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文檔簡介
1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.58.5 軌跡問題知識梳理本節(jié)主要內(nèi)容是軌跡的概念及軌跡方程的求法.求軌跡方程常用的方法:(1)結(jié)合解析幾何中某種曲線的定義,從定義出發(fā)尋找解決問題的方法;(2)利用幾何性質(zhì),若所求的軌跡與圖形的性質(zhì)相關(guān),往往利用三角形或圓的性質(zhì)來解問題;(3)如果點p的運動軌跡或所在曲線已知,又點q與點p之間的坐標(biāo)可以建立某種關(guān)系,則借助點p的軌跡可以得到點q的軌跡;(4)參數(shù)法.點擊雙基1.動點p到直線x=1的距離與它到點a(4,0)的距離之比為2,則p點的軌跡是a.中心在原點的橢圓b.中心在(5,0)的橢圓c.中心在原點的雙曲線d.中心在(5,0)的雙曲線解析:直接法.答
2、案:b2.(2005年春季北京,6)已知雙曲線的兩個焦點為f1(,0)、f2(,0),p是此雙曲線上的一點,且pf1pf2,|pf1|·|pf2|=2,則該雙曲線的方程是a.=1 b.=1c.y2=1 d.x2=1解析:設(shè)雙曲線的方程為=1.由題意|pf1|pf2|=2a,|pf1|2+|pf2|2=(2)2.又|pf1|·|pf2|=2,a=2,b=1.故雙曲線方程為y2=1.答案:c3.已知a(0,7)、b(0,7)、c(12,2),以c為一個焦點作過a、b的橢圓,橢圓的另一個焦點f的軌跡方程是a.y21(y1) b.y21c.y21 d.x21解析:由題意ac13,b
3、c15,ab14,又afacbfbc,afbfbcac2.故f點的軌跡是以a、b為焦點,實軸長為2的雙曲線下支.又c=7,a=1,b248,所以軌跡方程為y21(y1).答案:a4.f1、f2為橢圓+=1的左、右焦點,a為橢圓上任一點,過焦點f1向f1af2的外角平分線作垂線,垂足為d,則點d的軌跡方程是_.解析:延長f1d與f2a交于b,連結(jié)do,可知do=f2b=2,動點d的軌跡方程為x2+y2=4.答案:x2+y2=45.已知abc中,b(1,0)、c(5,0),點a在x軸上方移動,且tanb+tanc=3,則 abc的重心g的軌跡方程為_.解析:設(shè)a(x0,y0),tanb+tanc=
4、3,=3,點a的軌跡方程為y0=(x026x0+5)(x01且x05).若 g(x,y)為abc的重心,則由重心坐標(biāo)公式:x=,y=,x0=3x6,且y0=3y.代入a點軌跡方程得g的軌跡方程為y1=(x3)2(x且x).答案:y1=(x3)2(x且x)典例剖析【例1】 在pmn中,tanpmn=,tanmnp=2,且pmn的面積為1,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求以m、n為焦點,且過點p的橢圓的方程.剖析:如上圖,以直線mn為x軸,線段mn的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則所求橢圓方程為+=1.顯然a2、b2是未知數(shù),但a2、b2與已知條件沒有直接聯(lián)系,因此應(yīng)尋找與已知條件和諧統(tǒng)一的未知元,或
5、改造已知條件.解法一:如上圖,過p作pqmn,垂足為q,令|pq|=m,于是可得|mq|=|pq|cotpmq=2m,|qn|=|pq|cotpnq=m.|mn|=|mq|nq|=2mm=m.于是spmn=|mn|·|pq|=·m·m=1.因而m=,|mq|=2,|nq|=,|mn|=.|mp|=,|np|=.以mn的中點為原點,mn所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)橢圓方程為+=1(ab0).則2a=|mp|+|np|=,2c=|mn|=,故所求橢圓方程為+=1.解法二:設(shè)m(c,0)、n(c,0),p(x,y),y0, =,則=2,y·c=1,解之,得
