追及問題是同向運動問題

1、追及問題是同向運動問題。一般的追及問題􀆚甲、乙兩個人同時行走􀆖甲的速度快􀆖乙的速度慢􀆖當乙在甲前面時􀆖甲經(jīng)過一段時間后就可以追上乙。這就產(chǎn)生了“追及問題”。要計算走得快的人在某一段時間內(nèi)比走得慢的人多走的路程􀆖也就是要計算兩人走的路程之差即追及路程。追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度×追及時間-乙的速度×追及時間=􀆔甲的速度-乙的速度􀆕×追及時間=速度差×追及時間追及問題中也涉及到三個量之間關系的轉(zhuǎn)化&#

2、1048986;路程差=速度差×追及時間速度差=路程差÷追及時間追及時間=路程差÷速度差這里的追及時間是指共同使用的同一段時間。在追及問題中還會涉及到環(huán)形跑道和列車問題。都可以根據(jù)具體條件轉(zhuǎn)化成普通的追及問題。路程差=速度差×追及時間。路程差是指在相同時間內(nèi)速度快的比速度慢的多行的距離􀆖速度差是單位時間內(nèi)速度快的與速度慢的路程差􀆖追及時間是從出發(fā)到追上所經(jīng)歷的時間。例1甲、乙二人進行短跑訓練􀆖如果甲讓乙先跑40 米􀆖則甲需要跑20 秒追上乙􀆛如果甲讓乙先跑6 秒&#

3、1048982;則甲僅用9 秒就能追上乙。求􀆚甲、乙二人的速度各是多少􀆜解析：如果甲讓乙先跑40 米然后甲出發(fā)追乙􀆖這40 米就是二人間的路程差甲用20 秒追上乙是追及時間根據(jù)速度差=路程差÷追及時間􀆖可求甲、乙二人的速度差􀆖即40÷20=2􀆔米􀆙秒􀆕。如果甲讓乙先跑6 秒􀆖則甲需要9 秒追上乙這一過程中追及時間是9 秒由上一過程的結(jié)論可求路程差􀆚2×9=18􀆔米這18

4、米就是乙先跑6 秒所跑過的路程所以可求出乙的速度是18÷6=3􀆔米 秒那么甲速可求。解答􀆔1􀆕甲、乙兩人的速度差􀆚40÷20=2􀆔米􀆙秒􀆕􀆔2􀆕乙速􀆚2×9÷6=3􀆔米􀆙秒􀆕甲速􀆚3+2=5􀆔米􀆙秒􀆕 例2學校組織學生步行去野外實習􀆖每

5、分鐘走80 米􀆖出發(fā)9 分鐘后􀆖班長發(fā)現(xiàn)有重要東西還在學校􀆖就以原速度返回􀆖找到東西再出發(fā)時發(fā)現(xiàn)又耽擱了18 分鐘􀆖為了在到達目的地之前趕上隊伍他改騎自行車􀆖速度為260 米􀆙分􀆖當他追上學生隊伍時距目的地還有120 米。求走完全程學生隊伍步行需多長時間思路剖析此題中的追及問題發(fā)生在班長返回后􀆖從學校出發(fā)追學生隊伍􀆖此時學生隊伍已走出一段距離。這段距離即路程差。由路程=速度×時間􀆖學生行走

6、速度已知學生先走的時間􀆚9+9+18=36􀆔分鐘􀆕􀆖因為以原速返回􀆖則返回學校這段路程所用時間也是9 分鐘?？汕舐烦滩?80×36=2880􀆔米􀆕。由追及時間=路程差÷速度差􀆖可知班長用2880÷􀆔260-80􀆕=16􀆔分鐘􀆕追上學生隊伍。那么全程可求􀆖學生隊伍走這段路所用的時間易知。解答班長從學校出發(fā)時與學生隊伍的距離⣹

