初中數(shù)學競賽精品標準教程及練習50：基本對稱式

1、初中數(shù)學競賽精品標準教程及練習（50）基本對稱式一、內(nèi)容提要1. 上一講介紹了對稱式和輪換式的定義和性質(zhì).形如x+y和xy是兩個變量x,y的基本對稱式.2. 含兩個變量的所有對稱式，都可以用相同變量的基本對稱式來表示.例如x2+y2, x3+y3, (2x5)(2y5), ，都是含兩個變量的對稱式，它們都可以用相同變量x,y的基本對稱式來表示：x2+y2（x+y）22xy， x3+y3（x+y）33xy(x+y)，(2x5)(2y5)4xy10(x+y)+25,=, =.3. 設(shè)x+y=m, xy=n.則x2+y2（x+y）22xym22n；x3+y3（x+y）33xy(x+y)=m33mn；

2、x4+y4（x2+y2）22x2y2m44m2n+2n2；x5+y5（x2+y2）(x3+y3)x2y2(x+y)=m55m3n+5mn2； 一般地，xn+yn(n為正整數(shù))用基本對稱式表示可建立遞推公式：xk+1+yk+1=( xk+yk)(x+y)xy(xk1+yk1)(k 為正整數(shù)).4. 含x,y的對稱式，x+y, xy這三個代數(shù)式之間，任意知道兩式，可求第三式.二、例題例1. 已知x=(+1), y= 求下列代數(shù)式的值：x3+x2y+xy2+y3 ； x2 (2y+3)+y2(2x+3).解：含兩個變量的對稱式都可以用相同變量的基本對稱式來表示.先求出x+y=, xy=.x3+x2y

3、+xy2+y3 （x+y）32xy(x+y)=()32×=2；x2 (2y+3)+y2(2x+3)2x2y+3x2+2xy2+3y2=3(x2+y2)+2xy(x+y)=3（x+y）22xy+2xy(x+y)1 / 4=3（）2×6.例2. 解方程組分析：可由x3+y3, x+y 求出xy，再由基本對稱式，求兩個變量x和y.解：x3+y3,（x+y）33xy(x+y) 把和代入，得355315xy.xy=6.解方程組得或.例3. 化簡.解：設(shè)x, =y.那么x3+y3=40, xy=2. x3+y3（x+y）33xy(x+y)，40（x+y）36（xy）.設(shè)x+y=u, 得

4、u36u40=0 . (u4)(u2+4u+10)=0. u2+4u+10=0 沒有實數(shù)根，u40, u4 . x+y=4. 即4.例4. a取什么值時，方程x2ax+a2=0的兩根差的絕對值最小？其最小值是什么？解：設(shè)方程兩根為x1,x2 . 根據(jù)韋達定理，得 ，當a=2時，有最小值是2.三、練習501.已知 xy=a, xy=b.則x2+y2=_ ； x3y3=_.2.若x+y=1, x2+y2=2.則x3+y3=_；x5+y5=_.3.如果x+y=2k, xy=4, . 則k=_.4. 已知x+=4, 那么x=_， =.5. 若.a,那么x+=_,=.6. 已知：a=, b=.求：7a2+11ab+7b2 ； a3+b3a2b23ab+1.7. 已知8，則.8. 已知a2+a1=0 則a3=.9. 已知一元二次方程的兩個根的平方和等于5，兩根積是2，則這個方程可寫成為：.10. 化簡：；.11. 已知：，是方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個根.求證：2（b+c）+2(b+c)=.三、練習50參考答案：1. a2+2b, a3+3ab 2. 2.5, 4.75 3. ±4.2或2，14，52 5.a22, a44a2+26. 109