± DF , DF CD = D , . AB，平面 CDF。所以，直線AE與DiF所成的角為90。D1F，平面 AED ,(3)由(1)知 DiF± AD ,由(2)知 DiF,AE,又 AD AAE=A ,

16、D1F 平面 A1FD1M平面 AED，平面 AiFDi。第一節(jié)：異面直線所成的角一、基礎知識1 .定義： 直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間一交o,分別a?/a, b?/b,相交直線a?D斷成的銳角（或直角）叫做 。2 .范圍：0,23 .方法：平移法、問量法、三線角公式（1）平移法：在圖中選一個恰當?shù)狞c（通常是線段端點或中點）作 個三角形，并解三角形求角。a、b的平行線，構造（2）向量法：可適當選取異面直線上的方向向量，利用公式求出來cos cos a,b方法1：利用向量計算。選取一組基向量，分別算出方法2:利用向量坐標計算，建系，確定直線上某兩點坐標進而求出方向向量a (xi,y1，4)b

17、(X2,y2,Z2) cosXi X2yi y24 Z2（3）三線角公式用于求線面角和線線角斜線和平面內(nèi)的直線與斜線的射影所成角的余弦之積等于斜線和平面內(nèi)的直線所成角的余弦即：cos 1 cos 2 cos二、例題講練例 1、 （ 2007 年全國高考）如圖，正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，AA1 2AB,則異面直線 AB與AD1所成角的余弦值為 練習：1.正方體ABCDABCR中,。為AC, BD的交點,則CQ與A1D所成的角（）3. 3(A) 60(B) 90(C) arccos一(D) arccos一36例2、已知四棱錐P ABCD的底面為直角梯形，AB/DC , DAB 90

18、,PA 底面 ABCD,且1PA AD DC AB 1 , M是PB的中點工 2(l)證明：面PAD 面PCD ;(n)求AC與PB所成的角；證明：以A為坐標原點 AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標系，則各點坐標為-1A。,。)，B(02。)，C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,-)(I)證明：因 AP (0,0,1),DC (0,1,0)，故AP DC 0,所以AP DC.由題設知AD DC ,且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線,由此得DC 面PAD又DC在面PCD上，故面PAD，面PCD(n)解：因 AC (1,1,0),PB (0,2, 1), 故

19、 |AC| V2,|PB| J5,AC PB 2,所以cos AC, PBAC PB 10|AC| |PB| 5例3、如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD為矩形，側棱 PA 底面ABCD ,AB 石，BC 1, PA 2, E為PD的中點 解：(I)建立如圖所示的空間直角坐標系，則 A, B, C,D,P, E 的坐標為 A(0,0,0)、b/0,0)、C(點,1,0)、D(0,1,0)、1 P(0,0,2)、E(0,1,1),2從而 AC ( 3,1,0), PB( 3,0, 2).設AC與PB的夾角為AC PBcos ：I AC | |PB |,則33 J2 714AC與PB所成

20、角的余弦值為3、. 714求直線AC與PB所成角的余弦值;例4、如圖，三棱錐且CD 平面PAB .P-ABC 中，(I)求證：ABPC 平面 ABC , PC=AC=2 , AB=BC , D 是 PB 上一點,平面PCB; (II)求異面直線AP與BC所成角的大小;(萬)解法一：(I)PC.CD .AB. PC平面ABC , AB 平面 ABC,AB . CDAB .又 PC 平面PCB.平面PAB, ABCD C,平面PAB,(II)過點 A 作 AF/BC ,且 AF二BC ,連結 PF, CF.則PAF為異面直線PA與BC所成的角.由(I)可得 ABXBC, CF AF,由三垂線定理，

21、得PF則 AF=CF= 22 , PF= VPC2 CF在 Rt PFA 中，tan/PAF二PF 6=.32AF.AF異面直線PA與BC所成的角為.解法二：(II)由(I) AB 平面 PCB, PC=AC=2 ,又.AB=BC ,原點，如圖建立坐標系.則A ( 0 ,72 , 0 ) , B ( 0, 0, 0),可求得BC= 22 .以 B 為C ( 72 , 0 , 0), P ( J2 , 0 , 2). AP 則 AP BC 22. 22 +0+0=2 .«,2, V2,2),BC (V2,0,0).cos AP,BCAP BC，異面直線練習1 ：如圖正三棱柱AiBi,

22、A1C1 的中點，AP BC 2.22AP與BC所成的角為ABC-A iBiCi 中 AB=超 AA 1則AM與CN所成角為M、N分別是2.如圖PD 平面ABCD,四邊形ABCD為矩形, AB=2AD=2DP , E 為 CD 中點。(1) AP與BE所成的角為若1.直線PD,且AF與BE所成角為二30?行嗎？2.二75?時;DFDP3.空間四邊形 ABCD中，對角線 AC, 的中點，E是AO的中點，求異面直線BD與各邊長均為1, O為OM與BE所成的角第二節(jié)、直線和平面所成的角BCD的重心，M是AC一、基礎知識1.定義：(斜線和平面所成的角垂線與平面所成的角l或 l/2.直線與平面所成角范圍