7、86;80×􀆔9+9+18􀆕=2880􀆔米􀆕追上學生隊伍所用的時間􀆚2880÷􀆔260-80􀆕=16􀆔分鐘􀆕從學校到實習目的地全程􀆚260×16+120=4280􀆔米􀆕學生隊伍行走所需時間􀆚4280÷80=53.5􀆔分鐘􀆕 例3甲、乙、丙三人從同一地點A 地前往B 地􀆖甲

8、、乙二人早上8 點一起從A地出發(fā)􀆖甲每小時走6 千米􀆖乙每小時走4 千米􀆖丙上午11 點才從A 地出發(fā)。晚上8 點􀆖甲、丙同時到達B 地。求􀆚丙在幾點鐘追上了乙􀆜此題看起來很復雜􀆖實際上只含有一個丙追乙這一個追及關系。我們先將這個追及關系放在一邊。首先看由甲和丙同時到達這個條件可以求出哪些關于這個追及問題可以利用的結(jié)論。甲在早8 點出發(fā)􀆖晚8 點到達􀆖而且甲速已知􀆖那A、B間距離可知􀆚6×

9、12=72􀆔千米􀆕􀆖而丙走這段路所用時間比甲少3 小時􀆖那么可知丙速為􀆚72÷􀆔12-3􀆕=8􀆔千米/小時􀆕。在丙從A 地出發(fā)時􀆖乙已經(jīng)先走了3小時􀆖可知路程差􀆚4×3=12􀆔千米􀆕􀆖那么追及問題中速度差、路程差可知追及時間易求。解答A、B 兩地間距離􀆚6×12=72⣹

10、80;千米􀆕丙的速度􀆚726􀆔12􀆗3􀆕=8􀆔千米􀆙小時􀆕丙追上乙的追及時間􀆚4×􀆔11-8􀆕÷􀆔8-4􀆕=3􀆔小時􀆕11+3=14􀆔點􀆕即下午2 點當題的表述很復雜􀆖一時找不到解題關鍵時􀆖可先由題中已有的條件求出可以得到的結(jié)論h

11、8982;然后再尋找解題的出路。例4甲、乙二人在操場的400 米跑道上練習競走􀆖兩人同時出發(fā)􀆖出發(fā)時乙在前􀆖甲在后􀆖出發(fā)后8 分鐘甲、乙第一次相遇􀆖出發(fā)后的24 分鐘時甲、乙第二次相遇。假設兩人的速度保持不變􀆖你知道出發(fā)時乙在甲前多少米嗎􀆜題目中包含有兩個追及問題。第一個追及問題發(fā)生在從出發(fā)到甲追上乙􀆖即兩人第一次相遇􀆖在這個過程中追及時間為8 分鐘􀆖其他兩個量都沒有給出。在第二個追及問題中應注意到環(huán)形跑道的特殊性&

12、#1048982;即當兩人同時出發(fā)到再次相遇􀆖速度快的人比速度慢的人多走了一圈􀆖因此路程差為400 米􀆖追及時間為24-8􀆕分鐘。則速度差可求􀆖再把這個速度差代回到第一個問題中􀆖則可求出第一個追及問題中的路程差。解答甲、乙的速度差􀆚400÷􀆔24-8􀆕=25􀆔米􀆙分鐘􀆕甲、乙開始時相距􀆚25×8=200􀆔米􀆕

13、答􀆚出發(fā)時乙在甲前200 米。在環(huán)形跑道中的追及問題􀆖路程差的計算不同于在直道上的追及問題􀆖它是與跑道周長的倍數(shù)相關的􀆖同一地點出發(fā)后的第一次相遇路程差是1 倍的跑道周長􀆖第二次相遇則為2 倍的跑道周長。例5一輛長為12 米的大客車以每秒8 米的速度由A 地開往B 地􀆖在距B 地4000米處遇見一個行人􀆖l 秒后大客車經(jīng)過這個行人。大客車到達B 地休息了10 分鐘后返回A 地􀆖途中追上這個行人。大客車從遇到行人到追上行人共用了多少分鐘􀆜

