高考數(shù)學(xué)理科一輪【學(xué)案59】統(tǒng)計(jì)案例含答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5學(xué)案59統(tǒng)計(jì)案例導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.2.了解獨(dú)立性檢驗(yàn)(只要求2×2列聯(lián)表)的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用自主梳理1回歸分析(1)回歸直線一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回歸方程的截距和斜率的最小二乘估計(jì)分別為 _， _，其中_，_，_稱為樣本點(diǎn)的中心(2)相關(guān)系數(shù)rr；當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量_；當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量_r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性_；r的絕對(duì)值越接近于0時(shí)，表明兩個(gè)變量之間_通常，當(dāng)r的絕對(duì)值大于_時(shí)認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相

2、關(guān)關(guān)系2獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)列聯(lián)表：列出的兩個(gè)分類變量的_，稱為列聯(lián)表(2)2×2列聯(lián)表：假設(shè)有兩個(gè)分類變量x和y，它們的取值分別為x1，x2和y1，y2，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為2×2列聯(lián)表y1y2總計(jì)x1ababx2cdcd總計(jì)acbdabcd構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量k2_，其中n_為樣本容量(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)利用隨機(jī)變量_來判斷“兩個(gè)分類變量_”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)自我檢測(cè)1對(duì)有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量建立的回歸直線方程 x中，回歸系數(shù) ()a可以小于0 b小于0c能等于0 d只能等于02(20xx·天津模擬)下面是2×2列聯(lián)表：y1y2合

3、計(jì)x1a2173x2222547合計(jì)b46120則表中a，b的值分別為()a94,72 b52,50c52,74 d74,523如果有95%的把握說事件a和b有關(guān)系，那么具體計(jì)算出的數(shù)據(jù)()ak2>3.841 bk2<3.841ck2>6.635 dk2<6.6354(20xx·紹興月考)某高?！敖y(tǒng)計(jì)初步”課程的教師隨機(jī)調(diào)查了選該課的一些學(xué)生情況，具體數(shù)據(jù)如下表： 專業(yè)性別非統(tǒng)計(jì)專業(yè)統(tǒng)計(jì)專業(yè)男2620女1440則可判斷約有_的把握認(rèn)為“主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別之間有關(guān)系”.探究點(diǎn)一獨(dú)立性檢驗(yàn)例1(20xx·湛江模擬)利用統(tǒng)計(jì)變量k2的觀測(cè)值來判斷兩個(gè)分類變

4、量之間的關(guān)系的可信程度考察小麥種子經(jīng)滅菌與否跟發(fā)生黑穗病的關(guān)系，經(jīng)試驗(yàn)觀察，得到數(shù)據(jù)如下表所示種子滅菌種子未滅菌合計(jì)黑穗病26184210無黑穗病50200250合計(jì)76384460試按照原試驗(yàn)?zāi)康淖鹘y(tǒng)計(jì)分析推斷變式遷移1對(duì)196個(gè)接受心臟搭橋手術(shù)的病人和196個(gè)接受血管清障手術(shù)的病人進(jìn)行了3年的跟蹤研究，調(diào)查他們是否又發(fā)作過心臟病，調(diào)查結(jié)果如下表所示：又發(fā)作過心臟病未發(fā)作心臟病合計(jì)心臟搭橋手術(shù)39157196血管清障手術(shù)29167196合計(jì)68324392試根據(jù)上述數(shù)據(jù)比較這兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作心臟病的影響有沒有差別探究點(diǎn)二線性回歸分析例2一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)

5、間，為此進(jìn)行了10次試驗(yàn)，測(cè)得的數(shù)據(jù)如下：零件數(shù)x (個(gè))102030405060708090100加工時(shí)間y(分)626875818995102108115122(1)y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系？(2)如果y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程；(3)根據(jù)求出的回歸直線方程，預(yù)測(cè)加工200個(gè)零件所用的時(shí)間為多少？變式遷移2一臺(tái)機(jī)器使用時(shí)間較長，但還可以使用它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的某機(jī)械零件有一些會(huì)有缺點(diǎn)，每小時(shí)生產(chǎn)有缺點(diǎn)零件的多少，隨機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)的速度而變化，下表為抽樣試驗(yàn)結(jié)果：轉(zhuǎn)速x(轉(zhuǎn)/秒)1614128每小時(shí)生產(chǎn)有缺點(diǎn)的零件數(shù)y(件)11985(1)對(duì)變量y與x進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)；(2)如果y

6、與x有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程探究點(diǎn)三綜合應(yīng)用例3(20xx·遼寧)為了比較注射a，b兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做試驗(yàn)，將這200只家兔隨機(jī)地分成兩組，每組100只，其中一組注射藥物a，另一組注射藥物b.表1和表2分別是注射藥物a和藥物b后的試驗(yàn)結(jié)果(皰疹面積單位：mm2)表1：注射藥物a后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表皰疹面積60,65)65,70)70,75)75,80)頻數(shù)30402010表2：注射藥物b后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表皰疹面積60,65)65,70)70,75)75,80)80,85)頻數(shù)1025203015完成下面2×2列聯(lián)表，并回答能

