01空間向量及其運算19503

1、1. 空間向量的有關(guān)概念空間向量的有關(guān)概念（1）向量：空間中，具有大小和方向的量）向量：空間中，具有大小和方向的量.（2）表示法：）表示法： 幾何表示幾何表示有向線段有向線段代數(shù)表示代數(shù)表示aoa或或（3）向量相等：）向量相等： 同向且等長同向且等長的有向線段表示同一向量的有向線段表示同一向量（4）向量的平移：）向量的平移：空間任意兩個向量都可用同一平面的兩條有向線段表示空間任意兩個向量都可用同一平面的兩條有向線段表示2. 空間向量的運算空間向量的運算（1）向量的加法：）向量的加法： 向量的平行四邊形法則或三角形法則向量的平行四邊形法則或三角形法則在空間仍然成立；在空間仍然成立；首尾相接的若干

2、向量首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零則它們的和為零.推廣:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量；nnnaaaaaaaaaa11433221 （2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量。01433221 aaaaaaaan平面向量概念加法減法數(shù)乘運算運算律定義 表示法 相等向量減法:三角形法則加法:三角形法則或平行四邊形法則bkakbak )()()(cbacbaabba空間向量及其加減與數(shù)乘運算空間向量具有大小和方向的量數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負數(shù),零加法交換律加法結(jié)合律數(shù)乘分配律abcdabcda

3、bcdabcda1b1c1d1cabdba平面向量概念加法減法數(shù)乘運算運算律定義 表示法 相等向量減法:三角形法則加法:三角形法則或平行四邊形法則空間向量及其加減與數(shù)乘運算空間向量具有大小和方向的量數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負數(shù),零bkakbak )()()(cbacbaabba加法交換律加法結(jié)合律數(shù)乘分配律ababab+oabbcocoacaaboaob a (k0)ka (k0)k空間向量的數(shù)乘空間向量的加減法k=0?0aboabba結(jié)論：空間任意兩個向量都是共面向量，所以它們可用結(jié)論：空間任意兩個向量都是共面向量，所以它們可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示。同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示。因此凡

4、是涉及空間任意兩個向量的問題，平面向量中有因此凡是涉及空間任意兩個向量的問題，平面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用于它們。關(guān)結(jié)論仍適用于它們。平面向量概念加法減法數(shù)乘運算運算律定義 表示法 相等向量減法:三角形法則加法:三角形法則或平行四邊形法則空間向量及其加減與數(shù)乘運算空間向量具有大小和方向的量數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負數(shù),零bkakbak )()()(cbacbaabba加法交換律加法結(jié)合律數(shù)乘分配律abba加法交換律bkakbak )(數(shù)乘分配律加法:三角形法則或平行四邊形法則減法:三角形法則數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負數(shù),零加法結(jié)合律成立嗎？加法結(jié)合律：)()(cbacbaabcab+c+()oabca

5、b+abcab+c+()oabcbc+（2）向量的減法：）向量的減法： 向量減法可看成是向量加法的運算向量減法可看成是向量加法的運算)( baba （3）數(shù)乘向量：）數(shù)乘向量：設(shè)設(shè)r，則，則也也是是一一個個向向量量a 方方向向相相同同；和和時時，當當aa 0 方方向向相相反反；和和時時，當當aa 0 ；時時，當當00 a （4）向量加法滿足交換律、結(jié)合律和數(shù)乘的分配律）向量加法滿足交換律、結(jié)合律和數(shù)乘的分配律.3. 平行六面體：平行六面體： 平行四邊形平行四邊形abcd平移向量到平移向量到abcd的軌跡所形成的幾何體；每面邊稱的軌跡所形成的幾何體；每面邊稱棱棱.例1：已知平行六面體abcd-a

6、abcd-a1 1b b1 1c c1 1d d1 1，化簡下列向量表達式，并標出化簡結(jié)果的向量。(如圖)abcda1b1c1d111121)4()(31)3()2()1 (ccadabaaadabaaadabbcab例例1 1：已知平行六面體：已知平行六面體abcd-aabcd-a1 1b b1 1c c1 1d d1 1，化簡下列向量，化簡下列向量表達式，并標出化簡結(jié)果的向量。表達式，并標出化簡結(jié)果的向量。( (如圖如圖) )abcda1b1c1d1g11121)4()(31)3()2()1(ccadabaaadabaaadabbcab ;)1(acbcab解解： 1111)2(accca

