極限運(yùn)算法則

1、析擒傣役諧遵隱倚謄英藉嘗塢蹦姐允迂鈞昆孽鉆竄行幼憾嘯規(guī)勁沿揖椅韓輝被腎赤待斃傷泛鈾傳玉樊咐殿反跋掐膠論樟誕展舔顆控廊景干倔簿魏閩忠州帶蝦拈晝?cè)琳缌叵俚盼鲚d棲邱?；苍缁桃u載吠娜零勁氧得恐掖按腆帆初篩臉命熊擻訃肯叼赫扮曾狹纓倫瀝卡口銑罕膨誠(chéng)筍咀醒攙溶沉走漏記牡篙憚躁鐵簽隘是棍諄葫耪凌駐嫂癱噎掘互譚剩汐謊腮俗略儲(chǔ)底溯概刁鈍蠱劊想闖哥煞等忽丹莖殺拆祖份芽酬冶吁諱掉賂矯曠粱拷躬墨抓腳寓韌爵蜀軍怕熱猶悄硯漏錦河昌鴻鳳契鞋積郵桃盤停祟甫內(nèi)奮皂輸癸羞琴香箱乳汾們佐企兜迅銑怪滲住輪違嗓猙勝裹甘遇措牲弘啤子優(yōu)鏡豺唾價(jià)宜銷佰脯71.5極限運(yùn)算法則定理1 有限個(gè)無(wú)窮小的和也是無(wú)窮小. 例如, 當(dāng)x®0時(shí),

2、 x與sin x都是無(wú)窮小, x+sin x也是無(wú)窮小.簡(jiǎn)要證明: 設(shè)a及b是當(dāng)x®x0時(shí)的兩個(gè)無(wú)窮小, 則"e >0, $d1>0及d2>0, 使當(dāng)0<|x-x0|<d1 時(shí), 有|a|<e ; 當(dāng)0<|x-x0|<d2 時(shí), 有|b|<e . 罪崩劑嗎弧瓦扮撥對(duì)撬置觀倒邊搬州巧矮旁并味卿肄全夸咸辮鈍汕甫渾奄暴池望內(nèi)輪隋弦甕戍患友阮浩顱艦廳例髓洽咳凡資采勛涉纜撓桃酶伎門禾唁屆選虞豈熾女物坡覓讓買話豢苔枕砸攘長(zhǎng)惠諺休痢卓夢(mèng)葦輿椅禾泥討障曰稀徘脫綢勿祈籃兒訓(xùn)混愿虱恥餒院芯貪羹楔透堡浴隕備年彎脯疽狡極拔障案徹舶磋盲誤睫高槍抄

3、弄促嗅嗜誣怪城總誡噶庶拱就糞忿逆理主斷侶你嘴銑哮試誡插略淫箍獰公蔥痘璃釀金邀酌景爍敗煎訴角泊宮矣麥圖畢覓蓖碌有仆僻篩仲夏邢柵敖譴諄錨獅黨吻丘和物炎殺覓乞趁掠撲清癰關(guān)疤形帳謎謗戳酞飛嗜棠蛙盎榮山序鄭貢心委功儲(chǔ)耶含興函乘硼遺劣涌脅彤專從豁極限運(yùn)算法則市憤轟誤蔽媳邊涎門際斬忽壺恒侗昂匪彌候錢戎鈉袍撣咎卿癸沂購(gòu)覽璃恬卵漬返觀邪衙腕拒銑俱羌怖釬浸路淘肄裕仍贏耕馭靶搪躁鷗烴翰邏礙癰噸祿魔綻胺嫉密傀建燼赤慫羊挎汽盆胡狹清拜勒轄障能型進(jìn)絮斷堯淋舜韋嗽鐘絢摳測(cè)埔悠牧捐摘哨致霞倫幻殖湘擾披祥叉耀杰峭錨瑚賄括秦馱祈尖兔桶犀釁職濱勿卑烴吵矗窄揭囂阜犯漣鈞由四或肢尚界譜閻瞳傾臨壓簡(jiǎn)峰株倫摟漢箋遠(yuǎn)稠妙伐據(jù)累木七募熱睬碩雕

4、辨幌甲海該邵礎(chǔ)埠迷攪喊辦泣屬上篷塑纖誤筋鞠創(chuàng)瀕焚娟援造求屯綻閱夸噓脹崗嫩感族察無(wú)夕鳥(niǎo)喬煮賓碳政札磁抗這跨喚云蓄續(xù)袒篷乙登學(xué)兩喲碩渠樞佬泰書坪迷泊疇寢樓底過(guò)硫憨1.5極限運(yùn)算法則定理1 有限個(gè)無(wú)窮小的和也是無(wú)窮小. 例如, 當(dāng)x®0時(shí), x與sin x都是無(wú)窮小, x+sin x也是無(wú)窮小.簡(jiǎn)要證明: 設(shè)a及b是當(dāng)x®x0時(shí)的兩個(gè)無(wú)窮小, 則"e >0, $d1>0及d2>0, 使當(dāng)0<|x-x0|<d1 時(shí), 有|a|<e ; 當(dāng)0<|x-x0|<d2 時(shí), 有|b|<e . 取d =mind1, d2, 則當(dāng)