6、x=,y=,c=.設(shè)橢圓方程為b2x2+a2y2=a2b2,則b2·()2+a2()2=a2b2,a2b2=,解之,得a2=,b2=3.(以下略)評述:解法一選擇了與a較接近的未知元|pm|、|pn|,但需改造已知條件,以便利用正弦定理和面積公式;解法二以條件為主,選擇了與條件聯(lián)系最直接的未知元x、y、c.本題解法較多,但最能體現(xiàn)方程思想方法的、學(xué)生易于理解和接受的是這兩種解法.深化拓展 若把pmn的面積為1改為·=,求橢圓方程.提示:由tanpmn=,tanmnp=2,易得sinmpn=,cosmpn=.由·=,得|=.易求得|pm|=,|pn|=.進而求得橢圓
7、方程為+=1.【例2】 (2004年福建,22)如下圖,p是拋物線c:y=x2上一點,直線l過點p且與拋物線c交于另一點q.若直線l與過點p的切線垂直,求線段pq中點m的軌跡方程.剖析:欲求pq中點m的軌跡方程,需知p、q的坐標(biāo).思路一,p、q是直線l與拋物線c的交點,故需求直線l的方程,再與拋物線c的方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理、中點坐標(biāo)公式可求得m的軌跡方程;思路二,設(shè)出p、q的坐標(biāo),利用p、q的坐標(biāo)滿足拋物線c的方程,代入拋物線c的方程相減得pq的斜率,利用pq的斜率就是l的斜率,可求得m的軌跡方程.解:設(shè)p(x1,y1)、q(x2,y2)、m(x0,y0),依題意知x10,y1>0,y
8、2>0.由y=x2, 得y=x.過點p的切線的斜率k切=x1,直線l的斜率kl=,直線l的方程為yx12=(xx1). 方法一:聯(lián)立消去y,得x2+xx122=0.m為pq的中點, x0=,y0=x12(x0x1). 消去x1,得y0=x02+1(x00),pq中點m的軌跡方程為y=x2+1(x0).方法二:由y1=x12,y2=x22,x0=,得y1y2=x12x22=(x1+x2)(x1x2)=x0(x1x2),則x0=kl=,x1=.將上式代入并整理,得y0=x02+1(x00),pq中點m的軌跡方程為y=x2+1(x0).評述:本題主要考查了直線、拋物線的基礎(chǔ)知識,以及求軌跡方程
9、的常用方法.本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率以及靈活運用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題.深化拓展 當(dāng)點p在拋物線c上移動時,求點m到x軸的最短距離.提示:x0,x2>0,y=x2+12+1=+1,當(dāng)且僅當(dāng)x2=,x=±時等號成立,即點m到x軸的最短距離為+1.【例3】 (2000年春季全國)已知拋物線y24px(p0),o為頂點,a、b為拋物線上的兩動點,且滿足oaob,如果omab于m點,求點m的軌跡方程.剖析:點m是om與ab的交點,點m隨著a、b兩點的變化而變化,而a、b為拋物線上的動點,點m與a、b的直接關(guān)系不明顯,因此需引入?yún)?shù).解法一:設(shè)m(x0,y0),則kom=,k
10、ab=,直線ab方程是y=(xx0)+y0.由y2=4px可得x=,將其代入上式,整理,得x0y2(4py0)y4py024px02=0. 此方程的兩根y1、y2分別是a、b兩點的縱坐標(biāo),a(,y1)、b(,y2).oaob,koa·kob=1.·=1.y1y2=16p2.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,由可得y1·y2=,=16p2.化簡,得x02+y024px0=0,即x2+y24px=0(除去原點)為所求.點m的軌跡是以(2p,0)為圓心,以2p為半徑的圓,去掉坐標(biāo)原點.解法二:設(shè)a、b兩點坐標(biāo)為a(pt12,2pt1)、b(pt22,2pt2).koa=,kob=,k
11、ab=.oaob,t1·t2=4.ab方程是y2pt1=(xpt12), 直線om的方程是y=x. ×,得(px)t12+2pyt1(x2+y2)=0. 直線ab的方程還可寫為y2pt2=(xpt22). 由×,得(px)t22+(2py)t2(x2+y2)=0. 由可知t1、t2是方程(px)t2+(2py)t2(x2+y2)=0的兩根.由根與系數(shù)的關(guān)系可得t1t2=.又t1·t2=4,x2+y24px=0(原點除外)為所求點m的軌跡方程.故m的軌跡是以(2p,0)為圓心,以2p為半徑的圓,去掉坐標(biāo)原點.解法三:設(shè)m(x,y),直線ab方程為y=kx+