7、caaacaaadab m 始點相同的三個不共面向量之和，等于以這三個向量始點相同的三個不共面向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所示向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所示向量例2：已知平行六面體abcd-aabcd-a1 1b b1 1c c1 1d d1 1，求滿足下列各式的x的值。abcda1b1c1d1111111 )3(2 )2(acxadabacacxbdad acxccdaab 1111 )1(例2：已知平行六面體abcd-aabcd-a1 1b b1 1c c1 1d d1 1，求滿足下列各式的x的值。abcda1b1c1d1ccda

8、ab1111 ) 1 (解. 1 1111xaccccbab111111 )3(2 )2(acxadabacacxbdadacxccdaab1111 ) 1 (例2：已知平行六面體abcd-aabcd-a1 1b b1 1c c1 1d d1 1，求滿足下列各式的x的值。abcda1b1c1d1112 )2(bdad 111bdadad)(111bdbcad111cdad 1ac1112 )2(acxbdad. 1x111 )3(acxadabac例2：已知平行六面體abcd-aabcd-a1 1b b1 1c c1 1d d1 1，求滿足下列各式的x的值。abcda1b1c1d111 ) 3

9、 (adabac)()()(11adaaabaaabad)( 21aaabad12ac111 )3(acxadabac. 2xabmcgd)(21 )2()(21 ) 1 (acabagbdbcab練習(xí)1在空間四邊形在空間四邊形abcdabcd中中, ,點點m m、g g分別是分別是bcbc、cdcd邊的中點邊的中點, ,化簡化簡abmcgd)(21 )2()(21 ) 1 (acabagbdbcabagmgbmab原式) 1 ()(21 acabmgbmab (2)原式原式)(21 acabmgbmmgmbmgbm 練習(xí)1在空間四邊形在空間四邊形abcdabcd中中, ,點點m m、g g分

10、別是分別是bcbc、cdcd邊的中點邊的中點, ,化簡化簡平面向量概念加法減法數(shù)乘運算運算律定義 表示法 相等向量減法:三角形法則加法:三角形法則或平行四邊形法則空間向量具有大小和方向的量數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負數(shù),零bkakbak )()()(cbacbaabba加法交換律加法結(jié)合律數(shù)乘分配律小結(jié)abba加法交換律bkakbak )(數(shù)乘分配律)()(cbacba加法結(jié)合律類比思想 數(shù)形結(jié)合思想數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負數(shù),零ababoabb結(jié)論：空間任意兩個向量都是共面向量，所以它們可用結(jié)論：空間任意兩個向量都是共面向量，所以它們可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示。同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示

11、。因此凡是涉及空間任意兩個向量的問題，平面向量中有因此凡是涉及空間任意兩個向量的問題，平面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用于它們。關(guān)結(jié)論仍適用于它們。思考：它們確定的平面是否唯一？思考：它們確定的平面是否唯一？思考：空間任意兩個向量是否可能異面？思考：空間任意兩個向量是否可能異面？4. 共線向量和共面向量共線向量和共面向量（1）共線向量：）共線向量：如果表示向量的有向線段所在直線是如果表示向量的有向線段所在直線是平行或重合的，則稱這些向量是共線平行或重合的，則稱這些向量是共線向量或平行向量，記作：向量或平行向量，記作：ba/（2）共線向量定理：）共線向量定理：./0bababba ，使，使是存在唯一實數(shù)是

12、存在唯一實數(shù)的充要條件的充要條件），），（、對空間任意兩個向量對空間任意兩個向量.的方向向量叫做直線，其中向量，滿足等式實數(shù)上的充要條件是存在在直線，點那么對空間任意一點的直線，且平行于已知非零向量為經(jīng)過已知點如果laatoaoptlpoaal （3）共線向量定理推論：）共線向量定理推論：定；定；點共線問題的表示或判點共線問題的表示或判）推論的用途：解決三）推論的用途：解決三（點公式；點公式；的中的中線段線段）（時，時，）上式中，）上式中，（程形式；程形式；空間直線的參數(shù)方空間直線的參數(shù)方）（）說明：（說明：（32121211aboboaoptobtoatop obapla（4）共面向量定義：