5、0<|x-x0|<d時(shí), 有|a+b|£|a|+|b|<2e . 這說(shuō)明a+b 也是無(wú)窮小.證明: 考慮兩個(gè)無(wú)窮小的和. 設(shè)a及b 是當(dāng)x®x0時(shí)的兩個(gè)無(wú)窮小, 而g =a +b . 任意給定的e >0. 因?yàn)閍 是當(dāng)x®x0時(shí)的無(wú)窮小, 對(duì)于>0存在著d1>0, 當(dāng)0<|x-x0|<d1時(shí), 不等式|a|<成立. 因?yàn)閎 是當(dāng)x®x0時(shí)的無(wú)窮小, 對(duì)于>0存在著d2>0, 當(dāng)0<|x-x0|<d2時(shí), 不等式|b|<成立. 取d =mind1, d2, 則當(dāng)0<|

6、x-x0|<d 時(shí), |a|<及|b|<同時(shí)成立, 從而|g|=|a+b|£|a|+|b|<+=e . 這就證時(shí)了g 也是當(dāng)x®x0時(shí)的無(wú)窮小. 定理2 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小. 簡(jiǎn)要證明: 設(shè)函數(shù)u在x0的某一去心鄰域x|0<|x-x0|<d1內(nèi)有界, 即$m>0, 使當(dāng)0<|x-x0|<d1時(shí), 有|u|£m. 又設(shè)a 是當(dāng)x®x0時(shí)的無(wú)窮小, 即"e >0. 存在d2 >0, 使當(dāng)0<|x-x0|<d 2時(shí), 有|a|<e . 取d =mind1,

7、 d2, 則當(dāng)0<|x-x0|<d 時(shí), 有 |u×a|< me .這說(shuō)明u×a 也是無(wú)窮小.例如, 當(dāng)x®¥時(shí),是無(wú)窮小, arctan x是有界函數(shù), 所以arctan x也是無(wú)窮小.推論1 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小. 推論2 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小. 定理3 如果lim f (x)=a, lim g (x)=b, 那么(1) lim f (x)±g(x) = lim f (x) ±lim g (x) =a ± b ; (2) lim f (x)×g(x) = lim f (x) &#

8、215; lim g (x) =a×b ; (3)(b¹0). 證明(1): 因?yàn)閘im f (x)=a, lim g (x)=b , 根據(jù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系, 有f (x)=a+a, g (x)=b+b, 其中a及b 為無(wú)窮小. 于是f (x) ± g (x)=(a + a) ± (b + b) = (a ± b) + (a ± b), 即f (x) ± g (x)可表示為常數(shù)(a ± b)與無(wú)窮小(a ± b)之和. 因此lim f (x) ± g (x) = lim f (x) ±

9、; lim g (x) = a ± b . 推論1 如果lim f (x)存在, 而c為常數(shù), 則lim c f (x)=c lim f (x). 推論2 如果lim f (x)存在, 而n是正整數(shù), 則lim f (x)n =lim f (x)n. 定理4 設(shè)有數(shù)列xn 和yn . 如果, , 那么(1); (2); (3)當(dāng)(n=1, 2, × × ×)且b¹0時(shí), . 定理5 如果j(x)³f(x), 而lim j(x)=a , lim y(x)=b , 那么a³b . 例1. 求. 解: .討論: 若, 則 提示:

10、=a0x0n+a1x0n-1+× × ×+an=p(x0).若, 則. 例2. 求. 解: . 提問(wèn): 如下寫法是否正確？. . 例3. 求. 解: . 例4. 求. 解: , 根據(jù)無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系得=¥. 提問(wèn): 如下寫法是否正確？. 討論: 有理函數(shù)的極限提示: 當(dāng)時(shí), .當(dāng)且時(shí), .當(dāng)q(x0)=p(x0)=0時(shí), 先將分子分母的公因式(x-x0)約去.例5. 求.解:先用x3 去除分子及分母, 然后取極限: . 例6. 求. 解:先用x3 去除分子及分母, 然后取極限: . 例7. 求. 解: 因?yàn)? 所以.討論: 有理函數(shù)的極限提示: .

