高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)：8.5 軌跡問題

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.58.5 軌跡問題知識梳理本節(jié)主要內(nèi)容是軌跡的概念及軌跡方程的求法.求軌跡方程常用的方法：（1）結(jié)合解析幾何中某種曲線的定義，從定義出發(fā)尋找解決問題的方法；（2）利用幾何性質(zhì)，若所求的軌跡與圖形的性質(zhì)相關(guān)，往往利用三角形或圓的性質(zhì)來解問題；（3）如果點(diǎn)p的運(yùn)動軌跡或所在曲線已知，又點(diǎn)q與點(diǎn)p之間的坐標(biāo)可以建立某種關(guān)系，則借助點(diǎn)p的軌跡可以得到點(diǎn)q的軌跡；（4）參數(shù)法.點(diǎn)擊雙基1.動點(diǎn)p到直線x=1的距離與它到點(diǎn)a（4，0）的距離之比為2，則p點(diǎn)的軌跡是a.中心在原點(diǎn)的橢圓b.中心在（5，0）的橢圓c.中心在原點(diǎn)的雙曲線d.中心在（5，0）的雙曲線解析：直接法.答

2、案：b2.（2005年春季北京，6）已知雙曲線的兩個焦點(diǎn)為f1（，0）、f2（，0），p是此雙曲線上的一點(diǎn)，且pf1pf2，|pf1|·|pf2|=2，則該雙曲線的方程是a.=1 b.=1c.y2=1 d.x2=1解析：設(shè)雙曲線的方程為=1.由題意|pf1|pf2|=2a，|pf1|2+|pf2|2=（2）2.又|pf1|·|pf2|=2，a=2，b=1.故雙曲線方程為y2=1.答案：c3.已知a（0，7）、b（0，7）、c（12，2），以c為一個焦點(diǎn)作過a、b的橢圓，橢圓的另一個焦點(diǎn)f的軌跡方程是a.y21（y1） b.y21c.y21 d.x21解析：由題意ac13，b

3、c15，ab14，又afacbfbc，afbfbcac2.故f點(diǎn)的軌跡是以a、b為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線下支.又c=7，a=1，b248，所以軌跡方程為y21（y1）.答案：a4.f1、f2為橢圓+=1的左、右焦點(diǎn)，a為橢圓上任一點(diǎn)，過焦點(diǎn)f1向f1af2的外角平分線作垂線，垂足為d，則點(diǎn)d的軌跡方程是_.解析：延長f1d與f2a交于b，連結(jié)do，可知do=f2b=2，動點(diǎn)d的軌跡方程為x2+y2=4.答案：x2+y2=45.已知abc中，b（1，0）、c（5，0），點(diǎn)a在x軸上方移動，且tanb+tanc=3，則 abc的重心g的軌跡方程為_.解析：設(shè)a（x0，y0），tanb+tanc=

4、3，=3，點(diǎn)a的軌跡方程為y0=（x026x0+5）（x01且x05）.若 g（x，y）為abc的重心，則由重心坐標(biāo)公式：x=，y=，x0=3x6，且y0=3y.代入a點(diǎn)軌跡方程得g的軌跡方程為y1=（x3）2（x且x）.答案：y1=（x3）2（x且x）典例剖析【例1】 在pmn中，tanpmn=，tanmnp=2，且pmn的面積為1，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求以m、n為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)p的橢圓的方程.剖析：如上圖，以直線mn為x軸，線段mn的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則所求橢圓方程為+=1.顯然a2、b2是未知數(shù)，但a2、b2與已知條件沒有直接聯(lián)系，因此應(yīng)尋找與已知條件和諧統(tǒng)一的未知元，或

5、改造已知條件.解法一：如上圖，過p作pqmn，垂足為q，令|pq|=m，于是可得|mq|=|pq|cotpmq=2m，|qn|=|pq|cotpnq=m.|mn|=|mq|nq|=2mm=m.于是spmn=|mn|·|pq|=·m·m=1.因而m=，|mq|=2，|nq|=，|mn|=.|mp|=，|np|=.以mn的中點(diǎn)為原點(diǎn)，mn所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為+=1（ab0）.則2a=|mp|+|np|=，2c=|mn|=，故所求橢圓方程為+=1.解法二：設(shè)m（c，0）、n（c，0），p（x，y），y0， =，則=2，y·c=1，解之，得

