第三章幾何光學的基本原理1

1、第三章 幾何光學的基本原理 習題解答第三章 幾何光學的基本原理1 證明反射定律符合費馬原理。證明：設平面為兩種介質的分界面，光線從A點射向界面經反射B點，在分界面上的入射點為任意的C點；折射率分別為：n1、n2。（1）過A、B兩點做界面的垂直平面，兩平面相交為直線X軸，過C點做X軸的垂線，交X軸于C點，連接ACC、BCC得到兩個直角三角形，其中：AC、BC為直角三角形的斜邊，因三角形的斜邊大于直角邊，根據(jù)費馬原理，光線由A點經C點傳播到B點時，光程應取最小值，所以在分界面上的入射點必為C點，即證明了入射光線A C和反射光線B C共面，并與分界面垂直。（2）設A點的坐標為（x1，y1），B點坐標

2、為（x2，y2），C點坐標為（x，0），入射角為，反射角為，則光線由A傳播到B的光程：若使光程取極值，則上式的一階導數(shù)為零，即：從圖中得到： 也即：sin=sin，說明入射角等于反射角，命題得證。2 根據(jù)費馬原理可以導出在近軸條件下，從物點這出并會聚到象點所有光線的光程都相等。由此導出薄透鏡的物象公式。 解：3 眼睛E和物體PQ之間有一塊折射率為1.5的玻璃平板，平板的厚度d為30cm，求PQ的象PQ與物體之間的距離d2。 解：方法一PQ是經過兩個平面折射所形成的象（1）PQ經玻璃板前表面折射成象：設PQ到前表面的距離為s1，n=1、n=1.5 由平面折射成象的公式： 得到：（2）PQ經玻璃板

3、前表面折射成象：從圖中得到：s2=s1+d、n=1.5、n=1根據(jù)： 解出最后形成的象PQ到玻璃板后表面的距離：物PQ到后表面的距離：s=s1+d物PQ與象PQ之間的距離d2：d2 = s2-s =（）d=10cm方法二：參考書中例題的步驟，應用折射定律解之。方法三：直接應用書中例題的結論：d2 =d（1-1/n）即得。4 玻璃棱鏡的折射角A為600，對某一波長的光其折射率為1.6，計算(1)最小偏向角；(2)此時的入射角；(3)能使光線從A角兩側透過棱鏡的最小入射角。 解：（1）根據(jù)公式： 代入數(shù)據(jù)：A=600，n=1.6 解出最小偏向角：0= 46016（2）因： 則入射角：（3）若能使光

4、線從A角兩側透過棱鏡，則出射角i1=900 有：n sini2= 1 sin900 = 1 解出：i2=38.680 從圖中得到：i2 + i2= A 得到：i2 =21.320又有：sini1 = nsini2 解出最小入射角：i1 =350345 題圖表示恒偏向棱鏡，挑相當于兩個300-600-900棱鏡與一個450-450-900棱鏡按圖示方式組合在一起。白光沿i方向入射，我們旋轉這個棱鏡來改變1，從而使任意波長的光可以依次循著圖中的路徑傳播，出射光線為r，求證：如果sin1=n/2，則2=1，且光束i與r相互垂直。解：當光線以1角在A點入射時，設折射角為，根據(jù)折射定律有：sin1 =

5、nsin 因：sin1 = n/2 計算得到：= 300 在C點的入射角為，從圖中可看出：= 300 有：sin2 = nsin 得到：sin2 = n/2因：sin1 = sin2 = n/2 所以：1 = 2在三角形ADE中，ADE=1800 -1 -（900 -2）= 900說明光束i與r相互垂直。6 高為5cm物體放在距凹面鏡頂點12cm，凹面鏡的焦距是10cm，求象的位置及高度，并作光路圖。解：已知：s=-12cm f=-10cm 根據(jù)：解出：s= -60cm 因： 解得：y= -25cm7 一個5cm高的物體放在球面鏡前10cm處成1cm高的虛象，求：（1）此鏡的曲率半徑；（2）此

6、鏡是凸面鏡還是凹面鏡？解：已知：y=5cm、s=-10cm、y=1cm 因形成的是虛象，物和象在鏡面的兩側，物距和象距異號。根據(jù)： 代入： 解出：r=5cm因r=5cm > 0 ，所以是凸面鏡。8 某觀察者通過一塊薄玻璃板去看在凸面鏡他自己的象，他移動著玻璃板，使得在玻璃板中與在凸面鏡中所看到的他眼睛的象重合在一起。若凸面鏡的焦距為10cm，眼睛距凸面鏡頂點的距離為40cm，問玻璃板距觀察者眼睛的距離是多少？解：已知：凸面鏡成象時的物距： s=-40cm、焦距：f=10cm由：解出凸面鏡成象的象距：s=8cm 此象到眼睛的距離：b=40+8=48cm又因薄玻璃板所成的象是虛象，與物對稱，

