高考數(shù)學(xué)易錯點點睛與突破【專題07】不等式解析版

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5【20xx高考預(yù)測】1.一元二次不等式是最常見的不等式，其解集取決于它作為方程的兩個根，因此首先要判斷方程是否有根，也就是要判斷其判別式的正負(fù)在解不等式前還應(yīng)把它化成二次項系數(shù)為正值的情況，在這種情況下寫出的解集不易出錯2與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題一般要與二次函數(shù)的圖象聯(lián)系起來進行求解通常需要考慮的是：二次函數(shù)的開口方向，判別式與0的大小關(guān)系等有區(qū)間限制的恒成立問題還需要考慮區(qū)間端點的取值與對稱軸的取值等3一元二次不等式ax2bxc>0(或<0)(a0，b24ac>0)，如果a與ax2bxc同號，則其解集在兩根之外；如果a與ax2bxc

2、異號，則其解集在兩根之間簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間即x<x1或x>x2(xx1)(xx2)>0(x1<x2)；x1<x<x2(xx1)(xx2)<0(x1<x2)4解分式不等式首先要把不等式的一端通過移項等變換化成一端為0的情況，再轉(zhuǎn)換為整式不等式來解需要注意含有等號的分式不等式的變換：0f(x)·g(x)>0或f(x)0；0f(x)·g(x)<0或f(x)0.6當(dāng)高次不等式在進行因式分解出現(xiàn)有些因式是冪指數(shù)形式即m(xx1)a1(xx2)a2(xxn)an>0(或<0)時，我們在標(biāo)根時需要看冪

3、值的奇、偶當(dāng)冪值為奇數(shù)時，我們?nèi)匀话?次冪進行穿軸，當(dāng)冪值是偶數(shù)時，不穿軸，故得口訣“奇穿偶不穿”7線性規(guī)劃實質(zhì)上是數(shù)形結(jié)合思想的一種具體體現(xiàn)，即將最值問題直觀、簡便地尋找出來它還是一種較為簡捷的求最值的方法，具體步驟如下：(1)根據(jù)題意設(shè)出變量，建立目標(biāo)函數(shù)；(2)列出約束條件；(3)借助圖形確定函數(shù)最值的取值位置，并求出最值；(4)從實際問題的角度審查最值，進而作答8幾個重要不等式(1)|a|0，a20(ar)(2)a2b22ab(a，br)(3)(a，br)(4)ab2(a，br)(5) (a，br)9利用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理求函數(shù)的最大值、最小值(1)已知x，yr，如果積xy是定

4、值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時，和xy有最小值2；(2)已知x，yr，如果和xy是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時，積xy有最大值s2.10函數(shù)yax(a>0，b>0)的性質(zhì)(1)yax(a，br)在(， 和 ，)上為增函數(shù)，在 ，0)和(0, 上為減函數(shù) (2)求函數(shù)yax(a，br，x(0，c)的最小值時應(yīng)注意：若c ，則當(dāng)且僅當(dāng)x 時，y有最小值2；若c< ，則當(dāng)且僅當(dāng)xc時，y有最小值ac.12不等式的應(yīng)用主要涉及以下三個方面：(1)建立函數(shù)關(guān)系，利用均值不等式求最值根據(jù)題設(shè)條件建立函數(shù)關(guān)系式，并創(chuàng)建均值不等式的應(yīng)用背景在應(yīng)用均值不等式求最值時要注意的是“一正、二定、三等”，即求

5、和(積)的最小值(最大值)時，必須使其積(和)為定值，并且要注意各項是否為正，等號成立的條件是否滿足(即各項是否能相等)【難點突破】難點1 不等式的概念與性質(zhì)1下列命題正確的是 ( )2已知a=sin15.+cos15.,b=sin16.,則下列各式中正確的是 ( )難點2不等式的解法1關(guān)于x的不等式x|x-a|2a2(a(-,0)的解集為 ( )a.-a,+ b.a,+ c.2a,a -a+ d.(- ,a)2.函數(shù)y=f(x)是圓心在原點的單位圓的兩段圓弧(如圖，與y軸無交點)，則不等式f(x)<f(-x)+x的解集為 ( )3函數(shù)則使g(x) f(x)的x的取值范圍是4.解關(guān)于x的