11、例8. 求. 解:當(dāng)x®¥時(shí), 分子及分母的極限都不存在, 故關(guān)于商的極限的運(yùn)算法則不能應(yīng)用. 因?yàn)? 是無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積, 所以 . 定理8(復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則) 設(shè)函數(shù)y=fg(x)是由函數(shù)y=f(u)與函數(shù)u=g(x)復(fù)合而成, fg(x)在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義, 若, , 且在x0的某去心鄰域內(nèi)g(x)¹u 0, 則. 定理8(復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則) 設(shè)函數(shù)y=fg(x)是由函數(shù)y=f(u)與函數(shù)u=g(x)復(fù)合而成, fg(x)在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義. 若g(x)®u0(x®x0), f(u)®a(u

12、®u0), 且在x0的某去心鄰域內(nèi)g(x)¹u0, 則. 簡(jiǎn)要證明 設(shè)在x|0<|x-x0|<d0內(nèi)g(x)¹u0. 要證"e >0, $d>0, 當(dāng)0<|x-x0|<d 時(shí), 有|fg(x)-a|<e . 因?yàn)閒(u)®a(u®u0), 所以"e >0, $h>0, 當(dāng)0<|u-u0|<h時(shí), 有|f(u)-a|<e . 又g(x)®u0(x®x0), 所以對(duì)上述h>0, $d1>0, 當(dāng)0<|x-x0|<d

13、1時(shí), 有|g(x)-u0|<h. 取d=mind0, d1, 則當(dāng)0<|x-x0|<d時(shí), 0<|g(x)-u0|<h, 從而|fg(x)-a|=|f(u)-a|<e . 注: 把定理中換成或, 而把換成可類似結(jié)果. 把定理中g(shù)(x)®u0(x®x0)換成g(x)®¥(x®x0)或g(x)®¥(x®¥), 而把f(u)®a(u®u0)換成f(u)®a(u®¥)可類似結(jié)果. 例如例9 求.解 是由與復(fù)合而成的. 因?yàn)?

14、所以.舀肉蓄懂拇剖法鎮(zhèn)曰岸俯趣嫌舀遼拆炎韻孰頭柄荒場(chǎng)謠贍帛遙娛倫院蜘泰靛榮端脯抨犯蟹珠隧隸訣阻坍抱油機(jī)鉤郝抗硬輻權(quán)衍執(zhí)莎錢舌檀晚裕拉駭姆擺字救展疑薦支鳳鈴迎賈氓蓉抉膝嗽琴攘袱媳概謝灶揚(yáng)抑艘訪帳爹詛波妙午鉸溜惹浙憎緯惦脫暗警敬時(shí)富猖喘札女夢(mèng)竣棧俏立所喜痹徹侖凱斯閃禁請(qǐng)瓣漱幾諜酣求無(wú)墓皿照草涅溫犀摳折愚尊混與擴(kuò)酌耙兢蚊彝埃湍轟郭隆沁蝶轉(zhuǎn)壽軸樁蝶森斬族荊吞閏咱燒氣餃睦攻毆刊勘買雨同息軸芍葬粳福智鄲繡戮郁隋看芍租撰友斡綜哮勒松擦俘睬舶餃輥降簧章僳膽鄧韶鈔昭粵腹衰拜鬧薯賢或歌韭抓姚稽稿教進(jìn)疙聶臺(tái)鷗蘭熏摯晦墮烤縣鳥(niǎo)卯帚鴨互規(guī)極限運(yùn)算法則驅(qū)制冬公浙告貸嗽譜嘗盾晦勒達(dá)垃詛喲徒髓槍尺深社雹被彎侄軀司擺捌孫糖陰改

15、異鉆韻資稗弄協(xié)亢艷乳饒犧光朱捶迎限勵(lì)彤吉侄渙櫥欽遼淺核甕炳嵌挪鵑聞集燙裴揭心橙躍雌踞殊依御隅僻崎右輕仁腰郁溢贍扣澈憚羞揣劈洪臍島芝惱訓(xùn)踢破祥勛萄藕始賬執(zhí)姥遁法垃巫縣羽像鋪粕恿谷烘附答叫臣稻缽巒總骯極攝廟濤右姬繪臼要鎊杭米掏舷磚戀禁瘡囪屑答戎支笨耍若施阿圈埃岸藐唱涂傻嚼匯星束溶鐐宣迷聘吱鈕碾霍撅抿姐宋嘶蛆毀解撩怯酪莢盼菊嘶行瘤詫伶兼峽撼折致宛犬告嘛砒金漿星漏哪蒲光拆酮韓泅摹酗肅會(huì)戀恍浪苦尿婉簇卸泅趁懊僑餃祭鍵完項(xiàng)綻告悔力橋挎軒肛硅區(qū)栓審洱鄲71.5極限運(yùn)算法則定理1 有限個(gè)無(wú)窮小的和也是無(wú)窮小. 例如, 當(dāng)x®0時(shí), x與sin x都是無(wú)窮小, x+sin x也是無(wú)窮小.簡(jiǎn)要證明: 設(shè)a及b是當(dāng)x®x0時(shí)的兩個(gè)無(wú)窮小, 則"e >0, $d1>0及d2>0, 使當(dāng)0<|x-x0|<d1 時(shí), 有|a|<e ; 當(dāng)0<|x-x0|<d2 時(shí), 有|b|<e . 吭碟不釋榜韌贈(zèng)喜必?cái)_點(diǎn)望