7、否有99.9%的把握認(rèn)為“注射藥物a后的皰疹面積與注射藥物b后的皰疹面積有差異”表3：皰疹面積小于70 mm2皰疹面積不小于70 mm2合計(jì)注射藥物aab注射藥物bcd合計(jì)n附：k2.變式遷移3某市對(duì)該市一重點(diǎn)中學(xué)20xx年高考上線情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽查244名學(xué)生，得到如下表格：語文數(shù)學(xué)英語綜合科目上線不上線上線不上線上線不上線上線不上線總分上線201人17427178231762517526總分不上線43人3013232024192617總計(jì)20440201432004420143試求各科上線與總分上線之間的關(guān)系，并求出哪一科目與總分上線關(guān)系最大？1回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體，

8、而且一般都有時(shí)間性樣本的取值范圍一般不能超過回歸方程的適用范圍，否則沒有實(shí)用價(jià)值2利用圖形來判斷兩個(gè)變量之間是否有關(guān)系，可以畫出二維條形圖，但從圖形上只可以粗略地估計(jì)兩個(gè)分類變量的關(guān)系，還要結(jié)合所求的數(shù)值來進(jìn)行比較作圖應(yīng)注意單位統(tǒng)一、圖形準(zhǔn)確，但它不能給出我們兩個(gè)分類變量有關(guān)或無關(guān)的精確的可信程度，若要作出精確的判斷，可以作獨(dú)立性檢驗(yàn)的有關(guān)計(jì)算(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)，下列說法中錯(cuò)誤的是()ak2的值越大，說明兩事件相關(guān)程度越大bk2的值越小，說明兩事件相關(guān)程度越小ck23.841時(shí)，有95%的把握說事件a與b無關(guān)dk2>6.635時(shí)，有99%的

9、把握說事件a與b有關(guān)2下列說法中正確的有：若r>0，則x增大時(shí)，y也相應(yīng)增大；若r<0，則x增大時(shí)，y也相應(yīng)增大；若r1或r1，則x與y的關(guān)系完全對(duì)應(yīng)(有函數(shù)關(guān)系)，在散點(diǎn)圖上各個(gè)點(diǎn)均在一條直線上()a b c d3(20xx·天津漢沽一中月考)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對(duì)a、b兩變量的線性相關(guān)性作試驗(yàn)，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m115106124103則哪位同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)a、b兩變量更強(qiáng)的線性相關(guān)性？()a甲 b乙 c丙 d丁4下列命題中正確的個(gè)數(shù)為()線性相關(guān)系數(shù)r越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性

10、越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱；殘差平方和越小的模型，模型擬合的效果越好；用相關(guān)指數(shù)r2來刻畫回歸效果，r2越小，說明模型的擬合效果越好a1 b2 c3 d05(20xx·濟(jì)南模擬)有兩個(gè)分類變量x，y，它們的值域分別為x1，x2和y1，y2，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表如下：y1y2總計(jì)x113218150x211436150總計(jì)24654300則兩個(gè)分類變量x和y有關(guān)系的可信度為()a95% b97.5%c99% d99.5%二、填空題(每小題4分，共12分)6為了判斷高中三年級(jí)學(xué)生是否選修文科與性別有關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表：理科文科男1310女720已知p(

11、k23.841)0.05，p(k25.024)0.025.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到k24.844.則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性為_7(20xx·銀川模擬)下列說法：將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差恒不變；設(shè)有一個(gè)回歸方程 35x，變量x增加一個(gè)單位時(shí)，y平均增加5個(gè)單位；線性回歸方程 x 必過點(diǎn)(，)；曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間具有相關(guān)關(guān)系；在一個(gè)2×2列聯(lián)表中，由計(jì)算得k213.079，則其兩個(gè)變量間有關(guān)系的可能性是90%.其中錯(cuò)誤的命題是_8若兩個(gè)分類變量x和y的列聯(lián)表為：y1y2x1515x24010則x與y之間有關(guān)系的概率約為_三、解答題(共

12、38分)9(12分)在一次飛機(jī)航程中調(diào)查男女乘客的暈機(jī)情況，其2×2列聯(lián)表如下，試判斷暈機(jī)與性別是否有關(guān)？暈機(jī)不暈機(jī)合計(jì)男107080女102030合計(jì)209011010(12分)(20xx·武漢模擬)為了考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，得到如下的列聯(lián)表患病未患病總計(jì)服用藥104555沒服用藥203050總計(jì)3075105請(qǐng)問能有多大把握認(rèn)為藥物有效？11(14分)(20xx·全國)為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下： 性別是否需要志愿者男女需要4030不需要160270(1)估計(jì)該地區(qū)老年

13、人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例(2)能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？(3)根據(jù)(2)的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查方法來估計(jì)該地區(qū)的老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說明理由k2學(xué)案59統(tǒng)計(jì)案例自主梳理1(1)xiyi(，)(2)正相關(guān)負(fù)相關(guān)相關(guān)性越強(qiáng)幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系0.752.(1)頻數(shù)表(2)abcd(3)k2有關(guān)系自我檢測(cè)1a 0時(shí)，得r0，這時(shí)不具有線性相關(guān)關(guān)系，但 能大于0，也能小于0.2ca2173，a52.又a22b，b74.3a比較k2的值和臨界值的大小，有95%的把握則k2>3.841，k2>6.635約有