12、b,由omab得k=.由y2=4px及y=kx+b消去y,得k2x2+x(2kb4p)+b2=0.所以x1x2=.消去x,得ky24py+4pb=0.所以y1y2=.由oaob,得y1y2=x1x2,所以=,b=4kp.故y=kx+b=k(x4p).用k=代入,得x2+y24px=0(x0).解法四:設(shè)點m的坐標(biāo)為(x,y),直線oa的方程為y=kx,解得a點的坐標(biāo)為(,),顯然k0,則直線ob的方程為y=x.由 y=kx,y2=4px, 類似地可得b點的坐標(biāo)為(4pk2,4pk),從而知當(dāng)k±1時,kab=.故得直線ab的方程為y+4pk=(x4pk2),即(k)y+4p=x, 直
13、線om的方程為y=(k)x. 可知m點的坐標(biāo)同時滿足,由及消去k便得4px=x2+y2,即(x2p)2+y2=4p2,但x0,當(dāng)k=±1時,容易驗證m點的坐標(biāo)仍適合上述方程.故點m的軌跡方程為(x2p)2+y2=4p2(x0),它表示以點(2p,0)為圓心,以2p為半徑的圓.評述:本題考查了交軌法、參數(shù)法求軌跡方程,涉及了類比、分類討論等數(shù)學(xué)方法,消參時又用到了整體思想法,對含字母的式子的運算能力有較高的要求,同時還需要注意軌跡的“完備性和純粹性”.此題是綜合考查學(xué)生能力的一道好題.深化拓展 本題中直線ab恒過定點(4p,0),讀者不妨探究一番.闖關(guān)訓(xùn)練夯實基礎(chǔ)1.已知m(2,0)、
14、n(2,0),pmpn4,則動點p的軌跡是a.雙曲線 b.雙曲線左邊一支c.一條射線 d.雙曲線右邊一支解析:利用幾何性質(zhì).答案:c2.(2003年河南)已知雙曲線中心在原點且一個焦點為f(,0),直線y=x1與其相交于m、n兩點,mn中點的橫坐標(biāo)為,則此雙曲線的方程是a.=1 b.=1c.=1 d.=1解析:設(shè)雙曲線方程為=1.將y=x1代入=1,整理得(b2a2)x2+2a2xa2a2b2=0.由韋達(dá)定理得x1+x2=,=.由c2=a2+b2求得a2=2,b2=5.答案:d3.曲線x24y24關(guān)于點m(3,5)對稱的曲線方程為_.解析:代入法(或相關(guān)點法).答案:(x6)2+4(y10)2
15、=44.與圓x2+y24x=0外切,且與y軸相切的動圓圓心的軌跡方程是_.解析:若動圓在y軸右側(cè),則動圓圓心到定點(2,0)與到定直線x=2的距離相等,其軌跡是拋物線;若動圓在y軸左側(cè),則動圓圓心軌跡是x負(fù)半軸.答案:y2=8x(x>0)或y=0(x<0)5.自拋物線y22x上任意一點p向其準(zhǔn)線l引垂線,垂足為q,連結(jié)頂點o與p的直線和連結(jié)焦點f與q的直線交于r點,求r點的軌跡方程.解:設(shè)p(x1,y1)、r(x,y),則q(,y1)、f(,0),op的方程為y=x, fq的方程為y=y1(x). 由得x1,y1,代入y22x,可得y22x2+x.6.求經(jīng)過定點a(1,2),以x軸
16、為準(zhǔn)線,離心率為的橢圓下方的頂點的軌跡方程.解:設(shè)橢圓下方的焦點f(x0,y0),由定義=,|af|=1,即點f的軌跡方程為(x01)2+(y02)2=1.又設(shè)橢圓下方頂點為p(x,y),則x0=x,y0=y,點p的軌跡方程是(x1)2+(y2)2=1.培養(yǎng)能力7.ab是圓o的直徑,且ab2a,m為圓上一動點,作mnab,垂足為n,在om上取點p,使opmn,求點p的軌跡.解:以圓心o為原點,ab所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系(如下圖),則o的方程為x2y2a2,設(shè)點p坐標(biāo)為(x,y),并設(shè)圓與y軸交于c、d兩點,作pqab于q,則有.opmn,op2om·pq.x2+y2ay,即 x