23、是3.斜線與平面所成的角是此斜線與平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角。(最小值定理)4.求法:幾何法公式法問量法(1)幾何法：作出斜線與射影所成的角，論證所作(或所找)的角就是要求的角，解三角 形求出此角。cos(2)公式法：cos 1 cos 1 cos 2 coscos 2AB于點B, AOBAOCBOC(即:與斜線射影所成的兩角的余弦的積等于斜線和平面內(nèi)的直線所成角的余弦值)(3)向量法：設直線 a與平面 所成角為m, n則 m，n 的余角或其補角sincos m,n二、例題講解例1、在長方體 AC1中，AB=2 , BC=CC1=1 ,求(1) CD與面ABC1D1所成的角(2) A1C與

24、平面ABC1D1所成的角(3) A1C與平面BC1D所成的角例2、四面體ABCD中，所有棱長都相等,M為AC的中點，求DM與平面BCD所成角的余弦值。例3、2匹, SA SB V3(2007高考全國卷1)四棱錐s ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面SBC底面 ABCD,已知 / ABC 45o, AB 2 , BC(I)證明 SA BC ；(n)求直線SD與平面SAB所成角的大小.解法一:(I)作SO± BC ,垂足為O,連結AO,由側面SBC，底面ABCD ,得SO,底面ABCD 。因為SA=SB ,所以AO=BO ,又/ ABC 450,故 AOB為等腰直角三角形，AO

25、± BO ,由三垂線定理，得 SAX BC 。(n )由(I)知 SAX BC ,依題設 AD / BC ,故 SA，AD ,由 ADBC 2版,SA B AOSO=1, SD 7-。 SAB的面積S1-ABa SA21c連結 DB,得 DAB 的面積 S2 - ABgAD sin135o 2VS ABD，得設D到平面SAB的距離為h,由于VD SABD SAB1_1 _Fhg SOgS2,解得 h J2。33設SD與平面SAB所成角為，則sinh 、2SD 1122o11所以，直線SD與平面SBC所成的我為.22arcsin。11解法二:ABCD，得 SO,平面 ABCD。(I )

26、作SOX BC,垂足為O,連結SO,由側面SBC，底面因為SA=SB ,所以AO=BO 。又/ABC 45°, AAOB為等腰直角三角形,AO ±OBo連結SE,取SE中點G,連結OG, G 44 2一.2 2 1.22z 不 Kc、OG，一, SE， ,1 , AB（V2",2,0）。44 222SEgOG 0, ABgOG 0, OG與平面SAB內(nèi)兩條相交直線 SE, AB垂直。所以OG,平面SAB, OG與DS的夾角記為，SD與平面SAB所成的角記為則與互余。D（衣,2衣,0）, DS （三2點,1）。cosOGgDS.22,.=? sinOG CDS 11

27、.2211_ , ，. 22所以，直線SD與平面SAB所成的角為arcsin-。11（2008上海高考）如圖，在棱長為2的正方體 ABCD ABQD1中，e是BG的中點。求直線DE與平面ABCD所成角的大小（結果用反三角函數(shù)值表示）AB第三節(jié)平面與平面所成的角、基礎知識求法：幾何法向量法公式法(1)幾何法：作出二面角的平囿角，冉求解，常見的有作法圖形定義法在CD上找一點O,在兩個面內(nèi)分別作棱的垂線AO,BO AOB為二面角CD的平面角垂向法過棱上一點 O作棱的垂直平囿與兩個半平面的交線分別為AOBO AOB為 CD 的平面角三垂線法過B內(nèi)一點A,作AB交于B ,作BO CD于O,連結AO, A

28、OB 的 CD平面角或其補角(2)向量法：分別求出和的法向量m，n，則二面角1 的大小為 m，n或一m，n用此法須知：1需建空間直角坐標系，定準相應點的坐標2通常容易找到一個面的法向量，只需通過二次垂直，求另一個平面的法向量3當 1為銳角時m，n( m，n為銳角)Mi-或 m,n ( m,n為鈍角)AC EF在平面內(nèi)A EF 在平面 內(nèi)，BD EF,且B EF分別求出AC，BD ,則AC，BD即為二面角EF 的大小(3)公式法：設二面角 1 的大小為,AB ,CD ,AB 1,CD 1,令AB m,CD n,BD d,則222,2-AC m n d 2mncos、例題講練例1、如圖，已知棱柱A