6、x=，y=，c=.設(shè)橢圓方程為b2x2+a2y2=a2b2，則b2·（）2+a2（）2=a2b2，a2b2=，解之，得a2=，b2=3.（以下略）評述：解法一選擇了與a較接近的未知元|pm|、|pn|，但需改造已知條件，以便利用正弦定理和面積公式；解法二以條件為主，選擇了與條件聯(lián)系最直接的未知元x、y、c.本題解法較多，但最能體現(xiàn)方程思想方法的、學(xué)生易于理解和接受的是這兩種解法.深化拓展 若把pmn的面積為1改為·=，求橢圓方程.提示：由tanpmn=，tanmnp=2，易得sinmpn=，cosmpn=.由·=，得|=.易求得|pm|=，|pn|=.進(jìn)而求得橢圓

7、方程為+=1.【例2】 （2004年福建，22）如下圖，p是拋物線c：y=x2上一點(diǎn)，直線l過點(diǎn)p且與拋物線c交于另一點(diǎn)q.若直線l與過點(diǎn)p的切線垂直，求線段pq中點(diǎn)m的軌跡方程.剖析：欲求pq中點(diǎn)m的軌跡方程，需知p、q的坐標(biāo).思路一，p、q是直線l與拋物線c的交點(diǎn)，故需求直線l的方程，再與拋物線c的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得m的軌跡方程；思路二，設(shè)出p、q的坐標(biāo)，利用p、q的坐標(biāo)滿足拋物線c的方程，代入拋物線c的方程相減得pq的斜率，利用pq的斜率就是l的斜率，可求得m的軌跡方程.解：設(shè)p（x1，y1）、q（x2，y2）、m（x0，y0），依題意知x10，y1>0，y

8、2>0.由y=x2， 得y=x.過點(diǎn)p的切線的斜率k切=x1，直線l的斜率kl=，直線l的方程為yx12=（xx1）. 方法一：聯(lián)立消去y，得x2+xx122=0.m為pq的中點(diǎn)， x0=，y0=x12（x0x1）. 消去x1，得y0=x02+1（x00），pq中點(diǎn)m的軌跡方程為y=x2+1（x0）.方法二：由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1y2=x12x22=（x1+x2）（x1x2）=x0（x1x2），則x0=kl=，x1=.將上式代入并整理，得y0=x02+1（x00），pq中點(diǎn)m的軌跡方程為y=x2+1（x0）.評述：本題主要考查了直線、拋物線的基礎(chǔ)知識，以及求軌跡方程

9、的常用方法.本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率以及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題.深化拓展 當(dāng)點(diǎn)p在拋物線c上移動時(shí)，求點(diǎn)m到x軸的最短距離.提示：x0，x2>0，y=x2+12+1=+1，當(dāng)且僅當(dāng)x2=，x=±時(shí)等號成立，即點(diǎn)m到x軸的最短距離為+1.【例3】 （2000年春季全國）已知拋物線y24px（p0），o為頂點(diǎn)，a、b為拋物線上的兩動點(diǎn)，且滿足oaob，如果omab于m點(diǎn)，求點(diǎn)m的軌跡方程.剖析：點(diǎn)m是om與ab的交點(diǎn)，點(diǎn)m隨著a、b兩點(diǎn)的變化而變化，而a、b為拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)m與a、b的直接關(guān)系不明顯，因此需引入?yún)?shù).解法一：設(shè)m（x0，y0），則kom=，k

10、ab=，直線ab方程是y=（xx0）+y0.由y2=4px可得x=，將其代入上式，整理，得x0y2（4py0）y4py024px02=0. 此方程的兩根y1、y2分別是a、b兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，a（，y1）、b（，y2）.oaob，koa·kob=1.·=1.y1y2=16p2.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，由可得y1·y2=，=16p2.化簡，得x02+y024px0=0，即x2+y24px=0（除去原點(diǎn)）為所求.點(diǎn)m的軌跡是以（2p，0）為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).解法二：設(shè)a、b兩點(diǎn)坐標(biāo)為a（pt12，2pt1）、b（pt22，2pt2）.koa=，kob=，k

11、ab=.oaob，t1·t2=4.ab方程是y2pt1=（xpt12）， 直線om的方程是y=x. ×，得（px）t12+2pyt1（x2+y2）=0. 直線ab的方程還可寫為y2pt2=（xpt22）. 由×，得（px）t22+（2py）t2（x2+y2）=0. 由可知t1、t2是方程（px）t2+（2py）t2（x2+y2）=0的兩根.由根與系數(shù)的關(guān)系可得t1t2=.又t1·t2=4，x2+y24px=0（原點(diǎn)除外）為所求點(diǎn)m的軌跡方程.故m的軌跡是以（2p，0）為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).解法三：設(shè)m（x，y），直線ab方程為y=kx+