6、不等式難點3 不等式的證明1已知定義域為0，1的函數(shù)f(x)同時滿足：(1)對于任意x0,1總有f(x) 0;(2)f(1)=1;(3)若x10,x20,x1+xz1,則有f(x1+x2) f(x1)+f(x2).()試求f(0)的值；()試求函數(shù)f(x)的最大值；()試證明：當(dāng)x (3)若不等式難點4 不等式的工具性1若直線2ax-by+2=0(a、b>0)始終平分圓x2+y2+2x-4y+1=0的周長，則的最小值是 ( )a.4 b.2 c. d.2.已知函數(shù)f(x)=ax2+8x+3(a<0),對于給定的負(fù)數(shù)a有一個最大的正數(shù)l(a),使得在整個區(qū)間0,l(a)上，不等式|f

7、(x)| 5恒成立，則l(a)的最大值是( ).3.設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>b>c),已知f(1)=0,且存實數(shù)m,使f(m)=-a.試推斷f(x)在區(qū)間0，+上是否為單調(diào)函數(shù)，并說明你的理由；設(shè)g(x)=f(x)+bx,對于x1，x2r,且x1x2,若g(x1)=g(x2)=0,求|x1-x2|的取值范圍；求證：f(m+3)>0.難點5 不等式的實際應(yīng)用某機關(guān)在“精簡人員”中，對部分人員實行分流，規(guī)定分流人員在第一年可到原單位領(lǐng)取工資的100%，從第二年起，以后每年只能在原單位按上一年的領(lǐng)取工資，該機關(guān)根據(jù)分流人員的特長計劃創(chuàng)辦新的經(jīng)濟實體，該機關(guān)根據(jù)分流

8、人員的特長計劃創(chuàng)辦新的經(jīng)濟實體，該經(jīng)濟實體預(yù)計第一年屬投資階段，沒有利潤，第二年每人可獲b元收入，從第三年起每人每年的收入可在上一年基礎(chǔ)上遞增50%，若某人在分流前工資收入每年為a元，分流后第n年總收入為an元.(1)求an;(2)當(dāng) 【易錯點點睛】易錯點1 不等式的概念與性質(zhì) 1如果a、b、c滿足c<b<a，且ac<0，那么下列選項中不一定成立的是 ( ) aab>ac bc(b-a)>0 ccb2<ab2 ddc(a-c)<02若，則下列不等式a+b>ab;|a|>|b|；a<b中，正確的不等式有 ( )a1個 b2個c3個 d4

9、個3對于0<a<1，給出下列四個不等式 loga(1+o)<loga(1+) 1oga(1+o)>loga(1+) a1+a<a a1+a>a 其中成立的是 ( ) a.與 b與 c.與 d與4已知實數(shù)a、b滿足等式，下列五個關(guān)系式0<b<a a<b<0 0<a<b b<a<0 a=b 其中不可能成立的關(guān)系式有 ( ) a1個 b2個 c3個 d4個【舉一反三】 1 若，|a|>，|b|>0，且ab>0，則下列不等式中能成立的是 ( ) a bc d 2已知a、b為不等正數(shù)，s<t<

10、;0，m=，n=，則m、n的大小關(guān)系是_.易錯點2均值不等式的應(yīng)用 1設(shè)a>，0，b>0，則以下不等式中不恒成立的是 ( )a bc d來源:2設(shè)x(0，)，則函數(shù)f(x)=sinx+的最小值是 ( ) a4 b5 c3 d63設(shè)a0，b0，a2+=1，求a 的最大值利用均值不等式解決實際問題、證明不等式時,要會利用函數(shù)的思想和放縮法.【舉一反三】 1 已知_.3.易錯點3 不等式的證明1.設(shè)函數(shù)()證明:當(dāng)0<a<b,且f(a)=f(b)時,ab>1;()點p(xo,yo)(0<xo<1)在曲線y=f(x)上,求曲線在點p處的切線與x軸和y軸的正向所

11、圍成的三角形面積表達式(用xo表示).2已知求證：來源:3設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,cr且a0),若函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=x和y=-x均無公共點?！咎貏e提醒】證明不等式，要掌握不等式的證明基本方法，如分析法、綜合法、放縮法、函數(shù)法、反證法、換元法等.對不等式與數(shù)列、函數(shù)方和程、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容的綜合證明題，難度較大，要結(jié)合性質(zhì)與不等式的基本證明方法相結(jié)合，靈活解題，也體現(xiàn)了不等式的工具性，是高考命題的趨勢?！九e一反三】 1已知函數(shù)(1)若f(x)在x=1和x=3處取得極值，試求b、c的值；(2)若f(x)在(-,x1)(x2,+ )上單調(diào)遞增且在(x1,x2)上單調(diào)遞減