29、BCDAi BiCiDi的底面是菱形，且AA面ABCD ,DAB 60, AD AA, F為棱AA的中點，M為線段BDi的中點,(1)求證：MF 面 BDDlB1；(2)求面BFDl與面ABCD所成二面角的大小.(1)證明：底面是菱形，AC BD又 BiB 面 ABCD, AC 面 ABCDAC BiBAC 面 BDDiBi又 MF/AC MF 面 BDDiBiCiCE(2)延長DiF、DE交于點EF是AA的中點且ABCD是菱形 DA AE AB23又 DAB 60DBE 90由三垂線定理可知DiB BEDiBD為所求角在菱形ABCD中，DAB 60BC ，3BDDiDtan DiBD23BD

30、DBD 60BC BF BAE，平面BCE2的正方形，AE=EB , F為又 RtABCE 中，EC,BC2 BE2BFBC BEEC2 _2 2 3：63在 RtABFG 中,- BFsin BGF BG.-6 arcsin 面角BAC E等于 3例3、如圖所示的幾何體ABCDE中，DA平面EAB ,CB例2、如圖，直二面角 DAB E中，四邊形 ABCD是邊長為CE上的點，且BF，平面ACE。(1)求證：AE，平面BCE;(2)求二面角 BACE的大?。唤猓?1)如圖，: BF，平面 ACE BFXAE又 二面角 DAB E為直二面角，且 CBXABCB，平面 ABE CBXAE(2)連B

31、D交AC于G,連FG正方形 ABCD 邊長為 2 BGXAC , BG J2 BFL平面ACE由三垂線定理逆定理得 FGXAC / BGF是二面角 B-AC-E的平面角由(1) AEL平面 BCE AE XEB又 AE=EB在等腰直角三角形 AEB中，BE J2CB/DA EA DAAB 2CB, EA AB, M 是 EC 的中點.(I)求證：DM EB；(n )求二面角M BD A的余弦值.解法一：()證明：取BE的中點”連接MN，AN，則MN CB DA,故 叫11k2四點共面. DA 平面EAB , DA EB.又 EA AB ANEB 由 MN AN N ,EB平面ANMDDM EB

32、;5(n )取AC的中點P,連MP ,則MP EA,MP平面ABCD過P作PQ BD，連QM，則QMBDMQP是二面角M BD A的平面角.設CB a, AC與BD的交點為。，記AODCAB，則有sinPQ在RtCO CBAO AD11-,CO -AC23OP11(2 3)ac12 g 2. 56'a (2a) Tasin(45 )sincos3,22,5OPsinMP又1 EA2tanMPQ 中，MQP MQ2 2,cosMQP即二面角M BD1A的余弦值為3 .解法二：分別以直線AE,AB,AD為x 軸、y軸、z軸,A xyz，設 cb a ,則A(010,0),E(2a,0,0)

33、,B(0,2a,0),C(0,2a,a),D(0,0,2a)a、M (a,a,-)2DM(I )證：3 一(a,a,-a), EB2(2a,2a,0)DM EBa (-2a) a 2a0 DM建立如圖所示的空間直角坐標系EBDM EB(n)解:設平面MBD的法向量為(x, y,z)DB(0,2a,-2a)由 n DB,n DM 得n DM ax ay- az 0x y -z 02n DB 2ay-2az 0y z225取z 2得平面MBD的一非零法向量為 n(1,2,2)BDAni(1,0,0)cos n,n11_0,122222.1202023，二面角MBD A的余弦值為3.例4、已知四棱錐

34、PABCD的底面為直角梯形，AB/DC,DABPA ADABCD,且1DC 2 , AB 1, M是PB的中點,(I)證明：面PAD面 PCD；(n )求面AMC與面BMC所成二面角的大小.各點90,PA底面證明：以A為坐標原點AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標系，則-1A(0,0,0), B(0,2,0), C(1,1,0),D(1,0,0), P(0,0,1), M(0,1,-)坐標為2(I)證明：因 AP (0,0,1),DC(0,1,0)，故AP DC 0,所以APDC.由題設知AD DC ,且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線,由此得DC面PAD又DC在面PCD上，故面PAD

35、，面PCD,(H)解:NC (1在MC上取一點N(x, y,z),則存在-1x,1 y, z),MC (1,0, 2), x 1R,使 NCMC,y1,zAN 要使uuu uum1MC,只需ANgMC 0即x -z 0,解得可知當4時,N點坐標為(1,1,2)，能使AN MC 55 50.此時,AN12 (1,1,2), BN551, 1,2)，有 BN MC 05531由AN MC 0,BNMC 0 得 ANMC,BN MC.uuu . 30 uuurQ| AN | -,| BN |5.30 uuur uur-10,AN gBNuuir uuurUULr uuuran 處cos( AN ,B