12、b，由omab得k=.由y2=4px及y=kx+b消去y，得k2x2+x（2kb4p）+b2=0.所以x1x2=.消去x，得ky24py+4pb=0.所以y1y2=.由oaob，得y1y2=x1x2，所以=，b=4kp.故y=kx+b=k（x4p）.用k=代入，得x2+y24px=0（x0）.解法四：設(shè)點(diǎn)m的坐標(biāo)為（x，y），直線oa的方程為y=kx，解得a點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），顯然k0，則直線ob的方程為y=x.由 y=kx，y2=4px， 類似地可得b點(diǎn)的坐標(biāo)為（4pk2，4pk），從而知當(dāng)k±1時(shí)，kab=.故得直線ab的方程為y+4pk=（x4pk2），即（k）y+4p=x， 直

13、線om的方程為y=（k）x. 可知m點(diǎn)的坐標(biāo)同時(shí)滿足，由及消去k便得4px=x2+y2，即（x2p）2+y2=4p2，但x0，當(dāng)k=±1時(shí)，容易驗(yàn)證m點(diǎn)的坐標(biāo)仍適合上述方程.故點(diǎn)m的軌跡方程為（x2p）2+y2=4p2（x0），它表示以點(diǎn)（2p，0）為圓心，以2p為半徑的圓.評述：本題考查了交軌法、參數(shù)法求軌跡方程，涉及了類比、分類討論等數(shù)學(xué)方法，消參時(shí)又用到了整體思想法，對含字母的式子的運(yùn)算能力有較高的要求，同時(shí)還需要注意軌跡的“完備性和純粹性”.此題是綜合考查學(xué)生能力的一道好題.深化拓展 本題中直線ab恒過定點(diǎn)（4p，0），讀者不妨探究一番.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.已知m（2，0）、

14、n（2，0），pmpn4，則動點(diǎn)p的軌跡是a.雙曲線 b.雙曲線左邊一支c.一條射線 d.雙曲線右邊一支解析：利用幾何性質(zhì).答案：c2.（2003年河南）已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個焦點(diǎn)為f（，0），直線y=x1與其相交于m、n兩點(diǎn)，mn中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是a.=1 b.=1c.=1 d.=1解析：設(shè)雙曲線方程為=1.將y=x1代入=1，整理得（b2a2）x2+2a2xa2a2b2=0.由韋達(dá)定理得x1+x2=，=.由c2=a2+b2求得a2=2，b2=5.答案：d3.曲線x24y24關(guān)于點(diǎn)m（3，5）對稱的曲線方程為_.解析：代入法（或相關(guān)點(diǎn)法）.答案：（x6）2+4（y10）2

15、=44.與圓x2+y24x=0外切，且與y軸相切的動圓圓心的軌跡方程是_.解析：若動圓在y軸右側(cè)，則動圓圓心到定點(diǎn)（2，0）與到定直線x=2的距離相等，其軌跡是拋物線；若動圓在y軸左側(cè)，則動圓圓心軌跡是x負(fù)半軸.答案：y2=8x（x>0）或y=0（x<0）5.自拋物線y22x上任意一點(diǎn)p向其準(zhǔn)線l引垂線，垂足為q，連結(jié)頂點(diǎn)o與p的直線和連結(jié)焦點(diǎn)f與q的直線交于r點(diǎn)，求r點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)p（x1，y1）、r（x，y），則q（，y1）、f（，0），op的方程為y=x， fq的方程為y=y1（x）. 由得x1，y1，代入y22x，可得y22x2+x.6.求經(jīng)過定點(diǎn)a（1，2），以x軸

16、為準(zhǔn)線，離心率為的橢圓下方的頂點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)橢圓下方的焦點(diǎn)f（x0，y0），由定義=，|af|=1，即點(diǎn)f的軌跡方程為（x01）2+（y02）2=1.又設(shè)橢圓下方頂點(diǎn)為p（x，y），則x0=x，y0=y，點(diǎn)p的軌跡方程是（x1）2+（y2）2=1.培養(yǎng)能力7.ab是圓o的直徑，且ab2a，m為圓上一動點(diǎn)，作mnab，垂足為n，在om上取點(diǎn)p，使opmn，求點(diǎn)p的軌跡.解：以圓心o為原點(diǎn)，ab所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如下圖），則o的方程為x2y2a2，設(shè)點(diǎn)p坐標(biāo)為（x，y），并設(shè)圓與y軸交于c、d兩點(diǎn)，作pqab于q，則有.opmn，op2om·pq.x2+y2ay，即 x

17、2（y±）2（）2.軌跡是分別以co、od為直徑的兩個圓.8.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)的直線l與拋物線交于a、b兩點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn).求aob的重心g的軌跡c的方程.解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)方程為y=k（x1），代入y2=4x，得k2x2x（2k2+4）+k2=0.設(shè)l方程與拋物線相交于兩點(diǎn)，k0.設(shè)點(diǎn)a、b的坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x2，y2），根據(jù)韋達(dá)定理，有x1+x2=，從而y1+y2=k（x1+x22）=.設(shè)aob的重心為g（x，y），消去k，得x=+（y）2，則 x=+，y=， y2=x.當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，a、b的坐標(biāo)分別為（1，2）和