14、;思路剖析大客車在距B 地4000 米處遇見一個行人􀆖l 秒鐘后大客車經(jīng)過這個行人􀆖是一個相遇問題。由速度和=全程÷相遇時間􀆖可知客車與行人速度和􀆚12÷1=12􀆔米秒􀆕􀆖則行人速度可知􀆚12-8=4􀆔米􀆙秒􀆕􀆖當客車到達B 地10 分鐘后返回時􀆖再追上行人是一個追及問題。追及時間可求。大客車從第一次遇到行人到第二次追上行人的時間可分為3 段&

15、#1048986;一段是從距B 地4000 米處到B 地􀆖一段是休息10分鐘􀆖一段是追及時間。解答行人的速度􀆚12÷1-8=4􀆔米􀆙秒􀆕大客車行駛4000 米需時間􀆚4000÷8=500􀆔秒􀆕10 分鐘相當于60×10=600􀆔秒􀆕大客車從B 地出發(fā)􀆖大客車與行人的路程差􀆚4000+4×􀆔500+600&#

16、1048981;=8400􀆔米􀆕大客車追上行人所需時間􀆚8400÷􀆔8-4􀆕=2100􀆔秒􀆕故大客車從遇到行人到追上行人共需􀆚500+600+2100=3200􀆔秒􀆕=53 分鐘20 秒。此題中的整個過程綜合了相遇問題和追及問題􀆖要注意不同的問題選用不同的公式。此題目還要注意時間單位的換算。例6甲、乙兩車同時同地出發(fā)去同一地點􀆖甲車速度為42 千米􀆙小時

17、􀆖乙車速度為35 千米􀆙小時。途中甲車停車5 小時􀆖結(jié)果甲車比乙車遲1 小時到達目的地􀆖求兩地間的距離􀆜此題也可被看做是追及問題􀆖甲車在中途停留5 小時􀆖比乙車遲1 小時到達。說明走這段路程甲車比乙車少用5-l=4􀆔小時􀆕。因為甲車的車速比乙車快42-35=7千米􀆙小時􀆕􀆖那么將此題轉(zhuǎn)化為追及問題的形式為􀆖乙車先開出4 小時􀆖然后甲車開出

18、48982;甲、乙兩車同時到達目的地。路程差􀆚35×4=140􀆔千米􀆕􀆖速度差為7 千米􀆙小時􀆖因此追及時間可求􀆖即140÷7=20􀆔小時􀆕􀆖也是甲車行駛完全程所需的時間。則兩地間的距離可求。解答追及路程􀆚35×􀆔5-1􀆕=140􀆔千米􀆕追及時間􀆚140÷𙧂

19、0;42-35􀆕=20􀆔小時􀆕兩地之間的距離􀆚42×20=840 千米􀆕此題目求解的關鍵是將題目中的條件轉(zhuǎn)化成追及問題來考慮。由時間差進而確定路程差之后􀆖問題就容易解決了。發(fā)散思維訓練l􀆘在一條長400 米的環(huán)形跑道上􀆖正在進行一場5000 米的長跑比賽。1 號隊員的平均跑步速度是每秒6 米􀆖2 號隊員平均每分鐘跑0􀆘8 圈。當1 號隊員與2號隊員在比賽開始一段時間后又并肩而跑的時候􀆖l

20、號隊員距離終點還有多遠􀆜2􀆘小美以每秒2 米的速度沿著鐵路晨跑。這時從后面開來一列客車?？蛙嚱?jīng)過她的身邊共用了10 秒。已知這列客車車身長130 米􀆖求客車的速度是多少􀆜3􀆘快車車速19 米􀆙秒􀆖慢車車速15 米􀆙秒?，F(xiàn)有慢車、快車同方向齊頭行進􀆖20 秒后快車超過慢車􀆖首尾分離。如兩車車尾相齊行進􀆖則15 秒后快車超過慢車􀆖求兩列火車的車身長。4􀆘甲、乙、丙三人