12、，又滿足x2-x1>1.求證：b2>2(b+2c)；來源: (3)在(2)的條件下，若t<x1,試比較t2+bt+c與x1的大小，并加以證明。2已知數(shù)列問是否存在mn,使xm=2,并證明你的結(jié)論；試比較xn與2的大小關(guān)系；易錯點4 不等式的解法1在r上定義運算:xy=x(1-y),若不等式(x-a) (x+a)<1對任意實數(shù)x成立，則a的范圍是 ( )來源:2已知函數(shù)f(x) 求函數(shù)f(x)的解析式；設(shè)k>1,解關(guān)于x的不等式：3.設(shè)函數(shù)f(x)=kx+2,不等式|f(x)|<6的解集為(-1,2)試求不等式的log的解集。4設(shè)對于不大于 【舉一反三】 1關(guān)

13、于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+ ),則關(guān)于x的不等式的解集是( )a.(-,-1)(2,+ )b.(-1,2)c.(1,2)d(-,1) (2,+ )2.若3解不等式易錯點5 不等式的綜合應(yīng)用1已知函數(shù)f(x)=ax-( )求a的值；()設(shè)0<a 2.六·一節(jié)日期間，某商場兒童柜臺打出廣告：兒童商品按標(biāo)價的80%出售；同時，當(dāng)顧客在該商場內(nèi)消費滿一定金額后，按如下方案獲得相應(yīng)金額的獎券：（如表所示）消費金額（元）200，400400,500500,700700,900獲獎券的金額（元）3060100130依據(jù)上述方法，顧客可以獲得雙重優(yōu)惠.試問：若購買一件標(biāo)價為

14、1000元的商品，顧客得到的優(yōu)惠率是多少？對于標(biāo)價在500，800內(nèi)的商品，顧客購買標(biāo)價為多少元的商品，可得到不小于的優(yōu)惠率？【特別提醒】1應(yīng)用不等式的性質(zhì)與幾個重要不等式求出數(shù)的最值，比較大小，討論參數(shù)的范圍等，一定要注意成立的條件，易忽視“一正、二定、三等?！?運用不等式解決實際問題時，首先將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而運用不等式求最值，注意成立時的實際條件與不等式成立條件應(yīng)同時考慮?！九e一反三】 2 已知不等式x2-2x+a>0時，任意實數(shù)x恒成立，則不等式a2x+1<ax2+2x-3<1的解集是( )a.(1,2) b.c.(-2,2) d.(-3,-2)3.某

15、企業(yè)開發(fā)一種新產(chǎn)品，現(xiàn)準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費，對產(chǎn)品進行促銷，在一年內(nèi)，預(yù)計年銷量q(萬件)與廣告費x(萬元)之間的函數(shù)關(guān)系為q=已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為3萬元，每年產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需再投入32萬元，若銷售額為“年生產(chǎn)成本的150%”與“年廣告費的50%”之和，而當(dāng)年產(chǎn)銷量相等。試將年利潤p萬元表示為年廣告費x萬元的函數(shù)；當(dāng)年廣告費投入多少萬元時，企業(yè)年利潤最大？【20xx高考突破】 1不等式ax2bx20的解集是，則ab的值是()a10 b10 c14 d142函數(shù)yax32(a0，a1)的圖象恒過定點a，若點a在直線1上，且m0，n0，則3mn的最小值為()a13 b16c116 d28

16、3已知變量x，y滿足約束條件則z的取值范圍為()a1,2 b.c. d.4設(shè)x，y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)zaxby(a0，b0)的最大值為12，則的最小值為()a. b. c. d45若實數(shù)x，y滿足則z3x2y的最小值為()a0 b1 c. d96已知函數(shù)f(x)則不等式f(a24)f(3a)的解集為()a(2,6) b(1,4)c(1,4) d(3,5)7已知正項等比數(shù)列an滿足s817s4，若存在兩項am，an使得4a1，則的最小值為()a. b. c. d.mn3時，取得最小值.8定義區(qū)間(a，b)，a，b)，(a，b，a，b的長度均為dba，多個區(qū)間并集的長度為各區(qū)間長度之和，例如，(1,2)3,5)的長度d(21)(53)3.用x表示不超過x的最大整數(shù)，記xxx，其中xr.設(shè)f(x)x·x，g(x)x1，當(dāng)0xk時，不等式f(x)g(x)解集區(qū)間的長度為5，則k的值為()a6 b7 c8 d99設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z2xy的最小值為()