18、（1，2），aob的重心g（，0），也適合y2=x，因此所求軌跡c的方程為y2=x.探究創(chuàng)新9.（2004年春季安徽）已知k0，直線l1：y=kx，l2：y=kx.（1）證明：到l1、l2的距離的平方和為定值a（a0）的點(diǎn)的軌跡是圓或橢圓；（2）求到l1、l2的距離之和為定值c（c0）的點(diǎn)的軌跡.（1）證明：設(shè)點(diǎn)p（x，y）為動點(diǎn)，則+=a，整理得+=1.因此，當(dāng)k=1時(shí)，動點(diǎn)的軌跡為圓；當(dāng)k1時(shí)，動點(diǎn)的軌跡為橢圓.（2）解：設(shè)點(diǎn)p（x，y）為動點(diǎn)，則|ykx|+|y+kx|=c.當(dāng)yk|x|時(shí)，ykx+y+kx=c，即y=c；當(dāng)yk|x|時(shí)，kxyykx=c，即y=c；當(dāng)k|x|yk|x|，

19、x0時(shí)，kxy+y+kx=c，即x=c；當(dāng)k|x|yk|x|，x0時(shí)，ykxykx=c，即x=c.綜上，動點(diǎn)的軌跡為矩形.思悟小結(jié)1.求軌跡方程的一般步驟是：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、代入、化簡、檢驗(yàn).檢驗(yàn)就是要檢驗(yàn)點(diǎn)的軌跡的純粹性和完備性.2.如果題目中的條件有明顯的等量關(guān)系，或者可以利用平面幾何知識推出等量關(guān)系，求方程時(shí)可用直接法.3.如果能夠確定動點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可用曲線定義寫出方程，這種方法稱為定義法.4.如果軌跡動點(diǎn)p（x，y）依賴于另一動點(diǎn)q（a，b），而q（a，b）又在某已知曲線上，則可先列出關(guān)于x、y、a、b的方程組，利用x、y表示出a、b，把a(bǔ)、b代入已知曲線方程便

20、得動點(diǎn)p的軌跡方程.此法稱為代入法.5.如果軌跡動點(diǎn)p（x，y）的坐標(biāo)之間的關(guān)系不易找到，也沒有相關(guān)點(diǎn)可用時(shí)，可先考慮將x、y用一個或幾個參數(shù)來表示，消去參數(shù)得軌跡方程，此法稱為參數(shù)法.參數(shù)法中常選變角、變斜率等為參數(shù).6.注意參數(shù)的取值范圍對方程的影響.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1.已知曲線求方程或已知方程畫曲線是解析幾何中的兩個基本問題.如何探求動點(diǎn)的軌跡方程呢？從定義出發(fā)，還本索源.在探求動點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，如能結(jié)合解析幾何中某種曲線的定義，也就能尋找到解決問題的鑰匙；利用平面幾何的性質(zhì).動點(diǎn)的軌跡與圖形的性質(zhì)相關(guān)，若某些軌跡與直線或圓有關(guān)，則可以利用三角形或圓的性質(zhì)來幫助分析；伴隨曲線的思想和

21、方法.如果點(diǎn)p的運(yùn)動軌跡或所在的曲線已知，又點(diǎn)p與點(diǎn)q的坐標(biāo)之間可以建立起某種關(guān)系，則借助于點(diǎn)p的運(yùn)動軌跡，我們便可以得到點(diǎn)q的運(yùn)動軌跡，這便是伴隨曲線的思想方法.2.在探求軌跡的過程中，需要注意的是軌跡的“完備性”和“純粹性”，也就是說既不能多，也不能少，因此，在求得軌跡方程之后，要深入地再思考一下：是否還遺漏了一些點(diǎn)？是否還有另一個滿足條件的軌跡方程存在？在所求得的軌跡方程中，x、y的取值范圍是否有什么限制?拓展題例【例1】 是否存在同時(shí)滿足下列條件的拋物線？若存在，求出它的方程；若不存在，請說明理由（1）準(zhǔn)線是y軸；（2）頂點(diǎn)在x軸上；（3）點(diǎn)a（3，0）到此拋物線上動點(diǎn)p的距離最小值是2.解：假設(shè)存在這樣的拋物線，頂點(diǎn)為（a，0），則方程為y24a（xa）（a0），設(shè)p（x0，y0），則y024a（x0a），ap2（x03）2y02x0（32a）212a8a2，令f（a）ap2，當(dāng)a0時(shí)，有x0a，當(dāng)32aa即a（0，1時(shí)，ap2f（32a），a1