21、從同一地點出發(fā)􀆖沿同一路線追趕前面的小舟􀆖這時三人分別用5 分鐘、8 分鐘、10 分鐘追上小舟。已知甲每小時走36 千米􀆖乙每小時走30 千米。求丙的速度􀆜5􀆘甲、乙兩城間的鐵路長360 千米􀆖快車從甲城、慢車從乙城同時相向開出􀆖3小時相遇。如果兩車從兩城同時同向出發(fā)􀆖慢車在前􀆖快車在后􀆖12 小時快車可以追上慢車􀆖求兩車的速度各是多少􀆜56􀆘有甲、乙兩列火車&#

22、1048982;甲車車長115 米􀆖每秒鐘行駛27 米􀆖乙車車長130 米􀆖每秒鐘行駛32 米。從甲車追及乙車到兩車離開􀆖共需多長時間􀆜7􀆘環(huán)形跑道一圈長為400 米􀆖甲、乙兩人同時從同一起跑線沿跑道同向而行􀆖甲每分鐘走120 米􀆖乙每分鐘走100 米。問􀆔l􀆕甲第一次追上乙時􀆖兩人各走了多少米􀆜􀆔2􀆕甲第二次追上乙時h

23、8982;在起跑線前多少米􀆜􀆔3􀆕甲第二次追上乙時􀆖兩人各走了多少圈􀆜8􀆘一架飛機從機場出發(fā)到某地執(zhí)行任務􀆖原計劃每分鐘飛行8 千米。為了爭取時間􀆖現(xiàn)將飛行速度提高到每分鐘12 千米􀆖結(jié)果比計劃早到了40 分鐘。問機場與目的地相距多遠􀆜9􀆘甲、乙、丙三人􀆖甲每分鐘走30 米􀆖乙每分鐘走25 米􀆖丙每分鐘走27 米􀆖甲、乙從A 鎮(zhèn)

24、、丙從B 鎮(zhèn)􀆖同時相對出發(fā)􀆖丙遇到甲后􀆖10 分鐘后再遇到乙􀆖求A、B 兩鎮(zhèn)的距離􀆜10􀆘一架敵機侵犯我國領空􀆖我機立即起飛迎擊􀆖在兩機相距50 千米時􀆖敵機調(diào)轉(zhuǎn)機頭􀆖以每分鐘15 千米的速度逃跑。我機以每分鐘23 千米的速度追擊􀆖當追至距敵機2 千米時􀆖我機與敵機展開激戰(zhàn)􀆖僅用半分鐘就將敵機擊落。敵機從逃跑到被我機殲滅這段時間共用幾分鐘􀆜1、追

25、及問題中運用“速度差”6【例題1】甲、乙兩地相距100 千米􀆖一輛汽車和一臺拖拉機都從甲開往乙地􀆖汽車出發(fā)時􀆖拖拉機已開出15 千米;當汽車到達乙地時􀆖拖拉機距乙地還有10 千米。那么汽車是在距乙地多少千米處追上拖拉機的?A.60 千米 B.50 千米 C.40 千米 D.30 千米【答案】C。【解析】常規(guī)解法􀆚汽車和拖拉機的速度比為100􀆚(100-15-10)=4􀆚3􀆖設追上時經(jīng)過了t 小時􀆖設􀆖速度每份為x,那么汽車速度為4x,拖拉機速度則為3x􀆖則3xt+15=4xt􀆖即(4x-3x)t=15 得出xt=15􀆖既汽車是經(jīng)過4xt=60 千米追上拖拉機􀆖這時汽車距乙地100-60=40 千米。利用“速度差”􀆚追上拖拉機前追擊距離為15 千米􀆖追上后追擊距離為10千米􀆖