7、若使玻璃板中的象與凸面鏡中所成的象重合在一起，則玻璃板應放在P與P的中間，即玻璃板到眼睛的距離：d=b/2=24cm9 物體位于凹面鏡軸線上焦點之外，在焦點與凹面鏡之間放一個與軸線垂直的兩表面互相平行的玻璃板，其厚度為d，折射率為n，試證明：放入該玻璃板后使象移動的距離與把凹面鏡向物體移動d（n-1）/n的一段距離的效果相同。 解:設物體到凹面鏡的距離s，當把玻璃板放入后，物體首先經過玻璃板折射成象P1，再經過凹面鏡反射成象P2，P1即為凹面鏡的物，P1相對P點移動的距離經前面的證明知道為d（n-1）/n，也即放入該玻璃板后使象移動的距離與把凹面鏡向物體移動d（n-1）/n的一段距離的效果相同

8、。10 欲使由無窮遠發(fā)出的近軸光線通過透明球體并成象在右半球面的頂點處，問該透明球體的折射率應為多少？解：此問題是單球面的折射成象，根據(jù)題意有：物距：s=-、物空間：n=1設象空間球體折射率為n，球面半徑為R由： 得到：從而解出透明球體的折射率：11 有一折射率為1.5、半徑為4cm的玻璃球，物體在距球表面6cm處，求：（1）從物體所成的象到球心之間的距離；（2）求象的橫向放大率。 解：物體經玻璃球的左、右球面兩次成象。左球面成象：n1=1、 n1=1.5、 r1=-4cm、s1=-6cm由： 解得左球面成象的象距：s1=-36cm，象在P點。橫向放大率：右半球面成象：n2=1.5、 n2=1

9、、 r2= 4cm、s2=-44cm 再由：解出第二次成的象P到O2點的距離：s2=11cm橫向放大率：最后所成的象到球心之間的距離：d= s2+ r =（11+4）cm = 15cm象的橫向放大率：12 一個折射率為1.53、直徑為20cm的玻璃球內有兩個小氣泡，看上去一個恰好在球心，另一個從最近的方向看去，好象在表面與球心連線的中點。求兩個氣泡的實際位置。解：（1）看去恰好在球心的氣泡n1=1.53、 n1=1、 r1=-10cm、s1=-10cm由：解得象對應的物距：s1 =-10cm，說明氣泡在球心處。 圖A（2）好象在表面與球心連線中點的氣泡n2=1.53、 n2=1、 r2=-10

10、cm、s2=-5cm再由： 解得象距：s2 =- 6.047cm氣泡到球心的距離:d =10 cm - 6.047cm = 3.953 cm 圖B13 直徑為1m的球形玻璃魚缸的中心處有一條小魚，若玻璃缸壁的影響可忽略不計，求缸外觀察者所看到的小魚的表觀位置和橫向放大率。解: n =1.33、 n=1,設球面曲率半徑為r,象距:s=r由：解得象對應的物距：s = r，說明魚在缸的中心處。橫向放大率：是一個正立放大的虛象.14 玻璃棒一端成半球形，曲率半徑為2cm，將它水平地浸入折射率為1.33的水中，沿著棒的軸線離球面頂點8cm處的水中有一物體，應用計算法和作圖法求象的位置及橫向放大率。解：已

11、知：n =1.33、 n=1.5、r=2cm、s=-8cm 根據(jù)： 解出：s=18.5cm或由： 計算得到物方、象方焦距： 由： 解得象距：s=18.5cm 橫向放大率：15 有兩塊玻璃薄透鏡的兩表面均各為凸球面及凹球面，其曲率半徑為10cm。一物點在主軸上距鏡20cm處，若物和鏡均浸入水中，分別用作圖法和計算法求象點的位置。設玻璃的折射率為1.5，水的折射率為1.33。 解：因透鏡放在同一種介質中，所以物方和象方焦距的絕對值相等。已知：n2=1.33 n1 =1. 5（1）凸透鏡：兩表面曲率半徑：r1=10cm、r2=-10cm、物距：s=-20cm得到：由： 解得象距為：s=-41cm（2

12、）凹透鏡：兩表面曲率半徑：r1=-10cm、r2=10cm、物距：s=-20cm得到：由： 解得象距為：s=-13.2cm 16 一凸透鏡在空氣中的焦距為40cm，在水中的焦距為136.8cm，問此透鏡的折射率是多少?設水的折射率為1.33。若將此透鏡放置在CS2中(CS2的折射率為1.62)，其焦距又為多少？解：根據(jù)薄透鏡焦距的計算公式，設透鏡的折射率為n，在折射率n=1的空氣中時： 在n=1.33的水中：兩式相比: 解出透鏡的折射率為:n=1.54若把透鏡放在n=1.62的CS2中：與空氣的焦距相比：解出在CS2中，其焦距為：17 兩片極薄的表玻璃，曲率半徑分別為20cm和25cm，將兩玻