17、2(y±)2()2.軌跡是分別以co、od為直徑的兩個圓.8.過拋物線y2=4x的焦點的直線l與拋物線交于a、b兩點,o為坐標(biāo)原點.求aob的重心g的軌跡c的方程.解:拋物線的焦點坐標(biāo)為(1,0),當(dāng)直線l不垂直于x軸時,設(shè)方程為y=k(x1),代入y2=4x,得k2x2x(2k2+4)+k2=0.設(shè)l方程與拋物線相交于兩點,k0.設(shè)點a、b的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2),根據(jù)韋達(dá)定理,有x1+x2=,從而y1+y2=k(x1+x22)=.設(shè)aob的重心為g(x,y),消去k,得x=+(y)2,則 x=+,y=, y2=x.當(dāng)l垂直于x軸時,a、b的坐標(biāo)分別為(1,2)和
18、(1,2),aob的重心g(,0),也適合y2=x,因此所求軌跡c的方程為y2=x.探究創(chuàng)新9.(2004年春季安徽)已知k0,直線l1:y=kx,l2:y=kx.(1)證明:到l1、l2的距離的平方和為定值a(a0)的點的軌跡是圓或橢圓;(2)求到l1、l2的距離之和為定值c(c0)的點的軌跡.(1)證明:設(shè)點p(x,y)為動點,則+=a,整理得+=1.因此,當(dāng)k=1時,動點的軌跡為圓;當(dāng)k1時,動點的軌跡為橢圓.(2)解:設(shè)點p(x,y)為動點,則|ykx|+|y+kx|=c.當(dāng)yk|x|時,ykx+y+kx=c,即y=c;當(dāng)yk|x|時,kxyykx=c,即y=c;當(dāng)k|x|yk|x|,
19、x0時,kxy+y+kx=c,即x=c;當(dāng)k|x|yk|x|,x0時,ykxykx=c,即x=c.綜上,動點的軌跡為矩形.思悟小結(jié)1.求軌跡方程的一般步驟是:建系、設(shè)點、列式、代入、化簡、檢驗.檢驗就是要檢驗點的軌跡的純粹性和完備性.2.如果題目中的條件有明顯的等量關(guān)系,或者可以利用平面幾何知識推出等量關(guān)系,求方程時可用直接法.3.如果能夠確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義,則可用曲線定義寫出方程,這種方法稱為定義法.4.如果軌跡動點p(x,y)依賴于另一動點q(a,b),而q(a,b)又在某已知曲線上,則可先列出關(guān)于x、y、a、b的方程組,利用x、y表示出a、b,把a、b代入已知曲線方程便
20、得動點p的軌跡方程.此法稱為代入法.5.如果軌跡動點p(x,y)的坐標(biāo)之間的關(guān)系不易找到,也沒有相關(guān)點可用時,可先考慮將x、y用一個或幾個參數(shù)來表示,消去參數(shù)得軌跡方程,此法稱為參數(shù)法.參數(shù)法中常選變角、變斜率等為參數(shù).6.注意參數(shù)的取值范圍對方程的影響.教師下載中心教學(xué)點睛1.已知曲線求方程或已知方程畫曲線是解析幾何中的兩個基本問題.如何探求動點的軌跡方程呢?從定義出發(fā),還本索源.在探求動點的軌跡方程時,如能結(jié)合解析幾何中某種曲線的定義,也就能尋找到解決問題的鑰匙;利用平面幾何的性質(zhì).動點的軌跡與圖形的性質(zhì)相關(guān),若某些軌跡與直線或圓有關(guān),則可以利用三角形或圓的性質(zhì)來幫助分析;伴隨曲線的思想和
21、方法.如果點p的運動軌跡或所在的曲線已知,又點p與點q的坐標(biāo)之間可以建立起某種關(guān)系,則借助于點p的運動軌跡,我們便可以得到點q的運動軌跡,這便是伴隨曲線的思想方法.2.在探求軌跡的過程中,需要注意的是軌跡的“完備性”和“純粹性”,也就是說既不能多,也不能少,因此,在求得軌跡方程之后,要深入地再思考一下:是否還遺漏了一些點?是否還有另一個滿足條件的軌跡方程存在?在所求得的軌跡方程中,x、y的取值范圍是否有什么限制?拓展題例【例1】 是否存在同時滿足下列條件的拋物線?若存在,求出它的方程;若不存在,請說明理由(1)準(zhǔn)線是y軸;(2)頂點在x軸上;(3)點a(3,0)到此拋物線上動點p的距離最小值是2.解:假設(shè)存在這樣的拋物線,頂點為(a,0),則方程為y24a(xa)(a0),設(shè)p(x0,y0),則y024a(x0a),ap2(x03)2y02x0(32a)212a8a2,令f(a)ap2,當(dāng)a0時,有x0a,當(dāng)32aa即a(0,1時,ap2f(32a),a1
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