36、N ) -uuuruuu | AN | | BN |故所求的二面角為arccos( 2)例5、如圖，三棱錐P-ABC中，PC平面 ABC , PC=AC=2 ,AB=BC , D是PB上一點，且 CD 平面PAB .(I)求證：AB 平面PCB;(II)求二面角 C-PA-B的大小.解法一：(I) .pc平面AB 平面ABC,.PC. CD平面PAB,AB平面PAB,BANB為所求二面角的平面角.CDCD AB 平面 PCB .(II)取AP的中點E,連結CE、DE. PC=AC=2 , CEPA, CE= 2. CD 平面PAB,由三垂線定理的逆定理，得DEPA.CED為二面角C-PA-B的

37、平面角.由(I) AB平面PCB,又 AB=BC ,可求得 BC= J2 .在 RtPCB 中,PB=, pc2BC2CD PC-CPBRt CDE 中，CDCED= CE23_623二面角C-PA-B的大小為6arcsin 3解法二：(I)同解法一.4B(II)設平面PAB的法向量為 m= (x, v, z).AB (0, .2,0) AP (.2, .2,2)AB m 0,2y 0,則 AP m 0.即 V2x 72y 2z 0.y Q解得 xv，2z令 z = -1,得 m= (V2, 0,-1).設平面 PAC 的法向量為 n=(X'，y，Z). PC (0Q2), AC 陋,

38、&，0),I2z0,z0,即“2x72y0.解得 xy令 x'=i,得 n= 0 , 1, 0)m n_2_33m Hnl = 43 V 23 ,，二面角 C-PA-B 的大小為 arccos 3V ABCD中，底面ABCD是正方形，側面VAD是正三角形，PC n 0,則 AC n 0.cos m, n1、如圖，在四棱錐平面VAD底面ABCD.(I)證明：AB平面VAD ；(n)求面VAD與面DB所成的二面角的大小證明：以D為坐標原點，建立如圖所示的坐標圖系(I)證明：不防設作1. 3V ( ,0,)A(1,0,0),則 B(1,1,0),(2, , 2 )AB(0,1,0),

39、VA (1,0,手由建 VA0,得 ABVA,又 ABAD,AB平面VAD因而AB與平面VAD內(nèi)兩條相交直線VA, AD都垂直,則E(4,08,EA (3。品面33 1. 3(4，(2,°,?).(n)解：設E為DV中點,由EBDV 0,得EB DV,又EA DV.因此AEB是所求二面角的平面角,EA EB2121cos(EA, EB),arccos-.|EA| |EB|7解得所求二面角的大小為72、(2008高考山東卷)如圖，已知四棱錐 P-ABCD ,底面ABCD為菱形，PAL平面ABCD , ABC 60 ,巳F分別是BC, PC的中點.(I )證明：AE XPD;(II)若H

40、為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為 2 ,求二面角EAF C的余弦值.平面 ABCD ,所以PAXAE. AEL平面 PAD,(I)證明：由四邊形 ABCD為菱形，/ ABC=60 ° ,可得 ABC為正三角形.因為E為BC的中點，所以 AE ± BC.又 BC / AD ,因此 AEXAD.因為 PAL平面 ABCD , AE 而 PA 平面PAD, AD 平面PAD 且PAA AD=A ,所以又PD 平面PAD.所以AE ± PD.(II)解：設 AB=2 , H為PD上任意一點，連接 AH , EH.由(I )知 AE，平面 PAD,貝U/

41、 EHA為EH與平面 PAD所成的 角.在RtAEAH中，AE=百，所以 當AH最短時，/ EHA最大， 即 當AH，PD時，/ EHA最大.AE 3.6此時 tan/ EHA= AH AH 2 ' 因此 AH=亞又 AD=2 ,所以/ ADH=45 ° ,所以 PA=2.解法一：因為PAL平面 ABCD , PA 平面PAC,所以 平面PACL平面 ABCD.過E作EOXAC于O,則EOL平面PAC, 過O作OSLAF于S,連接ES,則/ ESO為二面角E-AF-C的平面角,33在 RtAAOE 中，EO=AE - sin30° = 2 , AO=AE - cos30° = 2 ,3 2又 F 是 PC 的中點，在 RtAASO 中，SO=AO sin45° = 4 ,SE EO2 SO2又:30SOSE在 RtESO 中，cos/ ESO=324=. 30.15515即所求二面角的余弦值為5解法二：由(I)知 AE, AD, AP兩兩垂直，以 A為坐標 原點，建立如圖所示的空間直角坐標系， 又E、F分另為BC、 PC的中點，所以E、F分別為BC、PC的中點，所以A (0, 0, 0), B (由，-1, 0), C ( J3, 1, 0),叵1 1D (0, 2, 0), P (0, 0, 2), E ( 3,0, 0), F