13、璃片的邊緣粘起來，形成一內含空氣的雙凸透鏡，把它置于水中，求其焦距為多少？解：根據(jù)題意，透鏡的折射率：n=1，兩表面的曲率半徑：r1=20cm、r2=-25cm，水的折射率為：n=1.33，代入：解出透鏡的焦距為：，為一發(fā)散透鏡。18 會聚透鏡和發(fā)散透鏡的焦距都是10cm，求：（1）與主軸成300角的一束平行光入射到每個透鏡上，象點在何處？（2）在每個透鏡左方的焦平面上離主軸1cm處各置一發(fā)光點，成象在何處？ 解：（1）根據(jù)題意做圖如下。 圖（1） 圖（2）圖（1）是凸透鏡成象圖，P是象點，在象方焦平面上，到焦點的距離為： P點的坐標：（10，5.8）圖(2)是凹透鏡成象圖，象點P仍在象方焦平

14、面上，但在透鏡左方，到焦點的距離為： P點的坐標：（-10，-5.8）（2）在凸透鏡物方焦平面上放一物，象成于無窮遠處。把物放在凹透鏡的象方焦平面上，已知：s=-10cm，由： 解得象距為：s=-5cm，由：，解出：y=0.5cm象P點的坐標：（-5，0.5） 圖（3） 圖（4）19 如圖（1）、（2）所示，MM分別為一薄透鏡的主光軸，S為發(fā)光點，S為象，用作圖法求透鏡中心和透鏡焦點的位置。 20 比累對切透鏡是把一塊凸透鏡沿直徑方向刨開成兩半組成，兩半塊透鏡垂直光軸拉開一點距離，用光闌擋住其間的空隙，這時在光屏上可觀察到干涉條紋。已知點光源與透鏡相距300cm，透鏡的焦距f=50cm，兩透鏡

15、拉開的距離t=1mm，光屏與透鏡相距450cm，用波長為632.8nm的激光做光源，求干涉條紋的間距。 解：點光源經兩塊透鏡形成兩個實象P1、P2，由物象公式：求得P1、P2到透鏡的距離： 點光源到上半透鏡主軸的距離y：，P1點到主軸的距離，則： 解得：也即P1、P2兩點之間的距離：，與光屏的距離：干涉條紋的間距： 21 把焦距為10cm的會聚透鏡的中央部分C切去，C的寬度為1cm，把余下的兩部分粘起來，（見圖）。如在其對稱軸上距透鏡5cm處置一點光源，試求象的位置。解：把透鏡按題意分切、對接后，在對物體成象時，可看做是兩個透鏡，上、下兩半部分透鏡的成象情況是對稱的，上半部分透鏡的成象光路如圖

16、所示，虛線為透鏡主軸，點光源到主軸的距離為根據(jù)： 已知：、解出象距： 橫向放大率： 解得：22 一折射率為1.5的薄透鏡，其凸面的曲率半徑為5cm，凹面的曲率半徑為15cm，且鍍上銀，如圖，試證明：當光從凸表面入射時，該透鏡的作用相當于一個平面鏡。 解：該系統(tǒng)的成象過程是球面O1的折射、O2球面的反射和O1球面的折射三次成象。設物體與O1面的距離為s。O1面的折射成象：物距為、根據(jù)： 解得：23 題圖所示的是一個等邊直角棱鏡和兩個透鏡所組成的光學系統(tǒng)，棱鏡折射率為1.5，凸透鏡的焦距為20cm，凹透鏡的焦距為10cm，兩透鏡間的距離為5cm，凸透鏡距棱鏡邊的距離為10cm，求圖中長度為1cm的

17、物體所成象的位置和大小。24 顯微鏡由焦距為1cm的物鏡和焦距為3cm的目鏡組成，物鏡與目鏡之間的距離為20cm，問物體放在何處時才能使最后的象成在距離眼睛25cm處？作出光路圖。25 題圖中L為薄透鏡，水平橫線MM為主軸，ABC為已知的一條穿過這個透鏡的光線的路徑，用作圖法求出另一條光線DE穿過透鏡后的路徑。 解：1 過O點做AB的平行線（副軸），交BC線于L點；2 過L點做主軸的垂線，即為透鏡的象方焦平面；3 過O點做DE的平行線，交象方焦平面于H點；4 連接E、H，即得DE的共軛折射光線EH。26 題圖是一厚透鏡的主軸，H、H是透鏡的主平面，S1是點光源，S是點光源的象，試用作圖法作出任意物點S2的象的位置。27 雙凸透鏡的折射率為1.5，r2的另一面鍍銀，物點P在透鏡前主軸上20cm處，求最后象的位置并作出光路圖。28 實物與光屏之間的距離為L，在中間某一個位置放一個凸透鏡，可使實物的象清晰地投于光屏上，將透鏡移過距離d后，屏上又出現(xiàn)一個清晰的象。（1）試計算兩個象的大小之比；（2）證明透鏡的焦距為（