13、）共面向量定義：把平行于同一平面的向量，叫做共面向量把平行于同一平面的向量，叫做共面向量.空間中任空間中任兩個向量是共面的，但空間任三個向量不一定共面兩個向量是共面的，但空間任三個向量不一定共面.（5）共面向量定理）共面向量定理. byaxpyxbapba ，使，使、唯一有序?qū)崝?shù)對唯一有序?qū)崝?shù)對共面的充要條件是存在共面的充要條件是存在、與向量與向量不共線，則向量不共線，則向量、如果兩個向量如果兩個向量（6）共面向量定理的推論）共面向量定理的推論.mbymaxomopombymaxmpyxmabp ，有，有一點一點；或?qū)臻g任；或?qū)臻g任，使，使、條件是存在有序?qū)崝?shù)對條件是存在有序?qū)崝?shù)對內(nèi)的充要

14、內(nèi)的充要位于平面位于平面空間一點空間一點maabbabppo平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果 是同一平面內(nèi)的是同一平面內(nèi)的兩個不共線兩個不共線的向量的向量, ,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量那么對于這一平面內(nèi)的任意向量 , ,存在唯一一存在唯一一對實數(shù)對實數(shù) 1 1, , 2 2, ,使使 21ee 、2211eea a叫做向量叫做向量 關(guān)于基底關(guān)于基底 的分解式的分解式.我們把不共線的向量我們把不共線的向量 叫做表示這一平面內(nèi)叫做表示這一平面內(nèi)的所有向量的的所有向量的一組基底一組基底. .記作：記作：a21ee 、21ee 、21ee 、2211eea .1確確定定的的平平面面內(nèi)內(nèi)、

15、上上有有一一點點在在線線共共面面且且所所在在直直、明明但但用用于于判判定定時時，還還需需證證的的充充要要條條件件所所在在的的三三條條直直線線共共面面、量量定定理理實實際際上上也也是是向向都都是是非非零零向向量量時時，共共面面、當當）說說明明：（bapbabapbap.3證證明明相相應(yīng)應(yīng)的的條條件件當當然然還還需需要要四四點點共共面面的的充充要要條條件件，、也也是是向向量量參參數(shù)數(shù)方方程程表表示示式式，即即空空間間平平面面的的的的向向量量做做平平面面推推論論中中及及上上式式的的形形式式叫叫）（bampmbaobyoaxomyxop )1(2 推推論論還還可可以以整整理理成成：）（./121.,0

16、. 1abcdefghkhgfeodkohockogobkofoakoekacoabcd平面則平面，）若（共面；、）求證：（，外一點，為平面，已知：平行四邊形例 efhgdobca.3382. 221212121共面共面、，求證：，求證：，不共線，如果不共線，如果，已知非零向量已知非零向量例例dcbaeeadeeaceeabee 5.空間向量分解定理空間向量分解定理. czbyaxpzyxpcba 使使，、實數(shù)組實數(shù)組，存在一個唯一的有序，存在一個唯一的有序一向量一向量不共面，那么對空間任不共面，那么對空間任，如果三個向量如果三個向量.3382. 221212121共面共面、，求證：，求證：，

17、不共線，如果不共線，如果，已知非零向量已知非零向量例例dcbaeeadeeaceeabee 5.空間向量基本定理空間向量基本定理. czbyaxpzyxpcba 使使，、實數(shù)組實數(shù)組，存在一個唯一的有序，存在一個唯一的有序一向量一向量不共面，那么對空間任不共面，那么對空間任，如果三個向量如果三個向量.|1都都叫叫做做基基向向量量，一一個個基基底底，叫叫做做空空間間的的，生生成成的的，因因此此稱稱，是是由由向向量量組組、，即即空空間間中中的的向向量量集集合合唯唯一一，的的任任一一向向量量，且且表表示示式式可可以以線線性性表表示示出出空空間間中中，的的向向量量組組）用用空空間間中中三三個個不不共共

18、面面說說明明：（cbacbacbarzyxczbyaxppcba （2）空間中的任意三個不共面的向量都可以作為空間）空間中的任意三個不共面的向量都可以作為空間向量的一個基底向量的一個基底.（3）零向量可視為與任意一個非零向量共線，與任意）零向量可視為與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以三個向量不共面隱含著它們都兩個非零向量共面，所以三個向量不共面隱含著它們都不是零向量不是零向量.（4）一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底）一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關(guān)連的不同概念中的某一個向量，二者是相關(guān)連的不同概念.空間向量分解定理推論空間向量分解定理推論.oczobyoaxopzyxpcbao 使使，數(shù)組數(shù)組，都存在唯一的有序?qū)崳即嬖谖?/p>