14、99%的把握499.5%解析因?yàn)閗29.689>7.879，所以有99.5%的把握認(rèn)為“主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別之間有關(guān)系”課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引利用已知條件來判斷兩個(gè)分類變量是否具有關(guān)系，可以先假設(shè)兩個(gè)變量之間有關(guān)系，再計(jì)算k2的值，k2的值越大說明兩個(gè)變量間有關(guān)系的可能性越大，再參考臨界值，從而判斷兩個(gè)變量有關(guān)系的可信程度解由列聯(lián)表知：a26，b184，c50，d200.ab210，cd250，ac76，bd384，nabcd460.k24.804.k24.804>3.841.有95%的把握認(rèn)為種子滅菌與否與小麥發(fā)生黑穗病是有關(guān)系的變式遷移1解假設(shè)做過心臟搭橋手術(shù)與又發(fā)作心臟病沒有關(guān)

15、系由于a39，b157，c29，d167，ab196，cd196，ac68，bd324，n392，由公式可得k2的觀測(cè)值為k1.78，因?yàn)閗1.78<2.706，所以我們沒有理由說心臟搭橋手術(shù)與又發(fā)作心臟病有關(guān)系例2解題導(dǎo)引這是一個(gè)回歸分析問題，應(yīng)先進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)或作散點(diǎn)圖來判斷x與y是否線性相關(guān)，如果線性相關(guān)，才可以求解后面的問題，否則就使得求回歸直線方程沒有意義，要作相關(guān)性檢驗(yàn)，應(yīng)先利用r求出樣本相關(guān)系數(shù)r.利用當(dāng)r>0時(shí)，兩個(gè)變量正相關(guān)，當(dāng)r<0時(shí)，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，r的絕對(duì)值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相

16、關(guān)關(guān)系，通常當(dāng)|r|大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，因而求回歸直線方程才有意義解(1)列出下表i12345678910xi102030405060708090100yi626875818995102108115122xiyi6201360225032404450570071408640103501220055，91.7，x38 500，y87 777，xiyi55 950，因此r0.999 8，由于r0.999 8>0.75，因此x與y之間有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系(2)設(shè)所求的回歸直線方程為x 則有 0.668. 91.70.668×5554.96.因此，所求的回

17、歸直線方程為 0.668x54.96.(3)當(dāng)x200時(shí)，y的估計(jì)值為 0.668×20054.96188.56189，因此，加工200個(gè)零件所用的工時(shí)約為189分變式遷移2解(1)12.5，8.25，xiyi438,4 412.5，x660，y291，所以r0.995 3.因?yàn)閞>0.75，所以y與x有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系(2)由(1)知：0.7286， 0.8575.回歸直線方程為0.728 6x0.857 5.例3解題導(dǎo)引分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)是建立在2×2列聯(lián)表基礎(chǔ)之上的，因而根據(jù)題目提示的分類標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)2×2列聯(lián)表是獨(dú)立性檢驗(yàn)的關(guān)鍵所在解列聯(lián)表如下：皰疹

18、面積小于70 mm2皰疹面積不小于70 mm2合計(jì)注射藥物aa70b30100注射藥物bc35d65100合計(jì)10595n200k224.56.由于k2>10.828，所以有99.9%的把握認(rèn)為“注射藥物a后的皰疹面積與注射藥物b后的皰疹面積有差異”變式遷移3解對(duì)于上述四個(gè)科目，分別構(gòu)造四個(gè)隨機(jī)變量k，k，k，k.由表中數(shù)據(jù)可以得到語文：k17.294>6.635，數(shù)學(xué)：k230.008>10.828，英語：k324.155>10.828，綜合科目：k417.264>10.828，所以，有99%的把握認(rèn)為語文上線與總分上線有關(guān)系，有99.9%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)、英語、

19、綜合科目上線與總分上線有關(guān)系，數(shù)學(xué)上線與總分上線關(guān)系最大課后練習(xí)區(qū)1c在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，隨機(jī)變量k2的取值大小可說明兩個(gè)變量關(guān)系的程度一般地隨機(jī)變量k2的值越大，兩變量的相關(guān)程度越大，反之就越小k2>6.635說明有99%的把握認(rèn)為二者有關(guān)系2c若r>0，表示兩個(gè)相關(guān)變量正相關(guān)，x增大時(shí)，y也相應(yīng)增大，故正確r<0，表示兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，x增大時(shí)，y相應(yīng)減小，故錯(cuò)誤|r|越接近1，表示兩個(gè)變量相關(guān)性越高，|r|1表示兩個(gè)變量有確定的關(guān)系(即函數(shù)關(guān)系)，故正確3d因?yàn)閞>0且丁最接近1，殘差平方和最小，所以丁相關(guān)性最高4ar有正負(fù)，應(yīng)為|r|越大，相關(guān)性越強(qiáng)；正確；r2越大，擬合效果越好5c由公式得k27.317，因?yàn)?.317>6.